彎矩曲率計算示例

1、彎矩曲率計算示例彎矩曲率計算示例北京交通大學(xué)北京交通大學(xué)主要內(nèi)容主要內(nèi)容彎矩曲率一般分為兩個階段進(jìn)行：彎矩曲率一般分為兩個階段進(jìn)行：階段一階段一階段二階段二梁未開裂梁未開裂一般假定為彈性階段一般假定為彈性階段梁開裂梁開裂應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性彎矩曲率曲線彎矩曲率曲線開裂開裂破壞破壞彎矩曲率曲線彎矩曲率曲線曲線上的曲線上的6 6個控制點個控制點1.初始階段，即外彎矩為零，初始階段，即外彎矩為零，MPa1000pef2.預(yù)應(yīng)力筋水平處混凝土的應(yīng)變?yōu)榱恪ｎA(yù)應(yīng)力筋水平處混凝土的應(yīng)變?yōu)榱恪?.裂縫出現(xiàn)，即混凝土達(dá)到其抗拉強(qiáng)度，裂縫出現(xiàn)，即混凝土達(dá)到其抗拉強(qiáng)度，3.7MPatf 4.梁截

2、面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到梁截面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到0.0015.梁截面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到梁截面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到0.0026.梁截面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到梁截面頂纖維混凝土壓應(yīng)變達(dá)到0.003預(yù)應(yīng)力混凝土梁預(yù)應(yīng)力混凝土梁2784mmpA 混凝土：混凝土：2402mmsA 2002ccf本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系MPa35cfMPa7 . 3tf抗壓抗拉強(qiáng)度抗壓抗拉強(qiáng)度預(yù)應(yīng)力混凝土梁預(yù)應(yīng)力混凝土梁2784mmpA 鋼筋：鋼筋：2402mmsA 假定預(yù)應(yīng)力高強(qiáng)高筋的極限強(qiáng)假定預(yù)應(yīng)力高強(qiáng)高筋的極限強(qiáng)度和其屈服強(qiáng)度相等度和其屈服強(qiáng)度相等MPa15402 . 0ppuff預(yù)應(yīng)力筋有效預(yù)應(yīng)力預(yù)應(yīng)力筋有效預(yù)

3、應(yīng)力MPa1000pefMPa1025spEE彈性模量彈性模量僅預(yù)應(yīng)力筋有效力作用梁底混凝土達(dá)到抗拉強(qiáng)度，裂縫出現(xiàn)給定頂部應(yīng)變，計算彎矩曲率彎矩曲率計算彎矩曲率計算1 1 初始階段初始階段無外力作用，僅考慮有效預(yù)應(yīng)力作用無外力作用，僅考慮有效預(yù)應(yīng)力作用毛截面特征值毛截面特征值 23mm10180A49mm104 . 5IkN7841000784pepefAP 計算有效預(yù)應(yīng)力及偏心距引起的應(yīng)力應(yīng)變計算有效預(yù)應(yīng)力及偏心距引起的應(yīng)力應(yīng)變 mm180ekN784eP1 1 初始階段初始階段應(yīng)力圖應(yīng)力圖應(yīng)變圖應(yīng)變圖1 1 初始階段初始階段應(yīng)變圖應(yīng)變圖當(dāng)外力矩（包括自重）當(dāng)外力矩（包括自重）0M時，截面時

4、，截面曲率曲率： 60.993 10rad/mm 普通鋼筋的壓普通鋼筋的壓應(yīng)力應(yīng)力: : MPa8 .77389. 010235ssE預(yù)應(yīng)力筋在有效應(yīng)力下的預(yù)應(yīng)力筋在有效應(yīng)力下的應(yīng)變應(yīng)變: : 3105200000/1000ppepeEf35.324 10pspece2 2 加載階段加載階段應(yīng)變圖應(yīng)變圖預(yù)應(yīng)力鋼筋除混凝土應(yīng)變?yōu)榱銜r預(yù)應(yīng)力鋼筋除混凝土應(yīng)變?yōu)榱銜r，預(yù)應(yīng)力筋的，預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力應(yīng)力為為: : kN8 .8348 .1064784pspAP此時，此時，預(yù)應(yīng)力筋中的預(yù)應(yīng)力筋中的拉力拉力為：為：MPa8 .106410324. 510235psppsE加載階段加載階段，是指在外彎矩開始作是指

5、在外彎矩開始作用，直到預(yù)應(yīng)力鋼筋處的混凝土用，直到預(yù)應(yīng)力鋼筋處的混凝土應(yīng)變?yōu)榱愕碾A段。應(yīng)變?yōu)榱愕碾A段。2 2 加載階段加載階段2 2 加載階段加載階段應(yīng)力圖應(yīng)力圖應(yīng)變圖應(yīng)變圖此階段結(jié)束時，曲率為：此階段結(jié)束時，曲率為： 彎矩為：彎矩為：36(0.4410.109) 100.917 10rad/mm600kNm0 .28918064. 9104 . 53eIM3 3 開裂階段開裂階段截面開裂點截面開裂點將為截面彎矩曲率線彈性關(guān)系的終點將為截面彎矩曲率線彈性關(guān)系的終點 在上個階段，截面底纖維已經(jīng)存在在上個階段，截面底纖維已經(jīng)存在3.06MPa的拉應(yīng)力，的拉應(yīng)力，由于混凝土出現(xiàn)裂縫的抗拉強(qiáng)度為由于混

6、凝土出現(xiàn)裂縫的抗拉強(qiáng)度為3.7MPa。MPa64. 006. 37 . 3kNm5 .1130064. 0104 . 59yIMkNm5 .3005 .11289crM開裂彎矩為：開裂彎矩為： 3 3 開裂階段開裂階段由由M M 對對預(yù)應(yīng)力筋預(yù)應(yīng)力筋產(chǎn)生的產(chǎn)生的拉應(yīng)力拉應(yīng)力為：為：MPa7 . 2104 . 5180105 .1114. 796IMennpcpps因此開裂彎矩下，因此開裂彎矩下，預(yù)應(yīng)力筋預(yù)應(yīng)力筋中的應(yīng)力為：中的應(yīng)力為：MPa8 .10677 . 28 .1064ps3 3 開裂階段開裂階段由由M M 對對非預(yù)應(yīng)力筋非預(yù)應(yīng)力筋產(chǎn)生的產(chǎn)生的拉應(yīng)力拉應(yīng)力為：為：MPa8 . 3104

7、 . 5250105 .1114. 796IMynss因此開裂彎矩下，因此開裂彎矩下，非預(yù)應(yīng)力筋非預(yù)應(yīng)力筋中的應(yīng)力為：中的應(yīng)力為：MPa5 .168 . 37 .12s3 3 開裂階段開裂階段由纖維應(yīng)力由纖維應(yīng)力0.64MPa而增加的曲率如圖所示：而增加的曲率如圖所示：應(yīng)力圖應(yīng)力圖應(yīng)變圖應(yīng)變圖3 3 開裂階段開裂階段在開裂彎矩作用下，在開裂彎矩作用下，截面的截面的開裂曲率開裂曲率等于階段（等于階段（2）的曲率與開裂增加曲率之和，）的曲率與開裂增加曲率之和，也就是：也就是： rad/mm10993. 010)076. 0917. 0(66cr開裂彎矩開裂彎矩為：為：kNm5 .3005 .112

8、89crM4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應(yīng)變應(yīng)變 001. 0c截面開裂時，頂部纖維截面開裂時，頂部纖維應(yīng)變應(yīng)變?yōu)椋簽椋?因此，在本階段采用因此，在本階段采用開裂截面開裂截面分析。分析。即，假設(shè)中性軸以下混凝土不起作用。即，假設(shè)中性軸以下混凝土不起作用。 30.464 10c 30.464 100.0014 4 非線性階段非線性階段應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符如右圖所符如右圖所示，符合二次拋物線形曲示，符合二次拋物線形曲線線開裂后，截面扔符合平截面開裂后，截面扔符合平截面假定。根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得假定。根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到應(yīng)力圖。到應(yīng)力圖。4 4 非線性階段非

9、線性階段應(yīng)變圖應(yīng)變圖應(yīng)力圖應(yīng)力圖求壓應(yīng)力合力，對應(yīng)力求壓應(yīng)力合力，對應(yīng)力圖積分，計算出圖積分，計算出合力合力大大小及位置。小及位置。0.35xc2000(1)3ccCbfc4 4 非線性階段非線性階段進(jìn)行試算，確定中性軸高度。進(jìn)行試算，確定中性軸高度。1假定中性軸高度假定中性軸高度 c=300mm043754375 3001312.5kNCc受壓區(qū)總壓力為受壓區(qū)總壓力為:4 4 非線性階段非線性階段預(yù)應(yīng)力鋼筋預(yù)應(yīng)力鋼筋334803005.324 10()0.001300 5.94 10ps在加載階段，計算出預(yù)應(yīng)力處混凝在加載階段，計算出預(yù)應(yīng)力處混凝土應(yīng)變?yōu)榱銜r，鋼筋的土應(yīng)變?yōu)榱銜r，鋼筋的應(yīng)變應(yīng)

10、變。此時相加，即得到鋼筋的總應(yīng)變。此時相加，即得到鋼筋的總應(yīng)變。0.20.8pssfE預(yù)應(yīng)力鋼筋預(yù)應(yīng)力鋼筋處于彈性工處于彈性工作階段作階段4 4 非線性階段非線性階段普通鋼筋普通鋼筋3550300()0.0010.833 10300ssssfE普通鋼筋普通鋼筋處于彈性工處于彈性工作階段作階段4 4 非線性階段非線性階段合力計算合力計算預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)力筋預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)力筋中的總拉力：中的總拉力：998.4kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751312.5kNCc表面中性軸高度太大，需重新試算。4 4 非線性階段非線性階段2假定中性軸高度假定中性軸高度 c=240mm預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)

11、力筋預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)力筋中的總拉力：中的總拉力：1095.5kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751050kNCc表面中性軸高度偏小，需再次試算。4 4 非線性階段非線性階段3假定中性軸高度假定中性軸高度 c=247mm預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)力筋預(yù)應(yīng)力與非預(yù)應(yīng)力筋中的總拉力：中的總拉力：1081kNppsssTAA受壓區(qū)合力：受壓區(qū)合力：043751080.6kNCc表面中性軸高度合適，可進(jìn)行下一步計算4 4 非線性階段非線性階段0.3586.5xcmm對受壓區(qū)合力位置取矩，對受壓區(qū)合力位置取矩，得此時截面所受彎矩：得此時截面所受彎矩：() =432.3kN mppspsssMAhxAh

12、x曲率：曲率：60.0014.05 10/247cradmmc 4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應(yīng)變應(yīng)變 0.002c用同樣方法求解，得到：用同樣方法求解，得到： 01901330kN1494MPa0.00837400MPapspsscmmC6555.3kN m=10.5 10/Mradmm普通鋼筋達(dá)到屈服普通鋼筋達(dá)到屈服 4 4 非線性階段非線性階段假定假定截面頂纖維混凝土截面頂纖維混凝土應(yīng)變應(yīng)變 0.003c用同樣方法求解，得到：用同樣方法求解，得到： 6574.1kN m=17.0 10/Mradmm1761560MPa400MPapsscmm普通鋼筋達(dá)到屈服普通鋼筋達(dá)到屈服預(yù)應(yīng)力鋼筋達(dá)到屈服預(yù)應(yīng)力鋼筋達(dá)到屈服 階段四階段四階段三階段三階段二階段二階段一階段一計算結(jié)果匯總計算結(jié)果匯總各個階段彎矩曲率匯總?cè)缦拢焊鱾€階段彎矩曲率匯總?cè)缦拢?曲率曲率（rad/mm）kN m610+4001560+17.0574.1（6）+4001494+10.5555.3（5）+245.41253+4