概率論與隨機過程：第6章 5各態(tài)歷經(jīng)譜分析

1、各態(tài)歷經(jīng)性的引言問題問題：在實際問題中如何確定一個平穩(wěn)過程的：在實際問題中如何確定一個平穩(wěn)過程的x及及Rx( )？解決方法：解決方法：1.按定義，要確定按定義，要確定X(t)的一族樣本函數(shù)或一、二維分布的一族樣本函數(shù)或一、二維分布 函數(shù)。函數(shù)。難辦難辦到到 2.用統(tǒng)計方法:如果我們能對過程X(t)進(jìn)行多次重復(fù)觀察從而得到多條樣本曲線,用統(tǒng)計方法可以估計其均值及自相關(guān)函數(shù) NkkxtxN1)(1 NkkkxtxsxNtsR1)()(1),(也不容易也不容易 3.在實際中,常用如下的方法確定x及Rx()： TTXTTXdttxtxTRdttxT)()(21)(,)(21 其中T充分大，x(t)是X

2、(t)的一個樣本函數(shù)。即：集平均（統(tǒng)計平均）實際上可以用一個樣本函數(shù)在即：集平均（統(tǒng)計平均）實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量，整個時間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量，本節(jié)就討論這種方法的理論依據(jù)。本節(jié)就討論這種方法的理論依據(jù)。想法：由于平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性，能否通過一個樣本函數(shù)所帶有的信息解決過程數(shù)字特征的估計。(1)對嚴(yán)平穩(wěn)過程在幾乎處處收斂的意義下的遍歷性定理；(2)對寬平穩(wěn)過程在均方收斂的意義均方收斂的意義下的遍歷性定理； 平穩(wěn)過程的遍歷性就是討論這種近似方法在何意義下有平穩(wěn)過程的遍歷性就是討論這種近似方法在何意義下有怎樣的可靠性。這類研

3、究結(jié)果一般稱為遍歷性定理。怎樣的可靠性。這類研究結(jié)果一般稱為遍歷性定理。由于所采用的極限由于所采用的極限(收斂收斂)的標(biāo)準(zhǔn)不同得到的遍歷性定理的標(biāo)準(zhǔn)不同得到的遍歷性定理也不同，關(guān)于平穩(wěn)過程的遍歷性主要有兩類：也不同，關(guān)于平穩(wěn)過程的遍歷性主要有兩類： 一、 平穩(wěn)過程遍歷性的定義： 首先引入平穩(wěn)過程X(t)，-t+沿整個時間軸上的兩種時間平均： 設(shè)X(t)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且對固定的，X(t)X(t+)也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程)(.)(21lim)(均均方方極極限限 TTTdttXTtX 時間相關(guān)函數(shù)： )()()(21lim)()(同同上上 TTTdttXtXTtXtX 時間均值： 1定義(1

4、). 設(shè)X(t)為平穩(wěn)過程，若=EX(t)=x以概率1成立，稱X(t)的均值具有均方遍歷性。均值具有均方遍歷性。(2)若，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有均方遍歷性相關(guān)函數(shù)具有均方遍歷性。(3)若(1)(2)均成立，則稱該過程具有均方遍歷性過程具有均方遍歷性，或稱為遍歷過程。問題：有沒有這種遍歷過程？例：計算隨機相位正弦波X(t)=acos( t+ )=acos t cos +sin t sin 的時間平均和. 解：已證此過程為平穩(wěn)過程。 TTTdttaTtX)cos(21lim)( 0sincoslim TTaT TTTdtttaTtXtX)(cos)

5、cos(21lim)()(2 cos22a 與第一節(jié)中集平均得到的結(jié)果相同。即：用時間平均和集平均算得的均值和自相關(guān)函數(shù)相同。 但并不是任意一個平穩(wěn)過程都是具有遍歷性的。例如：平穩(wěn)過程X(t)=Y，Y是方差異于0的隨機變量，就不是遍歷的。 這樣的積分這樣的積分可以像定積可以像定積分一樣計算分一樣計算 事實上， = = =Y. 即：時間均值隨Y取不同的可能值而不同。 TTTYdtT21lim 因Y的方差異于0，這樣就不可能以概率1等于常數(shù)EX(t)=EY。 12,12X tX tXP XX t 例 ：是隨機變量， 試確定的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 X tX解：是平穩(wěn)過程， 1122TTTTTTX

6、 tlimX t dtlimXdtXTT時間均值 0XtE X tEX因為 X t由定義知，的均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性 00XPX tP X即 2,1XRt tE X t X tE Xt與 無關(guān)11 1x t 2xt( )() ,2 , 01,A ( ),0,(0,2 )X tAcosttxxAf x 例3：證明:正弦波其中 是常數(shù)與 相互獨立其它在上均勻分布,是平穩(wěn)過程;并判斷其是否為各態(tài)歷經(jīng)過程. 1212( , )( )( )XRt tE X t X t:( )( )XtE X t證明E Acost( ) 0E A E cost212 ()()E A E costcost212111()co

7、s.()44costttt221201()()2E Acostcostd( )X t所以,是平穩(wěn)過程. 1 2TTTX tlimAcostdtT 0( )TAcos sin TlimE X tT2TA sinTsinTlimT 將A, 看作定值( ).X t即的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 .X tX t的相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性所以,不是各態(tài)歷經(jīng)過程 2 12TTTX t X tlimA costcostdtT22Acos2224TTTAlimcostcosdtT 222222422TsinTsinTA cosAlimT 1cos( ,)4XRt t 那么，一個平穩(wěn)過程滿足何條件才是各態(tài)歷經(jīng)的呢？下面

8、的定理給出了結(jié)論。 一、平穩(wěn)過程遍歷性的充要條件：平穩(wěn)過程遍歷性的充要條件：(均值遍歷性定理)均方連續(xù)的平穩(wěn)過程關(guān)于均值具有遍歷性 0)()21(1lim202 TXXTdRTT 1,0XXX tPX tEX tDX tX t 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的定義為思路:： 下面只要計算的均值與方差就可以了 12TTTE limX ttdtEXT 12TTTlimE X tdtT12TXXTTlimdtT 22XEXDXtt 2212TXTTElimX t dtT 21122214TTXTTTlim EX tdtX tdtT 21212214TTXTTTlimE X tX tdt dtT 2211221

9、4TTXXTTTlimRttdt dtT 續(xù)續(xù)證明：由遍歷性定義，只須證： 0)(21lim2 XTTTdttXTE 與上式等價。 2)(21XTTdttXTE 22)()()(41XTTXTTTTdttXTdttXdssXTE 展開展開22)(41XTTXXTTTTXdtTdtdsstRT 性性質(zhì)質(zhì)其中，令 tsts21 ，則 21111),(),(21 ts 2t,T T1t,TT,T T,TT2t2 ,0T1t0, 2T0,2T2 ,0T DXTTTTXdtsRdsdttsR2121)()( GXXddRR2122221)(4)( 是是偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 22012202)(2 TXT

10、dRd TXdRT20222)()2(2 TXTXdRTTdRT2020)()21(4)()2(2 22)(41XTTXXTTTTXdtTdtdsstRT 所以，所以， TXXdRTT202)()21(1 推論推論1 1. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程關(guān)于均值具有遍歷性 220)()21(1limXTXTdRTT 推論推論2 2. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，若滿足 ，則它關(guān)于均值具有均方遍歷性X=0。 dRX| )(|證：因為 TTXXdRTdRTT20200| )(|1|)()21(|1 X tX t X t在定理一的證明中，將換成，就可得到： 222lim0XXXXXXXXXXXlimRlim R

11、lim Clim Clim Rlim CXRlim RtX t在存在的條件下， 若,則定理一條件成立，即 若,則定理一條件不成立,即注意： 均值具有各態(tài)歷經(jīng)性均值不具有因此在或存在條件下，均值各態(tài)歷經(jīng)性的條件為：，即當(dāng)時間差 充分大時，和各態(tài)推歷經(jīng)性論：呈 Xlim R現(xiàn)不相對隨機相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各關(guān)性態(tài)歷經(jīng)的2 2( (自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理) ) 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，且對給定,X(t)X(t+)也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性 0)()()21(1lim201211 TXTdRBTT )()()()()(111 tXtXtXtXEB其其中

12、中 在實際問題中，通常只考慮定義在0t+上的平穩(wěn)過程，此時上兩定理所有時間平均應(yīng)以0t+上的平均代替，相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)性如下： 1.X(t)關(guān)于均值具有遍歷性 0)()1(1lim02 lXXldRll 2.X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性 0)()()1(1lim01211 lXldRBll 注：注：1.各態(tài)歷經(jīng)性定理的重要價值在于它從理論上給出了如下保證： 一個平穩(wěn)過程X(t)，只要滿足上述兩條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。即： TTXdttxT0)(1lim TTXdttxtxTR0)()(1lim)( 一、平穩(wěn)過程

13、的功率譜密度 引言 1時間函數(shù)的能譜密度（復(fù)習(xí)） 設(shè)x(t)(-t+)是時間t的函數(shù)，且 dttx)(2，由傅里葉變換理論： (1)設(shè)x(t)絕對可積，即 dttx| )(| 且滿足狄里克萊條件，則x(t)的傅里葉變換存在 dtetxFtj )()(,且在x(t)的連續(xù)點處 deFtxtj)(21)( 稱為F()的傅里葉反變換。其中F()一般為復(fù)值函數(shù)，有 )()()( FdtetxFtj (2)在x(t)和F()之間有巴塞瓦爾等式 dFdttx22| )(|21)(右邊的被積函數(shù)|F()|2 相應(yīng)地稱為能譜密度，巴塞瓦爾等式即可看作總能量的譜表示式。 記S()=|F()|2,則上式為： dS

14、dttx)(21)(2其中S()為偶函數(shù)。稱S()為x(t)的能譜密度， dSdttx)(21)(2稱為x(t)的總能量的譜表示。 2時間函數(shù)的功率譜密度 上面假定 即x(t)的總能量有限，在實際問題中，大多數(shù)函數(shù)的總能量都是無限的，因而不能滿足傅里葉變換條件，在工程技術(shù)中通常研究x(t)在(-t+)上的平均功率，即 dttx)(2 TTTdttxT)(21lim2及其譜表示。 設(shè)上極限存在，作一截尾函數(shù) TtTttxxT|0|)(那么xT(t)滿足傅里葉變換條件，于是有 TTtjtjTxdtetxdtetxTF )()(),(由巴塞瓦爾等式有 dTFdttxxT22| ),(|21)(兩邊同

15、除以2T，得x(t)在(-TtT)上的平均功率為 dTFxTdttxTdttxTTTT222| ),(|41)(21)(21 令T，并假定積分與極限運算可以交換順序，則 TTTdttxT)(21lim2 dTFTxT2| ),(|41lim dTFTxT2| ),(|21lim21 稱上式左邊平均功率，相應(yīng)地，稱右邊的被積函數(shù) 2| ),(|21limTFTxT 為x(t)的功率譜密度。 3平穩(wěn)過程的平均功率與功率譜密度 以上討論的是普通時間函數(shù)的頻譜分析，對于隨機過程X(t), - t +，=可作類似的分析。 設(shè)X(t)是均方連續(xù)隨機過程，作截尾隨機過程 0|0|),(),(tTttXtXT

16、 因XT(t)均方可積，故存在傅氏變換 TTtjTtjTxdtetXdtetXTF )()(),(由巴塞伐等式有 dTFdttXdttXxTTT222| ),(|21)()( 因為X(t)是隨機過程，于是有 dTFTEdttxTExTTTT22| ),(|2121lim)(21lim dTFxETT 2| ),(|21lim21 上式就是隨機過程X(t)的平均功率和功率譜密度關(guān)系的表示式。定義定義1 1：設(shè)X(t),-t0, mn，分母無實根。 例1:考慮隨機電報信號，它是平穩(wěn)過程且自相關(guān)函數(shù)為 ，A0,0, 求過程的功率譜密度。 AeRX)(解：應(yīng)用公式 0cos)(2)( dRSXX 0c

17、os2 dAe 0cos2 deA 0cos2 edA 020cos|sin12 deeA)(222 XSA 得： 222)( ASX例1:已知譜密度 9104)(242 XS 求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值解: . 9513819104)(22242 XS利用上例及傅氏變換的線性性質(zhì) ,112321322 936529522 于是 )6523(81)(| 3| eeRX)59(481| 3| ee均方值為 247)0(2 XXR例2: 已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為Rx()=e-a|Cos0 ,其中a0, 0為常數(shù)，求譜密度Sx()。 解: 00coscos2)( deSaX 000)cos()cos( dea202202)()( aaaa 0,01tttt dt：即單位函數(shù)沖激函數(shù)，定義如下： 0,0ffdf ： 對任一在連續(xù)的函數(shù)的基本性：質(zhì)函數(shù)有 0001 112111 22212