彎矩曲率計算示例

1、彎矩曲率計算示例彎矩曲率計算示例北京交通大學北京交通大學主要內容主要內容彎矩曲率一般分為兩個階段進行：彎矩曲率一般分為兩個階段進行：階段一階段一階段二階段二梁未開裂梁未開裂一般假定為彈性階段一般假定為彈性階段梁開裂梁開裂應力應變關系為非線性應力應變關系為非線性彎矩曲率曲線彎矩曲率曲線開裂開裂破壞破壞彎矩曲率曲線彎矩曲率曲線曲線上的曲線上的6 6個控制點個控制點1.初始階段，即外彎矩為零，初始階段，即外彎矩為零，MPa1000pef2.預應力筋水平處混凝土的應變?yōu)榱?。預應力筋水平處混凝土的應變?yōu)榱恪?.裂縫出現(xiàn)，即混凝土達到其抗拉強度，裂縫出現(xiàn)，即混凝土達到其抗拉強度，3.7MPatf 4.梁截

2、面頂纖維混凝土壓應變達到梁截面頂纖維混凝土壓應變達到0.0015.梁截面頂纖維混凝土壓應變達到梁截面頂纖維混凝土壓應變達到0.0026.梁截面頂纖維混凝土壓應變達到梁截面頂纖維混凝土壓應變達到0.003預應力混凝土梁預應力混凝土梁2784mmpA 混凝土：混凝土：2402mmsA 2002ccf本構關系本構關系MPa35cfMPa7 . 3tf抗壓抗拉強度抗壓抗拉強度預應力混凝土梁預應力混凝土梁2784mmpA 鋼筋：鋼筋：2402mmsA 假定預應力高強高筋的極限強假定預應力高強高筋的極限強度和其屈服強度相等度和其屈服強度相等MPa15402 . 0ppuff預應力筋有效預應力預應力筋有效預

3、應力MPa1000pefMPa1025spEE彈性模量彈性模量僅預應力筋有效力作用梁底混凝土達到抗拉強度，裂縫出現(xiàn)給定頂部應變，計算彎矩曲率彎矩曲率計算彎矩曲率計算1 1 初始階段初始階段無外力作用，僅考慮有效預應力作用無外力作用，僅考慮有效預應力作用毛截面特征值毛截面特征值 23mm10180A49mm104 . 5IkN7841000784pepefAP 計算有效預應力及偏心距引起的應力應變計算有效預應力及偏心距引起的應力應變 mm180ekN784eP1 1 初始階段初始階段應力圖應力圖應變圖應變圖1 1 初始階段初始階段應變圖應變圖當外力矩（包括自重）當外力矩（包括自重）0M時，截面時

4、，截面曲率曲率： 60.993 10rad/mm 普通鋼筋的壓普通鋼筋的壓應力應力: : MPa8 .77389. 010235ssE預應力筋在有效應力下的預應力筋在有效應力下的應變應變: : 3105200000/1000ppepeEf35.324 10pspece2 2 加載階段加載階段應變圖應變圖預應力鋼筋除混凝土應變?yōu)榱銜r預應力鋼筋除混凝土應變?yōu)榱銜r，預應力筋的，預應力筋的應力應力為為: : kN8 .8348 .1064784pspAP此時，此時，預應力筋中的預應力筋中的拉力拉力為：為：MPa8 .106410324. 510235psppsE加載階段加載階段，是指在外彎矩開始作是指

5、在外彎矩開始作用，直到預應力鋼筋處的混凝土用，直到預應力鋼筋處的混凝土應變?yōu)榱愕碾A段。應變?yōu)榱愕碾A段。2 2 加載階段加載階段2 2 加載階段加載階段應力圖應力圖應變圖應變圖此階段結束時，曲率為：此階段結束時，曲率為： 彎矩為：彎矩為：36(0.4410.109) 100.917 10rad/mm600kNm0 .28918064. 9104 . 53eIM3 3 開裂階段開裂階段截面開裂點截面開裂點將為截面彎矩曲率線彈性關系的終點將為截面彎矩曲率線彈性關系的終點 在上個階段，截面底纖維已經存在在上個階段，截面底纖維已經存在3.06MPa的拉應力，的拉應力，由于混凝土出現(xiàn)裂縫的抗拉強度為由于混

6、凝土出現(xiàn)裂縫的抗拉強度為3.7MPa。MPa64. 006. 37 . 3kNm5 .1130064. 0104 . 59yIMkNm5 .3005 .11289crM開裂彎矩為：開裂彎矩為： 3 3 開裂階段開裂階段由由M M 對對預應力筋預應力筋產生的產生的拉應力拉應力為：為：MPa7 . 2104 . 5180105 .1114. 796IMennpcpps因此開裂彎矩下，因此開裂彎矩下，預應力筋預應力筋中的應力為：中的應力為：MPa8 .10677 . 28 .1064ps3 3 開裂階段開裂階段由由M M 對對非預應力筋非預應力筋產生的產生的拉應力拉應力為：為：MPa8 . 3104

7、 . 5250105 .1114. 796IMynss因此開裂彎矩下，因此開裂彎矩下，非預應力筋非預應力筋中的應力為：中的應力為：MPa5 .168 . 37 .12s3 3 開裂階段開裂階段由纖維應力由纖維應力0.64MPa而增加的曲率如圖所示：而增加的曲率如圖所示：應力圖應力圖應變圖應變圖3 3 開裂階段開裂階段在開裂彎矩作用下，在開裂彎矩作用下，截面的截面的開裂曲率開裂曲率等于階段（等于階段（2）的曲率與開裂增加曲率之和，）的曲率與開裂增加曲率之和，也就是：也就是： rad/mm10993. 010)076. 0917. 0(66cr開裂彎矩開裂彎矩為：為：kNm5 .3005 .112

8、89crM4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應變應變 001. 0c截面開裂時，頂部纖維截面開裂時，頂部纖維應變應變?yōu)椋簽椋?因此，在本階段采用因此，在本階段采用開裂截面開裂截面分析。分析。即，假設中性軸以下混凝土不起作用。即，假設中性軸以下混凝土不起作用。 30.464 10c 30.464 100.0014 4 非線性階段非線性階段應力應變關系應力應變關系符如右圖所符如右圖所示，符合二次拋物線形曲示，符合二次拋物線形曲線線開裂后，截面扔符合平截面開裂后，截面扔符合平截面假定。根據(jù)應力應變關系得假定。根據(jù)應力應變關系得到應力圖。到應力圖。4 4 非線性階段非

9、線性階段應變圖應變圖應力圖應力圖求壓應力合力，對應力求壓應力合力，對應力圖積分，計算出圖積分，計算出合力合力大大小及位置。小及位置。0.35xc2000(1)3ccCbfc4 4 非線性階段非線性階段進行試算，確定中性軸高度。進行試算，確定中性軸高度。1假定中性軸高度假定中性軸高度 c=300mm043754375 3001312.5kNCc受壓區(qū)總壓力為受壓區(qū)總壓力為:4 4 非線性階段非線性階段預應力鋼筋預應力鋼筋334803005.324 10()0.001300 5.94 10ps在加載階段，計算出預應力處混凝在加載階段，計算出預應力處混凝土應變?yōu)榱銜r，鋼筋的土應變?yōu)榱銜r，鋼筋的應變應

10、變。此時相加，即得到鋼筋的總應變。此時相加，即得到鋼筋的總應變。0.20.8pssfE預應力鋼筋預應力鋼筋處于彈性工處于彈性工作階段作階段4 4 非線性階段非線性階段普通鋼筋普通鋼筋3550300()0.0010.833 10300ssssfE普通鋼筋普通鋼筋處于彈性工處于彈性工作階段作階段4 4 非線性階段非線性階段合力計算合力計算預應力與非預應力筋預應力與非預應力筋中的總拉力：中的總拉力：998.4kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751312.5kNCc表面中性軸高度太大，需重新試算。4 4 非線性階段非線性階段2假定中性軸高度假定中性軸高度 c=240mm預應力與非預應

11、力筋預應力與非預應力筋中的總拉力：中的總拉力：1095.5kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751050kNCc表面中性軸高度偏小，需再次試算。4 4 非線性階段非線性階段3假定中性軸高度假定中性軸高度 c=247mm預應力與非預應力筋預應力與非預應力筋中的總拉力：中的總拉力：1081kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751080.6kNCc表面中性軸高度合適，可進行下一步計算4 4 非線性階段非線性階段0.3586.5xcmm對受壓區(qū)合力位置取矩，對受壓區(qū)合力位置取矩，得此時截面所受彎矩：得此時截面所受彎矩：() =432.3kN mppspsssMAhxAh

12、x曲率：曲率：60.0014.05 10/247cradmmc 4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應變應變 0.002c用同樣方法求解，得到：用同樣方法求解，得到： 01901330kN1494MPa0.00837400MPapspsscmmC6555.3kN m=10.5 10/Mradmm普通鋼筋達到屈服普通鋼筋達到屈服 4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應變應變 0.003c用同樣方法求解，得到：用同樣方法求解，得到： 6574.1kN m=17.0 10/Mradmm1761560MPa400MPapsscmm普通鋼筋達到屈服普通鋼筋達到屈服預應力鋼筋達到屈服預應力鋼筋達到屈服 階段四階段四階段三階段三階段二階段二階段一階段一計算結果匯總計算結果匯總各個階段彎矩曲率匯總如下：各個階段彎矩曲率匯總如下： 曲率曲率（rad/mm）kN m610+4001560+17.0574.1（6）+4001494+10.5555.3（5）+245.41253+4