趣味組合數(shù)學(xué)和幾何

1、第三講 趣味組合數(shù)學(xué)和幾何選修課：趣味數(shù)學(xué)1）找次品2）抽屜原理3）斐波那契數(shù)列4）黃金分割5）經(jīng)濟(jì)包裝6）哥德堡七橋問題1)稱次球 27只球中有一只次品，這只次品外觀上與正品毫無差別，只是略重一些，現(xiàn)有一架天平，要把次球找出來，至少需要稱幾次？2）檢查次鋼珠 某店進(jìn)了十箱鋼珠，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，每顆10克。但后來知道，其中一箱為次品。次鋼珠的外觀與正品毫無差別，只是每顆少了1克。問怎樣才能迅速簡便把這箱珍珠找出來？ 齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。公孫接和古冶子。 這三名勇士都力大無比，武功超群，為這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過

2、不少功勞。但他們也剛愎自用，齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計：以齊景公勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃子，讓他們自己的名義賞賜三名勇士兩個桃子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。評功，按功勞的大小吃桃。 二桃殺三士二桃殺三士 晏子采用借晏子采用借“桃桃”殺人的辦法，不費(fèi)殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝有人在一首詩中曾不無善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道：諷刺地寫

3、道：“一朝被讒言，二桃殺三一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國務(wù)晏子！士。誰能為此謀，相國務(wù)晏子！” 在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個重要的在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個重要的數(shù)學(xué)原理數(shù)學(xué)原理抽屜原理抽屜原理。 把m個物體放到n個抽屜中(mn)，那么至少有一個抽屜里有不止一個這種物體。形式一：形式一： 設(shè)把設(shè)把n n1 1個元素分為個元素分為n n個集合個集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個集合里相應(yīng)個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，證明至少存在某個的元素個數(shù)，證明至少存在某個a ai i大于或等于大于或等于2.2.形式二：形式二

4、： 設(shè)把設(shè)把n nm m1 1個元素分為個元素分為n n個集個集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示這表示這n n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，證明至少存在某個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，證明至少存在某個個a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。 把把135塊餅干分給塊餅干分給16個小朋友，如果每個小朋友，如果每個小朋友至少要分到個小朋友至少要分到1塊餅干，那么不管怎塊餅干，那么不管怎樣分，一定會有樣分，一定會有2個小朋友得到的餅干數(shù)目個小朋友得到的餅干數(shù)目相同。為什么？相同。為什么？ 1）分餅干）分餅干 某班共有學(xué)生某班共有學(xué)生42人，從

5、學(xué)校圖書室借來人，從學(xué)校圖書室借來212本書，是否有人能至少借到本書，是否有人能至少借到6本或本或6本以本以上的圖書？上的圖書？ 2）借書）借書 某校派出學(xué)生某校派出學(xué)生204204人上山植樹人上山植樹1530115301株，其株，其中最少一人植樹中最少一人植樹5050株，最多一人植樹株，最多一人植樹100100株，株，則至少有則至少有5 5人植樹的株數(shù)相同人植樹的株數(shù)相同. . 假設(shè)無人或人以上植樹的株數(shù)相同，假設(shè)無人或人以上植樹的株數(shù)相同，那只有人以下植樹的株數(shù)相同，而參加植那只有人以下植樹的株數(shù)相同，而參加植樹的人數(shù)為樹的人數(shù)為204人，所以，最多有人，所以，最多有4人植樹相人植樹相同，

6、故植樹的總株數(shù)最多有：同，故植樹的總株數(shù)最多有：4(504(5051519999100)=1530015301,100)=15300 ， 故操作14次就可以錄制一盤可以播放一小時的廣告節(jié)目。黃金分割的應(yīng)用什么是黃金分割？什么是黃金分割？ 黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割。 黃金分割是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為10.618或1.6181。 什么是黃金分割？什么是黃金分割？ 形成任何穩(wěn)定的粒子總要遵循自然界最佳黃金分割原理。 該原理有一個經(jīng)典的方程式： （1+

7、X）（1-X）X 從中解出最佳分割解X0.618，1-X=0.382。 其中0.382是最基本的分割，不能再少了。 這就是黃金分割原理的實質(zhì)這就是黃金分割原理的實質(zhì)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的 日常生活中的應(yīng)用 黃金矩形(Golden Rectangle)的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊 1.618倍 。我們的國旗就是黃金矩形。日常生活中的應(yīng)用 根據(jù)廣泛調(diào)查，所有讓人感到賞心悅目的矩形，包括電視屏幕、寫字臺面、書籍、門窗、火柴盒、標(biāo)準(zhǔn)紙張等，其短邊與長邊之比大多為0.618。建筑中的應(yīng)用 世界上最有名的建筑中幾乎都包含“黃金分割比”

8、。建筑中的應(yīng)用 無論是古埃及的金字塔、古希臘的帕特農(nóng)神殿、印度泰姬陵、中國故宮、法國巴黎圣母院這些著名的固態(tài)建筑還是遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風(fēng)格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計方面都有意無意的運(yùn)用了黃金分割法則，給人以整體上的和諧與悅目之美。自然中的應(yīng)用 就連植物界也采用黃金分割，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5這是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。 很多葉子的主葉脈與整個葉子長度之比約為0.618。自然中的應(yīng)用 動物界，形體優(yōu)美的動物形體，如馬、騾、獅、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身體的長與寬的比例也大體上接近黃金分割。蝴蝶身長與雙翅展開后的長度紙幣

9、也接近0.618。自然中的應(yīng)用人體中的應(yīng)用 人們發(fā)現(xiàn)，在人體中包含著多種“黃金分割”的比例因素，至少可以找出18個“黃金點”、15個“黃金矩形”、6個“黃金指數(shù)”、3個“黃金三角”。人體中的應(yīng)用 人的肚臍位于身長的0.618處 咽喉位于肚臍與頭頂長度的0.618處 膝關(guān)節(jié)位于肚臍與足底長度的0.618 肘關(guān)節(jié)位于肩關(guān)節(jié)與指頭長度的 0.618處生命中的應(yīng)用 在人的生命程序DNA分子中，也包含著“黃金分割比”。它的每個雙螺旋構(gòu)中都是由長34個埃與寬21個埃之比組成的它們的比率為1.6190476，非常接近黃金分割的1.618。藝術(shù)中的應(yīng)用 著名油畫蒙娜麗莎中蒙娜麗莎的頭和肩在整幅畫面中完美的體現(xiàn)

10、了黃金分割，使得整幅油畫看起來那么和諧和完美。藝術(shù)中的應(yīng)用 另一些著名油畫中也都存在著完美的“黃金矩形”、“黃金三角”、“黃金五角星”，使畫面看起來和諧。藝術(shù)中的應(yīng)用 音樂家發(fā)現(xiàn)，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618 1時，奏出來的音調(diào)最和諧、最悅耳。 小說、戲劇的高潮在整個作品的0.618處較好。武器中的應(yīng)用 當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學(xué)合理，很不方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了1918年，一個名叫阿爾文約克的美遠(yuǎn)征軍下士，對這種步槍進(jìn)行了改造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。 1 1）經(jīng)濟(jì)包裝）經(jīng)濟(jì)包裝1 12 2）經(jīng)濟(jì)包裝）經(jīng)濟(jì)包

11、裝2 21 1）蜘蛛抓蒼蠅）蜘蛛抓蒼蠅2 2）螞蟻找路徑）螞蟻找路徑 有一個鐵絲做成的長方體框架的長、寬、高分別為5厘米，3厘米，4厘米，如下圖所示。一只螞蟻從某個頂點出發(fā)地沿棱爬行，線路不能重復(fù)，它能爬行的最長距離為多少厘米？54+44+3=39厘米哥德堡七橋問題哥德堡七橋問題 在歐洲的普魯士哥尼斯堡鎮(zhèn)上有一個小島，普里格爾河蜿蜒其間，河岸與島嶼間有七座橋相連，在18世紀(jì)，有人提出：能否不重復(fù)地一次接連通過每座橋？歐拉：歐拉：“一筆畫圖一筆畫圖”的規(guī)的規(guī)律律規(guī)律規(guī)律1：凡能一筆畫的圖形必須是一個連通圖；凡能一筆畫的圖形必須是一個連通圖；規(guī)律規(guī)律2：凡能一筆畫的圖形，與偶點個數(shù)無關(guān)，凡能一筆畫

12、的圖形，與偶點個數(shù)無關(guān)， 與奇點個數(shù)有關(guān)，其個數(shù)是與奇點個數(shù)有關(guān)，其個數(shù)是0或或2.讓我們先來了解兩個新概念讓我們先來了解兩個新概念1、奇點：有奇數(shù)條邊相連的點、奇點：有奇數(shù)條邊相連的點2、偶點：有偶數(shù)條邊相連的點、偶點：有偶數(shù)條邊相連的點怎樣走才能不重復(fù)不遺漏地逛完整個超市？怎樣走才能不重復(fù)不遺漏地逛完整個超市？家電區(qū)家電區(qū)蔬菜區(qū)蔬菜區(qū)水果區(qū)水果區(qū)零食區(qū)零食區(qū)日常用品區(qū)日常用品區(qū)服服裝裝區(qū)區(qū)文文具具區(qū)區(qū) 下面是一公園的平面圖，要使游客走下面是一公園的平面圖，要使游客走遍每一條路，且不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)在遍每一條路，且不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)在哪里？哪里？2）公園出入口）公園出入口 甲乙兩個郵遞員去送信，兩人同時出發(fā)甲乙兩個郵遞員去送信，兩人同時出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道，甲從以同樣的速度走遍所有的街道，甲從A點出點出發(fā)，乙從發(fā)，乙從B點出發(fā)，最后都回到郵局點出發(fā)，最后都回到郵局(C點點)。如果要選擇最短的線路，誰先回到郵局？如果要選擇最短的線路，