2021福建考研數(shù)學一真題及答案

1、2021福建考研數(shù)學一真題及答案一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求，把所選選項前的字母填在答題卡指定位置上.）ì ex - 1í(1)函數(shù) f (x)= ïx, x ¹ 0 ,在 x = 0 處îï1, x = 0(A)連續(xù)且取極大值.(B)連續(xù)且取極小值.(C)可導且導數(shù)為 0.(D)可導且導數(shù)不為 0.【答案】D.8【解析】因為lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)；x®0x

2、74;0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x1¢1因為lim= lim=lim=，故 f (0) =，正確答案為 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0x 222(2)設函數(shù) f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，則 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【解析】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1,

3、ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2xìx = 0ìx = 1分別將í y = 0 ， í y = 1 帶入式有îîf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2聯(lián)立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2

4、2;(1,1)dy = dy ，故正確答案為 C.(3) 設函數(shù) f (x) =sin x 在 x = 0 處的 3 次泰勒多項式為ax + bx2 + cx3 ，則1+ x2(A) a = 1,b = 0, c = - 7 .(B) a = 1,b = 0, c = 7 .6(C) a = -1,b = -1, c = - 7 .(D)66a = -1,b = -1, c = 7 .6【答案】A.【解析】根據(jù)麥克勞林公式有sin xéx33 ù237 33f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×1 - x+ o(x

5、 ) = x -x6+ o(x )ëû故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本題選 A.60(4) 設函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間0,1上連續(xù)，則ò1 f ( x )dx =næ 2k -1 ö 1næ 2k -1 ö 1(A) lim å f ç÷.(B) lim å f ç÷.n®¥ k =1è 2nø 2nn®¥ k =1è 2n ø n2næ k -1ö

6、; 12næ k ö 2(C) lim å f ç÷.(D) lim å f ç÷ ×.n®¥ k =1【答案】B.è 2n ø nx®0 k =1è 2n ø n【 解 析 】 由 定 積 分 的 定 義 知 ， 將 (0,1)分 成 n 份 ， 取 中 間 點 的 函 數(shù) 值 ， 則1næ 2k -1 ö 1ò0 f (x)dx = lim S f ç2n ÷ n , 即選 B.n&

7、#174;¥ k =1èø(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依次為123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【解析】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3æ 011 öç÷所以 A = ç 12

8、1 ÷ ，故特征多項式為èøç 110 ÷l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值為-1， 3 ， 0 ，故該二次型的正慣性指數(shù)為 1，負慣性指數(shù)為 1.故應選 B.æ 1 öæ 1 öæ 3 ö(6)已知a = ç 0 ÷ ，a = ç 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，記b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ，1ç &#

9、247;1ç ÷è ø2ç ÷1ç ÷è ø3ç ÷2ç ÷è ø11221331 12 2若b1 ， b2 ， b3 兩兩正交，則l1 ， l2 依次為5 1(A) ,.2 25 1-(B) ,. 2 2(C)5 , - 1 .22(D)- 5 , - 1 .22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知æ 0 öb =a - a2 ,b1 b = ç 2 ÷ ，0221ç ÷

10、;b1,b1 ç ÷è øb =a - a3 ,b1 b - a3 ,b2 b ，33b,b 1b ,b 2故l1= a3 ,b1 = 5 ， l2b1,b1 21122= a3 ,b2 = 1 ，故選 A.b2 ,b2 2(7) 設 A, B 為 n 階實矩陣，下列不成立的是æ AO öæ AAB öèøèø(A) r ç OAT A÷ = 2r ( A )(B) r ç OAT ÷ = 2r ( A )èø

11、30; ABA öæ AO öèø(C) r ç OAAT ÷ = 2r ( A )【答案】C.(D) r ç BAAT ÷ = 2r ( A )æ AO öTèø【解析】(A) r ç OAT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正確.(B) AB 的列向量可由 A 的列線性表示，故 r æ AAB ö = r æ AO ö = r (A) + r (AT ) = 2r

12、(A).ç OAT ÷ç 0AT ÷èøèø(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列線性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行線性表示， r æ ABAö = r æ AO ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç OAT ÷ç 0AT ÷本題選 C.èøèø(8) 設 A ， B 為隨機事件，且0 < P(B) < 1，下列命題中不成立的是(A) 若 P(

13、A | B) = P( A) ，則 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，則 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，則 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，則 P( A) > P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【解析】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U

14、B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因為 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正確答案為 D.1 122(9) 設 ( X ,Y ), ( X,Y ),L, (X,Y ) 為來自總體 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的簡單隨機樣本， 令nn12121 n 1 nq= m1 - m2 , X = n å X i ,Y = n åYi ,q= X - Y , 則i=1i=1s2 +s2n(A)

15、q 是q的無偏估計， D (q) = 12( ) 12s2 +s2(B) q不是q的無偏估計， D q =n( ) 121 2s2 +s2 - 2rss(C) q是q的無偏估計， D q =n( ) 121 2s2 +s2 - 2rss(D) q不是q的無偏估計， D q =n【答案】C.【解析】因為 X ,Y 是二維正態(tài)分布，所以 X 與Y 也服從二維正態(tài)分布，則 X - Y 也服從二維正態(tài)分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y )

16、 - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正確答案為 C.n(10) 設 X1 , X 2 K, X16 是來自總體 N (m, 4) 的簡單隨機樣本， 考慮假設檢驗問題：H0 : m£ 10, H1 : m> 10.F ( x) 表示標準正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為W = X ³ 11 ，1 16其中 X =å X i ，則m= 11.5 時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為16i=1(A)1- F (0.5)(B)1- F (1)(C)1- F (1.5)【答案】B.【解析】所求概率為 PX < 11(D) 1- F (2)X : N (

17、11.5, 1) ，4ì üPX < 11 = P ï X -11.5 £ 11-11.5ï = 1- F(1)í11ýï ï故本題選 B.î22þ二、填空題（本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.請將答案寫在答題紙指定位置上.）ò+¥(11)0p【答案】4ò+¥【解析】0dx=x2 + 2x + 2dx=x2 + 2x + 2.ò+¥dx0 (x +1)2 +1= arctan( x + 1) +¥

18、p pp0=-=244ì x = 2et + t +1, x < 0d 2 yî(12)設函數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程í y = 4(t -1)et + t 2, x ³ 0 確定,則 dx2 t =0 = .2【答案】.3dy4tet + 2td 2 y(4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et【解析】由=dx2et +1，得=dx2，(2et +1)3將t = 0 帶入得d 2 ydx2t =0= 2 .3(13)歐拉方程 x2 y ¢ + xy¢ - 4y = 0 滿足條件

19、y(1) = 1, y¢(1) = 2 得解為 y = .【答案】 x2 .【解析】令 x = et， 則 xy¢ = dy, x2 y ¢d 2 ydy=-， 原方程化為d 2 y- 4 y = 0 ， 特征方程為dtdx2dxdx2l2 - 4 = 0 ， 特征根為 l = 2,l = -2 ， 通解為 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 將初始條件121212y(1) = 1, y¢(1) = 2 帶入得C = 1,C = 0 ，故滿足初始條件的解為 y = x2 .12(14) 設 S 為 空 間 區(qū) 域 (x

20、, y, z) x2 + 4 y 2 £ 4, 0 £ z £ 2òò x2dydz + y2dzdx + zdxdy = .S【答案】4p.表 面 的 外 側(cè) ， 則 曲 面 積 分2【解析】由高斯公式得原式= òòò (2x + 2 y +1)dV = ò0 dzòò dxdy = 4p.WD(15) 設 A = aij 為 3 階矩陣， Aij 為代數(shù)余子式， 若 A 的每行元素之和均為 2 ， 且A11 + A21 + A31 = .3A = 3 ，【答案】2.æ1&

21、#246;æ1öAæ1ö【解析】 Aç1÷ = 2 ç1÷ , Aa= la,l= 2,a= ç1÷ , 則 A* 的特征值為， 對應的特征向量為æ1öç ÷ç ÷11ç ÷ç ÷è øè øAæ A11A21ç ÷1ç ÷è øA31 ölæ1öæ

22、 A11 + A21 + A31 öæ1öAa= ç1÷ , A*a=a而 A* = ç AAA÷ , A* ç1÷ = ç A + A+ A ÷ =ç1÷ ，即ç ÷lç 122232 ÷ç ÷ç122232 ÷lç ÷ç1÷ç AAA ÷ç1÷ç A + A+ A ÷ç1&#

23、247;è øè 132333 øè øè 132333 øè ø3A11 + A21 + A31 = 2 .(16) 甲乙兩個盒子中各裝有 2 個紅球和 2 個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中， 再從乙盒中任取一球.令 X , Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù)，則 X 與 Y 的相關系數(shù) .1【答案】.5æ (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) öæ 01 öæ 01 ö【解答】聯(lián)合分布率( X ,Y )

24、 : ç3113÷ , X : ç 11 ÷ Y : ç 11 ÷ç÷ç ÷ç ÷è 105510 øè 22 øè 22 øcov( X ,Y ) =1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r= 1 .2044XY5三、解答題（本題共 6 小題，共 70 分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(17)(本題滿分 10 分)ç求極限limæ 1+x et

25、2 dtöò10-÷ .x®0 çex -1sin x ÷èø1【答案】.2çæ 1+x et 2 dtöò1 ÷0sin x -1-x et 2 dtò0【解析】解： lim- = limx®0 çex -1sin x ÷x®0(ex -1) sin xèø又因為ò x et2 dt = ò x (1+ t 2 + o(t 2 )dt = x + 1 x3 + o(x3 )

26、，故003(x - 1 x3 + o(x3 )(1+ x + 1 x3 + o(x3 ) - x - 1 x2 + o(x2 )原式= lim 3!3!2x®0x21 x2 + o(x2 )= lim 2= 1 .x®0x22(18)(本題滿分 12 分)- nx1¥n+1設un (x) = e+ xn(n +1)(n = 1, 2, K) ，求級數(shù)åun (x) 的收斂域及和函數(shù).n=1ì e- x+-+Îí【答案】 S (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1).ï e

27、, x = 1【解析】ïî e - 1ú1¥¥ é -1ù¥- nxe- xS (x) = åu (x) = åêe nx +n(n + 1)x n+1 , 收斂域(0,1, S (x) = åe= 1 - e- x, x Î(0,1n¥n=1n=1 ëûn=1S (x) = å 1n+1¥xn+1 - å¥xn+1= -x ln(1 - x) - - ln(1 - x) - x2n=1n(n +

28、 1)n=1nn=1 n + 1x= å= (1 - x) ln(1 - x) + x,-S2 (1) = lim S2 (x) = 1x®1x Î (0,1)ì e- x+-+ÎS (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1)íï e, x = 1ïî e - 1(19)(本題滿分 12 分)ìx2 + 2 y2 - z = 6î已知曲線C : í4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的點到 xoy 坐標面距離的最大值.【答案

29、】66【解析】設拉格朗日函數(shù) L ( x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30)xzL¢ = 2xl+ 4u = 0 L¢ y = 4 yl+ 2u = 0 L¢ = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30解得駐點： (4,1,12),(-8, -2, 66)C 上的點(-8, -2, 66) 到 xoy 面距離最大為 66.(20)(本題滿分 12 分)設 D Ì R2 是有界單連通閉區(qū)域， I (D)

30、=(1) 求 I (D1 ) 的值.òò(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的積分區(qū)域記為 D .1D(2) 計算 ò¶D1【答案】-p.(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2，其中¶D1 是 D1 的正向邊界.【解析】（1）由二重積分的幾何意義知： I (D) = òò(4 - x 2 - y 2 )ds，當且僅當4 - x2 - y2 在 D 上D2p22大于 0 時， I (D) 達到最大，故 D ：x2 + y2 £ 4 且 I

31、 (D )=dq (4 - r )rdr = 8p .11ò0ò0(2)補 D2 : x + 4 y = r （ r 很?。?，取 D 的方向為順時針方向，2222ò¶D1(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy=x2 + 4 y2=ò¶D1 +¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2- ò¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2=

32、 - 1 er 2 r 2ò¶D2xdx + 4ydy -1 er 2r 2ò¶D2ydx - xdy =1-2d s= -p.r òò2D2(21)(本題滿分 12 分)æ a已知 A = ç 11-1öa-1÷ .ç÷ç -1-1a ÷èø(1) 求正交矩陣 P ,使得 PT AP 為對角矩陣；(2) 求正定矩陣C ,使得C 2 = (a + 3)E - A.-æ111 ö32ç6 ÷

33、0; 5ö-1-ç 31÷ç÷ç÷【答案】(1)P = ç111÷ ；(2) C = ç -151 ÷ .326ç÷ç33 ÷ç÷ç - 102÷çç -115 ÷÷36ç÷èø【解析】è33 øl- a-11(1)由 lE - A =-1l- a1= (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 011

34、得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1當l1 = a + 2 時l- aæ 2-11 ö æ 101 öæ 1 ö(a + 2)E - A) = ç-121 ÷rrç011 ÷ 的特征向量為a = ç 1 ÷ ，ç÷ ç÷èø èøç 112 ÷ ç 000 ÷當l2 = l3 = a -1所1ç÷-1ç÷

35、;èøæ -1-11 ö æ 11-1öæ -1öæ -1ö(a -1)E - A) = ç-1-11 ÷rrç000 ÷ 的特征向量為a = ç 1 ÷ ,a = ç 1 ÷ ，ç÷ ç÷2ç÷3ç÷ç 11-1÷ ç 000 ÷ç 0 ÷ç 2 ÷

36、2;ø èøèøèø326æ1- 1- 1 öæ a aa öç÷ç÷111æ a + 2ö令 P = ç1 ,2 ,3 ÷ = ç÷ ，則 PT AP = L = ça - 1÷ ，326ç a aa ÷ç÷ç÷è123øç÷ça -1÷ç - 102÷èø36ç÷èøæ 1ö(2) PT C 2 P = PT (a + 3)E - A)P = (a + 3)E - L = ç4÷ç÷ç4÷èøæ 1öæ 1öçççè4÷ Þ P4÷T CP =ç2÷ç÷