初中數(shù)學競賽有理數(shù)篇

1、初中數(shù)學競賽有理數(shù)篇1、基本概念的提升、基本概念的提升“有理數(shù)有理數(shù)”神馬東西？神馬東西？定義有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式；分類： 兩種分法如下圖、數(shù)軸數(shù)軸-長啥樣兒呢？l定義：在數(shù)學中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線 叫做數(shù)軸（number line），它滿足以下要求： （1）方向方向（通常規(guī)定右為正，左為負）； （2）原點原點； （3）單位長度單位長度； 【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫數(shù)軸】如下圖所示：數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的。（任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。）數(shù)軸練習題 相反數(shù)、絕對值中文名： 數(shù)軸英文名： number a

2、xis相反數(shù)： 只有符號不同 的兩個數(shù)，其余相同絕對值： 點到原點的距離作 用： 比較大小說明：一切正數(shù)大于0，0大于一切負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)。v相反數(shù)：-2和2互為相反數(shù) ； ；.互為相反數(shù)和3232v絕對值絕對值 ：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離原點的距離就叫做這個數(shù)的絕對值；用代數(shù)式表示：| a | = ? (討論a為何值) 數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小。相反數(shù)、絕對值練習相反數(shù)例題詳解例2、化簡例1、按要求作答 -(-0.5)=_ ; +-( ) =_ ; -+(-50)=_ ; -|-( ) |=_ ;_,211的相反數(shù)是：_,)315 . 0(的相反數(shù)

3、是_,)2(的相反數(shù)是b2121絕對值的性質(zhì)性質(zhì)；這是絕對值非常重要的0,|a|用下式表示：絕對值的非負性，可以)1(（代數(shù)意義）（）（）（0a0a00a a|a| )2(a；則；若則若0a-a,|a|0aa,|a|)3(-a;|a|a,|a|)4(即于這個數(shù)的相反數(shù)，不小于這個數(shù)，也不小任何一個數(shù)的絕對值都)(-b;aba|,b|a|)5(幾何意義或則若);0(|b|a|ba|;b|a|ab|)6(b;|)7(222a| a |a; |b-a|a|; |ba|b|a| ;|b| - |a|b-a|b|a| )8(bba；【絕對值具有非負性】【絕對值具有非負性】例例1、|-5|=_ ; | +

4、5 |=_ ; | -(-5) |=_; 例例2、(1) | |=3 ; | | =5; （2）已知x 是有理數(shù)，且|x|=|-4|，那么x= ; (3)解方程：|4x+8|=15 ; ; 05532x經(jīng)典例題【B卷題型代數(shù)式求值】的值。1a求,4-a互為相反數(shù)，且b、a、若已知3例2abababb解：解：; 44; 0aba:babab互為相反數(shù)，與分析41a綜上所述得：;4,2,2那么,0ba時，且4-b-a當;4,2,2，那么0a時，且4b-a當44a1001)(122ababababbaabbabbababaabbaaabbaabababa經(jīng)典例題【B卷題型含絕對值運算】；a）化簡2（

5、的值；a求,a）若1（、4例bbb.a-, ba0a; 0aa0b-a; 0aba0a220a.2a,a0a; 0a-b,a0a0ba) 1 (abbbabbbbbbbbbbbb）（時，即當，時，即當，時，即）當（或綜上所述：則時，當則時，當，解：解：【鞏固練習】的值）已知（）；（）化簡：（|y+x|求代數(shù)式6,|=y|4,|=x|2（)8(x-82-14. 31x結(jié)合數(shù)軸化簡代數(shù)式【A、B卷】bccacab, b, a5示，化簡在數(shù)軸上對應(yīng)點如圖所、有理數(shù)例；，分析：由數(shù)軸可知：0b-c0ca0abcbbccaabbccaab22)()(解：解：aababbabcabccbba, a2a,

6、a1所示，化簡在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖】數(shù)【鞏固示，化簡在數(shù)軸上的位置如圖所】已知【鞏固的值；求已知化簡若，化簡且）已知、（例y-xx,xzy, 0, z0 x)3(;22a, 0a2-)2(;a0ab-a16zyzxyaabbabbaababbabaabbabbbab2a0a0a0b00a, b-a) 1 (，且解：解： 42222, 02, 02a0a2-)2(aaaaaoyzyzzzxxxy:,xyz0y0 xyz0 x)3(原式可得又可得：，由【鞏固練習】.10 x10 xx,10 xm,10m0. 1mm化簡并且如果. 010 x010 x0 x，；分析：由題意可知：mmx20)10 x

7、()10-x(xmm原式解：解：經(jīng)典例題.33a20a)2(;x1-233-x17aaa，試化簡若，化簡）已知、（例xxx33123x1-233-x) 1 (x時，當4545332332)2(aaaaaaaaaa解：解：的所有可能值。則、若例ccbbaa, 0abc8。一負或一正兩負或全負可以是全正、或兩正c，b，a可知，0a分析：由bc. 3-a,)4(1-a,)3(; 1a, a)2(; 3a,) 1 (ccbbacbaccbbacbaccbbacbccbbacba全負，則；一正兩負，則兩正一負，則當全正，則當解：解：鞏固練習的值。求，滿足、有理數(shù)ddccbbaa, 1abcd, a1ab

8、cddcb個負數(shù)；個負數(shù)或里含有，所以，可知分析：由31, a0abcd1-abcdabcddcb；個負數(shù)，則若含有個負數(shù)，則若含有2-aa3)2(; 2aa1) 1 (ddccbbddccbb解：解：例題零點分段法.325x9x、化簡例段。零點可以將數(shù)軸分成幾分析：先找零點，,2303x2 ; 505xxx;8325x03x205x5-x;8325x032 , 05,23x5; 23325x, 032 , 05,23x;23, 0325, 05xxxxxxxxxxxxxx，當，當當解：解：. 1x2 【鞏固】化簡：例題零點分段法求值.21m10的值、求例mm. 2m1m1 , 1m0 , 0

9、m21 , 0m, 02, 01, 0m，：軸分為了四段，依次是，所以將數(shù)，解得分析：先找零點，mm33)2() 1(m2m1)2(1m2m13)2() 1(m1m033)2() 1(m0m. 2m, 2m1 , 1m00m210m02, 01, 0mmmmmmmmmmmmmmm時，原式當時，原式當時，原式當時，原式當，四段：這三個零點將數(shù)軸分為，；解得由解：解：絕對值的幾何意義|a|的幾何意義：的幾何意義： 在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離；在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離；|a-b|的幾何意義的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)：在數(shù)軸上，表示數(shù)a,b對應(yīng)數(shù)軸上兩點間的距離。對應(yīng)數(shù)軸上兩點

10、間的距離。的最小值。、求例71253-x11xxxx應(yīng)立于何處？的距離之和最短，郵局為使五棟的居民到郵筒一個郵筒，五棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立、如圖，在街道上有EDCBA【思路導(dǎo)航】分析以下【思路導(dǎo)航】分析以下A、E兩個點，不論這個郵筒放在兩個點，不論這個郵筒放在AE之間的哪一點，之間的哪一點，A到郵筒的距離加上到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是到郵筒的距離就是AE的長度。也就是說郵筒放在哪不會影響這兩個點到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的的長度。也就是說郵筒放在哪不會影響這兩個點到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的3個點到郵筒的距離之和最短，個點到郵筒的距離之和最短，再看為了使再看為了使B、D兩個

11、到郵筒的距離之和也是不變的，等于兩個到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD。最后，只需要考慮。最后，只需要考慮C點到郵筒的距離最近就行了。那么點到郵筒的距離最近就行了。那么當然也就是把郵筒放在當然也就是把郵筒放在C點了。這里就體現(xiàn)了一個點了。這里就體現(xiàn)了一個“向中心靠攏的思想向中心靠攏的思想”的最小值；求aaanxxx.21結(jié)論：結(jié)論：該式子的值最小。等于最中間的數(shù)值時，x從小到大排列，、為奇數(shù)時，把n當n21aaa值最小。間的數(shù)）時，該式子的的數(shù)（包括最中取最中間兩個數(shù)值之間從小到大排列，、為偶數(shù)時，把當xnn21aaa【鞏固練習】取得最小值。201121x時，_x）當2（取得最小值。2012

12、21x時，_x）當1（ .2的最小值。xxxxx求，為五個有理數(shù)，滿足、設(shè).1543215432154321aaaaaaaaaaaaxxxxaaa【競賽銜接】. |4-x|2-x|4)-(x2)-(x|x11的取值范圍：、求例）同號等式才成立；4x）與（2-x分析：有題意可知，（；或綜上所述：和；得，且當和，得，且當；）由題意可得（2x4x2x; 4x2x04-x02-x4x; 4x2x04-x02x0)4(2xx解：解：【競賽銜接】_.|c-d| - |a-b|25,|dc-b-a|16,|d-c|9,|b-a|a12那么且是有理數(shù)，、已知例dcb；”可知“分析：由絕對值的性質(zhì)c-d|b-a

13、| )()( |:|b|a|ba|cdbadcba-716-9|c-d| - |a-b|16|d-c|9,|b-a|25|b-a|25|b-a|d-c|cd|16,|d-c|9,|b-a|c-d|b-a|25c-d|b-a| )()( |所以：，從而且又dcdccdba解：解：【競賽銜接】.200299-,ax0,cbacba1319的值試求代數(shù)式設(shè)均不為零，且、有理數(shù)例xbacacbcbx；，一個數(shù)是大于中至少有一個數(shù)是小于說明分析：有00, a0;0acbcbaacbbcacbacb；時，當；時，當綜上所述：則：，若則：，若可知：由21002002991190420029911; 1ca0

14、0b0a; 1c-a00b0a;a, 0cba1919xxxxxcbbaxccbbaxcacbbcacbxx解：解：【競賽銜接】的值。求代數(shù)式、已知例22222003200221, 0200320023211420032002321xxxxxxxxx0|2|1, 0| 1|,211xxx；可知：負性分析：根據(jù)絕對值的非6-200320023, 2, 12222222222222222121220012002122001200220032003200232120032002321則原式；，根據(jù)題意可知：xxxxx解：解： 利用已有的知識，靈活熟練地運用數(shù)的四則運算法則和有關(guān)公式，學會巧算的方法。

15、利用已有的知識，靈活熟練地運用數(shù)的四則運算法則和有關(guān)公式，學會巧算的方法。二、有理數(shù)計算學習與提升二、有理數(shù)計算學習與提升分析：這個算式中的分母均是分析：這個算式中的分母均是9999，分子依次是，分子依次是1 1到到296296，而，而1+296=2971+296=297，而，而297297恰好是恰好是9999的的3 3倍，可以看出，算式中的首末兩項倍，可以看出，算式中的首末兩項或與首末兩項等距離的兩項之和為或與首末兩項等距離的兩項之和為3 39999，并且這樣的和只有，并且這樣的和只有296/2296/2個。個。1 1、巧用運算律：、巧用運算律： 例例1.1.計算：計算：1/99+2/99+

16、3/99+296/991/99+2/99+3/99+296/99解：解：1/99+2/99+3/99+296/991/99+2/99+3/99+296/99 = =（1/99+296/991/99+296/99）+ +（2/99+259/992/99+259/99） + +（148/99+149/99148/99+149/99） =3X148 =3X148 =444 =444解：設(shè)解：設(shè)S= 5+8+11+14+17+32S= 5+8+11+14+17+32 反過來寫反過來寫S=32+29+26+5S=32+29+26+5 2S=(5+32)+(8+29)+(32+5) 2S=(5+32)+(

17、8+29)+(32+5) =37X10 =37X10 =370 =370所以所以S=185S=185例例2 2：5+8+11+14+17+325+8+11+14+17+322、倒寫相加、倒寫相加分析：可利用分析：可利用“倒寫相加倒寫相加”的方法來計算上式的和的方法來計算上式的和 觀察上例我們發(fā)現(xiàn)：它的每兩個相鄰的加數(shù)的差相等，一般地，給出一列數(shù)觀察上例我們發(fā)現(xiàn)：它的每兩個相鄰的加數(shù)的差相等，一般地，給出一列數(shù)a a1 1、a a2 2、a a3 3aan n( (其中其中a a1 1稱為首項，稱為首項，a an n稱稱為末項為末項) )，如果從第二項開始，后項與前項的差都相等，那么就稱這列數(shù)，

18、如果從第二項開始，后項與前項的差都相等，那么就稱這列數(shù)a a1 1、a a2 2aan n為等差數(shù)列，這個差用為等差數(shù)列，這個差用d d來來表示。表示。即即d=ad=a2 2-a-a1 1=a=a3 3- a- a2 2=a=an n-a-an-1n-1d d叫公差，叫公差，n n為項數(shù)為項數(shù) 如何來推算等差數(shù)列如何來推算等差數(shù)列a a1 1、a a2 2aan n的和呢？的和呢？ 例例2 2：5+8+11+14+17+325+8+11+14+17+32設(shè)設(shè)S=a1+ a2+anS=a1+ a2+an反過來寫，則反過來寫，則s= an+an-1+a1s= an+an-1+a1兩式相加得：兩式相

19、加得：2S=(a1+ an)+(a2+ an-1)+(an+ a1)2S=(a1+ an)+(a2+ an-1)+(an+ a1)由于由于a1+ an=a2+ an-1= an+ a1a1+ an=a2+ an-1= an+ a1因為因為2S=(a1+an)n2S=(a1+an)n所以所以S=(a1+an)/2nS=(a1+an)/2n求和的公式。，也就是等差數(shù)列而等差數(shù)列的和，這樣我們就求得了一個naaSn2)(19920169969962996)19911 (2)(1naan解：原式 例例3. 3. 利用等差數(shù)列求和公式計算：利用等差數(shù)列求和公式計算： 分析：這里分析：這里a a1 1=1

20、=1，a an n=1991=1991，d=3-1=2d=3-1=2，n=996n=996 1+3+5+1991 1+3+5+1991 解：設(shè)解：設(shè)S=1+3+3S=1+3+32 2+3+320142014 (1) (1) 則則3S=3+33S=3+32 2+3+32015 2015 (2)(2) （2 2）- (1)- (1)得：得：3S-S=(3+33S-S=(3+32 2+3+320152015)-(1+3+3)-(1+3+32 2+3+320142014）2S=32S=320152015-1-1所以所以S=3S=320152015-1/2-1/2 3 3、先乘后減、先乘后減例例4 4：

21、求：求 1+3+3 1+3+32 2+3+320142014的值。的值。分析：和式中從第二項起，相鄰的后一項與前一項的比都是分析：和式中從第二項起，相鄰的后一項與前一項的比都是3 3，如先用，如先用3 3乘以和式兩邊，然后與原式對應(yīng)相減，即可得乘以和式兩邊，然后與原式對應(yīng)相減，即可得解。解。解：原式解：原式=(90+900+9000+90000+900000)-5=(90+900+9000+90000+900000)-5 =999990-5 =999990-5 =999985 =9999854、湊數(shù)與分拆：、湊數(shù)與分拆：例例5. 5. 計算計算89+899+8999+89999+899999

22、89+899+8999+89999+899999 分析：觀察各數(shù)的特征：都是由分析：觀察各數(shù)的特征：都是由8 8和和9 9組成，只要將第一個數(shù)加上組成，只要將第一個數(shù)加上1 1就湊成就湊成9090，第二個數(shù)加上，第二個數(shù)加上1 1就湊成就湊成900900，再求再求和即可。和即可。 分析：分析： 1) 1(1431321211. 6nnnn證明例關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)：11111k kkk()1111111kkkkk kk k()()112111212 證明：證明：1341314123121311111n nnn()11212313411n n()()()()()11212131314111nn11212

23、131311n111nnn1 10210164834221. 7計算：例分析：算式中的每一項分析：算式中的每一項“分拆分拆”成正負兩項，利用成正負兩項，利用“正負相消正負相消”的方法計算。的方法計算。1091021221121085448344234223221， 解：解：)212211()8544()4423()232(109原式2122102 0 3 61 0 2 45 0 92 5 6 人類的祖先經(jīng)過長期的實踐，在數(shù)的范圍內(nèi)確定了一些運算符號與法則：如加（人類的祖先經(jīng)過長期的實踐，在數(shù)的范圍內(nèi)確定了一些運算符號與法則：如加（+ +）、減（）、乘（）、）、減（）、乘（）、除（），這使數(shù)學更

24、加簡明。除（），這使數(shù)學更加簡明。 然而，這些符號都是然而，這些符號都是“公認的公認的”，其實，除了四則運算以外，還可以有一些新的符號，讓它代表新的運算，這，其實，除了四則運算以外，還可以有一些新的符號，讓它代表新的運算，這就是定義新運算。就是定義新運算。 ，即是說，于任意兩個數(shù)均有”表示一種新運算：對如規(guī)定“32baba 我們定義的這種新運算，其運算我們定義的這種新運算，其運算結(jié)果應(yīng)該是等于參加運算的第一個數(shù)加上第二個數(shù)的結(jié)果應(yīng)該是等于參加運算的第一個數(shù)加上第二個數(shù)的2 2倍倍的和與的和與3 3的商。若的商。若a=a=2 2，b=3b=3 則() 232233435、定義新運算、定義新運算在

25、數(shù)學競賽中，常常會遇到這種題。在數(shù)學競賽中，常常會遇到這種題。 ，、任意兩個整數(shù)對于，”“”、現(xiàn)定義兩種運算“例1.10bababaabab146835。求的值。()() 解：解： 6868113 3535114 46835()() 4131441314142 6 4261 103。求，命名我們定義一種運算，其中對于有理數(shù)例xyyxyxxyx2)0(,.11() ()148。 解：解：4848284220 ()()() 20202021 () ()2481 31762521556745 解：原式解：原式 31762521556745 53552639526545127657136 6、一些運算

26、技巧、一些運算技巧( (湊整）湊整）例例1.1.計算：計算：例例2. 2. 計算：計算：223115.3125222331254 解：原式解：原式 4512332225123151322.整數(shù)、分數(shù)分離整數(shù)、分數(shù)分離15.315.32232231251251234例例3. 3. 計算計算 5713771312713 解：原式解：原式 71357120例例4. 4. 計算：計算：3613611871214136118712141361 分析：因為分析：因為13 61411 271 813 6 逆用分配律逆用分配律倒數(shù)求值倒數(shù)求值 1361411271813614112718136363133313361187121413611143936118712141361與與互為倒數(shù)，而互為倒數(shù)，而 容易計算。容易計算。故此題只需計算后部分的結(jié)果即可。故此題只需計算后部分的結(jié)果即可。14112718136136 1411 271 813 613 6 解：原式解：原式零因式定值零因式定值10910009100000922233223. 分析：解答時切忌從左至右按順序運算，因為分析：解答時切忌從左至右按順序運算，因為2223303解：原式解：原式088009. 010009. 0109 . 0122 例例5. 5.