線(xiàn)性代數(shù)_第二章_矩陣及其運(yùn)算——習(xí)題課ppt課件

1、第二章第二章矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩陣矩陣簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)列矩陣列矩陣行行叫做叫做列的數(shù)表列的數(shù)表行行排成排成個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 矩陣的定義.,復(fù)復(fù)矩矩陣陣元元素素是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做實(shí)實(shí)矩矩陣陣元元素素是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第陣陣叫叫做做矩矩的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)叫叫做做矩矩陣陣其其中中jiAaAnmij .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也記作也記作矩陣矩陣或或式可簡(jiǎn)記為式可簡(jiǎn)記為.)(;2121行行矩矩陣

2、陣叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩陣陣叫叫做做列列矩矩陣陣只只有有一一列列的的矩矩陣陣aaaAaaaAnm 方陣列矩陣行矩陣.,)1(階階方方陣陣稱(chēng)稱(chēng)為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)式式對(duì)對(duì)nAnm 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱(chēng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱(chēng)它們是同型矩陣它們是同型矩陣.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 記記作作相相等等與與矩矩陣陣那那么么就就稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣即即們們的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩陣陣與與如如果果同型矩陣和相等矩陣零矩陣單位矩陣.,O記作記作零矩陣零矩陣元素都是零的矩陣稱(chēng)為元素都是零

3、的矩陣稱(chēng)為., 1 Enn簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記作作階階單單位位陣陣叫叫做做階階方方陣陣其其余余元元素素都都是是零零的的主主對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)上上的的元元素素都都是是.,)( ,)(,)(的的和和與與稱(chēng)稱(chēng)為為矩矩陣陣加加法法定定義義為為為為兩兩個(gè)個(gè)同同型型矩矩陣陣設(shè)設(shè)BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律矩陣相加).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并規(guī)規(guī)定定從從而而有有負(fù)負(fù)矩矩陣陣的的稱(chēng)稱(chēng)為為矩矩陣陣記記設(shè)設(shè)ABBA )()(CBACBA ).(,aAAAAAij 規(guī)規(guī)定定為為或或的的乘乘積積記記作作與與矩矩陣陣數(shù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(A

4、A ;)(AAA .)(BABA 數(shù)乘矩陣.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 記記作作其其中中矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)的的乘乘積積與與規(guī)規(guī)定定設(shè)設(shè)矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n階方陣的冪階方陣的冪.,111121是正整數(shù)是正整數(shù)其中其中定義定義階方陣階方陣是是設(shè)設(shè)kAAAAAAAAnAkk .,)(, 為正整數(shù)為正整數(shù)其

5、中其中l(wèi)kAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地方陣的運(yùn)算方陣的行列式方陣的行列式.det,AAAAn或或記記作作的的行行列列式式陣陣叫叫做做方方的的元元素素所所構(gòu)構(gòu)成成的的行行列列式式階階方方陣陣由由運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律.;,BAABAAnBAn 則則階方陣階方陣為為為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè)轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣.,AAAT記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣叫叫做做陣陣到到一一個(gè)個(gè)新新矩矩的的行行換換成成同同序序數(shù)數(shù)的的列列得得把把矩矩陣陣.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 一些特殊的矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣.,為對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣則稱(chēng)則稱(chēng)如果如果階方陣階方陣為為設(shè)

6、設(shè)AAAnAT 反對(duì)稱(chēng)矩陣反對(duì)稱(chēng)矩陣.,矩陣矩陣為反對(duì)稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)則稱(chēng)則稱(chēng)如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 冪等矩陣冪等矩陣.,2為冪等矩陣為冪等矩陣則稱(chēng)則稱(chēng)如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnA 正交矩陣正交矩陣.,正正交交矩矩陣陣為為則則稱(chēng)稱(chēng)如如果果階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)AEAAAAnATT 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣.,為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣則則稱(chēng)稱(chēng)素素全全為為零零其其余余元元如如果果除除了了主主對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)以以外外階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)AnA對(duì)合矩陣對(duì)合矩陣.,2為對(duì)合矩陣為對(duì)合矩陣則稱(chēng)則稱(chēng)如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AEAnA 上三角矩陣上三角矩陣主對(duì)角線(xiàn)以下的元素全為零的方陣稱(chēng)為上三主對(duì)角線(xiàn)

7、以下的元素全為零的方陣稱(chēng)為上三角矩陣角矩陣下三角矩陣下三角矩陣主對(duì)角線(xiàn)以上的元素全為零的方陣稱(chēng)為下三主對(duì)角線(xiàn)以上的元素全為零的方陣稱(chēng)為下三角矩陣角矩陣伴隨矩陣伴隨矩陣. 212221212111的伴隨矩陣的伴隨矩陣叫做方陣叫做方陣方陣方陣所構(gòu)成的所構(gòu)成的的各元素的代數(shù)余子式的各元素的代數(shù)余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴伴隨隨矩矩陣陣具具有有重重要要性性質(zhì)質(zhì)定義定義., 1AAAA 矩矩陣陣記記作作的的逆逆的的逆逆矩矩陣陣是是唯唯一一的的則則有有逆逆矩矩陣陣若若逆矩陣.),( , 的的逆逆矩矩陣陣稱(chēng)稱(chēng)為為且且矩矩陣陣秩秩的的、滿(mǎn)滿(mǎn)或或非非奇奇異異

8、的的、非非退退化化的的是是可可逆逆的的則則稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣使使如如果果存存在在矩矩陣陣階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)ABAEBAABBnA 相關(guān)定理及性質(zhì)相關(guān)定理及性質(zhì). 0 AA可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是方方陣陣.,1AAAA 則則可可逆逆若若矩矩陣陣.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且且也也可可逆逆那那么么都都可可逆逆與與若若同同階階方方陣陣矩陣的分塊，主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于矩陣的分塊，主要目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算及便于論證論證分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類(lèi)似相類(lèi)似分塊矩陣一、矩陣的

9、運(yùn)算一、矩陣的運(yùn)算二、逆矩陣的運(yùn)算及證明二、逆矩陣的運(yùn)算及證明三、矩陣的分塊運(yùn)算三、矩陣的分塊運(yùn)算典型例題例計(jì)算例計(jì)算 nnnnnnnnnnnnnnn11111111112一、矩陣的運(yùn)算解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn.,2是冪等矩陣是冪等矩陣所以所以在此例中在此例中AAA nnnnnnnnnnnn111111111. 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并驗(yàn)驗(yàn)證證多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的寫(xiě)寫(xiě)成成試試將將設(shè)設(shè) 解解,)()(2bcaddadcbaAEf 由此得

10、由此得EbcadAdaAAf)()()(2 例例 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( Af即即例例.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcba解解方法一用定義求逆陣方法一用定義求逆陣,43211 xxxxA設(shè)設(shè)得得由由,1EAA 二、逆矩陣的運(yùn)算及證明,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa則有則有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得.11 acbdbcadA注注., 元元方方程程組組矩矩陣陣的的各各列列的的同同而而常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)分分別

11、別為為單單位位個(gè)個(gè)系系數(shù)數(shù)相相實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)上上是是求求解解的的逆逆依依定定義義求求nnA.,:,的的逆逆矩矩陣陣即即可可得得的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素去去除除最最后后用用符符號(hào)號(hào)再再將將次次對(duì)對(duì)角角元元素素調(diào)調(diào)換換其其置置位位中中的的主主對(duì)對(duì)角角元元素素調(diào)調(diào)換換其其先先將將矩矩陣陣其其做做法法是是的的方方法法兩兩調(diào)調(diào)一一除除求求二二階階矩矩陣陣逆逆矩矩陣陣可可用用AAAA.,bcadAdcbaA 方法二方法二A調(diào)調(diào)換換主主對(duì)對(duì)角角元元次次對(duì)對(duì)角角元元調(diào)調(diào)符符號(hào)號(hào) acbd去除去除用用 A,1 acbdA.11 acbdbcadA注此法僅適用于二階矩陣，對(duì)二階以上的注此法僅適用于二階矩陣，對(duì)二階以上的

12、矩陣不適用矩陣不適用 acbd分析分析.,),(,.,11111交交換換律律因因?yàn)闉榫鼐仃囮嚨牡某顺朔ǚú徊粷M(mǎn)滿(mǎn)足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘這這時(shí)時(shí)將將方方程程兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)左左程程方方可可逆逆時(shí)時(shí)才才可可解解這這個(gè)個(gè)矩矩陣陣只只有有程程可可以以不不寫(xiě)寫(xiě)出出這這個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)是是否否可可逆逆要要先先考考察察例例如如解解關(guān)關(guān)系系的的位位置置應(yīng)應(yīng)注注意意已已知知矩矩陣陣與與解解矩矩陣陣方方程程時(shí)時(shí)ABAXBAAXAAAABAXX ., 均均為為可可逆逆矩矩陣陣、其其中中解解矩矩陣陣方方程程BACAXBBXABAX 例例4 4矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA

13、CAXB .,0,的的逆逆矩矩陣陣并并求求必必為為可可逆逆矩矩陣陣證證明明階階可可逆逆矩矩陣陣都都是是設(shè)設(shè)DBCADnBA 證證.),0det, 0det,(0detdetdet為為可可逆逆矩矩陣陣所所以以均均可可逆逆因因?yàn)闉镈BABABAD ),2 , 1,(,222112111 jinXXXXXDij階矩陣階矩陣均為均為其中其中設(shè)設(shè)例例三、矩陣的分塊運(yùn)算)(000221221111211222112111階單位陣階單位陣是是nEEEXBXCXBXCXAXAXXXXBCADD ,221221111211EXBXCOXBXCOXAEXA依依矩矩陣陣相相等等的的定定義義有有,1221121121

14、11BXACBXOXAX 從從而而得得.11111 BACBOAD故故同理可得：同理可得：;,)1(11111 BOBCAADBOCAD則則設(shè)設(shè).,)2(11111 BCAABODOBACD則則設(shè)設(shè): , DBA對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣均均可可逆逆、設(shè)設(shè).:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 證明證明求乘積求乘積并且并且階單位陣階單位陣是是是非奇異的是非奇異的階方陣階方陣都是都是設(shè)設(shè)例例 6解解（根據(jù)分塊矩陣的乘法，得（根據(jù)分塊矩陣的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA（由

15、可得（由可得,11BACDABACDOOAXYZ ,ZYXXYZ , 1 ZX而而.1BACDADCBA 第二章測(cè)試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3232分分) ) AAAAnA1541det,31det,. 11則則為其伴隨矩陣為其伴隨矩陣階方陣階方陣為為設(shè)設(shè) tOABtBOA則則且且階方陣階方陣設(shè)設(shè),35342531,3. 2 13,. 3AEA則則已已知知 1008050200. 4AA的逆矩陣的逆矩陣矩陣矩陣 131125221001100124. 5AAA的的逆逆矩矩陣陣則則階階矩矩陣陣設(shè)設(shè) 12, 032. 6AEAAAn則則滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程階矩陣階矩陣

16、若若 AAAA32, 1,. 71且且為為三三階階矩矩陣陣設(shè)設(shè) nAA則則設(shè)設(shè),400010003. 8. , , , A )6( 2并求其逆并求其逆可逆可逆證明證明且且階方陣階方陣均為均為、設(shè)設(shè)分分二、二、ABEABBnB 四、四、(8(8分分) )解下列矩陣方程解下列矩陣方程.021102341010100001100001010 X五、五、( (每小題每小題5 5分，共分，共2020分分) )求下列矩陣求下列矩陣 ,23121n ;2, 13122 ., )6( 可可逆逆證證明明且且階階實(shí)實(shí)方方陣陣設(shè)設(shè)分分三三、AAAOAnT ;510013101121lim3nn 六、六、(6(6分分

17、) )設(shè)設(shè) 求求 ,2,321011324BAABA 七、七、( (每小題每小題3 3分分, ,共共6 6分分) )設(shè)設(shè) 階矩陣階矩陣 的伴隨矩陣的伴隨矩陣為為 ，證明：，證明： A ; 0, 01 AA則則若若 .21 nAA .1000101014nA BnA八、八、( (每小題每小題5 5分，共分，共1010分分) )求下列矩陣的逆矩陣求下列矩陣的逆矩陣;1000021000002000003100011 A.1133223210101010008200031 B其其中中求求設(shè)設(shè).,111ABAPP 九、九、(6(6分分) ).2001,1141 BP ;008105102100. 4 ;. 3 ; 4. 2 ; 31. 12 Atn一、一、;3161343102125210010002121. 51 A ;