積分學(xué)注冊給排水考試公共基礎(chǔ)課件

1、1一、一、 不定積分不定積分五、平面曲線積分五、平面曲線積分四、重積分四、重積分積分學(xué)二、二、 定積分定積分三、三、 廣義積分廣義積分六、積分應(yīng)用六、積分應(yīng)用21. 直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法 (要求記住基本積分公式）.2. 換元積分法3第一類換元的基本思路第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有dxxg)()()(xdxfCxF)()()()(xfxFxf的原函數(shù)易求，且注：這里要求)(1baxdadx)() 1(11baxdakdxxkk)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx4第二類換元的解題思路為dxxf)(dtttftx)()()(

2、Ct )()()()(ttftCx)(1使用該公式的關(guān)鍵為在。單調(diào)可導(dǎo)，有反函數(shù)存)(. 1tx易求。積分dtttf)()(. 2第二類換元常見類型有 三角代換 倒代換 根式代換等5vuvu d一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u .uvd(1)當(dāng)被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)時,取被積函數(shù)為 u (2)當(dāng)被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積時6例例3 3 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex xdex2 22d

3、xeexxx dxexx2 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22Cxxex )(2227解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 82、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)31、定積分定義：二、定積分二、定積分9 則則

4、0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)410如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個點(diǎn)上至少存在一個點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba .

5、性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式113、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 12.)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式

6、.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba4、牛頓萊布尼茨公式135、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（2）第二類換元法）第二類換元法（3）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv（1）湊微分法）湊微分法146、重要結(jié)論2200cossin)2(xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)15三、廣義積分三、廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的

7、廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. bdxxf)( baadxxf)(lim16(2)無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim017Dyxfkd),(. 1(

8、k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(四、重積分（化為累次積分）四、重積分（化為累次積分）18特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有197.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),

9、),(D),(),(fdyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使連續(xù),20bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則21D解解圍成由其中計(jì)算例2,1,. 822xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 .,:211xxyxD22Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,

10、cos(3. 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分222ryx注：在極坐標(biāo)系下有注：在極坐標(biāo)系下有。，后對先對化為二次積分的順序是r23,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 由于積分區(qū)域關(guān)于X軸對稱，被積函數(shù)為偶函數(shù)，考慮上半圓。再利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2020d22422802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:

11、D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy25zxyDvzyxfd),(),(2yxzz ),(1yxzz 面上投影，投影區(qū)域?yàn)槊嫔贤队?，投影區(qū)域?yàn)樵谠趯oy bxaxyyxyD)()(:21),(),(21yxzzyxz而而),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd3.3.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分26abbzaDyxz),(:xyzvzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzzDzd記作,baz軸上投影，投影區(qū)間為軸上投影，投影

12、區(qū)間為在在將將 在該區(qū)間內(nèi)作zDz的的截截面面為為軸軸的的垂垂面面，截截 27zyxzyxfddd),( ),sin,cos(zfzddd在柱坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分是將積分區(qū)域在某個坐標(biāo)面上投影，將投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示，最后找出另一個坐標(biāo)的變化范圍。最最后后對對，再再對對一一般般為為先先對對柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的積積分分順順序序z28zyxzyxfddd),( )cos,sinsin,cossin(rrrfdddsin2rr2222rzyx注注：在在球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下有有。，最最后后對對，再再對對積積分分順順序序一一般般為為先先對對r29tttttfsdyxfLd)()()(, )(

13、),(22) 1 (計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf說明說明:! 積分限必須滿足30),()(bxaxy則有Lsyxfd),()()(, )(),(:ttztytxxx d)(12baxxf) )(,(31,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B32),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧

14、 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有33特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(34其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332

15、a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則35規(guī)定：封閉曲線沿逆時針方向?yàn)檎较蛟O(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd格林公式格林公式函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),36yA xoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則3648

16、 37設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd六、積分應(yīng)用六、積分應(yīng)用3822,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A39abxoyx12222byax解解: 利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxd40sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy xx