ch24高斯型求積公式

1、第二章 數(shù)值積分 高斯型求積公式高斯型求積公式：一一個(gè)個(gè)求求積積代代數(shù)數(shù)精精度度的的概概念念公公式式的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確程程=0( )()d1nbkkakkkkAxxnxnfxxAf ：對(duì)對(duì)于于一一般般的的插插值值求求積積公公式式來來說說，不不管管在在積積分分區(qū)區(qū)間間上上的的個(gè)個(gè)插插值值結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)如如何何選選取取，其其至至少少為為；而而只只要要選選取取合合適適的的與與，此此插插值值求求積積公公注注代代數(shù)數(shù)精精度度代代數(shù)數(shù)式式的的達(dá)達(dá)精精度度到到最最大大。問題問題: : 是否有比等距節(jié)點(diǎn)的是否有比等距節(jié)點(diǎn)的Newton-CotesNewton-Cotes型求積公式型求積公式 更高代數(shù)精度的求積公式更高代數(shù)

2、精度的求積公式? ? 最高能達(dá)到多大最高能達(dá)到多大? ?度度對(duì)對(duì)于于給給定定的的求求積積節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn), , 代代數(shù)數(shù)精精度度最最高高的的求求積積公公式式是是插插值值型型求求積積公公式式. . 事事實(shí)實(shí)上上, , 插插值值型型求求積積公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度完完全全由由求求積積節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的分分布布所所決決定定. . 節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)目目固固定定后后, , 節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)分分布布不不同同, , 所所達(dá)達(dá)到到的的代代數(shù)數(shù)精精度度也也不不同同. .問問題題: : 尋尋找找最最高高代代數(shù)數(shù)精精度度的的求求積積公公式式010,( )()22!對(duì)對(duì)于于任任意意的的求求積積節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)a a及及求求積積系系數(shù)數(shù)求求積積公公

3、式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度必必小小于于nnbkkakxxxbf x dxA f xn 220112100( )()()()( )( )0,I()()0nnbannkkknkkkf xxxxxxxxf x dxA f xAx n n這這是是因因?yàn)闉?對(duì) 對(duì)于于2n+2次2n+2次代代數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式 有有 I= 而 I= 而數(shù)數(shù)值值積積分分 故故最最高高可可能能代代數(shù)數(shù)精精度度為為2n+1.2n+1.5為具有一般性，研究帶權(quán)積分為具有一般性，研究帶權(quán)積分,d)()(baxxxfI求積公式為求積公式為, )(d)()(0nkkkbaxfAxxxf為不依賴于為不依賴于 的求積系數(shù)的求積系數(shù).),1 ,

4、0(nkAk)( xf(1),1 ,0(nkxk為求積節(jié)點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)，kkAx及可適當(dāng)選取可適當(dāng)選取, ),1 ,0(nk使（使（1）具有）具有 次代數(shù)精度次代數(shù)精度.12n問題問題如果求積公式如果求積公式(1) (1) 具有具有 次代數(shù)精度次代數(shù)精度，12n則稱其節(jié)點(diǎn)則稱其節(jié)點(diǎn) 為為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式，相應(yīng)公式(1)(1)稱為稱為高斯求積公式高斯求積公式. .),1 ,0(nkxk 定義定義如何構(gòu)造高斯求積公式？如何構(gòu)造高斯求積公式？ 根據(jù)定義要使根據(jù)定義要使(1) (1) 具有具有 次代數(shù)精度，只要對(duì)次代數(shù)精度，只要對(duì)12n),12,1 ,0()(nmxxfm令令(1)(1)精確成立，

5、精確成立，. 12 , 1 , 0,d)(0nmxxxxAnkbammkk可以由上式求出可以由上式求出).,1 ,0(nkAxkk及試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式： 例例).()(d)(110010 xfAxfAxxfx令公式令公式(1)(1)對(duì)于對(duì)于 準(zhǔn)確成立準(zhǔn)確成立，32, 1)(xxxxf.92131030AxAx;3210AA;520000AxAx;72121020AxAx 由于非線性方程組，通常由于非線性方程組，通常 就很難求解就很難求解. 2n而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式. 盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)

6、問題，盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結(jié)的方程組但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的是非線性的，而它的，而它的求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點(diǎn)的斯點(diǎn)的基本特性基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。高斯點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)高斯點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)=0( )()( )( )dd110=( )( )()= 0bkkkankknnknbaxxf xfP xP xAxxxxxnx ：插插值值求求積積公公式式其其節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)為為的的充充要要條條件件是是以以這這些些點(diǎn)點(diǎn)為為零零點(diǎn)點(diǎn)的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與任任何何次次數(shù)數(shù)不

7、不超超過過的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式定定理理7-7-在在積積分分區(qū)區(qū)間間上上1 1高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)正正 交交均均， 即即1a,bn+1)(knxPx高斯點(diǎn) 是上的次多項(xiàng)即式的根=0d( )()( )( )d110=( )( )( )( )(0)=nkbkkaknkbnnnkanxxf xfxAxxxnxxxxxxPxP ：帶帶權(quán)權(quán)插插值值求求積積公公式式其其結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)為為的的充充要要條條件件是是以以這這些些點(diǎn)點(diǎn)為為零零點(diǎn)點(diǎn)的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與任任何何次次數(shù)數(shù)不不超超過過的的多多項(xiàng)項(xiàng)定定理理7-27-2帶帶權(quán)權(quán)式式在在積積分分區(qū)區(qū)間間上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)均均正正交交， 即即高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)。( )( )1a,b

8、n +1( )knxxPx 高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)是是上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)的的次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的根根 即即（2）11.d)()(d)()(babaxxxqxxxfnxxx,10是高斯點(diǎn)，是高斯點(diǎn)，因此，如果因此，如果. )()()()()(011nkknkkbanxxPAdxxxxP因因),1 ,0(0)(1nkxkn即有即有故故(2)(2)成立成立. 精確成立精確成立，)()()(1xxPxfn 則求積公式則求積公式(1)(1)對(duì)于對(duì)于 充分性充分性. 用 除除 ，)(1xn )( xf記商為記商為),( xP余式為余式為),( xq即即 , )()()()(1xqxxPxfn其中其中 . nH

9、xqxP)(),(,)(12nHxf對(duì)于對(duì)于由由(2)(2)可得可得 證明證明必要性必要性. ,)(nHxP設(shè)設(shè),)()(121nnHxxP則則（3）12由于求積公式由于求積公式(1)(1)是插值型的，它對(duì)于是插值型的，它對(duì)于 是精確的，是精確的，nHxq)(即 再注意到再注意到),1 ,0(0)(1nkxkn), 1 ,0()()(nkxfxqkk知知從而由從而由(3)(3)有有babaxxxqxxxfd)()(d)()(. )(0nkkkxfA. )(d)()(0nkkkbaxqAxxxq13 可見求積公式可見求積公式(1)(1)對(duì)一切次數(shù)不超過對(duì)一切次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式均精的多項(xiàng)式均精確

10、成立確成立. . 因此，因此， 為高斯點(diǎn)為高斯點(diǎn). . 12n),1 ,0(nkxk 定理表明在定理表明在 上帶權(quán)上帶權(quán) 的的 次正交多項(xiàng)式的次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式零點(diǎn)就是求積公式(1)(1)的高斯點(diǎn)的高斯點(diǎn). . ,ba)( x1n 有了求積節(jié)點(diǎn)有了求積節(jié)點(diǎn) ，再利用，再利用),1 ,0(nkxknkbammkkxxxxA0d)(對(duì)對(duì) 成立成立，nm,1 ,0).,1 ,0(nkAk解此方程則得解此方程則得 的線性方程的線性方程.nAAA,10則得到一組關(guān)于求積系數(shù)則得到一組關(guān)于求積系數(shù)14GaussGauss型求積公式的構(gòu)造方法型求積公式的構(gòu)造方法(1)(1)求出區(qū)間求出區(qū)間a,b

11、a,b上權(quán)函數(shù)為上權(quán)函數(shù)為 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式p pn+1n+1(x)(x) . .)(x(2)(2)求出求出p pn+1n+1(x)(x)的的n n個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)x x0 0 , x, x1 1 , , x xn n 即為即為GaussGauss點(diǎn)點(diǎn). . (3)(3)計(jì)算積分系數(shù)計(jì)算積分系數(shù) 。 常見的正交多項(xiàng)式及高斯求積公式常見的正交多項(xiàng)式及高斯求積公式勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式(Legendre)(Legendre)切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev)(Chebyshev)拉蓋爾多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式(Laguerre)(Laguerre)埃爾米特多項(xiàng)式埃爾米特多項(xiàng)式 (Her

12、mite ) (Hermite )高斯高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式( ) ( )d( )( )( )111012=, 11d(1) 2! d1LegendreLegendre1 11,2,0nnnnnnnPPxxxPxnxnPxxP xPxnnn ： 定 定義義在在區(qū)區(qū)間間上上階階是是正正交交的的函函數(shù)數(shù)系系，其其階階與與任任何何次次數(shù)數(shù)不不超超過過的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在區(qū)區(qū)間間-1,-1,1. 勒1. 勒讓讓德德()多()多項(xiàng)項(xiàng)式式勒勒讓讓德德()多()多項(xiàng)項(xiàng)式式勒勒讓讓德德多多項(xiàng)項(xiàng)1 上1 上，即即式式均均正正交交2. Legendre2. Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)多項(xiàng)式的性質(zhì)

13、: :011(1): 1,1,0,(,)( )( )2,21nnnmnmPmnP PP x Px dxmnn 正正交交性性是是上上的的正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式序序列列 即即0111(2)( )1,( )(1)( )(21)( )( )1,2,nnnP xP xxnPxnxP xnPxn 遞遞推推公公式式(3)()( 1)( )nnnPxP x (4),( 1,1) 所所有有根根都都是是單單根根 并并在在上上關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱分分布布. .=0( )(d)( )1113Legendre, Gauss11 121 .nkkkkkknxxxf xfxGaussLegennArndPxAe 以 以多

14、多項(xiàng)項(xiàng)式式的的個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)作作為為區(qū)區(qū)間間 上 上的的高高斯斯點(diǎn)點(diǎn) ， ， 則 則其其插插值值求求積積公公式式稱稱為為求求積積公公式式高高斯斯-勒-勒讓讓德德求求積積公公式式，具具有有次次。其其中中點(diǎn)點(diǎn), 及, 及代代數(shù)數(shù)精精度度求求積積系系數(shù)數(shù)可可查查表表求求得得. .19，)0(d)(011fAxxf令它對(duì)令它對(duì) 準(zhǔn)確成立，即可定出準(zhǔn)確成立，即可定出 1)(xf.20A 這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式)0(2d)(11fxxf是中矩形公式是中矩形公式. 若取若取 的零點(diǎn)的零點(diǎn) 作為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式作為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式 xx )(P100 x 再取

15、再取 的兩個(gè)零點(diǎn)的兩個(gè)零點(diǎn) 構(gòu)造求積公式構(gòu)造求積公式 )13(21)(P22xx31),31()31(d)(1011fAfAxxf20令它對(duì)令它對(duì) 都準(zhǔn)確成立，有都準(zhǔn)確成立，有 xxf, 1)(.03131;21010AAAA由此解出由此解出, 110 AA).31()31(d)(11ffxxf三點(diǎn)高斯三點(diǎn)高斯- -勒讓德公式的形式是勒讓德公式的形式是 ).515(95)0(98)515(95d)(11fffxxf列出了高斯列出了高斯- -勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù). . 從而得到兩點(diǎn)高斯從而得到兩點(diǎn)高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式 高斯高斯- -切比雪夫求積公

16、式切比雪夫求積公式( )d( )( )( )2211111111=, cos()cos( arccos )1 1( )1( )( )0nxxnnPxTxxTxnnnxnnxTxPxx ： 定 定義義在在區(qū)區(qū)間間上上階階是是關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)正正交交的的函函數(shù)數(shù)系系，其其階階與與任任何何次次數(shù)數(shù)不不超超過過的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在區(qū)區(qū)間間上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)均均1. 切1. 切比比雪雪夫夫(C hebyshev)多(C hebyshev)多項(xiàng)項(xiàng)式式切切比比雪雪夫夫多多項(xiàng)項(xiàng)式式切切正正比比雪雪夫夫多多項(xiàng)項(xiàng)式式交交，即即2. Chebyshev2. Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)多項(xiàng)式的性質(zhì): :

17、2101121(1) 1,1( ),0,( )( )(,),021,0nnxmnmnChebyshevTxmnTx T xTTdxmnxmn 多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是上上帶帶權(quán)權(quán) 的的正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式組組 即即0111(2)( )1,( ),( )( )2( )nnnT xT xxTxTxxTx 遞遞推推公公式式31 1211 22( ), )( )()cos,(, , )kxkxknn n n所所有有根根都都是是單單根根 在在( (上上與與原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱分分布布, , 且且T T的的n n個(gè)個(gè)根根為為22111=11110111( )()( )dd3. Gauss-C21221hebyshev

18、(11 121), ()cos,kkknxkxnkknf xflxxxxxnkTnnxAnTA 以 以的的個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)作作為為區(qū)區(qū)間間上上的的帶帶權(quán)權(quán)高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)，其其帶帶權(quán)權(quán)插插值值求求積積公公式式為為的的零零求求積積公公式式高高斯斯-切-切比比雪雪夫夫求求積積公公點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為帶帶權(quán)權(quán)，具具有有次次式式代代數(shù)數(shù)精精度度。一般積分區(qū)間一般積分區(qū)間a,ba,b的處理的處理22,tbabax 先先令令 , a b 1,1a,b 再再利利用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)區(qū)區(qū)間間 上上的的求求積積公公式式: :1=011111ddt22)2222()()(),( )()bkkankknkknnnkkkbtxabaxxbafAAx