勾股定理畢達(dá)哥拉斯定理及各種證明方法

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）勾股定理是一個(gè)初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股數(shù)組方程a2+b2=c2的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么I?十匕2二，。勾

2、股定理的逆定理命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/十匕2二那么這個(gè)三角形是直角三角形?！咀C法1（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面-1，、一積等于1ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所不形狀2RtADAH色RtAABE/./HDA=/EAB./HAD+/HAD=90o,/EAB+/HAD=90o,ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.EF=FG=GH=HE=ba，/HEF=90o.EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形，它的面積等于（3-1ff【證法2】（課本的證明）a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)做8個(gè)全等的直角三角形

3、，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a+b,所以面積相等.2,整理得學(xué)習(xí)好資料歡迎下載【證法3】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于了.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.RtAEAD9RtACBEJ/ADE=ZBEC.ZAED+/ADE=90o,，ZAED+/BEC=90o.，/DEC=180o90o=90o.ADE比一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于2.又:/DAE=90o,/EBC=90o,

4、，AD/BC.,.J,摩ABC比一個(gè)直角梯形，它的面積等于-(ff+AP=Jx-ai+ic2afa2【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)華盛頓的郊外,.有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長(zhǎng)為多少呢

5、？”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法

6、稱為“總統(tǒng)。”證法?！咀C法4（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CLADE交AB于點(diǎn)M交DE于點(diǎn)L.AF=AC,AB=AD,ZFAB=/GADAFAB9GGAD AFAB的面積等于工,AGAD的面積等于矩形ADLM勺學(xué)習(xí)好資料歡迎下載面積的一半，矩形ADLM勺面積=.同理可證，矩形MLEB勺面積=f.正方形ADEB勺面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB勺面積/=-4爐，即/4f=/【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊ACBC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)點(diǎn)C作

7、CDLAR垂足是D.在AADCAACB中， ZADC=ZACB=90o,/CAD=/BAC，AADCsAACB.AD：AC=AC:AB,即JC1=JDAB同理可證，ACDBsAACB從而有肥二孫IT+聞a=3即二【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于產(chǎn)把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、EB三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、GD三點(diǎn)在一條直線上. RtAHAE9RtAEBF,.1./AHE=/BEF. ZAEH+ZAHE=90o,.ZAEH+/BEF=90o.ZHEF=180o90o=90o.四邊形EFGH一

8、個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2. RtAGDH仁RtAHAE/./HGD=/EHA. /HGD+/GHD=90o,.,./EHA+/GHD=90o.又/GHE=90o,/DHA=90o+90o=180o.ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，它的面積等于（04廳.卜可=。2.心/.【證法7】（利用切割線定理證明）在RtAABC中，設(shè)直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E,貝UBD=BE=BC=a.因?yàn)?BCA=90o,點(diǎn)C在。B上，所以AC是。B的切線.由切割線定理，得N=3同一同=卜+#1）=/y學(xué)習(xí)好資料歡迎下載即.=/，+，,=，【證法8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtAABC中，設(shè)直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.作RtAABC的內(nèi)切圓。O,切點(diǎn)