數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型PPT課件

1、輸出MATLAB程序 function y=x5(t)a = 8 7 5 5 ; b = 6 8 1 0 ; y=sqrt(a2*sin(t).2+b2*cos(t).2); cleart=0:pi/10:pi/2;y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1) L2=4*quad(x5,0,pi/2,1e-6)L1=4.908996526785276e+004 L2=4.908996531830460e+004 輸出求解求解梯形公式 辛普森公式 68104396371,875523846371ba評注評注第1頁/共36頁問題問題1.2 1.2 射擊命中概率射擊命中概率射擊目標(biāo)為正橢圓形區(qū)

2、域, ,彈著點與中心有隨機(jī)偏差. 分析分析設(shè)目標(biāo)中心x=0,=0,y=0, =0, )(21222221),(yxyxyxeyxp無法解析計算 彈著點圍繞中心成二維正態(tài)分布, ,偏差在X、Y方向獨立.求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率. 則彈著點( (x, ,y) )概率密度函數(shù) myx1001:,),(2222byaxdxdyyxpP炮彈命中橢圓形區(qū)域的概率 80,120ba橢圓在X方向半軸長120m,Y方向半軸長80m.設(shè)彈著點偏差的均方差在X和Y方向均為100m.第2頁/共36頁求解：求解：蒙特卡羅方法作變換 ,bvyaux以100(m)100(m)為1 1單位，則 8 . 0, 2 . 1,

3、 1bayxdudvvupabP),(1:,21),(22)(212222vuevupvbuaMATLAB程序 輸出clear, n=100000;a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;for i=1:n x=rand(1,2); y=0; if x(1)2+x(2)2=1 y=exp(- 0.5*(a2*P=0.3752, m=78552 x(1)2+b2*x(2)2); z=z+y;m=m+1; endendp=(4*a*b/2/pi) *(z /n),m 評注評注第3頁/共36頁問題問題1 11.3 1.3 人口增長率人口增長率20世紀(jì)美國人口數(shù)據(jù)(10(106 6 ), ), 年份年

4、份 1900 1910 1920 1930 人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 計算各年份人口增長率. 記時刻t t人口為x( (t t) )，則人口相對增長率為分析分析)(/)(txdtdxtr記19001900年為k=0 =0 求解：求解：數(shù)值微分三點公式 8 , 2 , 1,2011kxxxrkkkk99879021002034,2043xxxxrxxxxr 年增長率年增長率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.

5、49 1.16 1.05 1.04 評注評注計算程序 第4頁/共36頁問題問題2 2已知某地區(qū)20世紀(jì)70年代的人口增長率, ,且19701970年人口為210210（百萬）， 年份年份 1970 1972 1974 年增長率（年增長率（%） 0.87 0.85 0.89 1976 1978 1980 0.91 0.95 1.10 試估計1980年的人口. 記時刻t t人口為x( (t t) )，則人口增長滿足微分方程 分析分析)()(txtrdtdx記19701970年為k=0 =0 求解求解tduurextx0)(0)(評注評注0)0(xx1980年該地區(qū)人口為230.2（百萬） 數(shù)值積分

6、梯形公式 計算程序 第5頁/共36頁clearx=76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;r(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3)/20/x(1);for i=2:9 r(i)=(x(i+1)-x(i-1)/20/x(i);endr(10)=(x(8)-4*x(9)+3*x(10)/20/x(10); r=100*r數(shù)值微分計算程序：people_model.m數(shù)值積分計算程序：people_model.m clear,x0=210;t=1970:2:1980;r=0.87 0.85 0.89 0.91 0.95 1.1

7、0;s=trapz(t,r);x1980=x0*exp(s/100)第6頁/共36頁 為算出瑞士的國土面積，首先對瑞士地圖作如下測量：以由西向東方向為x軸，由南到北方向為y軸，選擇方便的原點，并將從最西邊界點到最東邊界點在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥?，在每個分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的坐標(biāo)，得到數(shù)據(jù)（mm）見下頁. 習(xí)題：習(xí)題： 國土面積問題國土面積問題 根據(jù)地圖比例, ,18mm相當(dāng)于40km，試由測量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的近似面積，與它的精確值41288km比較. 計算程序（數(shù)據(jù)見下頁, ,省略）clear,x=7.0 158;y1=44 68;y2=44 68;s=trapz(x,

8、y2)-trapz(x,y1);s=s*402/182, error=s-41288第7頁/共36頁7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48 56 61 68.5 76.5 80.5 9144 45 47 50 50 3 8 30 30 34 36 34 41 45 4644 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 11896 101 104 106.5 111.5 118 123.5 136.5 142 146 150 157 158 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 681

9、21 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68x1y2yx1y2y第8頁/共36頁2 2 線性代數(shù)相關(guān)模型線性代數(shù)相關(guān)模型背景背景2.1 2.1 投入產(chǎn)出綜合平衡分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間存在著相互依存的關(guān)系. .投入產(chǎn)出綜合平衡模型: :根據(jù)各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平，以滿足社會的需求. .設(shè)國民經(jīng)濟(jì)僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)三個部門構(gòu)成，已知某年它們之間的投入產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表（產(chǎn)值單位為億元） 簡化簡化問題問題每個部門在運轉(zhuǎn)中將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）. .第

10、9頁/共36頁 產(chǎn)出產(chǎn)出 投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)外部外部需求需求總產(chǎn)出總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)農(nóng)造業(yè)制造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)2060/70150外部外部 需求需求3511075總投入總投入100200150各部門關(guān)系表各部門關(guān)系表中間產(chǎn)出中間產(chǎn)出最終產(chǎn)出最終產(chǎn)出中間投入中間投入初始投入初始投入總投入總投入=總產(chǎn)出總產(chǎn)出第10頁/共36頁假定每個部門的產(chǎn)出與投入是成正比的，由上表能夠確定這三個部門的投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表 產(chǎn)出產(chǎn)出投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)0

11、.200.300說明說明表中數(shù)字稱為投入系數(shù)或消耗系數(shù) 假設(shè)系數(shù)是常數(shù)第11頁/共36頁 設(shè)有n個部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建 立求解各部門總產(chǎn)出的模型. . 如果今年對農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為5050，150150，100100億元，三個部門總產(chǎn)出？ 模型可行：對于任意給定的、非負(fù)的外部需求, ,都能得到非負(fù)的總產(chǎn)出. .為使模型可行, ,投入系數(shù)滿足？ 如果三個部門的外部需求分別增加1 1個單位，他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？ 分析分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析 若有n個部門，記一定時期內(nèi)第i個部門的總產(chǎn)出為xi，其中對第j個部門的投入為xij，滿足的外部需求為di，則第12頁

12、/共36頁nidxxinjiji, 2 , 1,1投入產(chǎn)出表每一行都滿足 記第j個部門的單位產(chǎn)出需要第i個部門的投入為aij ，在每個部門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下，有njixxajijij, 2 , 1,nidxaxinjjiji, 2 , 1,1記投入系數(shù)矩陣nnijaA)(產(chǎn)出向量 Tnxxx),(1需求向量 Tnddd),(1dAxxdxAI)(則 或 若I-A可逆，則 dAIx1)( 各部門總產(chǎn)出 第13頁/共36頁MATLAB程序 a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;

13、 d=50;150;100;d=50;150;100; b=eye(3)-a;b=eye(3)-a; x=bdx=bd , c=inv(b)c=inv(b) 三部門總產(chǎn)出:139.2801,267.6056,208.1377:139.2801,267.6056,208.1377億元 外部需求分別增加1 1個單位時，總產(chǎn)出分別增加C=1.3459 0.2504 0.3443C=1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167 0.4382 0.4304 1.2167 部門關(guān)聯(lián)系數(shù)

14、 當(dāng)對農(nóng)業(yè)的需求增加1 1個單位時, ,農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加1.34591.3459，0.56340.5634，0.43820.4382單位 1)(AIc 模型可行njaniij, 2 , 1, 11若初始投入非負(fù)第14頁/共36頁問題問題2.2 2.2 輸電網(wǎng)絡(luò)輸電網(wǎng)絡(luò)一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡化為電路 負(fù)載電阻 nRRR,21線路內(nèi)阻 nrrr,21電源電壓V TnIII),(1負(fù)載電流 列出各負(fù)載上電流的方程 設(shè) 討論情況 18, 6, 1,11VRrrrrRRRnnn=10,=10,求 nIII,21及總電流 0In2r1rnr2R1RnR2InI1IV2i1ininiii

15、,21第15頁/共36頁2r1rnr2R1RnR2InI1IV2i1ini分析分析根據(jù)電路中電流、電壓關(guān)系, ,列出 111122221111nnnnnnIRIRirIRIRirVIRi rnnnnniIiiIiiIiiI112321210)(0)()(11222211121111nnnnnnnIrRIRIrIrRIRVIrIrIrR消 niii,21和 求電流方程 第16頁/共36頁ERI 求電流方程 其中 nnnrRRrrrRRrrrrRR12222111111TTnVEIIII0 , 0 ,21MATLAB計算電流程序 r=1;R=6;v=18;n=10; b1=sparse(1,1,v

16、,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n);a2=diag(R*ones(1,n);a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+ tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3; I=ab;I0=sum(I) 第17頁/共36頁 k0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910105.99705.99706.00006.00002.00052.00052.00002.00001.33441.33441.33331.33330.89070.89070.88890.88890.59550.59550.59260.59260.39

17、950.39950.39510.39510.27020.27020.26340.26340.18580.18580.17560.17560.13240.13240.11710.11710.1010.1011 10.0780.0780 00.08670.08670.05200.0520k11111212131314141515161617171818191920200.03470.03470.02310.02310.01540.01540.01030.01030.00690.00690.00470.00470.00320.00320.00230.00230.0010.0018 80.00150.

18、0015)20()10(nInIkk)20( nIk說明說明從n=10=10到n=20=20，I0幾乎不變，I1- -I5變化也很小 Ik+1差不多是Ik的2/32/3倍如果n增加到50,100?50,100? 可以得到類似的結(jié)論 證明證明(1)(1)總電阻R0=3=3 (2)(2)總電流I0=6=6 (3)(3)Ik+1=(2/3)=(2/3)Ik 第18頁/共36頁 習(xí)題：種群的繁殖與穩(wěn)定收獲 種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變.種群因雌性個體的繁殖而改變，為方便起見以下種群數(shù)量均指其中的雌性. 種

19、群年齡記作 當(dāng)年年齡 的種群數(shù)量記作 ，繁殖率記作 （每個雌性個體一年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作 為一年的死亡率），收獲量記作 ，則來年年齡 的種群數(shù)量 應(yīng)為, 2 , 1nkkkxkbkkkdds,1(khkkx) 1, 2 , 1(,11111nkhxsxhxbxkkkknkkk第19頁/共36頁 （1）若 已知，給定收獲量 ，建立求各年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量 的模型（用矩陣、向量表示）。 （2）設(shè) 如要求 為500，400，200，100，100,求 。 （3）使 均為500，如何達(dá)到?kksb ,khkx, 6 . 0, 4 . 0, 3, 5, 0, 5324143521ssssbbbb

20、bn51 hh51 xx51 hh要求各個年齡種群數(shù)量每年維持不變，即) 1, 2 , 1(nkxxkk543215432143215432154321hhhhhxxxxxssssbbbbbxxxxx提示 hAxIxhIAx1)() 1, 2 , 1(,11111nkhxsxhxbxkkkknkkk第20頁/共36頁3 3 概率統(tǒng)計相關(guān)模型概率統(tǒng)計相關(guān)模型問題問題3.13.1合金強(qiáng)度與碳含量合金強(qiáng)度與碳含量合金的強(qiáng)度y( (kg/mmkg/mm2 2) )與其中的碳含量x( ( %)%)有比較密切的關(guān)系，從生產(chǎn)中收集一批數(shù)據(jù). .求擬合函數(shù)y(x) ，再用回歸分析進(jìn)行檢驗. .x0.10 0.

21、11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 y42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.542.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5描點作圖 分析分析0.10.120.140.160.180.20.220.24404550556065y與x：一次擬合 擬合模型擬合模型

22、: : y=ax+b 第21頁/共36頁MATLAB程序 x=0.1:0.01:0.23;x=0.1:0.01:0.23;x=x(1:9),x(11:12),x(14);x=x(1:9),x(11:12),x(14);y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;49,55,50,55,55.5,60.5;pp=pp=polyfitpolyfit(x,y,1);(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);yy=po

23、lyval(pp,xx);plot(x,y,rplot(x,y,r* *,xx,yy),xx,yy) 0.080.10.120.140.160.180.20.220.240.2635404550556065擬合 y=ax+ba=140.6194,b=27.0269 評注評注是否線性顯著 有無異常點預(yù)測 第22頁/共36頁MATLAB統(tǒng)計工具箱 多元線性回歸模型 b=regress(Y,X)b=regress(Y,X) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) Y,X為按列排列的數(shù)據(jù)

24、說明說明b,bintb,bint為回歸系數(shù)估計值及其置信區(qū)間 m10,alphaalpha為顯著性水平（缺省時設(shè)定為0.050.05）statsstats包括R2，F(xiàn)，概率p，誤差估計r,rintr,rint為殘差及置信區(qū)間，可用rcoplot(r,rint)rcoplot(r,rint)畫圖 合金強(qiáng)度與碳含量問題回歸模型 xy10)( ,110nmxxymm第23頁/共36頁 回歸模型與統(tǒng)計檢驗 MATLAB程序 clear,x1=0.1:0.01:0.18;clear,x1=0.1:0.01:0.18;x=x1 0.2 0.21 0.23;y=42 41.5 45 45.5 45 47.5

25、 49 55 50 55 55.5 60.5;x=ones(12,1) x;x=ones(12,1) x;b,bint,r,rint,stats=b,bint,r,rint,stats=regressregress(y,x);(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)b,bint,stats,rcoplot(r,rint) b= 27.0269 140.6194b= 27.0269 140.6194bint=22.3226 31.7313bint=22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 111.7842 169.4546stats=0.92

26、19 118.0670 0.0000 3.1095stats=0.9219 118.0670 0.0000 3.1095 6194.140,0269.2710 y=27.0269+140.6194x線性顯著模型成立 第24頁/共36頁 有無異常點畫殘差分布圖24681012-6-4-20246Residual Case Order PlotResidualsCase Number除第8個數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點第8個點應(yīng)視為異常點，剔除后重新計算，可得 b= 26.8968 139.9043 bint=24.1330 29.6606 122.7939 157.0148stats=0.

27、9744 342.1259 0.0000 評注評注 預(yù)測 clear,x1=0.1:0.01:0.18;clear,x1=0.1:0.01:0.18;x=x1 0.2 0.21 0.23;y=42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5;x(8)=;y(8)=x(8)=;y(8)=; ;x=ones(11,1) x;x=ones(11,1) x;b,bint,r,rint,stats=b,bint,r,rint,stats=regressregress(y,x);(y,x);b,bint,stats,b,bint,stats,rcoplot(r,r

28、int)rcoplot(r,rint) 第25頁/共36頁問題問題3.2 3.2 年齡與運動能力年齡與運動能力 將1717至2929歲的運動員每兩歲一組分為7 7組，求年齡對這種運動能力的影響關(guān)系. .多項式回歸 年齡年齡 17 19 21 23 25 27 2917 19 21 23 25 27 29第一人第一人 20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3520.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35第二人第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.324.35 28.11 26.3 31.4

29、 26.92 25.7 21.3分析分析MATLAB散點圖程序 每組兩人測量其旋轉(zhuǎn)定向能力. .第26頁/共36頁clear,x=17:2:29;clear,x=17:2:29;y1=20.48,25.13,26.15,30.0,y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;26.1,20.3,19.35;y2=24.35,28.11,26.3,31.4,y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;26.92,25.7,21.3;plotplot(x,y1,+,x,y2,+)(x,y1,+,x,y2,+)axis(15

30、 30 15 35)axis(15 30 15 35) 152025301520253035擬合曲線: :二次多項式可利用polyfit polyfit 第27頁/共36頁一元多項式回歸年齡與運動能力的二次模型二次模型 3221axaxayMATLAB程序 x1=17:2:29;x=x1,x1;x1=17:2:29;x=x1,x1;y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;24.35 28.11 2

31、6.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,s=p,s=polyfitpolyfit(x,y,2); p(x,y,2); p p=-0.2003 8.9782 -72.2150 p=-0.2003 8.9782 -72.2150 a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150 a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150 S S是一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu). . Y,delta=polyconf(p,x,s);Y Y,delta=polyconf(p,x,s);Y y的擬合值求解求解Y=22.5243 26.0582 27.9896 Y=22.5243 26.

32、0582 27.9896 第28頁/共36頁統(tǒng)計檢驗y1=mean(y); rsquare=sum(Y-y1).2)./sum(y-y1).2) s=sqrt(sum(y-Y).2)./12)r s q u a r e = 0 . 6 9 8 0 s=2.0831 衡量擬合優(yōu)劣的指標(biāo) x=17:2:29;y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;plot(x,y1,+,x,y2,*),hold onx=x x;y=y1 y2;p=polyfit(x,y,2); xx=17

33、:0.2:29;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy),hold off1618202224262830161820222426283032交互界面: : polytoolpolytool(x,y,2)(x,y,2) x與y的擬合效果第29頁/共36頁問題問題3.3 3.3 商品銷售量與價商品銷售量與價格格 某廠生產(chǎn)電器的銷售量y與競爭對手的價格x1 1和本廠的價格x2 2有關(guān). .在1010個城市的銷售記錄 建立y與x1 1和x2 2的關(guān)系式. . x1 1元元120 140 190 130 155 175 125 145 180 150120 140 190 130 15

34、5 175 125 145 180 150 x2 2元元100 110 90 150 210 150 250 270 300 250100 110 90 150 210 150 250 270 300 250y個個102 100 120 77 46 93 26 69 65 85102 100 120 77 46 93 26 69 65 85分析分析 對模型和系數(shù)進(jìn)行檢驗. . 若本廠售價160160元，對手售價170170元，預(yù)測銷售量. . 畫散點圖 多元回歸 第30頁/共36頁1001502002030405060708090100110120130(x1,y)01002003002030

35、405060708090100110120130(x2,y)y與x2 2有較明顯的線性關(guān)系，而y與x1 1之間的關(guān)系則難以確定，作幾種嘗試，用統(tǒng)計分析決定優(yōu)劣. . 第31頁/共36頁設(shè)回歸模型22110 xxyMATLAB程序 clear,x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150; x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85; x=ones(10,1) x1 x2;b,bint,r,rint,stats=b,bint,r,rint,stats=regressregress(y,x) (y,x) b=66.5176 0.4139 0.2698 bint=-32.5060 1