高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課件 文

1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用總綱目錄教材研讀1.幾種常見的函數(shù)模型考點(diǎn)突破2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟（四步八字）考點(diǎn)二考點(diǎn)二函數(shù)y=ax+的模型考點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型bx考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)四分段函數(shù)1.幾種常見的函數(shù)模型幾種常見的函數(shù)模型教材研讀教材研讀2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(四步八字四步八字)(1)審題審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3

2、)求模求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原還原:將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.以上過(guò)程用框圖表示如下:1.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),它最可能的函數(shù)模型是()A.一次函數(shù)模型B.冪函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型x45678910y15171921232527答案答案A根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知,自變量每增加1,函數(shù)值增加2,因此函數(shù)值的增量是均勻的,故為一次函數(shù)模型.A2.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每15分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng)過(guò)()A.12小時(shí)B.4小時(shí)C.3小時(shí)D.2小時(shí)答案答案C設(shè)需經(jīng)過(guò)t小時(shí),由題意知24t=40

3、96,即16t=4096,解得t=3.C3.(2015北京西城二模)某工廠更新設(shè)備,已知在未來(lái)x年內(nèi),此設(shè)備所花費(fèi)的各種費(fèi)用總和y(萬(wàn)元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x2+64,若欲使此設(shè)備的年平均花費(fèi)最低,則此設(shè)備的使用年限x為()A.3B.4C.5D.6答案答案B設(shè)該設(shè)備的年平均花費(fèi)為z萬(wàn)元,則z=4x+32,當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=4時(shí),z取最小值,故選B.yx2464xx64x64xB4.用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地,且中間有兩道隔墻(如圖),要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為.答案答案3解析解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x,矩形的面積為S,則S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)

4、2+18,當(dāng)x=3時(shí),S取最大值.3典例典例1某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的一段拋物線.已知跳水板AB的長(zhǎng)為2m,跳水板距水面CD的高BC為3m.為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,訓(xùn)練時(shí)跳水運(yùn)動(dòng)員應(yīng)在離起跳點(diǎn)A的水平距離為hm(h1)的一處達(dá)到距水面最大高度4m.規(guī)定:以C為原點(diǎn),CD所在直線為橫軸,BC所在直線為縱軸建立直角坐標(biāo)系.(1)當(dāng)h=1時(shí),求跳水曲線所在的拋物線方程;(2)當(dāng)跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果,求此時(shí)h的取值范圍.考點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型考點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)由題意知最高點(diǎn)為(2+h,4),h1,設(shè)拋

5、物線方程為y=ax-(2+h)2+4,當(dāng)h=1時(shí),最高點(diǎn)為(3,4),拋物線方程為y=a(x-3)2+4,將A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以當(dāng)h=1時(shí),跳水曲線所在的拋物線方程為y=-(x-3)2+4.(2)將點(diǎn)A(2,3)代入y=ax-(2+h)2+4,得ah2=-1.由題意知方程ax-(2+h)2+4=0在區(qū)間5,6內(nèi)有一解.令f(x)=ax-(2+h)2+4=-x-(2+h)2+4,則f(5)=-(3-h)2+40,且f(6)=-(4-h)2+40.解得1h.故所求h的取值范圍是.21h21h21h4341,3方法技巧方法技巧對(duì)于實(shí)際生活中的二次函數(shù)問(wèn)題(如

6、面積、利潤(rùn)、產(chǎn)量問(wèn)題等),可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型,結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點(diǎn)解決,解題時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域.1-1(2016北京西城二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表:,0,(),.CxACB xA xA月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3煤氣,則其煤氣費(fèi)為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元A解析解析A由題表知一月份、二月份、三月份煤氣費(fèi)分別為4元,14元,19元,這三個(gè)月煤氣費(fèi)的計(jì)算有以下2種情況:(1)這三個(gè)月的煤

7、氣費(fèi)均由f(x)=C+B(x-A)(xA)計(jì)算得到.故由得B=.由得B=.矛盾.故不可能為此種情況.(2)一月份的煤氣費(fèi)由f(x)=C(0A)計(jì)算得到.f(x)=當(dāng)x=20時(shí),f(20)=4+(20-5)=11.5.故選A.4,(25)14,(35)19,CCBACBA5,1,24,ABC4,05,14(5),5.2xxx12考點(diǎn)二函數(shù)考點(diǎn)二函數(shù)y=ax+的模型的模型bx典例典例2某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買飼料,已知該場(chǎng)每天需要飼料200千克,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元,購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.求該場(chǎng)多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少

8、.解析解析設(shè)該場(chǎng)x(xN*)天購(gòu)買一次飼料可使平均每天支付的總費(fèi)用最少,平均每天支付的總費(fèi)用為y元.因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)(元).從而有y=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357417,當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=10時(shí),y有最小值.故該場(chǎng)10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.1x300 x300 x方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)應(yīng)用函數(shù)f(x)=ax+模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)=疊加而成的.(2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)

9、一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+的形式.(3)利用模型f(x)=ax+求解最值時(shí),要注意自變量的取值范圍,及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.bxbxbxbxbx2-1利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間,年生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y=-30 x+4000,則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量為()A.240噸B.200噸C.180噸D.160噸210 x答案答案B依題意,得每噸的成本為=+-30,則2-30=10,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=200時(shí)取等號(hào),因此,當(dāng)每噸成本最低時(shí),年產(chǎn)量為200噸.yx10 x4000

10、 xyx400010 xx10 x4000 xB考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型典例典例3(1)(2016北京西城期末)某食品的保鮮時(shí)間t(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(恒溫,單位:)滿足函數(shù)關(guān)系t=且該食品在4的保鮮時(shí)間是16小時(shí).該食品在8的保鮮時(shí)間是小時(shí);已知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示,那么到了此日13時(shí),甲所購(gòu)買的食品是否過(guò)了保鮮時(shí)間.(填“是”或“否”)664,0,2,0,kxxx(2)(2015四川,8,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718

11、為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33的保鮮時(shí)間是()A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.28小時(shí)答案答案(1)4是(2)C解析解析(1)食品在4的保鮮時(shí)間是16小時(shí),24k+6=16,解得k=-.t(8)=2-4+6=4.12由題圖可知在12時(shí)時(shí),溫度為12,此時(shí)該食品的保鮮時(shí)間為2-6+6=20=1小時(shí).到13時(shí),該食品已過(guò)保鮮時(shí)間.(2)由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,將代入得e22k=,則e11k=,當(dāng)x=33時(shí),y=e33k+b=e33keb=192=24,所以該食品在33的保鮮時(shí)間

12、是24小時(shí).故選C.1412312方法技巧方法技巧一般地,涉及增長(zhǎng)率問(wèn)題、存蓄利息問(wèn)題、細(xì)胞分裂問(wèn)題等,都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解.求解時(shí)注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化,指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實(shí)際問(wèn)題中的條件限制.3-1(2016四川,7,5分)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年B答案答案B設(shè)第n(nN*)年該

13、公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元.根據(jù)題意得130(1+12%)n-1200,則lg130(1+12%)n-1lg200,lg130+(n-1)lg1.12lg2+2,2+lg1.3+(n-1)lg1.12lg2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n,又nN*,n5,該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年.故選B.245典例典例4國(guó)慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)900元;若每團(tuán)人數(shù)大于30,則給予優(yōu)惠:每多1人,機(jī)票每張減少10元,直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機(jī),旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元

14、.(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?考點(diǎn)四分段函數(shù)考點(diǎn)四分段函數(shù)解析解析(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x,由題意得0 x75(xN*),飛機(jī)票價(jià)格為y元,則y=(xN*),即y=(xN*).(2)設(shè)旅行社獲利S元,則S=(xN*),即S=(xN*).因?yàn)镾=900 x-15000在區(qū)間(0,30上為單調(diào)增函數(shù),故當(dāng)x=30時(shí),S取最大值12000元,900,030,900 10(30),3075xxx900,030,1200 10 ,3075xxx90015000,030,(1200 10 ) 15000,3075xxxxx290015000,030,1

15、0(60)21000,3075xxxx又S=-10(x-60)2+21000的定義域?yàn)?30,75,所以當(dāng)x=60時(shí),S取得最大值21000.故當(dāng)x=60時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn).方法技巧方法技巧(1)在很多實(shí)際問(wèn)題中,變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式表示,這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型,如出租車的收費(fèi)與路程的關(guān)系.(2)求函數(shù)的最值常利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等.在求分段函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先求每一段上的最值,然后比較得最大值、最小值.4-1某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2019年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似為p(x)=x(x+1)(39-2x)(xN*,且x12).已知第

16、x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的關(guān)系近似是q(x)=(1)寫出2019年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試問(wèn)2019年第幾個(gè)月的旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?12*352 (N ,16),160(N ,712).xx xxxx且且解析解析(1)當(dāng)x=1時(shí),f(1)=p(1)=37,當(dāng)2x12,且xN*時(shí),f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40 x,經(jīng)驗(yàn)證x=1時(shí)也滿足此式,所以f(x)=-3x2+40 x(xN*,且1x12).(2)由題意知第x個(gè)月的旅游消費(fèi)總額為g(x)=即g(x)=當(dāng)1x6,且xN*時(shí),12122*2*( 3x40 )(352 )(N ,16),160( 3x40