微積分學(xué)廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e學(xué)習(xí)教案

1、微積分微積分(jfn)學(xué)廣義積分學(xué)廣義積分(jfn)斂散性判斂散性判別別第一頁，共60頁。 類似地可定義： . )( d)(limd)( ) 1 ( bBxxfxxfbBBb d)(d)(d)( )2(ccxxfxxfxxf . d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf. d)( d)( d)( 收斂則稱同時(shí)收斂，與若xxfxxfxxfcc . d)( , d)( d)( 發(fā)散則至少有一個(gè)發(fā)散與若xxfxxfxxfcc d)( 的可加性，而言，由定積分對區(qū)間對xxf . 0 . cc為方便起見，通常取值無關(guān)與顯然其收斂性第1頁/共60頁第二頁，共60頁。例1解 . d 0 2xexx

2、計(jì)算AxAxxexxex 0 0 d limd 22 2xu 令2 0 d21limAuAue20 )(21limAuAe) 2121 (lim2AAe . 21能否將這里的書寫方式簡化？第2頁/共60頁第三頁，共60頁。 )( )( 的一個(gè)原函數(shù)，則約定是為書寫方便起見，若xfxF . )()(lim )(d)(0 aFxFxFxxfxa . )(lim)( )(d)( xFbFxFxxfxbb . )(lim)(lim )(d)( xFxFxFxxfxx這樣就將無窮(wqing)積分的計(jì)算與定積分的計(jì)算聯(lián)系起來了. 第3頁/共60頁第四頁，共60頁。例5解 )0( d 的斂散性，積分討論a

3、xxPap . 為任意常數(shù)其中P : 1 時(shí)當(dāng)P |lnd aaxxxaxxln |lnlim , . 1 積分發(fā)散時(shí)，故Pp : 1 時(shí)當(dāng)Papapxxx 1d1 . 1 , 1 , 1 , 1 ppapp 發(fā)散 收斂第4頁/共60頁第五頁，共60頁。綜上所述， . 1 1 時(shí)發(fā)散時(shí)收斂；當(dāng)積分當(dāng)ppP )0( d axxPap積分第5頁/共60頁第六頁，共60頁。2. 無窮積分的基本運(yùn)算(yn sun)性質(zhì) 均存在，則設(shè)以下所有出現(xiàn)的積分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfccaa . d)( d)( d)()( )3( aaaxxgxxfxxgxf . d)()( )

4、()(d)()( )4( aaaxxvxuxvxuxxvxu . )5(分的換元法進(jìn)行計(jì)算無窮積分也可按照定積 . d)(d)( ) 1 ( aaxxfxxf . d)(d)( , )()( ) , )6( aaxxgxxfxgxfa則上若在其它類型的無窮積分的情形類似于此. 第6頁/共60頁第七頁，共60頁。3. 無窮積分(jfn)斂散性的判別法 : , 定義式寫成下面的形式我們可以將無窮積分的實(shí)際上 ; d)(limd)( xaxattfxxf . d)(limd)( bxxbttfxxf . 函數(shù)來進(jìn)行有關(guān)的討論這樣可以利用積分上限第7頁/共60頁第八頁，共60頁。定理 . 0)( ,

5、) ) , ()( xfaCxf且設(shè)函數(shù) ) , d)()( attfxFxa在若積分上限函數(shù) . d)( , 收斂則無窮積分上有上界axxf第8頁/共60頁第九頁，共60頁。證 , , 0)( , ) ) , ()( 所以且因?yàn)閤faCxf . ) , )( 上單調(diào)增加在積分上限函數(shù)axF , ) , )( 從而上有上界在又已知函數(shù)axF d)()( xattfxF . ) , 由極限存在準(zhǔn)則上單調(diào)增加且有上界在a . d)(lim)(lim x存在可知極限xaxttfxF . d)( 收斂即無窮積分axxf第9頁/共60頁第十頁，共60頁。定理（ 比較(bjio)判別法 ）, , , )

6、, )( , )( aARAaxgxf上有界在設(shè)函數(shù) 0)()(，xfxg . d)( d)( ) 1 ( 也收斂收斂時(shí)，積分當(dāng)則aaxxfxxg . d)( d)( )2( 也發(fā)散發(fā)散時(shí)，積分當(dāng)aaxxgxxf , ) , ()( ),(且滿足AaRxgxf第10頁/共60頁第十一頁，共60頁。證 )()(0 , 得時(shí)由xgxfxa d)( ) 1 ( ，則下列極限存在收斂若積分axxg , d)(d)(0 xaxattgttf , 積分上限函數(shù)從而 . ) , d)( )( 上有上界在attgxGxa , ) , d)()( 上有上界在attfxFxa . d)( 收斂故積分axxf .

7、d)(lim Ittfxax , 故可知限過程中必有界由于有極限的量在該極第11頁/共60頁第十二頁，共60頁。 . )2(運(yùn)用反證法 , d)( , d)( 收斂積分發(fā)散時(shí)如果aaxxgxxf . d)( : ) 1 ( 收斂立即可得出矛盾則由axxf . . , 之一積分是重要的比較標(biāo)準(zhǔn)斂散性的重要方法窮積分比較判別法也是判別無與級數(shù)的情形類似P第12頁/共60頁第十三頁，共60頁。定理（比較判別(pnbi)法的極限形式法） , ) , , ) , )( , )( aAaxgxf上的非負(fù)函數(shù)為定義在設(shè) . ) A , ()( , )(aRxgxf d)( d)( , 0 ) 1 ( 同時(shí)與

8、無窮積分時(shí)當(dāng)aaxxgxxf . , 或同時(shí)發(fā)散收斂 , , )( )(lim 那么若有極限xxfx . d)( , d)( , 0 )2( 收斂則收斂無窮積分時(shí)當(dāng)aaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 發(fā)散則發(fā)散無窮積分時(shí)當(dāng)aaxxfxxg第13頁/共60頁第十四頁，共60頁。定理（柯西極限(jxin)判別法） 積分綜合而成由比較判別法與P . 0)( , )0( ) ) , ()( xfaaCxf且設(shè) , )(lim , 1 則存在使得若存在常數(shù)xfxppx ; d)( 收斂無窮積分axxf則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx . d)( 發(fā)散無窮積分a

9、xxf第14頁/共60頁第十五頁，共60頁。證 : , )(lim , 1 則由極限的定義存在時(shí)設(shè)bxfxppx , , 11有時(shí)當(dāng)xxax , 1 |)(|bxfxp , 1)(0 Mbxfxp故 ).( )(0 1xxxMxfp即有 , d 1 1故收斂積分的由于xpxxMPp . d)( 1收斂無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11收斂可知由axxaaxxfxxfxxfxxf第15頁/共60頁第十六頁，共60頁。則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx , 2 |)(| , , 11故有時(shí)當(dāng)IIxfxxxax , 2 )(1MIxfx ) . , )(l

10、im (Ixfxx可取任意正數(shù)作為時(shí) ).( )( 11xxxMxf即有 , d 1 11故發(fā)散積分的由于xxxMPp . d)( 1發(fā)散無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11發(fā)散可知由axxaaxxfxxfxxfxxf第16頁/共60頁第十七頁，共60頁。例10解 . d arctan 1 的斂散性判別無窮積分xxx 因?yàn)?, 2arctanlimarctanlimxxxxxx . d arctan 1 是發(fā)散的故無窮積分xxx第17頁/共60頁第十八頁，共60頁。例11解 1 23 . 1d 的斂散性判別無窮積分xxx 因?yàn)?, 1lim1lim2223xxxxxxxx .

11、 1 d 1 23是發(fā)散的故無窮積分 xxx第18頁/共60頁第十九頁，共60頁。例12解 1 2 . 1 d 的斂散性判別無窮積分xxx 因?yàn)? 12 ( , 11 lim1 1lim222pxxxxxxx . 1 d 1 2收斂故無窮積分 xxx第19頁/共60頁第二十頁，共60頁。定理阿貝爾判別阿貝爾判別(pnbi)法法 . ) , )( , )( 上有定義在設(shè)axgxf ) , )( , d)( 上在函數(shù)收斂若積分axgxxfa . d)()( , , 收斂則積分有界單調(diào)axxgxf狄利克雷判別狄利克雷判別(pnbi)法法: . ) , )( , )( 上有定義在設(shè)axgxf，存在有界

12、的原函數(shù)上若在 d)( )( )( ) , xattfxFxfa . d)()( , 0)(lim )( x收斂則積分單調(diào)減少且axxgxfxgxg第20頁/共60頁第二十一頁，共60頁。例13解 d)( 時(shí)，收斂，則當(dāng)如果積分xxxfa 0)( 嗎？一定有xf . 不一定 . dsin 1 2xxI例如，考慮積分, 2dd , ttxtx則令 1 1 2 dsin21dsintttxxI，且顯然， 0 1lim)(lim , 1)() 1,ttgttgtt . )t(1 , 2 |cos1cos| | cos| |dsin| | )(| 1 1 tuuutFtt . sinlim 2不存在原

13、積分收斂，但由狄利克雷判別法可知xx第21頁/共60頁第二十二頁，共60頁。4. 無窮積分(jfn)的絕對收斂性 , d | )(| 則稱無窮積分收斂若積分axxf . d)( 為絕對收斂的axxf . d)( , 為條件收斂的則稱積分收斂axxf d)( , d | )(| aaxxfxxf而積分發(fā)散若積分 . ) , )( , d)( 上絕對可積在也稱為絕對收斂時(shí)axfxxfa第22頁/共60頁第二十三頁，共60頁。定理 , d | )(| , ) ) , ()( 收斂若設(shè)函數(shù)axxfaCxf . d)( 必收斂則axxf . 定收斂絕對收斂的無窮積分一第23頁/共60頁第二十四頁，共60

14、頁。證 由于 , | )(| 2 | )(| )(0 xfxfxf , d| )(| 故無窮積分收斂又axxf . d) | )(|)( ( 收斂axxfxf , , | )(| ) | )(| )()( 從而但xfxfxfxf, d | )(|d) | )(| )(d)( aaaxxfxxfxfxxf . d)( 收斂故無窮積分axxf第24頁/共60頁第二十五頁，共60頁。定理（柯西判別(pnbi)法） , | )(|lim , ) , )( 則且上有定義在設(shè)Ixfxaxfpx . d | )(| , 0 1 ) 1 ( 收斂積分時(shí)且當(dāng)axxfIp . d | )(| , 0 1 )2(

15、發(fā)散積分時(shí)且當(dāng)axxfIp該定理的證明請讀者自己完成.第25頁/共60頁第二十六頁，共60頁。例14解 . dsin 0 的斂散性判別無窮積分xxbexa) . 0 , , , (aba且為常數(shù)其中 , |sin| 0 且因?yàn)閤axaexbe , 11d0 0 aeaxexaxa , d 故無窮積分收斂即無窮積分axaxe . d |sin| 0 收斂xxbexa . ) ( dsin , 0 當(dāng)然收斂絕對收斂無窮積分從而xxbexa第26頁/共60頁第二十七頁，共60頁。二、瑕積分(jfn)1. 瑕積分(jfn)的概念無界函數(shù)(hnsh)的廣義積分(1) 瑕點(diǎn)的概念為內(nèi)無界，則稱點(diǎn)在，若函數(shù)

16、 ),(U )( 0 00 xxxf . )( 的一個(gè)瑕點(diǎn)函數(shù)xf 1)( 的一個(gè)瑕點(diǎn)；是例如：axxfax . )1ln()( 1 2的瑕點(diǎn)是xxgx . 1)( 22的瑕點(diǎn)是axxhax第27頁/共60頁第二十八頁，共60頁。(2) 瑕積分(jfn)的概念 . , ,( )( 為其瑕點(diǎn)上有定義在設(shè)axbaxf , ) , ()( , 0 記若baRxf , d)(limd)( 0 babaxxfxxf . , )( 上的瑕積分在稱之為函數(shù)baxf , , 極限值即則稱該瑕積分收斂若式中極限存在 . , ; 則稱該瑕積分發(fā)散若式中極限不存在為瑕積分值第28頁/共60頁第二十九頁，共60頁。

17、. d)(limd)( 0 babaxxfxxf類似(li s)地，可定義, ) 1 (為瑕點(diǎn)時(shí)當(dāng)bx , )( )2(為瑕點(diǎn)時(shí)當(dāng)bcacxbccabaxxfxxfxxf d)(d)( d)( , )(limd)(lim0 0 b ccadxxfxxf . d)( , d)( d)( 才收斂同時(shí)收斂時(shí)與僅當(dāng)babccaxxfxxfxxf . d)( , d)( d)( 發(fā)散至少有一個(gè)發(fā)散時(shí)與babccaxxfxxfxxf第29頁/共60頁第三十頁，共60頁。與無窮積分的情形(qng xing)類似，瑕積分也有下列運(yùn)算形式： . ) ( , )(lim)( )(d)( 為瑕點(diǎn)axxFbFxFxx

18、faxbaba . ) ( , )()(lim )(d)( 為瑕點(diǎn)bxaFxFxFxxfbxbaba這樣就將瑕積分的計(jì)算(j sun)與定積分的計(jì)算(j sun)聯(lián)系起來了. 第30頁/共60頁第三十一頁，共60頁。2. 瑕積分(jfn)基本運(yùn)算性質(zhì) , 敘述為唯一瑕點(diǎn)的情形進(jìn)行以下均以積分下限ax . 形仍成立其結(jié)論對其它瑕點(diǎn)的情 均存在，則設(shè)以下所有出現(xiàn)的積分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfbccaba . d)( d)( d)()( )3( bababaxxgxxfxxgxf . d)()( )()(d)()( )4( bababaxxvxuxvxuxxvxu .

19、 )5(的換元法進(jìn)行計(jì)算瑕積分也可按照定積分 . d)(d)( ) 1 ( abbaxxfxxf . d)(d)( , )()( ,( )6( babaxxgxxfxgxfba則上若在第31頁/共60頁第三十二頁，共60頁。例19解) ( . )( d )( 為任意常數(shù)的斂散性瑕積分討論paxxPbap . , , 0 ) 1 (故是收斂的積分為通常的定積分時(shí)當(dāng)Pp , , , 0 )2(此時(shí)為瑕點(diǎn)時(shí)當(dāng)axp . , |ln d , 1 積分發(fā)散則若Paxaxxpbaba , 1 則若p . 1 , 10 1)( )(11 )( d 1 1 發(fā)收pppabaxpaxxpbapbap第32頁/共

20、60頁第三十三頁，共60頁。綜上所述，得 ; )(d )( , 1 收斂瑕積分時(shí)當(dāng)bapaxxPp ; )(d )( , 1 發(fā)散瑕積分時(shí)當(dāng)bapaxxPp第33頁/共60頁第三十四頁，共60頁。定理（瑕積分(jfn)的比較判別法） , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕點(diǎn)與為設(shè)xgxfaxbaCxgxf . ) ,( , )()(0 baxxgxf且滿足 ; d)( , d)( 收斂則收斂若積分babaxxfxxg . d)( , d)( 發(fā)散則發(fā)散若積分babaxxgxxf第34頁/共60頁第三十五頁，共60頁。定理（比較判別(pnbi)法的極限形式法） d)( d)( ,

21、 0 ) 1 ( 同時(shí)與無窮積分時(shí)當(dāng)babaxxgxxf . , 或同時(shí)發(fā)散收斂 , , )( )(lim 那么若有極限xxfax . d)( , d)( , 0 )2( 收斂則收斂無窮積分時(shí)當(dāng)babaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 發(fā)散則發(fā)散無窮積分時(shí)當(dāng)babaxxfxxg . ) ,( , )()(0 baxxgxf且滿足 , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕點(diǎn)與為設(shè)xgxfaxbaCxgxf第35頁/共60頁第三十六頁，共60頁。定理（瑕積分的柯西極限(jxin)判別法） 積分綜合而成由比較判別法與P . , 0)( , ) ,( ()( 為其唯一的瑕

22、點(diǎn)且設(shè)axxfbaCxf , )()(lim , 10 則存在使得若存在常數(shù)xfaxppax ; d)( 收斂瑕積分axxf . d)( , )()(lim 發(fā)散則瑕積分apaxxxfxfax , 0)()(lim , 1 或者使得若存在常數(shù)Ixfaxppax第36頁/共60頁第三十七頁，共60頁。例19解 . sin d 1 0 的斂散性判別積分xx . 0 , sin1lim 0為瑕點(diǎn)故點(diǎn)因?yàn)閤xx , 1sinlim sin 1lim 0210 xxxxxx又 , 01 1, 21 ,的情形即柯西判別法中Ip . sind 1 0 收斂故由柯西判別法知xx第37頁/共60頁第三十八頁，共

23、60頁。例20解 . ln d 10 1 的斂散性判別積分xx . 1 , , ln1lim 1是瑕點(diǎn)所以因?yàn)閤xx , 1 1 1limln1) 1(lim 11xxxxx又羅 , 01 , 1 ,的情形即柯西判別法中Ip . lnd 10 1 發(fā)散故由柯西判別法知積分xx第38頁/共60頁第三十九頁，共60頁。例21解 . d1sin 1 0 2的斂散性判別積分xxx , 1 1sin 02xxx , 11lim , 1lim 2100 xxxxx又 . 0 ,因?yàn)闉殍c(diǎn)這是瑕積分x . ) 21 ( d 1 0 pxx收斂故瑕積分 . d1sin , 1 0 2收斂原積分從而xxx柯西判

24、別法比較判別法第39頁/共60頁第四十頁，共60頁。例22解 . , , d)1 ( 1 0 11為正常數(shù)其中的斂散性判別xxx . , 1 , 1 該積分是通常的定積分時(shí)當(dāng) . 1 , 0 , 1 ,0 是被積函數(shù)的兩個(gè)瑕點(diǎn)時(shí)當(dāng)xx . d)1 ( d)1 ( d)1 (1 21 1121 0 111 0 11xxxxxxxxx故令 : 1)1 (lim 1110及柯西判別法可知由xxxx . d)1 ( 21 0 11收斂xxx : 1)1 ()1 (lim 1111及柯西判別法可知由xxxx . d)1 ( 1 21 11收斂xxx . d)1 ( , 1 0 11收斂積分綜上所述xxx

25、 11p 11p第40頁/共60頁第四十一頁，共60頁。三、廣義(gungy)積分的柯西主值 ) 1 (無窮積分的柯西主值 按無窮積分的定義： d)(d)(d)(ccxxfxxfxxf . d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf的變化與即過程是相互獨(dú)立的等號右邊的兩項(xiàng)的極限 , BA . 不要求一致 , 變化一致的情與經(jīng)常遇到要求在數(shù)學(xué)物理問題中BA . , 的特殊情形即需要考慮形AB第41頁/共60頁第四十二頁，共60頁。 . ) ,( )( 上有定義在設(shè)函數(shù)xf . ) , ()( , 0 , 記AARxfARA , d)(limd)( . AAAxxfxxfPV . ) ,(

26、 )( 值上的無窮積分的柯西主在稱之為xf 值意義下稱此無窮積分在柯西主若式中的極限存在，則 . 散分在柯西主值意義下發(fā)不存在，則稱該無窮積 ; , 若式中極限義下的無窮積分值極限值即為柯西主值意收斂無窮積分的柯西主值第42頁/共60頁第四十三頁，共60頁。例23解 dsin 的斂散性討論無窮積分xx . 散性和柯西主值意義下的斂 , coslim1 cosdsin 0 0 xxxxx因?yàn)?. dsin , coslim 0 發(fā)散故積分不存在而xxxx . dsin , 發(fā)散無窮積分從而xx , 0dsinlimdsin . AAAxxxxPV又奇函數(shù) . dsin 在柯西主值意義下收斂故無窮

27、積分xx由此例想到一點(diǎn)什么沒有?第43頁/共60頁第四十四頁，共60頁。 :該例說明 . , 它本身不一定收斂義下收斂時(shí)無窮積分在柯西主值意 : d)( . d)( 的定義可知與由xxfPVxxf . d)( . , d)( 必收斂則收斂若xxfPVxxf第44頁/共60頁第四十五頁，共60頁。 . )( , , )( 為其瑕點(diǎn)上有定義在設(shè)函數(shù)bcacxbaxf 記 , d)(d)( limd)( . 0 bccabaxxfxxfxxfPV . ) ( , )( 的柯西主值瑕點(diǎn)為上的瑕積分在稱之為cbaxf . ,值意義下收斂則稱此瑕積分在柯西主若式中的極限存在 . 值意義下發(fā)散則稱該瑕積分在

28、柯西主 , ; 若式中極限不存在義下的瑕積分值極限值即為柯西主值意 )2(瑕積分的柯西主值第45頁/共60頁第四十六頁，共60頁。例24解 d 2 1 的斂散性討論積分xx . 散性和柯西主值意義下的斂 . 0 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)x , lnlim2ln lnd 02 0 2 0 xxxxx因?yàn)?. d , 2 1 是發(fā)散的瑕積分所以xx d d limd . 2 1 02 1 xxxxxxPV而00 . ln2 |ln |ln lim2 1 0 xx . d . 21 收斂故積分xxPV第46頁/共60頁第四十七頁，共60頁。 . 1函數(shù) :積分的斂散性首先研究一個(gè)含參變量 ). 0 ( ,

29、d 0 1sxexxs 0 ,為瑕點(diǎn)的又是一個(gè)以積分這個(gè)積分既是一個(gè)無窮x . 瑕積分 : , 將積分表示為為此 . ddd 1 11 0 1 0 1xesxesxesxsxsxs . 無窮積分的和這是一個(gè)瑕積分與一個(gè)瑕積分無窮積分第47頁/共60頁第四十八頁，共60頁。 , d , 0 1 0 1且的唯一的瑕點(diǎn)是因?yàn)閤exxxs , 1lim1 10sxsxxex , 1 1d 1 0 1 0 1sxsxxss而 , , d , 0 1 0 1從而收斂積分時(shí)故當(dāng)xxss . d , 0 1 0 1收斂瑕積分時(shí)當(dāng)xexsxs比較判別法的極限形式第48頁/共60頁第四十九頁，共60頁。 , 0l

30、imlim 12 1xsxxsxexxex又 : , d 1 2 故由比較判別法可知是收斂的而積分xx . d , 0 1 1收斂無窮積分時(shí)當(dāng)xexsxs : , 0 ,斂下列含參變量的積分收時(shí)當(dāng)綜上所述s ). 0 ( , d 0 1sxexxs . 積分該積分稱為歐拉第二型第49頁/共60頁第五十頁，共60頁。 ) 1 (函數(shù)的概念 定的函數(shù)由含參變量的積分所確 ). 0 ( , d)( 0 1sxexsxsNoImage . ) Gamma ( 函數(shù)稱為 . 積分函數(shù)又稱為第二型歐拉第50頁/共60頁第五十一頁，共60頁。 )2(函數(shù)的簡單性質(zhì) .)( , 0s ) 1Cs時(shí)當(dāng) . )(

31、 ) 1( , 0 ) 2ssss時(shí)當(dāng) 特別有 . )( ! ) 1()( ; )( ! ) 1( ; 1) 1 (ZnnnZnnn . sin )1 ( )( , 10 ) 3ssss時(shí)當(dāng)下面證明(zhngmng)這個(gè)遞推關(guān)系式第51頁/共60頁第五十二頁，共60頁。 . )( ) 1( , 0 :ssss時(shí)當(dāng)證明時(shí)當(dāng)運(yùn)用分部積分法得 0 ,s d d) 1( 0 1 0 0 xexsexxexsxsxsxs )( )()(lim0 ssexexxxsxsx . )( ss 第52頁/共60頁第五十三頁，共60頁。例25解 . d , 21 0 2xex并由此計(jì)算求 , 2sin sin211 21 21 ss因?yàn)?. 21 故 ,0 : , 0 : , 2