§6.2-分式線性映射

1、6.2 分式線性映射分式線性映射 一、分式線性映射一、分式線性映射分式線性映射定義為分式線性映射定義為azbczd0abcd、均為常數(shù)。、均為常數(shù)。abcd其中其中條件是為了使條件是為了使0adbc2d0d()adbczczd因此分式線性映射是保角映射。因此分式線性映射是保角映射。在擴(kuò)充復(fù)平面上補(bǔ)充定義如下：在擴(kuò)充復(fù)平面上補(bǔ)充定義如下：dzc 映射為映射為 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0c z 映射為映射為acz 映射為映射為 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0c 對(duì)于分式線性映射對(duì)于分式線性映射azbczd容易求出該映射的逆映射容易求出該映射的逆映射dbzca由于由于0dbadbcca因此分式線性映射的逆映射仍是分式線性因此分式線性映

2、射的逆映射仍是分式線性容易驗(yàn)證分式線性映射的復(fù)合仍是分式容易驗(yàn)證分式線性映射的復(fù)合仍是分式線性映射。線性映射。映射映射, , 且為擴(kuò)充復(fù)平面上的一一映射。且為擴(kuò)充復(fù)平面上的一一映射。二、分式線性映射的分解二、分式線性映射的分解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0c azbczd可化為：可化為：21abcaddcczc記記i2bcadrec則上式可分解為以下映射的有限次復(fù)合則上式可分解為以下映射的有限次復(fù)合,zi,e z,rz1z下面分別討論這四類(lèi)映射：下面分別討論這四類(lèi)映射：（1）z設(shè)設(shè)i ,uvi ,zxy12i,bb則映射化為則映射化為12uxbvyb平移公式平移公式（2）ie z由由,zArgArg z則該映

3、射保持的模不變，輻角旋轉(zhuǎn)。則該映射保持的模不變，輻角旋轉(zhuǎn)。z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)（3）kz(0)k 則則,k zArgArgArgkzz該映射保持的方向不變，模放大倍。該映射保持的方向不變，模放大倍。zk（4）1z（稱(chēng)為反演變換）（稱(chēng)為反演變換）該映射可分解為：該映射可分解為：111,z為了討論反演變換的幾何意義，下面為了討論反演變換的幾何意義，下面先給出關(guān)于圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義：先給出關(guān)于圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義：設(shè)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周。設(shè)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周。COr在以圓心為起點(diǎn)的射線上，在以圓心為起點(diǎn)的射線上，COr若有兩點(diǎn)與，若有兩點(diǎn)與，PPPP2OP OPr則稱(chēng)與關(guān)于則稱(chēng)與關(guān)于PP圓

4、周對(duì)稱(chēng)。圓周對(duì)稱(chēng)。C滿足滿足COrP如圖，從作圓周的切線，如圖，從作圓周的切線，PCPTT由作的垂線與交于，由作的垂線與交于，TPOPTPOPP則與關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)。則與關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)。PPC規(guī)定：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)規(guī)定：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為圓心。為圓心。O因此，因此，11zxyOC若設(shè)，則，若設(shè)，則，izrei111erz則與是關(guān)于單位圓周則與是關(guān)于單位圓周z1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖）。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖）。1z z1又，又，1軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖）。軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（如圖）。則與是關(guān)于實(shí)則與是關(guān)于實(shí)1xyOCz1這樣可得出反演變換的幾何意義。這樣可得出反演變換的幾何意義。1z先求關(guān)于單位圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，先求

5、關(guān)于單位圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，z1z 1再求關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再求關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，1即得。即得。三、分式線性映射的性質(zhì)三、分式線性映射的性質(zhì)1、保角性、保角性z、對(duì)于映射對(duì)于映射ie z、kz顯然在時(shí)導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。顯然在時(shí)導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。z 對(duì)于反演映射，對(duì)于反演映射，1z顯然在，顯然在，0z 時(shí)，導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。時(shí)，導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。z 下面定義兩條曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角：下面定義兩條曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角：規(guī)定其等于它們?cè)谟成湎滤吵傻囊?guī)定其等于它們?cè)谟成湎滤吵傻?z通過(guò)原點(diǎn)的兩條像曲線的夾角。通過(guò)原點(diǎn)的兩條像曲線的夾角。0下面以為例說(shuō)明處的下面以為例說(shuō)明處的 zz 保角性：保角性

6、： 令令11,z則成為則成為z1該映射在處解析，且導(dǎo)數(shù)不為零，該映射在處解析，且導(dǎo)數(shù)不為零，0因此，在處，因此，在處，0即在即在z處是保角的。處是保角的。z 同理其它幾個(gè)映射在處也是保角的。同理其它幾個(gè)映射在處也是保角的。z 類(lèi)似地可以證明反演變換在處是保類(lèi)似地可以證明反演變換在處是保0z 角的。角的。綜上可得下面定理。綜上可得下面定理。定理定理6.6分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的保角映射。一一對(duì)應(yīng)的保角映射。2、保圓性、保圓性在擴(kuò)充復(fù)平面上直線可看作是半徑無(wú)窮在擴(kuò)充復(fù)平面上直線可看作是半徑無(wú)窮大的圓周，大的圓周，以下提到圓周時(shí)均包括直線。以下提到圓周時(shí)均包

7、括直線。z為平移變換為平移變換ie z為旋轉(zhuǎn)變換為旋轉(zhuǎn)變換kz為將模放大倍為將模放大倍k這三個(gè)映射在擴(kuò)充復(fù)平面將圓周映成圓周，這三個(gè)映射在擴(kuò)充復(fù)平面將圓周映成圓周，該性質(zhì)稱(chēng)為保圓性。該性質(zhì)稱(chēng)為保圓性。下面討論反演變換是否具有保圓性。下面討論反演變換是否具有保圓性。1z22()0A xyBxCyD平面上的圓方程為：平面上的圓方程為：z令令izxy、iuv則變形為：則變形為：1z1iiuvxy整理得：整理得：22uxuv22vyuv、時(shí)為直線時(shí)為直線0A 代入圓方程為：代入圓方程為：2222220ABuCvDuvuvuv即：即：22()0D uvBuCvA時(shí)為直線時(shí)為直線0D 說(shuō)明反演變換將復(fù)平面上的圓周映成圓周。說(shuō)明反演變換將復(fù)平面上的圓周映成圓周。定理定理6.7分式線性映射將擴(kuò)充平面上的分式線性映射將擴(kuò)充平面上的z圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周。圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周。( (保圓性保圓性) )3、保對(duì)稱(chēng)性、保對(duì)稱(chēng)性引理引理6.1必要條件是，必要條件是，點(diǎn)與關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)的充分點(diǎn)與關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)的充分1z2zC經(jīng)過(guò)與的所有圓周都與經(jīng)過(guò)與的所有圓周都與1z2z圓周正交。圓周正交