不等式的基本性質(zhì)

1、不等式的基本性質(zhì)編稿：周尚達(dá)審稿：張揚(yáng)責(zé)編：辛文升目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解并掌握不等式的性質(zhì)，理解不等關(guān)系、感受在顯示時節(jié)和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系、了解不等式（組）的實(shí)際背景.能用不等式的基本性質(zhì)比較代數(shù)式的大小。重點(diǎn)：不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，用不等式的基本性質(zhì)比較代數(shù)式的大小。難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的應(yīng)用。學(xué)習(xí)策略：不等式的基本性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換，證明不等式和解不等式的依據(jù)，應(yīng)正確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，注重性質(zhì)的推導(dǎo)過程，弄清每條性質(zhì)的條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的關(guān)系。要比較兩個式子的大小，通常只需將他們作差即可。如果差的符號不確定，就需要對其差進(jìn)行討論。要證的不等式或者需要比較大小的

2、式子含“哥”或“指數(shù)”，常采用作商比較法。知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：不等式的概念用不等號（,二工）表示不等關(guān)系的式子叫不等式.知識點(diǎn)二：不等式的性質(zhì)1、不等式的基本性質(zhì)：回對稱性：二;二一1T傳遞性：0：可加性：儀（IEK）cOacbe0=萌=bccOacbc可乘性：如果,則2、不等式的運(yùn)算性質(zhì)：回可加法則：，.,，可乘法則：；,.；，一.一，可乘方性：二LJ；:可開方性：，:;:知識點(diǎn)三：比較大小的方法1、作差法：也J任意兩個式子Q、6,可以作差a-b后比較差與0的大小關(guān)系，從而得到a與6的大小關(guān)系，這種比較大小的方法稱為作差比較法。作差比較法的理論依據(jù)：；a-b0、可以作商a*6后比較商與i的

3、關(guān)系，從而得到。與8的大小關(guān)系。作商差比較法的理論依據(jù)：a.aH4aH.一lOab-1Q、b（J,則有b；8；8.注意：作商比較法一般適合含“哥”、“指數(shù)”的式子比較大小。3、中間量法：住J若ab且bc,則ac（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或i為中間量.4、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小LU若兩個式子具有相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以利用相應(yīng)的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小規(guī)律方法指導(dǎo)1、作差比較法的主要步驟：住J作差；變形(分解因式，配方等)；判斷差的符號；如果差的符號不確定，就需要對其差進(jìn)行討論。下結(jié)論。注意：這里“判斷差的符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵過程。2、作商比較法的主要步驟：弱判斷要比較兩式的符號

4、都為正；作商；變形；判斷商與1的大小關(guān)系；如果商與1的大小關(guān)系不確定，就需要對其商進(jìn)行討論。下結(jié)論。注意：作商比較法一般適合含“哥”、“指數(shù)”的式子比較大小。經(jīng)典例題透析類型一：不等式基本的性質(zhì)的應(yīng)用1,對于實(shí)數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假。(1)若ab,則acbc2,則ab;(3)若ababb2;(4)若ab|b|;(5)若ab,h,則a0,bbc2,，cw0,從而c20,故原命題為真命題。白ab又”,abb2綜合得a2abb2,故原命題為真命題.(4)兩個負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小，故原命題為真命題.卜-01111r(5)b，.二ab一ab,從而abb,a0,b方成立的充分而不必要的條件是(

5、A)4占+1(B)白b-1(C)冷/(D)或冶【答案】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項(xiàng)能推出ab,而由ab推不出選項(xiàng)的選項(xiàng)選A,即尋找命題p使pOab,ab推不出巳逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A【變式2】若ab和(a+1)2(b+ly 均不成立C.一一：一.工上和 g+乂 b+均不成立D,I1!)【答案】特殊值法：強(qiáng)b0fs+y0命題甲：任。，命題乙：。；7aQ,b0,I國+鄧）（花-812-之 0（當(dāng)且僅當(dāng)a 二 b時等號成立）x2fx+y4,一命題甲：y2,命題乙：xy4【答案】當(dāng)x0且y0時，由實(shí)數(shù)的性質(zhì)可知x+y0,xy00p+y0y0 xy0.當(dāng)xy0時，x、y同號，又x+y0,可知

6、x0且y0.x+y0Jx0即xy0y0命題甲是命題乙的充分必要條件.？x2Qy2Q：笈+y4,xy4,x2x+y4即y2畤4x+y4fx24不能得到y(tǒng)2,可舉反例如下:x=5,y=1.這時x+y=64,xy=54,但x2,y=1/ab牝已知正整數(shù),試比較a 而）+啥-a5+b-ab(a+b)_(a+b)(b)abab色+b0下E,W+M0總結(jié)升華：1、兩個代數(shù)式比較大小，通常采用作差法，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形；常采用配方、因式分解等恒等變形手段；第三步：判斷差的符號；就是確定差是大于零，還是等于零，小于零.但有時要根據(jù)題目的要求討論其中判斷差的符號為目的，變形是關(guān)鍵，常用變形

7、技巧有因式分解，配方，拆、拼項(xiàng)等方法。2、如果兩個數(shù)（或式子）都大于零，比較兩個有根號的數(shù)或式子的平方的大小也是常用方法（升哥比較舉一反三：【變式1】（2011上海，15）若ER,且腦。,則下列不等式中，恒成立的是（）【答案】DF2)-(魚+b+2ab)aa1b21二Ia-bbava00,O+bMa-b，0(0,且儀h1,mn0,比較aA-B=（優(yōu)+!）-e+g 二 W-膻）+4 二卜中-學(xué)7-1）aaaaa7a0二產(chǎn)。當(dāng)。1時，？mQO,W即產(chǎn)產(chǎn)0,產(chǎn)4=1即產(chǎn)-1O甘-力（7產(chǎn)，：A-B。即AB.當(dāng)04a1時，,二產(chǎn)dd0,產(chǎn)。=1即產(chǎn)JB【變式3設(shè)x0且xwl,比較1+logx3與210

8、gx2的大小?！敬鸢浮?x作差：一-一二r0 x1二 31r131 八00當(dāng)I4,即oxi時，4,此時,071(2)當(dāng)4X130-x210gl213x43x（4）當(dāng)了1產(chǎn)1時，也7,此時1+1%321嗎2【變式4已知a,M=log3，N=l喝Qog戶QogX，則MN、P的大小順序是【答案】a2xa,.a3a,.1.0a,.0a3a1,噫內(nèi)2N二log小G)QP-M=(Jog-log,xa=bgtxQog,x-2)PN類型三：作商法比較大小33,已知:a、bER*,且a=6.求證:窗思路點(diǎn)撥：本題是一道指數(shù)式與不等式的結(jié)合題，如果設(shè)想作差法，很明顯很難判斷符號，由不等式的兩端全是正項(xiàng)可以聯(lián)想到作

9、商法.證明：.a、-R+,典,0,由上0珞=5與=勺g=作商：一,;：二：-iU 嚴(yán)i(1)若ab0,則b,a-b0,b0-1入(2)若ba0,貝Ub,a-bab成立。綜上，總成立。總結(jié)升華：1、作商比較法的基本步驟是：判定式子的符號并作商T 變形 T判定商式大于1或等于1或小于1T 結(jié)論。2、正數(shù)的哥的乘積形式的大小比較一般用作商比較法*)此時nW超成立;【變式】已知次btC為互不相等的正數(shù)，求證：0色7針對【答案】a、b,匚為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)abcQ,這時/aoi,小心4o,則有:abr-l,a-b0;-l,b-cO;O-l,c-abc0,bf（y）-a+bn=-c,滿足-,求了的

10、取值范圍。aY 二川）b=am2bmBaaaab1111-b3,ab0J-Da2b2,ab0-p!l|3、若a.b為實(shí)數(shù)，則“a60”是“V”的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C充要條件D、即不充分也不必要條件4、已知ab,cd,則下列命題中正確的是（）.abAa-cb-dB、二：LCacbdD、c-bd-a5、若x+y0,a0,貝Ux-y的值為（）A大于0B、小于0C等于0D、符號不確定6、已知0 xya10的解集是A-5,7B、-4,6C、（-8,-5u7,+8）D（-8,-4u6,+oo）字=28、若點(diǎn)P（ss%siria）在直線ab上，則下列不等式成立的是（）A、E.I:-B、

11、三1一c/b3D、/b3能力提升：9、若實(shí)數(shù)&也。滿足 3+t=3,一 4a+6,B-c=-4a+4,試確定口也。的大小關(guān)系。*守10、已知a0,b0 且 b,比較大小ba11、甲乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時間的速度為a,另一半時間的速度為b;乙車用速度為a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若aNb,試判斷哪輛車先到達(dá)B地.已知+H5TW”/3,求%-2 描取值范綜合探究：13、已知3 也 NbNC,試比較做 2+圻加+。）+四（2+瀘 6 加的大小。工/滿足 y=-M,oaOca.j-I綜上所述，：;10、解析：心/J/+S?zgd-2 白 3+6、（。+3）（白一&）.、“一十）一（。+可二-g+w=g+蟻-）=-obaababah11、設(shè)從A到B的路程為S,甲車用的時間為4,乙車用的時間為占，44,仃 2sSSSA1工 0+工占二 S,二 4=L=+=-1；-+-）,則22一一.上工，2二