平面向量的概念及線性運算復習設(shè)計師

1、專題031：平面向量的概念和線性運算（復習設(shè)計）（師）考點要求：1考查平面向量的線性運算2考查平面向量的幾何意義及其共線條件3一是要重視基礎(chǔ)知識，對平面向量的基本概念，加減運算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運算，搞清這些運算法則和實數(shù)的運算法則的區(qū)別知識結(jié)構(gòu)1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量是a方向上的單位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的

2、向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1) 交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)3.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：|a|a|；當0時，a與a的方向相同；當0時，a與a的方向相反；當0時，a0.(2)運算律：設(shè)，是兩個實數(shù)，則(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ba.注：向量共線的

3、充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個5證明三點共線根據(jù)共線向量的充分條件證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合*6重要結(jié)論（1）()G為ABC的_重心_；（2）0P為ABC的_重心_基礎(chǔ)自測1D是ABC的邊AB上的中點，則向量等于()A C. D.解析如圖，. 答案A2判斷下列四個命題：若ab，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.正確的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析只有正確答案A3若O

4、，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()A. B. C. D.解析.答案B4(2011·四川)如圖，正六邊形ABCDEF中，() A0 B. C. D.解析.答案D5設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量ab與2ab共線，則_.解析由題意知：abk(2ab)，則有：k，.答案例題選講：1平面向量的概念例1：下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點的兩個非零向量不平行分析： 以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其正確與否解析：由于零向量與任一向量都

5、共線，所以A不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.答案C小結(jié)： 解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：(1)模相等；(2)方向相同學

6、生練習： 給出下列命題：若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若a與b均為非零向量，則|ab|與|a|b|一定相等其中正確命題的序號是_解析正確，錯誤答案2平面向量的線性運算例2：如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A.0 B.0 C.0 D.0分析：利用平面向量的線性運算并結(jié)合圖形可求解析0，2220，即0. 答案A小結(jié)：三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則學生練習： 在ABC中，c，b，若點D滿足2，則()A.

7、bc B.cb C.bc D.bc解析2，2()，32bc.答案A3共線向量定理及其應用例3：設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線分析： (1)先證明，共線，再說明它們有一個公共點；(2)利用共線向量定理列出方程組求k.(1)證明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共線，又它們有公共點，A，B，D三點共線(2)解kab與akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，kk10.k210.k±1.小結(jié)： 平行向量定理的條件和結(jié)論

8、是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點學生練習：已知a，b是不共線的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三點共線的充要條件是()A2 B1 C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三點共線得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故選D.鞏固作業(yè)：1下列四個命題：對于實數(shù)m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；對于實數(shù)m和向量a，b (mR)，若mamb，則ab；若mana (m，nR，a0)，則mn；若ab，bc，則ac，其中正確命題的個數(shù)為 ()A1B2C3D42C根據(jù)實數(shù)與向量積的運算可判斷其正確；當m0

9、時，mamb0，但a與b不一定相等，故錯誤；正確；由于向量相等具有傳遞性，故正確2有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；向量與向量共線，則A、B、C、D四點共線；如果ab，bc，那么ac.ab的充要條件是|a|b|且ab.以上命題中正確的個數(shù)為 ()A1B2C3D0不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；不正確，若a與b中有一個為零向量時也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確，如果b0時，則a與c不一定平行3下列命題中正確的有_(填寫所有正確命題的序號)|

10、a|b|ab；若ab，bc，則ac；|a|0a0；若 ab，則|a|b|；若0，則a0；若A、B、C、D是不共線的四點，則四邊形ABCD是平行四邊形若將所有的單位向量都平移到同一個起點，則它們的終點在同一個單位圓上解析模相同，方向不一定相同，故不正確；兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，正確； 只有零向量的模才為0，故正確；，即模相等且方向相同，即平行四邊形對邊平行且相等故正確故應選.4判斷下列命題是否正確，不正確的請說明理由.(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a與b方向相同，則ab；(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；(7)任一向量與它的相反向量不相等.解(1)不正確，因為向量只討論相等和不等，而不能比較大小.(2)不正確，因為向量模相等與向量的方向無關(guān).(3)正確.(4)不正確，因為規(guī)定零向量與任意向量平行.(5)不正確，因為兩者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正確. 對于一個向