第1次課第81向量及線性運算ppt課件

1、第八章第一節(jié)第八章第一節(jié)課堂練習(xí)：指導(dǎo)書課堂練習(xí)：指導(dǎo)書 P149-150 (三三) 3，7，10，18向量及其線性運算 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù) 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、

2、投影 向量及其線性運算 第八章 教 學(xué) 目 的教 學(xué) 目 的：使學(xué)生理解向量的有關(guān)概念及空間直角坐標(biāo)系的概念，使學(xué)生理解向量的有關(guān)概念及空間直角坐標(biāo)系的概念，掌握掌握( (單位單位) )向量、向量的方向余弦的坐標(biāo)表達式，向量、向量的方向余弦的坐標(biāo)表達式，會用向量的坐標(biāo)表達式進行線性運算會用向量的坐標(biāo)表達式進行線性運算. .一、向量的概念一、向量的概念.a或或表示法表示法:向量的模向量的模 :即向量的大小即向量的大小,21MM記作1、向量、向量:(又稱矢量又稱矢量). 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量2、自由向量、自由向量: 與起點無關(guān)的向量與起點無關(guān)的向量.

3、單位向量單位向量:模為模為 1 的向量的向量.零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,0.0記作， 或記作記作 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或或數(shù)學(xué)上常用有向線段來表示向量，數(shù)學(xué)上常用有向線段來表示向量，12MM以為起點，為終點的向量，3 3、兩個特殊向量：、兩個特殊向量：設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ,a b的夾角.),(ab或記作記作),(ba4.4.兩向量夾角的定義：兩向量夾角的定義：注記：注記：假假設(shè)設(shè),ab中有一個為零向量，中有一個為零向量，規(guī)定它們的夾角可在規(guī)定它們的夾角可

4、在0,中任意取值中任意取值.5.5.向量間的幾種特殊關(guān)系：向量間的幾種特殊關(guān)系：ab假設(shè)與大小相等且方向相同假設(shè)與大小相等且方向相同. .abab：（1 1相等相等（2 2平行平行：ba/假設(shè)與方向相同或相反假設(shè)與方向相同或相反. .ab（兩向量平行也稱兩向量共線）（兩向量平行也稱兩向量共線）（3垂直垂直(3)kk k當(dāng)把個向量的起點放在同一點時，或或 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上.ab若與的夾角為的夾角為0.或或或ab：( , ).2a b若（4）個向量共面：個向量共面：k若個終點與起點在同一個平面上在同一個平面上.二、向量的線性運算二、向量的線性運算1

5、. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運算規(guī)律運算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .babbacba)()(cbacbaacba cb )(cbacba)(aaba ba bbs3a4a5a2a1a54321aaaaas向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa)( aababaab abab a0babaaa負向量向量 的記作：abbaa即與的模相等但方向相反的向量.2.2.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法(1)a是一個向量；(2) | |aa0000 (3)a

6、aaa 時時與與反反向向時時與與同同向向時時與與的的方方向向a向量aa2a21 , a與實數(shù)與實數(shù) 的乘積，的乘積， 記作記作規(guī)定如下：規(guī)定如下：1.1.定義：定義：0(2)0aa設(shè)為與 （）同方向的單位向量，0|aa a 運算律運算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba.aaea有些書用或表示與同方向的單位向量01|aaa從而則0/.ababa設(shè)，則存在唯一的實數(shù) ，使定理定理1.（3 3兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系( (書上書上P5)P5)證明：證明：(略略)定理定理1 1是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。 給定一個點、一個方向及單位長度，一條數(shù)軸就確定

7、了；給定一個點、一個方向及單位長度，一條數(shù)軸就確定了；給定一個點及一個單位向量給定一個點及一個單位向量易見：易見： OP xi xP實數(shù)向量點iPxxO1 Px即軸上點與實數(shù)一一對應(yīng)，ixOPxP 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為軸軸上上點點 （它既確定了一個方向，（它既確定了一個方向，又確定了長度單位），又確定了長度單位）， 就確定了一條數(shù)軸。就確定了一條數(shù)軸。注記：注記： xP據(jù)此定義 為軸上點的坐標(biāo).設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對角線的交點對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用 ba ab1()2MAab 1()2MBba 1(

8、)2MCab 1()2MDba 例例1. 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過空間一定點過空間一定點 o ,o 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 卦限卦限(八個八個)面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下, ,xyzo向徑向徑 11坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點 A , B , CA ,

9、 B , C點點 M特殊點的坐標(biāo)特殊點的坐標(biāo) : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz(稱為點稱為點 M 的坐標(biāo)的坐標(biāo))原點原點 O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM向徑向徑 (矢徑矢徑): 起點為原點的向量起點為原點的向量.坐標(biāo)面及坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？坐標(biāo)面及坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)

10、系下在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點設(shè)點 M , ),(zyxM那那么么沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.rxiy jz kxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOCM點, , rOxxyzy z向量在坐有序數(shù)標(biāo)系中稱為的坐標(biāo), (, )rx y z記作，( ) rx,y,z有些教材記為向量的坐標(biāo)表達式向量的坐標(biāo)表達式據(jù)此定義： rOMxiyjzk ( ,

11、, )x y z四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ab(,)xxyyzzabababa(,)xyzaaaab,0 時當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實數(shù)已知兩點已知兩點例例3.在在AB直線上求一點直線上求一點 M , 使使設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為, ),(zyx如下圖如下圖ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù)及實數(shù),1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MB

12、OMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(解解:說明說明:得定比分點公式得定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當(dāng)點點 M 為為 AB 的中點的中點 , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:由由五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得, rOM作OMr OROQOP),(zyx QRKHNoMxyz r向量的模

13、的坐標(biāo)表達式P),(111zyxA因因AB得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx222212121()()()xxyyzz對兩點對兩點與與, ),(222zyxBBABAOAOBBA已知向量的起點和已知向量的起點和終點坐標(biāo)，寫出向終點坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)公式量的坐標(biāo)公式222111(,)(,)xyzxyz空間任意一點空間任意一點 M(x,y,z)M(x,y,z)22:yydxz到軸的距離為OyxzM22:zzdyx到軸的距離為22:xxdyz到軸的距離為注記：注記：例例4. ,2,mijnjkm n 設(shè)求以向量為邊的平行四邊形的對角線的長度.解：311.故該平行四

14、邊形的對角線的長度各為，11mn3mn，(1,3,1)mn(1,1,1)mn，,mnmn由向量加法知，平行四邊形的對角線的長為，在 z 軸上求與兩點例例5.5.)7,1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點為設(shè)該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得14,9z 故所求點為及)2,5,3(B14(0,0,) .9M離的點 . 考慮考慮: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?提示提示:(1) 設(shè)動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814yx(2) 設(shè)動點為, )

15、,(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z已知兩點已知兩點例例6.6.)5,0,4(A和和, )3,1 ,7(B解解:141)2,1,3(142,141,143.BABABAAB 求與同方向的單位向量AB (74,1 0,35)(3,1,2),AB 22231( 2) 14因因那那么么于是于是1|AB 2 2、向量的方向角與方向余弦、向量的方向角與方向余弦oyzx,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸與三坐標(biāo)軸rr稱的夾角的夾角 , , 為其方向為其方向角角.方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. cos,xrcos,yrcosrz222coscoscos1方向余弦的性質(zhì)方

16、向余弦的性質(zhì):r與向量同方向的單位向量1rerr)cos,cos,(cos設(shè)點設(shè)點 A A 位于第一卦限位于第一卦限, ,例例7.7.解解: 知知角依次為角依次為,34求點求點 A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,34那么那么222coscos1cos41因點因點 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故1cos,2于是于是(61,22,21)2)3,23,3(故點故點 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO3.3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影,uM軸垂直的平面作與過點 uM交軸于點， Oeu設(shè)點及單位向量決定軸，OMM u,OMe 設(shè) OMru稱為在軸上的分向量. MMu 稱為點在點軸上的投影， Pr j ( )uurr記作或