第2章-電磁場基本規(guī)律

1、 本章主要討論電動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)和理論基礎(chǔ)本章主要討論電動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)和理論基礎(chǔ) 確立靜止和穩(wěn)定情況的分布電荷與分布電流的概念；在確立靜止和穩(wěn)定情況的分布電荷與分布電流的概念；在電荷守恒的前提下，確立電流連續(xù)性方程。電荷守恒的前提下，確立電流連續(xù)性方程。 在在庫侖實(shí)驗(yàn)定律庫侖實(shí)驗(yàn)定律和和安培力實(shí)驗(yàn)定律安培力實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上建立的基礎(chǔ)上建立電場強(qiáng)電場強(qiáng)度度和和磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度的概念。的概念。 在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計(jì)算電場與在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計(jì)算電場與磁場的矢量積分公式磁場的矢量積分公式。 在在電磁感應(yīng)定理電磁感應(yīng)定理的基礎(chǔ)上引入的基礎(chǔ)上引入位移電流位移電流的概

2、念的概念。引言2.1 2.1 電磁場的源變量電磁場的源變量1. 1. 電荷及電荷密度電荷及電荷密度q 體電荷密度體電荷密度 (Volume Charge Density)(Volume Charge Density)體電荷：體電荷：電荷分布于三唯空間。本教程約定：本教程約定：場源場源( (源點(diǎn)源點(diǎn)) )的分布空間一律用帶撇的坐標(biāo)的分布空間一律用帶撇的坐標(biāo)表示；場表示；場( (場點(diǎn)場點(diǎn)) )的分布空間用不帶撇的坐標(biāo)表示。的分布空間用不帶撇的坐標(biāo)表示。 VdVdqVqrlim0體電荷密度：體電荷密度：（3維）維）q 面電荷密度面電荷密度(Surface Charge Density)(Surfac

3、e Charge Density)面電荷：面電荷：電荷分布在某一薄層(曲面)上。 SsdSdqSqrlim0面電荷密度：面電荷密度：q 線電荷密度線電荷密度(Line Charge Density)(Line Charge Density)線電荷：線電荷：電荷分布在某一 曲線上。 lldldqlqrlim0線電荷密度：線電荷密度：（2維）維）（1維）維）q 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 (Point Charge)(Point Charge) rqxy 位于空間位于空間 處帶電量為處帶電量為q的點(diǎn)電的點(diǎn)電荷，其電荷密度可以用數(shù)學(xué)上的荷，其電荷密度可以用數(shù)學(xué)上的 函函數(shù)描述：數(shù)描述： r rq r - r r是

4、場點(diǎn)的位置矢量。是場點(diǎn)的位置矢量。的點(diǎn)包含的點(diǎn)不包含 rr V rr VdV r - rV 1 0且且 rr rr r - r 0而而（0維）維）2. 2. 電流及電流密度電流及電流密度q 體電流密度體電流密度(Volume Current Density)(Volume Current Density)體電流：體電流： 電流分布于三維空間體電流密度：體電流密度：描述空間各點(diǎn)電流的大小和方向的差異定義定義 體電流密度矢量體電流密度矢量J: 空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)J 的方向是該點(diǎn)上電流的方向，其大小的方向是該點(diǎn)上電流的方向，其大小等于在該點(diǎn)與等于在該點(diǎn)與J 垂直垂直的單位面積上的電流，即的單位面積

5、上的電流，即dSdieSieJnSnlim0J Sne 為電流密度的方向，也是為電流密度的方向，也是面元面元 S的法向單位矢量。的法向單位矢量。ne 通過任意曲面S的電流： SSdSJSdJicos即為電流密度矢量場J 的通量。體電流密度和體電荷密度的關(guān)系：體電流密度和體電荷密度的關(guān)系： v r rJv 是電荷定向運(yùn)動(dòng)的速度q 面電流密度面電流密度(Surface Current Density)(Surface Current Density)面電流：面電流： 電流分布在某一薄層(曲面)上面電流密度矢量面電流密度矢量JS ：其方向規(guī)定為電流的流向，其大小定義為在垂直于電流方向上單位長度的電流

6、垂直于電流方向上單位長度的電流，即dldielieJnlnSlim0lSSJ 是面電流方向的單位矢量。ne 通過薄層上任意有向曲線有向曲線l 的電流lSl dnJi1lSSJ1 n1 n 為薄層(即曲面S)的法向單位矢量l d為有向曲線l 的線元矢量 1 nSJl ddl 證明：證明：在有向曲線上任取一線元矢量 ，如圖。流過線元 的電流l dl dsindlJdlJdiss是 與 的夾角。l dSJ令令 位矢量電流分布表面的法向單的單位矢量的單位矢量 1 nJel deSnl1 nSJl ddl且 、 和 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。l d1 nSJ利用nleennnsinsin111sindlJdis

7、代入上式nlseendlJ 1 nsleJedln1S1Jldndi則通過有向曲線l 的電流lSlSldnJJldni11得證。面電流密度和面電荷密度的關(guān)系：面電流密度和面電荷密度的關(guān)系： v r rJSSv 是電荷定向運(yùn)動(dòng)的速度q 線電流線電流(Line Current )(Line Current )線電流：線電流： 電流沿某一細(xì)線(導(dǎo)線)流動(dòng)電流元矢量電流元矢量 ：其方向規(guī)定為電流的方向， 是導(dǎo)線上的任意線元矢量。lIdl dIIlId2.2 2.2 電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程S 考慮任意閉合曲面S，由于電荷守恒，單位時(shí)間內(nèi)從S內(nèi)流出的電荷量(i.e. 流過S的電流)應(yīng)該等于閉曲面S所

8、包圍的體積V內(nèi)的電荷減少量，即qVSdVdtddtdqSdJ- 電流連續(xù)性方程之積分形式電流連續(xù)性方程之積分形式VSdVtSdJ改寫成應(yīng)用散度定理VSdVJSdJ0tVdVJ則有由于S任意，故體積V也任意，則0tJ- 電流連續(xù)性方程之微分形式電流連續(xù)性方程之微分形式討論：討論：對(duì)于恒定電流，有00ttJ及故恒定電流的電流連續(xù)性方程為0SSdJ或0 J說明恒定電流場說明恒定電流場J 是無散場，無散度源是無散場，無散度源(通量源通量源)。 由于 ，故令 ，A是某個(gè)矢量場，則流過任意曲面S的電流0 JAJlSSl dASdASdJi最后一步使用了Stockes定理。對(duì)比恒定磁場B的環(huán)路定理il dB

9、l0不難發(fā)現(xiàn)HBA0HJ所以有l(wèi)l dAi 即可見，恒定磁場可見，恒定磁場H的旋度等于磁場的漩渦源密度，即電流密度。的旋度等于磁場的漩渦源密度，即電流密度。2.3 2.3 真空中靜電場的基本規(guī)律真空中靜電場的基本規(guī)律 靜電場的基本靜電場的基本實(shí)驗(yàn)定律實(shí)驗(yàn)定律是是庫侖定律庫侖定律，由庫侖定律可以導(dǎo)出，由庫侖定律可以導(dǎo)出電場強(qiáng)度的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上結(jié)合矢量分析，可進(jìn)一步導(dǎo)電場強(qiáng)度的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上結(jié)合矢量分析，可進(jìn)一步導(dǎo)出靜電場其他的基本規(guī)律出靜電場其他的基本規(guī)律-Gauss定理定理和和環(huán)路定理環(huán)路定理。庫侖定律庫侖定律電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度矢量分析矢量分析電場散度電場散度 (Gauss定理定理)電場

10、旋度電場旋度 (環(huán)路環(huán)路定理定理)定義定義（本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖）1. 1. 庫侖定律庫侖定律 ( (Koulombs Law)真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2之間的靜電力RRqqF302112412F表示q1對(duì)q2的作用力1221FF表示q2對(duì)q1的作用力迭加原理：迭加原理：NiiiiRRqqF1304(N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng))12rrReRRq1q21r2rR12F21F2. 2. 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 ( (Electric Field)定義式定義式000limqFEq(q0是檢驗(yàn)電荷)根據(jù)定義式導(dǎo)出不同電荷分布激發(fā)的電場強(qiáng)度：q 點(diǎn)電荷的電場點(diǎn)電荷的電場RRqE304rrReRRqP rrR場點(diǎn)場點(diǎn)源點(diǎn)源點(diǎn)

11、oEq 點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電場點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電場31014NiiiqERR（迭加原理）（迭加原理）q 電荷連續(xù)分布的帶電體的電場電荷連續(xù)分布的帶電體的電場 體電荷的場體電荷的場 dV r rr rrEV3041 面電荷的場面電荷的場 dS r rr rrESS3041 線電荷的場線電荷的場 dl r rr rrEll3041+_doPr2r1rz例例1： 計(jì)算電偶極子的電場強(qiáng)度。電偶極子電偶極子 - 相距很小距離小距離d的兩個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷(+q和-q)組成的系統(tǒng)。EE解：解：以兩點(diǎn)電荷連線為z軸，連線的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖。 由迭加原理，偶極子在任意場點(diǎn)P的場強(qiáng)EEEEE和分別是+q和-q在

12、場點(diǎn)P的電場強(qiáng)度。3220311044rr-qrrqE22derrz21derrz而 以及 33022224derderderderqEzzzz在電磁理論中，通常討論的是遠(yuǎn)離偶極子的區(qū)域內(nèi)的場，即有 ，此時(shí)dr 233222derderderzzz+_doPr2r1rzEE2323232214rderrdderrz-z利用級(jí)數(shù)展開22322311rderrderzz代入上式有2332312rderrderzz2332312rderrderzz類似地33022224derderderderqEzzzz因此，場點(diǎn)P的電場強(qiáng)度近似為derrderrqEzz34230引入電偶極矩矢量 則qdePePz

13、zPrrPrrE230341球坐標(biāo)中，偶極矩矢量eePPePrzsincos則 rPeePrePrrrcossincoseerPErsincos2430故+_doPr2r1rzEE2. 2. 靜電場的散度和旋度靜電場的散度和旋度 亥姆霍茲定理指出，任一矢量場由它的散度、旋度和亥姆霍茲定理指出，任一矢量場由它的散度、旋度和 邊界條件唯一確定，因此要確定靜電場，就需要先討論邊界條件唯一確定，因此要確定靜電場，就需要先討論它的散度和旋度。它的散度和旋度。q 靜電場的散度和靜電場的散度和GaussGauss定理定理 dV rRREV3041由電場強(qiáng)度的表達(dá)式取其散度，并利用函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)果(附錄)

14、：0E （1）兩邊作體積分00qdVdVEencVVqenc代表V內(nèi)的電荷總量。左邊利用散度定理之后，有 (1)式表明靜電場是式表明靜電場是有散場有散場，任意點(diǎn)的散度和該點(diǎn)的電荷，任意點(diǎn)的散度和該點(diǎn)的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱密度有關(guān)，靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱發(fā)散源發(fā)散源；為負(fù)則稱；為負(fù)則稱匯聚源匯聚源。0qSdEencS（2）(2)式即為式即為Gauss定理得積分形式，定理得積分形式，(1)式為其微分形式。式為其微分形式。Gauss定理是庫侖定律的必然結(jié)果。定理是庫侖定律的必然結(jié)果。高斯定理高斯定理0E 0qSdEencS微分形式微分形式積分形式積

15、分形式附錄附錄： (1)式證明式證明 33001144VVRRE r dV r dVRR利用利用34RrrR 0001441 VVErr r dVrr r dV r則有則有(此處利用率此處利用率 函數(shù)的積分性質(zhì)函數(shù)的積分性質(zhì))也可以不使用也可以不使用 函數(shù)的性質(zhì)作出證明：函數(shù)的性質(zhì)作出證明：3334333113131 ; RRRR RRRRRRRRRRRRR =Rrr3 30RrrRrR 當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，上面的積分結(jié)果為此時(shí)，上面的積分結(jié)果為0；因此只有當(dāng)；因此只有當(dāng) 時(shí)，積分才時(shí)，積分才為不為不0，此時(shí)，此時(shí) 可提出積分號(hào)外：可提出積分號(hào)外： = r r =rr 330000=444VS r

16、rRR dSdVRR r rd 0E 故有故有q 靜電場的旋度和環(huán)路定理靜電場的旋度和環(huán)路定理 rrRdV rRREV ;4130由電場強(qiáng)度的表達(dá)式取其旋度： VdVR rE041利用 ，將E 改寫 31RRR dVR rdVR rEVV0041141這里最后一步是由于算符只對(duì)場點(diǎn)坐標(biāo)(不帶撇)作用。表明靜電場是表明靜電場是無旋無旋的，電場線不構(gòu)成閉合曲線的，電場線不構(gòu)成閉合曲線(非渦漩結(jié)構(gòu)非渦漩結(jié)構(gòu))結(jié)果：結(jié)果：0E(3)意義：意義：單位正點(diǎn)電荷沿閉合路徑l運(yùn)動(dòng)一周，電場做功為0- 靜電場是保守場。靜電場是保守場。取其面積分，并利用Stockes定理lSl dESdElldE0(4)-環(huán)路定

17、理環(huán)路定理環(huán)路定理也是庫侖定律的必然結(jié)果。環(huán)路定理也是庫侖定律的必然結(jié)果。q 真空中真空中靜電場的基本方程靜電場的基本方程微分形式微分形式0E 0E0qSdEencSlldE0積分形式積分形式這組方程揭示靜電場的基本性質(zhì)：這組方程揭示靜電場的基本性質(zhì)：有散有散、無旋無旋、保守性保守性或或回顧本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)回顧本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)2.4 2.4 真空中恒定磁場的基本規(guī)律真空中恒定磁場的基本規(guī)律 恒定磁場的基本實(shí)驗(yàn)定律是安培定律，由安培定律可以導(dǎo)出磁場強(qiáng)度的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上結(jié)合矢量分析，可進(jìn)一步導(dǎo)出恒定磁場其他的基本規(guī)律磁通連續(xù)性原理和環(huán)路定理。安培定律磁場強(qiáng)度(畢-薩定理)矢量分析磁場散度 (連續(xù)性原理

18、)磁場旋度 (環(huán)路定理)定義定義（本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖）1. 1. 安培力定律安培力定律 (Ampres Law) O1r2rR11l dI22l dI1I2I1C2C 安培力定律描述了真空中兩個(gè)電流回路間作用力(安培力)的規(guī)律。定律內(nèi)容：定律內(nèi)容： 真空中兩電流回路C1、C2，載流分別為I1、I2，則C1上電流元 對(duì)C2上電流元 的作用力為 11l dI22l dI02211123()4I dlI dlRdFR70410 H/m21RRRrr 其中真空中磁導(dǎo)率則回路C1對(duì)C2的作用力為 21311220214C CRRl dIl dIF回路C2對(duì)C1的作用力為2112FF2. 2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢

19、量磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B磁場：磁場：電流在其周圍形成的一種物質(zhì)。磁場的重要特性：磁場的重要特性：會(huì)對(duì)處于其中的運(yùn)動(dòng)電荷(電流電流)產(chǎn)生力的作用，稱為磁場力，從而表現(xiàn)為電流與電流之間的作用力。磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B: 描述磁場分布，可由安培力定律得到其表達(dá)式 從場的觀點(diǎn)，從場的觀點(diǎn)，C1和和C2間的作用是經(jīng)由某種間的作用是經(jīng)由某種特殊媒介特殊媒介場場(磁場磁場)完完成的成的.21311022214CCRRl dIl dIF因 是I1的磁場對(duì)I2的作用，改寫 的表達(dá)式為21F21F21311220214C CRRl dIl dIF13110214CRRl dIB中的項(xiàng)只和電流I1有關(guān)，可視為電流I1在電

20、流元 處的磁場，稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度，表示為22l dI去掉所有的腳標(biāo)，得到電流I的磁場CRRlIdB304-定義式定義式 O rrRICP rrRRRlIdBC ;430表示任意的電流回路C在空間任意點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 lId根據(jù)矢量迭加原理，回路C上的電流元 產(chǎn)生的磁場 lIdBd 304RRlIdBd-畢奧畢奧-薩伐爾定理薩伐爾定理體分布電流的磁場：體分布電流的磁場： 430dV RR rJBV體電流元體電流元 dV rJ面分布電流的磁場：面分布電流的磁場： dS RR rJBSS304面電流元面電流元 dS rJS線分布電流的磁場：線分布電流的磁場： 430 RR lIdBC線電流

21、元線電流元 lId矢性點(diǎn)源矢性點(diǎn)源xyzI lId rP(0,0,z)rR例：例： 計(jì)算半徑為a的電流圓環(huán)軸線上任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：解：由畢奧-沙伐爾定理CRRlIdB3041 222Rzaaeze rrRz dIaeIazdeaezeadeIR lIdzz220232204 dazaezeIaBz由于0sincos2020deedeyx故2322202 azIaeBz3. 3. 恒定磁場的散度和旋度恒定磁場的散度和旋度q 恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理利用 ，將B 改寫為 31RRR 430dV RR rJBV由畢-薩定理，磁感應(yīng)強(qiáng)度 140dV R rJB

22、V再利用矢量恒等式(見本教程附錄)AuAuAu 140dV rJRR rJBV進(jìn)一步將B 改寫為由于算符只對(duì)場點(diǎn)坐標(biāo)(不帶撇)微分，故上式第二項(xiàng)為0，則 4400 dVR rJdVR rJBVV取其散度 40 dVR rJBV 0 B 0SdBS散度散度定理定理磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 0 B 0SdBS(微分形式微分形式)(積分形式）積分形式）無散場無散場磁力線是無磁力線是無頭無尾的閉頭無尾的閉合線合線q 恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理 430dV RR rJBV對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度取旋度，可得JB0Stockes定理定理Il dBC0(環(huán)路定理環(huán)路定理)恒定磁場是有旋

23、場，電流恒定磁場是有旋場，電流J就是恒定磁場的漩渦源就是恒定磁場的漩渦源q 真空中真空中恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 0 B微分形式微分形式JB0 0SdBSIl dBC0積分形式積分形式場的基本性質(zhì)：場的基本性質(zhì)：有旋、無散、磁感應(yīng)線是閉合線、電流是磁場的漩渦源有旋、無散、磁感應(yīng)線是閉合線、電流是磁場的漩渦源或或回顧本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)回顧本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)2.5 2.5 媒質(zhì)的電磁特性媒質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)的導(dǎo)電特性介質(zhì)的導(dǎo)電特性特征參量特征參量介電常數(shù)介電常數(shù) 磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 -+-+-+-+-+-+-

24、+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(a) 加電場前加電場前(b) 加電場時(shí)加電場時(shí)0E1. 1. 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化-+FFp-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(c) 極化后極化后0EE EEE0極化后介質(zhì)內(nèi)部的場被“削弱”了：介質(zhì)被極化程度越高，其內(nèi)部場削弱的也越多。介質(zhì)中的體元 V介質(zhì)分子的等效偶極矩 ip分子（偶極子）數(shù)密度 N介質(zhì)分子的平均偶極矩 avpq 極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量P： 描述介質(zhì)極化程度的物理量。定義式：

25、定義式：0limiiavVpPNpV 求和偶極子內(nèi)所有分子對(duì))( Viq 極化電荷密度極化電荷密度 極化電荷體密度極化電荷體密度 在介質(zhì)內(nèi)任取一閉合面S，在S上取一面元dS,以dS為底，偶極子之正負(fù)電荷間距l(xiāng)為斜高構(gòu)成如圖所示的體積元V。dS-+-+-+-+l 顯然只有中心在V內(nèi)的偶極子才有正電荷穿出面元dS，則從面元dS穿出去的正電荷量： avqNP dl dSNpSdS 故從閉合面S穿出的正電荷量：SSdP而留在S內(nèi)的極化電荷量為VPVdVdVPSdPS極化電荷體密度。P由于S及V任意，所以有PP若介質(zhì)被均勻極化，則若介質(zhì)被均勻極化，則P與位置無關(guān)，有與位置無關(guān)，有 ，因此均，因此均勻極化

26、時(shí)介質(zhì)內(nèi)部無體極化電荷。勻極化時(shí)介質(zhì)內(nèi)部無體極化電荷。 0P 第一個(gè)等號(hào)的理由？ 介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度介質(zhì)1介質(zhì)2Sdne ne 分界面上由介質(zhì)介質(zhì)1指向指向介質(zhì)介質(zhì)2的法向單位矢-+-+Sd包含dS的薄層12從薄層右側(cè)面穿出的正電荷量SdP2P2右側(cè)面上(介質(zhì)2)的極化強(qiáng)度從薄層左側(cè)面穿入的正電荷量SdP1P1左側(cè)面上(介質(zhì)1)的極化強(qiáng)度而薄層內(nèi)的凈剩極化電荷量為dSSdPPP12極化電荷面密度，PnPePP21若介質(zhì)2是真空，則02PnPePP是介質(zhì)的極化強(qiáng)度 ： 介質(zhì)1介質(zhì)2ne q 介質(zhì)中的介質(zhì)中的GaussGauss定理定理真空中的Gauss定理：

27、0E 是靜電場的通量源。存在電介質(zhì)時(shí)，極化產(chǎn)生的極化電荷P也是產(chǎn)生電場的通量源，故0PE代入關(guān)系式 有PPPE0定義電位移矢量DPED0介質(zhì)中的介質(zhì)中的Gauss定理定理D qSdDS或?qū)τ诰€性、各向同性介質(zhì)，一般有EPe0則電位移矢量DEEEDre001-電介質(zhì)的電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 是自由電荷密度例：例：半徑為a、介電常數(shù)為的球形電介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度 式中k為常數(shù)。 （1）計(jì)算極化電荷體密度和面密度； （2）計(jì)算介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度。rkePr解解: (1) 極化電荷體密度22222P11rkrkrdrdrPrdrdrPr球面上極化電荷面密度(介質(zhì)球中心為球坐標(biāo)原點(diǎn))akerkeeP

28、arrrn(2) 由介質(zhì)中的Gauss定理，介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷密度DPDPED00而P01PD即20P0rk所以2. 2. 磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)的磁化q 分子電流模型分子電流模型iSne 由于電子繞核運(yùn)動(dòng)，每個(gè)磁介質(zhì)分子等效于一個(gè)環(huán)形電流，稱分子電流，分子電流，其磁特性可由磁偶極矩表示：nmeSipne 和分子電流i的方向構(gòu)成右手螺旋S為分子電流所圍面元q 介質(zhì)的磁化機(jī)理介質(zhì)的磁化機(jī)理(a)磁化前(b)磁化時(shí)0B宏觀上出現(xiàn)宏觀上出現(xiàn)了磁化電流了磁化電流磁化后介質(zhì)內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度:BBB0(c)磁化后0B磁化電流的場B0 BB若介質(zhì)為順磁體順磁體 0 BB若介質(zhì)為抗磁體抗磁體 q 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度

29、磁化強(qiáng)度矢量磁化強(qiáng)度矢量M ： 描述介質(zhì)磁化程度(i.e.分子磁矩取向程度)的物理量。定義式定義式VpMimiV0lim對(duì)介質(zhì)中體積V內(nèi)的所有分子求和。q 磁化電流磁化電流 介質(zhì)內(nèi)部的磁化電流體密度介質(zhì)內(nèi)部的磁化電流體密度MJM 介質(zhì)表面的磁化電流面密度介質(zhì)表面的磁化電流面密度由Stockes定理，流過介質(zhì)中任意曲面S的磁化電流CSSMMl dMSdMSdJIneMJSMne 介質(zhì)表面的法向單位矢量q 磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理真空中的環(huán)路定理：JB0J是磁場的漩渦源。存在磁介質(zhì)時(shí)，磁化產(chǎn)生的磁化電流JM也是產(chǎn)生磁場的漩渦源，故MJJB0代入關(guān)系式MJMJMB0有引入包含磁化

30、效應(yīng)的物理量引入包含磁化效應(yīng)的物理量-磁場強(qiáng)度矢量磁場強(qiáng)度矢量H：對(duì)于線性、各向同性磁介質(zhì)HMm磁化率 是無量綱常數(shù)。對(duì)于順磁性物質(zhì)10-3的正數(shù)；抗磁性物質(zhì)10-6 - 10-5的負(fù)數(shù)。mMBH0(磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度)則有HHHBrm001-磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系對(duì)非鐵磁性材料非鐵磁性材料0引入磁場強(qiáng)度矢量之后，介質(zhì)中的環(huán)路定理介質(zhì)中的環(huán)路定理寫為：JHIl dHC或或等式的右邊僅為傳導(dǎo)電流，磁化電流的影響則包含在磁場強(qiáng)度H中。例題：例題：無限長線電流位于z軸，介質(zhì)分界面為平面，求磁化電流分布。解：解：由磁場強(qiáng)度的定義知HHBM100由于磁場呈軸對(duì)稱分布，可用安培環(huán)路定律求解磁場強(qiáng)度

31、，其方向沿 方向。e IeH2是離導(dǎo)線的距離xz10Io0 20 0001zIezM介質(zhì)中的磁化強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)的磁化電流0 :0MJzM介質(zhì)分界面(z=0)的磁化面電流eIeeMeMeMJznM2001zSxz10Io0020z1001zIeeerIeMJzM2 :00013. 3. 介質(zhì)的導(dǎo)電特性介質(zhì)的導(dǎo)電特性 對(duì)于線性、各向同性的導(dǎo)電介質(zhì)，介質(zhì)內(nèi)任意點(diǎn)的電流密度和電場強(qiáng)度成正比關(guān)系：EJ(歐姆定律之微分形式、本構(gòu)關(guān)系歐姆定律之微分形式、本構(gòu)關(guān)系) 稱為介質(zhì)的電導(dǎo)率，SI單位S/m 。q 導(dǎo)電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系導(dǎo)電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 EJl dSddSdll dESdJRUI lnlneeeEeJ理想導(dǎo)

32、體理想導(dǎo)體: 強(qiáng)導(dǎo)電介質(zhì)強(qiáng)導(dǎo)電介質(zhì)(良導(dǎo)體良導(dǎo)體)： 107 S/m理想介質(zhì)理想介質(zhì): 0導(dǎo)電介質(zhì)分類導(dǎo)電介質(zhì)分類鏈接：鏈接：常見材料的電導(dǎo)率和相對(duì)介電常數(shù)說明：說明：JEEJ1) 只有理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體內(nèi)的恒定電場為0；2) 在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)(是常量)內(nèi)，電場E和J的方向相同；材料電導(dǎo)率材料電導(dǎo)率相對(duì)介電常數(shù)銀6.17107海水581.0銅5.80107蒸餾水210-480.0金4.10107干土110-52.8鋁3.82107清水110-380.0黃銅1.57107石灰石110-2青銅1.00107蠟110-114.0鐵1.00107聚乙烯110-132.2鎢1.82107石英110-175.

33、0鎳1.45107橡膠110-153.0常見材料的電導(dǎo)率和相對(duì)介電常數(shù)常見材料的電導(dǎo)率和相對(duì)介電常數(shù)有漏電的介質(zhì)有漏電的介質(zhì) 由于介質(zhì)的電導(dǎo)率有限，外電場迫使電荷在介質(zhì)中定向運(yùn)動(dòng)時(shí)要消耗電場能量，表現(xiàn)為發(fā)熱損耗發(fā)熱損耗(或焦耳熱焦耳熱)。q 導(dǎo)電媒質(zhì)中的能量損耗關(guān)系導(dǎo)電媒質(zhì)中的能量損耗關(guān)系小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為2222UE dldPEdS dldlRdS所以，單位體積的功率損耗(i.e.熱功率密度熱功率密度)為：2EdVdPp EJl dSdEJp(焦耳定律之微分形式焦耳定律之微分形式)則體積V中的導(dǎo)電介質(zhì)消耗的功率(i.e.熱功率熱功率)：VVdVEJpdVP(焦耳定律之積分形式焦耳

34、定律之積分形式) 例題：例題： 一同心球形電容器的內(nèi)、外半徑a和b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，求電容器的漏電電導(dǎo)。 rJ解：解： 由于媒質(zhì)的電導(dǎo)率不為0，故存在漏電電流，其方向沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體。 設(shè)流過半徑為r的同心球面的漏電電流I，則媒質(zhì)內(nèi)的電流密度和電場為：rerIJ42rerIJE42（電流球?qū)ΨQ分布）（電流球?qū)ΨQ分布）媒質(zhì)內(nèi)的損耗功率為：drrrIdVEJPbaV222244baI1142媒質(zhì)的漏電電阻：baIPR11412媒質(zhì)的漏電電導(dǎo)：ababRG41介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)的導(dǎo)電特性介質(zhì)的導(dǎo)電特性特征參量特征參量介

35、電常數(shù)介電常數(shù) 磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 小小結(jié)結(jié)pP MJM 靜電場的基本規(guī)律：靜電場的基本規(guī)律：靜磁場的基本規(guī)律：靜磁場的基本規(guī)律：(介質(zhì)介質(zhì))E 0E 0 B BJ 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組的靜態(tài)場情形的靜態(tài)場情形0E 0E 0 B 0BJ 庫侖定律庫侖定律安倍力定律安倍力定律(真空真空)2.6 2.6 電磁感應(yīng)和位移電流電磁感應(yīng)和位移電流“電和磁之間相互關(guān)聯(lián)電和磁之間相互關(guān)聯(lián)” 1831年法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律年法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律 變化的磁場產(chǎn)生電變化的磁場產(chǎn)生電場場 1862年麥克斯韋提出位移電流假說年麥克斯韋提出位移電流假說 變化的電場產(chǎn)生磁變化的電場產(chǎn)生磁場場 1864

36、年麥克斯韋方程組，預(yù)言電磁波的存在年麥克斯韋方程組，預(yù)言電磁波的存在 宏觀電磁宏觀電磁現(xiàn)象的基本理論現(xiàn)象的基本理論 1888年赫茲實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在年赫茲實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在 1901年馬可尼利用電波實(shí)現(xiàn)越洋通話年馬可尼利用電波實(shí)現(xiàn)越洋通話1. 1. 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律SBindSBdtddtd另一方面，根據(jù)電動(dòng)勢定義有Cininl dE 代表感應(yīng)電場，S是回路C所張的曲面。inE感應(yīng)電場是有旋場感應(yīng)電場是有旋場(旋渦狀旋渦狀)、非保守場。、非保守場。0or 0inCinEl dE空間的總電場:SEEEinSE代表靜電場CCinCl dEl dEl dESCinCCl

37、dEl dEl dE0SSinCSdBdtdl dE時(shí)變場時(shí)變場(隨時(shí)間變化，非靜態(tài)場)情況下，電場的環(huán)流環(huán)流：討討論論1) 若回路C靜止，磁場B隨時(shí)間變化SCSdtBl dEinStockes定理tBE表明表明: (a) 隨時(shí)間變化的磁場（漩渦源）將產(chǎn)生電場,若B是時(shí)間的非線性函數(shù)，則感應(yīng)電場也是時(shí)間的函數(shù)。(b) 若B不隨時(shí)間變化，即恒定磁場，則上式過渡到：0E(靜電場的旋度方程靜電場的旋度方程)(c) 時(shí)變場情況下，電場E是有旋場，變化磁場是其漩渦源；在靜態(tài)場情況下，電場E是無旋場。討討論論2) 若回路C運(yùn)動(dòng)，磁場B恒定BvqFBvqFEin則回路運(yùn)動(dòng)引起的感應(yīng)電動(dòng)勢：CCinl dEl

38、 dEinCCl dBvl dEinBvE+ BvCFinE討討論論3) 若回路C運(yùn)動(dòng)，且磁場B隨時(shí)間變化CSCl dBvSdtBl dEinBvtBE感生電動(dòng)感生電動(dòng)勢勢動(dòng)生電動(dòng)動(dòng)生電動(dòng)勢勢SinSSSdDSdDSdDS電場的通量電場的通量由于感應(yīng)電場Ein是有旋的，其電場線是無頭無尾的閉合線，則0SinSdDSSSdDSdDS時(shí)變場時(shí)變場的情況下，電位移的通量：qSdDS D2. 2. 位移電流位移電流時(shí)變磁場的旋度JH？0 0tJ H而(電荷守恒定律電荷守恒定律)因恒定磁場的旋度(安培定理)JH0JH(J 恒定恒定)JH故?H(時(shí)變場時(shí)變場)將 代入電荷守恒定律:DtDDttJ即0tDJ

39、顯然，項(xiàng) 和電流密度J 有相同的量綱，且與電位移D有關(guān)，故稱之為位移電流密度位移電流密度，記為tDtDJd(位移電流密度位移電流密度)則有0dJJ另一方面0HtDJH( 廣義的廣義的安培環(huán)路安培環(huán)路定理定理 ) 位移電流的幾點(diǎn)說明：位移電流的幾點(diǎn)說明： 位移電流代表位移電流代表電場隨時(shí)間的變化率電場隨時(shí)間的變化率，當(dāng)電場發(fā)生變化時(shí)，當(dāng)電場發(fā)生變化時(shí)，會(huì)形成磁場的旋渦源會(huì)形成磁場的旋渦源(位移電流位移電流)，從而激起磁場。，從而激起磁場。 時(shí)變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導(dǎo)電時(shí)變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導(dǎo)電流外，還有流外，還有位移電流。位移電流。 位移電流是一種位移電流是

40、一種假想電流假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學(xué)方法引入，但在此假說的基礎(chǔ)上，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，而赫茲通過試驗(yàn)證明了電磁波確實(shí)存在，從而反過來證明了位移電流理論的正確性。2.7 2.7 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 麥克斯韋方程組由麥克斯韋于麥克斯韋方程組由麥克斯韋于1864年總結(jié)出來的，年總結(jié)出來的，是揭示時(shí)變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組；在時(shí)變電磁場是揭示時(shí)變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組；在時(shí)變電磁場中，電場和磁場相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一不可分的整體。中，電場和磁場相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一不可分的整體。 麥克斯韋方程組由四個(gè)方程構(gòu)成，有微分和積分兩種麥克斯韋方程組由四個(gè)方程構(gòu)成，有微分和積分兩種表達(dá)方式。

41、表達(dá)方式。1. 1. 麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組的積分形式SSCSdtDSdJl dHSCSdtBl dE0SSdBVSdVSdD(廣義的安培環(huán)路定理廣義的安培環(huán)路定理)(法拉第電磁感應(yīng)定理法拉第電磁感應(yīng)定理)(磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理)(高斯定理高斯定理)2. 2. 麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋方程組的微分形式tDJHtBE0 BD 變化的電場產(chǎn)生磁場變化的電場產(chǎn)生磁場變化的磁場產(chǎn)生電場變化的磁場產(chǎn)生電場磁通永遠(yuǎn)連續(xù)，磁場是無散場磁通永遠(yuǎn)連續(xù)，磁場是無散場存在正電荷的點(diǎn)發(fā)出電位移線；存在正電荷的點(diǎn)發(fā)出電位移線；存在負(fù)電荷的點(diǎn)匯聚電位移線存在負(fù)電荷的點(diǎn)匯聚電位移線電磁波電磁

42、波3. 3. 關(guān)于麥?zhǔn)戏匠痰膸c(diǎn)說明關(guān)于麥?zhǔn)戏匠痰膸c(diǎn)說明 因時(shí)變的電場和磁場可以相互激發(fā)，故它們能脫離場源（和）而存在；在離開場源的區(qū)域內(nèi)，電場和磁場都是無散有旋的，電力線和磁力線形成無頭無尾的閉合環(huán)，且相互交鏈，在空間形成電磁波傳播。EH偉大偉大的預(yù)的預(yù)言！言！ 若場變量不隨時(shí)間變化，則麥?zhǔn)戏匠踢^渡到靜態(tài)場的基本方程：JH0 B0ED 因此靜態(tài)場只是時(shí)變場的特例。 麥?zhǔn)戏匠讨兄挥袀€(gè)方程獨(dú)立，其中麥克斯韋第三方程可以由第二方程導(dǎo)出，因?yàn)?tBE0tB假定在過去或?qū)砟硞€(gè)時(shí)刻，的散度為，則總有0 B. . 麥?zhǔn)戏匠痰妮o助方程本構(gòu)關(guān)系麥?zhǔn)戏匠痰妮o助方程本構(gòu)關(guān)系 麥?zhǔn)戏匠探M中只有個(gè)獨(dú)立方程（個(gè)旋度

43、方程和個(gè)散度方程），總計(jì)個(gè)標(biāo)量方程。而變量的數(shù)目有個(gè)（個(gè)矢量和個(gè)標(biāo)量），總計(jì)個(gè)標(biāo)量，因此要完全確定場量必須引入輔助方程介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。tEEHtHE0 HE 麥?zhǔn)戏匠痰南摞準(zhǔn)戏匠痰南薅ㄐ问蕉ㄐ问紼DHBEJ本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系(9個(gè)標(biāo)量方程個(gè)標(biāo)量方程)2.8 2.8 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件 微分形式的麥?zhǔn)戏匠桃髨鍪噶勘仨毺幪幙晌?，但在不同介質(zhì)的分界面上，存在電荷和電流分布，導(dǎo)致界面上的場矢量不連續(xù)，有突變，因此界面上不適用微分形式的麥?zhǔn)戏匠蹋ǖe分形式的麥?zhǔn)戏匠虅t仍然可用），故可利用積分形式的麥?zhǔn)戏匠虒?dǎo)出利用積分形式的麥?zhǔn)戏匠虒?dǎo)出界面上的場矢量滿足的關(guān)系邊界條件邊界條件來代替界面上的微

44、分形式的麥?zhǔn)戏匠獭?. 1. 邊界條件的一般形式邊界條件的一般形式abcd介質(zhì)介質(zhì)2介質(zhì)介質(zhì)11H2H 磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H的邊界條件的邊界條件 在界面上取矩形閉合回路abcd，短邊長h 0，長邊平行界面,長度l，將麥?zhǔn)系谝环匠虘?yīng)用于回路：SdtDSdJl dHSSCne t e:ne介質(zhì)介質(zhì)21addccbbal dHl dHl dHl dH左邊dcbal dHl dH210 dabcdleHHtl21左邊abcd介質(zhì)介質(zhì)2介質(zhì)介質(zhì)11H2Hne t et ene p e 是回路所圍面積是回路所圍面積S的法向單位矢，的法向單位矢，與繞行方向與繞行方向abcd成右螺關(guān)系成右螺關(guān)系p eSdtDS

45、dJSS 右邊：因h0，第一項(xiàng)實(shí)際上是回路包圍的自由面電流，利用面電流公式(幻燈片9)，該項(xiàng)為lnSSl deJSdJlpSdleJltnSdleeJ右邊第二項(xiàng)0lim 0hltDSdtDhS有限tD 因此dleJdleHHltlpS21t ene p edleJdleeHHllpSnp21ACBCBA利用矢量恒等式dleJdleHHellpSp21nS21nJHHe:ne介質(zhì)介質(zhì)21即得磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H的邊界條件的邊界條件St2t 1JHH或表明：表明： 界面上的自由面電流界面上的自由面電流JS分布導(dǎo)致界面兩側(cè)磁場強(qiáng)分布導(dǎo)致界面兩側(cè)磁場強(qiáng)度度H的切向分量不連續(xù)。的切向分量不連續(xù)。 電場強(qiáng)度

46、電場強(qiáng)度E的邊界條件的邊界條件 將麥?zhǔn)系诙匠虘?yīng)用于回路abcd，與類似的分析，可得021nEEe:ne介質(zhì)介質(zhì)21ttEE21或表明：表明： 界面上電場強(qiáng)度界面上電場強(qiáng)度E的切向分量始終連續(xù)。的切向分量始終連續(xù)。 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件的邊界條件 介質(zhì)介質(zhì)2介質(zhì)介質(zhì)11B2Bne 如圖，取一小的閉合圓柱面，其高h(yuǎn)0，兩底面S平行界面，應(yīng)用麥?zhǔn)系谌匠蹋篠SdB00側(cè)面下底上底SdBSdBSdB0 0側(cè)面hSdB0下底2上底1dSeBdSeBnn即得磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件的邊界條件 表明：表明： 界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的法向分量始終連續(xù)。的法向分量始終連續(xù)。 電位移矢量電位移矢量D的邊界條件的邊界條件 021BBenn