第五章 變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理的方法

1、朱寶訓(xùn)朱寶訓(xùn)測(cè)繪與城市空間信息系測(cè)繪與城市空間信息系5.1 基于經(jīng)典平差的變形網(wǎng)數(shù)據(jù)處理5.2 秩虧自由網(wǎng)概述5.3 基于秩虧自由網(wǎng)平差的變形網(wǎng)數(shù)據(jù)處理5.4 自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差minPVVT022)(PAVdXdVPVdXPVVdTTT0PVATAXVL誤差方程式：設(shè)觀測(cè)值權(quán)為P，根據(jù)最小二乘原理：求極值，有：PlANXT1lEPAANlAXVT)(1PlAANAXVllT1PlANXT平差值: PlAPAXAlAXPATTT0)(XXd（1）變形網(wǎng)為測(cè)角網(wǎng)、邊角網(wǎng)或GPS網(wǎng)選擇穩(wěn)定可靠的點(diǎn)作為已知點(diǎn)。建立誤差方程式。 列出各觀測(cè)的誤差方程后，便可組成法方程，最后求出各點(diǎn)坐標(biāo)及有關(guān)平差量。 計(jì)算

2、變形值。根據(jù)不同時(shí)期兩次觀測(cè)的平差，可以求出兩次觀測(cè)時(shí)網(wǎng)點(diǎn)的位置網(wǎng)點(diǎn)移動(dòng)的變形值為：（2）高程變形監(jiān)測(cè)網(wǎng) 當(dāng)網(wǎng)中只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，可以該穩(wěn)定點(diǎn)為起算點(diǎn)，對(duì)網(wǎng)進(jìn)行平差，確定各點(diǎn)高程，然后根據(jù)各期觀測(cè)中網(wǎng)點(diǎn)的高程，確定網(wǎng)點(diǎn)的變形：HHd任選一點(diǎn)為起算點(diǎn)，進(jìn)行平差，確定各點(diǎn)的高程（坐標(biāo)）。分析確定各穩(wěn)定點(diǎn)，將上述平差后的高程（坐標(biāo)）作為這些穩(wěn)定點(diǎn)的已知高程，然后以這些穩(wěn)定點(diǎn)為固定點(diǎn)對(duì)各期進(jìn)行平差計(jì)算。根據(jù)各期觀測(cè)網(wǎng)點(diǎn)的高程（坐標(biāo)）確定網(wǎng)點(diǎn)的變形值。（3）當(dāng)網(wǎng)中有多個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，可按下列步驟計(jì)算： 某水電站蓄水前建立的變形測(cè)角網(wǎng)，并以實(shí)測(cè)基線為起算邊進(jìn)行平差。 大壩蓄水后80年代重新觀測(cè)，除測(cè)角外，觀測(cè)

3、4條邊。 這之前通過水準(zhǔn)測(cè)量發(fā)現(xiàn)原基線兩端都產(chǎn)生了移動(dòng)。 第二次平差發(fā)現(xiàn)，所有邊平均增加12cm，通過實(shí)際分析，認(rèn)為兩次觀測(cè)邊長(zhǎng)中包含系統(tǒng)誤差。必須舍棄邊觀測(cè)值，采用純測(cè)角網(wǎng)進(jìn)行平差。1.選擇初次觀測(cè)時(shí)基線的兩個(gè)端點(diǎn)為已知點(diǎn)或選擇其中一個(gè)端點(diǎn)為已知點(diǎn)，任選一個(gè)方向?yàn)橐阎较?，按間接平差求出各點(diǎn)坐標(biāo)。2.選擇兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，以這兩個(gè)點(diǎn)為已知的起始點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的已知坐標(biāo)取上述平差取得的坐標(biāo)，把整個(gè)網(wǎng)看作一個(gè)測(cè)角網(wǎng)重新平差。3.以后各期觀測(cè)都以上述兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為起始點(diǎn)進(jìn)行平差。4.根據(jù)各期觀測(cè)結(jié)果計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)移動(dòng)變形值。0000,yyyxxxssss已知點(diǎn)坐標(biāo)已知點(diǎn)誤差坐標(biāo)理論值 假定邊長(zhǎng)觀測(cè)值表示的是一已知

4、點(diǎn)與待定點(diǎn) 之間的距離，i200200)()(siisiiiyyyxxxVsiisiisiilysyyxsxxV0000線性化后有：則誤差方程式為：理論值A(chǔ)i0200200)()(iisisiiissyyxxsl000000200200)()(ysyyxsxxyyxxslsisisisiii其中：化簡(jiǎn)：)2()1()2(0iiiiilllssl有實(shí)際計(jì)算時(shí)?。?2020)()(sisiiiyyxxsl有： 20002000)()(yyyxxxslsisiii)()2()1(11llPANPlANXlAXVTT)2(1)1(1PlANPlANTT)2(1)1(1PlANPlANXTT)2(1)1

5、(1PlANPlANXTTXXd 結(jié)論：起算數(shù)據(jù)誤差對(duì)移動(dòng)沒有影響。 在兩期觀測(cè)過程中，起算點(diǎn)（已知點(diǎn)）能保持穩(wěn)定不變。0000,yyyxxxssss)2()2( ll,05. 0,05. 033ssyx,05. 0,05. 044ssyx.05. 0,05. 055ssyx表1 固定點(diǎn)不含誤差時(shí)待定點(diǎn)的坐標(biāo)及位移量點(diǎn)名第期第期移動(dòng)量d/mm1x10007.885910007.8888-2.9y9981.49629981.5003-4.12x9999.98389999.98380y12756.950912756.9522-1.3 假定固定點(diǎn)3、4、5的坐標(biāo)均有50mm的誤差，即： 用同一套觀測(cè)

6、數(shù)據(jù)算得待定點(diǎn)1、2的坐標(biāo)及其位移列于表2。點(diǎn)名第期第期移動(dòng)量d/mm1x10007.927410007.9303-2.9y9981.53019981.5072-4.12x9999.92549999.92540y12756.010312756.0116-1.3 對(duì)比表可以看出：待定點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了較大變化，但移動(dòng)量仍然保持不變。 表2 固定點(diǎn)含有誤差時(shí)待定點(diǎn)的坐標(biāo)及位移量實(shí)例：實(shí)例：5.1.4 5.1.4 經(jīng)典網(wǎng)平差算例經(jīng)典網(wǎng)平差算例(-21) -13.7mm mmmmHP4623.1037 .13476.103mmHHd7 .13476.1034623.1034、求變形量同時(shí)要注意：由誤差方程式

7、：AXVLlybxaybxaZvkjkkjkjjkjjkjjk200)(jkjkjksya 200)(jkjkjksxb 式中： 141.102200.100265.101455.1032431hHHhHHhHHhHHPDPCPBAP225. 3190. 2314. 1455. 34321hhhh12)(13)(7)(0)(044033022011CPBPDPAPHHhlHHhlHHhlHHhl4623.1033 . 7455.1030mmmHHHPPP如果：mmHHd10476.1034623.103mmHHd7 .13476.1034623.1037.3mm -13.7mm 近似值103.

8、455： 近似值103.476： 一是網(wǎng)中可能有多個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，選擇不同的穩(wěn)定點(diǎn)作為起算點(diǎn)時(shí)，其平差結(jié)果肯定不同，因而可能有多組平差解；一是可能很難預(yù)先確定變形網(wǎng)哪些點(diǎn)是絕對(duì)不動(dòng)的。當(dāng)變形網(wǎng)作為經(jīng)典網(wǎng)平差時(shí)的兩個(gè)問題：當(dāng)變形網(wǎng)作為經(jīng)典網(wǎng)平差時(shí)的兩個(gè)問題：1971年，E.Mittermayer提出秩虧自由網(wǎng)平差，這種方法的主要特點(diǎn)是：不預(yù)先假定固定點(diǎn)，所有網(wǎng)點(diǎn)等同看待，即所有網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)都視為待定量。但由于缺少起算數(shù)據(jù)，按這種方法組成法方程后，求出的法方程系數(shù)矩陣是秩虧的。下面舉例說明。在A中，任意二階行列式不為0，由矩陣?yán)碚摽芍?。3232212111lxVlxxVlxV2)(ARlAAXATT12N

9、0212)(AR 設(shè)有一水準(zhǔn)網(wǎng)，按經(jīng)典網(wǎng)平差選3點(diǎn)為已知點(diǎn)，則:即： 011V11021xx321lll法方程：即： 2121ll1221xx32ll故，滿秩，法方程由惟一解：3x21,xx2)(AR2)(AR如果網(wǎng)中不設(shè)起算點(diǎn)，即把與則上述水準(zhǔn)網(wǎng)的誤差方程為：011V110101321xxx321lll此時(shí)系數(shù)矩陣A的行列式為：011A1100101110110，故，A為降秩，由此所得的法方程系數(shù)陣有：112N1210211120321，故，N為秩虧的矩陣（奇異矩陣），其凱來逆N-1不存在。等同地看作未知數(shù)，此時(shí)的法方程為相容方程，按經(jīng)典平差方法不能得到惟一解。A及N產(chǎn)生秩虧可能有兩種原因：

10、 1. 是缺少必要觀測(cè)值,這種秩虧一般稱為形虧 2. 是缺少必要的已知數(shù)據(jù)，這種情況一般稱數(shù)虧。對(duì)秩虧網(wǎng)的討論主要是針對(duì)數(shù)虧網(wǎng)的研究。 1. 如果無固定點(diǎn)（沒有限制x，y方向的平移），產(chǎn)生的秩虧數(shù)為2。2. 如果無固定方向（沒有限制網(wǎng)的旋轉(zhuǎn)），產(chǎn)生的秩虧數(shù)為1。3. 如果無固定邊也沒有邊觀測(cè)值（沒有限制比例尺伸縮），產(chǎn)生秩虧數(shù)為1。4. 如果無起算高程（沒有限制高程方向的平移），產(chǎn)生的秩虧數(shù)為1。 對(duì)于測(cè)角網(wǎng)的秩虧數(shù)為2114； 測(cè)邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)的秩虧數(shù)為213； 高程網(wǎng)的秩虧數(shù)為1。 用公式表示為： 測(cè)角網(wǎng)：4)()(tNRAR 測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)：3)()(tNRAR高程網(wǎng)：1)()(tNRAR

11、GPSGPS網(wǎng)秩虧網(wǎng)呢？網(wǎng)秩虧網(wǎng)呢？圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 VlAXPlANXT對(duì)于誤差方程：求得法方程為：minPVVTminXXT條件極值原理： 取一階導(dǎo)數(shù)為0，得 022NKXXTTNKX 5.3.1 直接求解)(2PlANXKXXTTT附加條件：借鑒：代入法方程，有：PlANNKT1)(PlANNNXT1)(NN仍是秩虧的， 但PlANNNXT1)(卻是惟一的 lEPANNANlAXVT)(1PlANNKTNKX PlANXT觀測(cè)改正數(shù)： 可以在方陣中任意去掉d行、d列，把余下的式子（已是滿秩的）求出凱來逆，再在原來去掉的行、列補(bǔ)上0，即為NN的一個(gè)廣義逆。 單位權(quán)

12、方差：dtnPVVsT求 ：1)(NN5.3.2 5.3.2 偽觀測(cè)法偽觀測(cè)法VlAX11ttddXBl 為了消除秩虧的目的，需要引入d個(gè)的觀測(cè)方程。現(xiàn)設(shè)附加觀測(cè)為 自由網(wǎng)平差的觀測(cè)方程寫成如下形式：ddTIBBdnTOAB附加觀測(cè)方程式中各個(gè)觀測(cè)方程間應(yīng)線性無關(guān)。即要求滿足有此外附加觀測(cè)值與原觀測(cè)值之間也應(yīng)彼此線性無關(guān)，即XBAll于是觀測(cè)方程為：OPBATTBAXBAIOOPllIOlBPlAXBBPAATTTT)(BBPAANTT11 NQ或 令 法方程： 則有： )()(11lBPlAQlBPlANXTTTT 現(xiàn)在的問題是如何確定B和 。l 因N具有秩虧d，故N的特征值中必有d個(gè)為零，

13、對(duì)應(yīng)這個(gè)零特征值，必存在個(gè)線性無關(guān)的特征向量, ，由此構(gòu)成矩陣:用 左乘 式得ONBT1 1、確定、確定B B當(dāng)OSINiti)(1)(i)(iS令 N的特征值為，相應(yīng)特征向量為，則特征dtdtttOSNSBTOAS ，就轉(zhuǎn)化為。因此有取dnTOABPATTABOPABATT由，即向量方程為：) 1 (SSdt) 2(S)(dS . ) 0iOSINi)( 在自由網(wǎng)中，偽觀測(cè)值在自由網(wǎng)中，偽觀測(cè)值 既然未觀測(cè)，給定任意就有無既然未觀測(cè)，給定任意就有無窮組解。按自由網(wǎng)平差最小范數(shù)原則：窮組解。按自由網(wǎng)平差最小范數(shù)原則：2 2、再確定、再確定llminXXT)()(11lBPlAQQlBPlAXX

14、TTTTTT求導(dǎo)并令其為零：OBQBQlBQBPAQllDXdXTTTTT111122OBBBBABBBBAQBQAQTTTTTT111111)()()(11)(TTTBBBBQIBBPAAQTT)(1BBQIPAAQTT11定義定義OABT右乘TB 所以（1）式中必須Ol （1）至此，和已確定至此，和已確定 ， ，需將需將S S標(biāo)準(zhǔn)化，令標(biāo)準(zhǔn)化，令S S的標(biāo)準(zhǔn)化向量為的標(biāo)準(zhǔn)化向量為G,G,即取即取 ，使使TSB Ol IBBT還要求還要求TGB IGGTOAG ， 因此，原方程加上偽觀測(cè)方程為 XGAOlT此方程由惟一的最小二乘解。其解為: PlAGGPAAXTTT1)(XSAOlTPlAX

15、SSPAATTT)(偽測(cè)方程另外一種形式： 法方程PlASSNPlASSPAAXTTTTT11)()(解為: 秩虧網(wǎng)秩虧網(wǎng)測(cè)邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)：水準(zhǔn)網(wǎng)：5.3.3 5.3.3 各類自由網(wǎng)各類自由網(wǎng)S S和和G G的確定的確定參考系方程參考系方程01012401xySTm010110yx020201xy020210yx.0001mmxy0010mmyx0101yST0110 x0200y0200 x.000my000mx測(cè)角網(wǎng)：GPS網(wǎng)：1 (TS00) 000133TmS010100001010100001010100例題：例題：按全組合測(cè)角法對(duì)測(cè)站J上測(cè)角值為L(zhǎng)1，L2，L3，L4，L5，L6，現(xiàn)

16、以方向?yàn)槲粗獢?shù)，設(shè)為x1,x2,x3,x4。求各方向值及精度。 J 643654254324341323121211LxxvLxxvLxxvLxxvLxxvLxxv000111A110100011001101010lAXV因?yàn)橐驗(yàn)?， 1113AANT3111113113113)(ARON TS)1111(，d=1d=1，由，由 NS=O NS=O 得：得：TG)21212121(lAGGAAXTTT1)(TTTXXGGGGAAQ1)(兩種算法所求得的坐標(biāo)一般是不同的。 通常兩種平差方法所求得的改正數(shù)V及平差值高程網(wǎng)：平差后高差相同；測(cè)角網(wǎng)：圖形平差后的圖形相同，而圖形的位置、方位和比例則不同

17、；邊角網(wǎng)或測(cè)邊網(wǎng)：角度和邊長(zhǎng)相同，而圖形的位置和方位則不同。經(jīng)經(jīng)秩秩XXXXTT，這是因?yàn)橹忍澗W(wǎng)平差增加了兩種方法所求的不同。經(jīng)秩)()(xxxxQtrQtr虧網(wǎng)平差發(fā)現(xiàn)變形的能力往往比采用經(jīng)典網(wǎng)平差強(qiáng)的多。 5.3.4秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典網(wǎng)平差之間的關(guān)系l相同。這個(gè)條件。)(xxQtr由于，因而在變形檢驗(yàn)時(shí)，采用秩minXXT但是兩種方法求得的單位權(quán)方差相同。 與經(jīng)典網(wǎng)中附有條件的模型不同的是，上式有一條重要特性：minminXXPVVAXVlTTminXXT與0XGT0minXGPVVAXVlTT0AG0 NGPAGAT 由于最小范數(shù)條件等價(jià)（在此不作證明），因此上述平差模型轉(zhuǎn)換為：上式即為附

18、有條件的間接平差模型， G為參考系方程系數(shù)矩陣。從而也有：秩虧網(wǎng)的平差模型實(shí)際為：對(duì)平差模型，按條件極值有：XGKlAXPlAXXGKPVVTTTTTT2)()(202)(2TTTGKPAlAXX0XGPlAGKPAXATTT0AG上式可簡(jiǎn)化。 轉(zhuǎn)置并整理后，有：這就是附有條件的間接平差方程，可以直接解算。由于第一式左乘TG有：PlAGGKGPAXAGTTTTT因?yàn)?)(TTTAGAG所以K0XGPlAPAXATTT GPlAXGGPAATTT)(盡管PAAT秩虧，但（TTGGPAA）不秩虧，其凱來逆PlAGGPAAXTTT1)( ，=0，則法方程可變?yōu)椋旱诙阶蟪撕蠹尤氲谝皇?，?存在，故：

19、這就是按附加條件法進(jìn)行秩虧網(wǎng)平差式未知量X的解。令：1)(GGPAAQTT則PlQAXTTTTXGGGGPAAQ1)(0XGT展開，對(duì)于平面網(wǎng)有：0iX0iY 對(duì)于高程網(wǎng)有：0iX 說明平差后網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)重心與近似坐標(biāo)重心一致，因而稱秩虧網(wǎng)平差為重心參考系不變的平差，秩虧網(wǎng)平差的基準(zhǔn)是重心基準(zhǔn)。將秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差后得到的平差值改正數(shù)及觀測(cè)平差值相同，說明兩者之間網(wǎng)形相同。不同的是控制網(wǎng)圖形的位置、方位。xy1p2p3pLiLiLiLiLiLiyxyyyxxxcossinsincos坐標(biāo)變換的公式為：LLyx ,LLyx ,式中表示秩虧網(wǎng)平差的最后坐標(biāo)；表示經(jīng)典平差的最后坐標(biāo)。 實(shí)際平差時(shí)秩虧平

20、差與經(jīng)典平差有相同的近似坐標(biāo)，即：yyyxxxLL00,式中xx,分別表示秩虧平差與經(jīng)典平差時(shí)近似坐標(biāo)的改正數(shù)。代入上式有：yxyxyyyyxyxxxxiiiiiiiiiiicossincossinsincossincos000000 xx,和旋轉(zhuǎn)量都是一個(gè)很小的量，iiiiiyyxxycos,cos, 0siniiiiiiiixyyyyyxxxx0000sin) 1cos(sin) 1cos(Tyxt)sin, 1cos,(令 考慮所有網(wǎng)點(diǎn)的變換公式，則有：GtXX0101G101002020101yxyx02020101xyxy minXXT02tXXtXXTT0XGT 根據(jù)秩虧自由網(wǎng)平差

21、的最小范數(shù)條件，有：即：GtXX0）（GtXGTXGGtGTTXGGGtTT1）（XGGGGXGtXXTT1)(XGGGGETT)(1XGGEXT)()()(TXTXGGEQGGEQ如果去標(biāo)準(zhǔn)化的G，則有：（1）先進(jìn)行了經(jīng)典平差，（2）利用經(jīng)典平差求得的待定未知量的估計(jì)與固定點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)一起構(gòu)成 ，即經(jīng)典平差結(jié)果為：（3）將經(jīng)典平差結(jié)果轉(zhuǎn)化為秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果。PlANXT1111111 NQX01XX01xXQQ00XGGGGEGtXXTT)(1XmLmLmLmLmLmL217. 1099. 0079. 0142. 1114. 1023. 0654321111222654321PPPPPPmx078.10001mx099.10002mx000.10003mx216.10104 5.3.6 5.3.6 秩虧網(wǎng)平差算例秩虧網(wǎng)平差算例有一水準(zhǔn)路線，如圖5-7所示，各路線的高差觀測(cè)值及權(quán)為 各點(diǎn)的高程近似值： 利用秩虧自由網(wǎng)平差原理求各點(diǎn)高程。1 1、直接求解法、直接求解法2 2、偽觀測(cè)法、偽觀測(cè)法第一種情況把G標(biāo)準(zhǔn)化