第16講代數(shù)結(jié)構(gòu)ppt課件

1、C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC函數(shù)函數(shù)根本概念根本概念定義定義 設(shè)設(shè)X X，Y Y是兩個(gè)集合，是兩個(gè)集合，f f是一個(gè)從是一個(gè)從X X到到Y(jié) Y的關(guān)系。的關(guān)系。 假如對(duì)于每一個(gè)假如對(duì)于每一個(gè)x xX X，都有唯一的，都有唯一的y yY Y，使，使xyf f 那么稱關(guān)系那么稱關(guān)系f f為為X X到到Y(jié) Y的函數(shù)，記的函數(shù)，記f f：XYXY。 X X稱作稱作f f的前域，的前域，Y Y稱作稱作f f的陪域。的陪域。 假設(shè)假設(shè)f f：XY XY ， x yf f ，可記為，可記為y=fy=fx x。 x x為函數(shù)的自變量，為函數(shù)的自變量，y y稱為對(duì)應(yīng)于稱為對(duì)應(yīng)于x x

2、的函數(shù)值。的函數(shù)值。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC解解 f不是不是X到到Y(jié)的函數(shù)。的函數(shù)。1對(duì)于元素對(duì)于元素4X，不存在，不存在y Y,使得使得 f。2對(duì)于元素對(duì)于元素2X，有，有f，f， f，這說(shuō)明，這說(shuō)明X中元素中元素2與與Y中的中的3個(gè)元素個(gè)元素 對(duì)應(yīng)，不唯一。對(duì)應(yīng)，不唯一。例例 判別以下關(guān)系是否為函數(shù)。判別以下關(guān)系是否為函數(shù)。1X=1，2，3，4，Y=4，5，6，當(dāng)，當(dāng)xX，yY，且，且xy時(shí)時(shí),有有f2X=1，2，3，4，Y=4，5，6， f,C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC幾種特殊的函數(shù)幾種特殊的函數(shù) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f

3、：XY，假如，假如Y中的每一個(gè)元素都是中的每一個(gè)元素都是X中一個(gè)中一個(gè)或多個(gè)元素的函數(shù)值，那么稱或多個(gè)元素的函數(shù)值，那么稱f為為X到到Y(jié)的滿射函數(shù)。的滿射函數(shù)。設(shè)設(shè)f：XY是滿射函數(shù)，即對(duì)于任意的是滿射函數(shù)，即對(duì)于任意的yY，必存在，必存在xX使得使得fx=y成立。成立。例：例：A=1，2，3，4，B=a，b，c，假如假如f：AB為為 f1=a， f2=c， f3=b， f4=c， 那么那么f是滿射。是滿射。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC幾種特殊的函數(shù)幾種特殊的函數(shù) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f：XY，假如對(duì)于，假如對(duì)于X中的任意兩個(gè)元素中的任意兩個(gè)元素x1和和x2，

4、當(dāng)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有fx1fx2，那么稱，那么稱f為為X到到Y(jié)的單射函數(shù)。的單射函數(shù)。例：例：A=1，2，3，B=a，b，c，d， f：AB為為f1=a， f2=a， f3=b，那么那么f f不是單射函數(shù)。不是單射函數(shù)。 f f2 2=c=c，那么那么f f是單射函數(shù)。是單射函數(shù)。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f：XYXY，假如，假如f f既是滿射又是單射函數(shù)，既是滿射又是單射函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為雙射函數(shù)。那么稱這個(gè)函數(shù)為雙射函數(shù)。( (即一一對(duì)應(yīng)即一一對(duì)應(yīng)) )例如：例如：A=1A=1，2 2，33，B=aB=a，b b，c

5、 c ， f f：AB AB 為為 f f1 1=a=a， f f2 2=c=c， f f3 3=b=b， 那么那么f f是是雙射函數(shù)。雙射函數(shù)。幾種特殊的函數(shù)幾種特殊的函數(shù) C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC第六章第六章 代數(shù)構(gòu)造代數(shù)構(gòu)造什么是代數(shù)構(gòu)造？什么是代數(shù)構(gòu)造？代數(shù)構(gòu)造也稱作代數(shù)系統(tǒng)。由代數(shù)構(gòu)造也稱作代數(shù)系統(tǒng)。由3 3部分組成：部分組成：1.1.一個(gè)集合，叫做代數(shù)構(gòu)造的載體。一個(gè)集合，叫做代數(shù)構(gòu)造的載體。2.2.定義在載體上的運(yùn)算。即封閉性的運(yùn)算定義在載體上的運(yùn)算。即封閉性的運(yùn)算3.3.載體中對(duì)于運(yùn)算的特異元素，即代數(shù)常數(shù)。載體中對(duì)于運(yùn)算的特異元素，即代數(shù)常數(shù)

6、。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：整數(shù)，加法，例：整數(shù)，加法，0 0可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù) 1 1載體是整數(shù)集合載體是整數(shù)集合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，. 2 2定義在整數(shù)集合上的加法運(yùn)算定義在整數(shù)集合上的加法運(yùn)算“+ +是封是封閉的。閉的。 3 3對(duì)于任意元素與對(duì)于任意元素與0 0相加都是等于自己。相加都是等于自己。故故0 0為一特異元素。為一特異元素。這個(gè)代數(shù)可以記為這個(gè)代數(shù)可以記為C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：整數(shù)，乘法，例：整數(shù)，乘法，0 0，1 1可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù)

7、1 1載體是整數(shù)集合載體是整數(shù)集合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，. 2 2定義在整數(shù)集合上的加法運(yùn)算定義在整數(shù)集合上的加法運(yùn)算“是是封閉的。封閉的。 3 3對(duì)于任意元素與對(duì)于任意元素與0 0相乘都是等于相乘都是等于0 0。故。故0 0為一特異元素。為一特異元素。 對(duì)于任意元素與對(duì)于任意元素與1 1相乘都是等于自己相乘都是等于自己 。故。故1 1為一特異元素。為一特異元素。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC一、代數(shù)常數(shù)一、代數(shù)常數(shù) 定義定義 設(shè)設(shè) * 是定義在集合是定義在集合S上的一個(gè)二元運(yùn)算，上的一個(gè)二元運(yùn)算， 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素1

8、lS，對(duì)于任意的元素，對(duì)于任意的元素xS，都，都有有1l *x=x，那么稱，那么稱1l 為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的左么元；的左么元； 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素1rS，對(duì)于任意的元素，對(duì)于任意的元素xS，都，都有有x* 1r =x，那么稱，那么稱1r 為為A中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的右么元；的右么元； 假如假如S中的某一個(gè)元素中的某一個(gè)元素1，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，那么稱那么稱1為為A中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算*的么元。顯然，對(duì)于任意元素的么元。顯然，對(duì)于任意元素xA，有，有1*x=x*1=x。定義定義 設(shè)設(shè) * 是定義在集合是定義在集合S上的一個(gè)二元運(yùn)算，上的

9、一個(gè)二元運(yùn)算， 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素elS，對(duì)于任意的元素，對(duì)于任意的元素xS，都有，都有el *x=x，那么稱，那么稱el 為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的左么元；的左么元； 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素erS，對(duì)于任意的元素，對(duì)于任意的元素xS，都，都有有x* er =x，那么稱，那么稱er 為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的右么元；的右么元； 假如假如S中的某一個(gè)元素中的某一個(gè)元素e，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，那么稱那么稱e為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算*的么元。顯然，對(duì)于任意元素的么元。顯然，對(duì)于任意元素xS，有，有e*x=x*e=x。C CS S| |S

10、SWWU US ST TXDCXDC定義定義 設(shè)設(shè) * 是定義在集合是定義在集合S上的一個(gè)二元運(yùn)算，上的一個(gè)二元運(yùn)算， 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素lS，對(duì)于任意的元素，對(duì)于任意的元素xS都有都有l(wèi)*x=l，那么稱，那么稱l為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的左零元；的左零元； 假如有一個(gè)元素假如有一個(gè)元素rS,對(duì)于任意的元素對(duì)于任意的元素xS，都有，都有x*r=r,那么稱那么稱r為為A中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的右零元；的右零元； 假如假如S中的一個(gè)元素中的一個(gè)元素，它既是左零元又是右零元，它既是左零元又是右零元，那么稱那么稱為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 * 的零元。顯然，對(duì)于任一元素的零元。顯

11、然，對(duì)于任一元素aS，有，有*a=a*=。代數(shù)常數(shù)代數(shù)常數(shù) C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：代數(shù)例：代數(shù)A=a,b,c,A= 如下表所示，指出其中如下表所示，指出其中的幺元，零元。的幺元，零元。* a b ca a b bb a b cc a b a由表可知：由表可知：b b* *a/b/c=a/b/c a/b/c=a/b/c 故故b b為左幺元。為左幺元。 無(wú)右幺元。無(wú)右幺元。 a/b/c a/b/c* *b=bb=b和和a/b/ca/b/c* *a=a a=a 故故a,ba,b為右零元。為右零元。 無(wú)左零元。無(wú)左零元。 無(wú)幺元，零元。無(wú)幺元，零元。C CS S

12、| |S SWWU US ST TXDCXDC定理定理 設(shè)設(shè)* *是定義在集合是定義在集合S S上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在S S中有關(guān)于運(yùn)算中有關(guān)于運(yùn)算* *的左么元的左么元elel和右么元和右么元erer，那么，那么el=er=eel=er=e，且且S S中的么元是唯一的。中的么元是唯一的。 定理定理 設(shè)設(shè)* *是定義在集合是定義在集合S S上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在S S中有關(guān)于運(yùn)算中有關(guān)于運(yùn)算* *的左零元的左零元ll和右零元和右零元rr，那么，那么l=r=l=r=，且，且S S中的零元是唯一的。中的零元是唯一的。 C CS S| |S SWWU US

13、 ST TXDCXDC定義定義 設(shè)設(shè)* 是定義在集合是定義在集合S上的一個(gè)二元運(yùn)算，且上的一個(gè)二元運(yùn)算，且e是是S中中關(guān)于運(yùn)算關(guān)于運(yùn)算 * 的么元。的么元。假如對(duì)于假如對(duì)于S中的任一元素中的任一元素a，存在著，存在著S中的某個(gè)元素中的某個(gè)元素b，使，使得得b*a=e，那么，那么b為為a的左逆元；的左逆元；同理，假如使得同理，假如使得a*b=e成立，那么稱成立，那么稱b為為a的右逆元；的右逆元；假如一個(gè)元素假如一個(gè)元素b，它既是，它既是a的左逆元又是的左逆元又是a的右逆元，那的右逆元，那么就稱么就稱b是是a的一個(gè)逆元。的一個(gè)逆元。定理定理 設(shè)設(shè)* *是定義在集合是定義在集合S S上的一個(gè)二元運(yùn)算

14、，滿足結(jié)上的一個(gè)二元運(yùn)算，滿足結(jié)合律，假如一個(gè)元素有左逆元和右逆元，那么必然相合律，假如一個(gè)元素有左逆元和右逆元，那么必然相等，即為該元素的唯一逆元。等，即為該元素的唯一逆元。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC二、代數(shù)之間的關(guān)系二、代數(shù)之間的關(guān)系 為方便描繪為方便描繪,對(duì)代數(shù)構(gòu)造采用統(tǒng)一記法為對(duì)代數(shù)構(gòu)造采用統(tǒng)一記法為1、子代數(shù)、子代數(shù) 定義定義 設(shè)設(shè)A=為一代數(shù)構(gòu)造，簡(jiǎn)稱代數(shù)。假如為一代數(shù)構(gòu)造，簡(jiǎn)稱代數(shù)。假如 (1) S S (2) S對(duì)對(duì)S上的運(yùn)算上的運(yùn)算*和是封閉的和是封閉的 (3) kS 那么代數(shù)那么代數(shù) A=是是A的子代數(shù)。的子代數(shù)。例例: (1)為為的子代數(shù)

15、。的子代數(shù)。 (2)為為的子代的子代數(shù)數(shù)C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC二、代數(shù)之間的關(guān)系二、代數(shù)之間的關(guān)系 2、代數(shù)同構(gòu)、代數(shù)同構(gòu) 定義定義 設(shè)設(shè)A=和和A=為代數(shù)。假如為代數(shù)。假如 存在一雙射函數(shù)存在一雙射函數(shù)h使得：使得： (1) h:SS (2) h(a*b) =h(a)*h(b) 其中其中 a，b為為 S中的中的 任意任意 元素元素 (3) h(a) = h(a) 其中其中 a為為 S中的中的 任意任意 元素元素 (4) h(k) = k 那么那么h叫做叫做A到到A的同構(gòu)，的同構(gòu)，A和和A互為在互為在h下的同構(gòu)象。下的同構(gòu)象。C CS S| |S SWWU

16、US ST TXDCXDC例例:R+表示正實(shí)數(shù)集合，那么表示正實(shí)數(shù)集合，那么同構(gòu)于同構(gòu)于。證明：證明： 作函數(shù)作函數(shù)h： R+ R, 令令h(x)=log(x). 顯然為雙射函數(shù)。顯然為雙射函數(shù)。并且有并且有 a,b R+，有，有h (ab)=log(ab)=log(a)+log(b)=h(a)+h(b) h(1)=log(1)=0 所以，所以， 同構(gòu)于同構(gòu)于。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC3、代數(shù)同態(tài)、代數(shù)同態(tài) 定義定義 設(shè)設(shè)A=和和A=為代數(shù)。為代數(shù)。H是是一個(gè)函數(shù)，使得：一個(gè)函數(shù)，使得： (1) h:SS (2) h(a*b) =h(a) *h(b) 其中其中

17、 a,b為為 S中的中的 任意任意 元素元素 (3) h(a) = h(a) 其中其中 a為為 S中的中的 任意任意 元素元素 (4) h(k) = k 那么那么h叫做叫做A到到A的同態(tài)函數(shù)，的同態(tài)函數(shù)， 為為A在在h下的同態(tài)象。下的同態(tài)象。 假如一個(gè)函數(shù)假如一個(gè)函數(shù) h是代數(shù)是代數(shù)A到自身的同態(tài)函數(shù)，稱為自同到自身的同態(tài)函數(shù)，稱為自同態(tài)。態(tài)。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：函數(shù)例：函數(shù)f :II, f (x) = kx, 這里這里kI ，是從，是從 到到的自同態(tài)。的自同態(tài)。證明：1x,yI ，有 f (x+y) = k (x+y)= kx+ ky= f (x)+

18、 f (x) 2f (0) = k (0)= 0 所以， f 是從 到的自同態(tài)。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC3、代數(shù)的同余關(guān)系、代數(shù)的同余關(guān)系 定義定義 設(shè)是代數(shù)設(shè)是代數(shù)A=的載體的載體S上的等價(jià)關(guān)系，上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于一切元素對(duì)于一切元素a，b，cS，滿足，滿足1假設(shè)假設(shè)a b ， 那么那么a*c b*c和和c*a c*b 2假設(shè)假設(shè)a b ， 那么那么a b那么稱為代數(shù)那么稱為代數(shù)A上的同余關(guān)系。上的同余關(guān)系。 的等價(jià)類叫做關(guān)的等價(jià)類叫做關(guān)系的同余類。系的同余類。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：例：1相等關(guān)系是任何代數(shù)上的同余關(guān)系。相等關(guān)系是任何代數(shù)上的同余關(guān)系。 2考慮代數(shù)考慮代數(shù)A=和等