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文檔簡介
1、兩年中考一年模擬第一篇 數(shù)與式專題05 二次根式知識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴二次根式的有關(guān)概念1.二次根式:式子 Va(a 0) 叫做二次根式.二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或Q 0.2.最簡二次根式:被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù),因式是整式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次 根式,叫做最簡二次根式.(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式 (分母中不應(yīng)含有根號(hào));(2)被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或 因式,即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都 為1.3.同類二次根式:化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式,叫做同類二次根式.先把所有的二次根式化成最簡二次根式; 再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷.要 注意同
2、類二次根式與根號(hào)外的因式無關(guān).二次根式的性質(zhì)(1) Oa > o (a>0);(國2 a(a 0)獷 1 1 a (a 0)(3)4aaa (a 0)(4) dab Oa ? b(a (a 0,b 0)(5)3 a(a 0,b 0)b Jb要熟練掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)二次根式的運(yùn)算(1)二次根式的加減法(2)二次根式的乘除法二次根式的乘法: 點(diǎn) Jb = Jab(a>0, b>0).二次根式的除法:隼=(a>0, b>0)8b b1 .二次根式的加減法就是把同類二次根式進(jìn)行合并;2 .二次根式的乘除法要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.考問突破規(guī)律總結(jié)歸納1:二次根式的意義及
3、性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)歸納:二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于 0.注意問題歸納:1.首先考慮被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),其次還要考慮其他限制條件,這樣就轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式 組問題,如有分母時(shí)還要注意分式的分母不為0.2、利用二次根式性質(zhì)時(shí),如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍,那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì) 根式進(jìn)行化簡,如果題目中沒有給出明確的取值范圍,那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘,把隱含在 題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來,在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡.x 1【例1】(2019云南,第10題,4分)要使藝有意義,則x的取值范圍為()A. x<0B. x> - 1C. x> 0D. x<
4、; - 1【例2】(2018四川省涼山州,第23題,5分)當(dāng)Tvav0時(shí),則J a 14 J a 14歸納2:最簡二次根式與同類二次根式基礎(chǔ)知識(shí)歸納:1 .最簡二次根式被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù),因式是整式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,叫做最簡 二次根式.2 .同類二次根式化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式,叫做同類二次根式.注意問題歸納:最簡二次根式的判斷方法:1.最簡二次根式必須同時(shí)滿足如下條件:(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號(hào));(2)被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式,即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.2.判斷同類二次根式:先把所有的二次
5、根式化成最簡二次根式;再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來 加以判斷.要注意同類二次根式與根號(hào)外的因式無關(guān).經(jīng)典例題【例3】(2019山西省,第4題,3分)下列二次根式是最簡二次根式的是()A. J;B.欄C. V8D. 33規(guī)律總鰭歸納3:二次根式的運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)歸納:(1) .二次根式的加減法:實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式.合并同類二次根式:在二次根式的加減運(yùn)算中,把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后,若有同類 二次根式,可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式.(2) .二次根式的乘除法二次根式的乘法:Ja Jb vab (a>0, b>0).次根式的除法:a (a>0, b>0). . b
6、精選資源戰(zhàn)勝中考注意問題歸納:正確把握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵【例4】(2018山東省聊城市,第8題,3分)下列計(jì)算正確的是()A. 3M - 275=75C. ( 755 -詬一超=2甚規(guī)律總結(jié)歸納4:二次根式混合運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)歸納:先乘方,再乘除,最后加減,有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào)) 注意問題歸納:注意運(yùn)算順序.經(jīng)典視題【例5】(2019遼寧省大連市,第17題,9分)計(jì)算:(J3 2) 2 JT2 6【例6】(2019湖北省宜昌市,第14題,3分)古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,稱為海倫-秦九韶公式:如果一個(gè)三角形的三邊長分別是a,b,c,記
7、 p b2那么三角形的面積為S p p ab p C .如圖,在 ABC中,/A,/B,/C所對(duì)的邊分別記為a,b,c,若a=5,b=6,c=7,則4ABC的面積為(A. 6而B. 6/3C. 1819D .2規(guī)律總結(jié)歸納5:二次根式運(yùn)算中的技巧基礎(chǔ)知識(shí)歸納:1.二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù);2.非負(fù)數(shù)的性質(zhì).注意問題歸納:232.32.32.32.32、.3【例7】(2019湖北省隨州市,第9題,3分)“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法,如:7+4后,除此之外,我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù),如:對(duì)于J375,3優(yōu),設(shè)x73-75J3J5,易知3J5> J
8、375,故x>0,由x2=2,解得x J2,即(J34573-75) 2=3753552 J 3753 庭J375bJ375J2.根據(jù)以上方法,化簡一產(chǎn)6J63/3J63/3后的結(jié)果為()32A. 5+3 <6B. 5 76C. 5 V6D. 5 - 3/6It題實(shí)戰(zhàn)【2019年題組】一、選擇題1. (2019四川省瀘州市,第5題,3分)函數(shù)y ,2x 4的自變量x的取值范圍是()A. x<2B. x<2C. x>2D . x>22. (2019廣安,第2題,3分)下列運(yùn)算正確的是()A . a2+a (2019山東省淄博市,第7題,4分)如圖,矩形內(nèi)有兩個(gè)
9、相鄰的正方形淇面積分別為2和8,則圖中陰影部=a5B . 3a2?4a3=12a6C.5 3.3 5d. 42 43 46分的面積為()A . 72B, 2C. 2 &D. 64. (2019聊城,第6題,3分)下列各式不成立的是()C *8 8 5D展5. (2019廣西河池市,第3題,3分)下列式子中,為最簡二次根式的是()6. (2019南通,第2題,3分)化簡J12的結(jié)果是()A. 4 石B. 2 后C. 3 72D. 2 767. (2019江蘇省常州市,第6題,2分)下列各數(shù)中與 2 百的積是有理數(shù)的是()A. 2 J3B.2C.而D. 2 338. (2019湖北省黃石市
10、,第6題,3分)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是(A . x>1 且 xw2B. x< 1C. x>1 且 xw 29. (2019湖南省常德市,第3題,3分)下列運(yùn)算正確的是()A. 6 6 萬 B./ 3亞 C. J 2 2214D蘋10. (2019湖南省株洲市,第2題,3分)J2 而 ()D, 272A . 4 亞B. 4C. Vic二、填空題11. (2019吉林省長春市,第9題,3分)計(jì)算:375 后的自變量x的取值范圍12. (2019四川省巴中市,第11題,4分)函數(shù)y13. (2019天津,第14題,3分)計(jì)算(氏 1)(6 1)的結(jié)果等于 14.
11、 (2019安徽省,第11題,5分)計(jì)算 在8 五 的結(jié)果是 15.(2019山東省臨沂市,第15題,3分)計(jì)算:-,6 tan45°16.(2019濱州,第13題,5分)計(jì)算:(2111817.(2019山東省荷澤市,第10題,3分)已知x 76 J2,那么18.(2019青島,第9題,3分)計(jì)算:24 <819.14(2019南京,第8題,2分)計(jì)算 7,720.(2019江蘇省揚(yáng)州市,第13題,3分)計(jì)算:(45 2) 2018 (752) 2019的結(jié)果是(2019湖南省益陽市,第18題,4分)觀察下列等式:3-2應(yīng) (& 1) 2,5-2而(出行)2,7- 2
12、石2請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律 寫出第6個(gè)等式22. (2019遼寧省營口市,第13題,3分)一個(gè)長方形的長和寬分別為J10和2 J2,則這個(gè)長方形的面積23. (2019四川省內(nèi)江市,第22題,6分)若|1001 - a|.a 1002a,則a - 1001 =24. (2019棗莊,第18題,4分)觀察下列各式:彳1111221 1+ (112 221 21/12),'1 2213211+ (一2(11),3 4請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算:111112222231213121421/120192,其結(jié)果為解答題25.(2019湖南省長沙市,第19題,6分)計(jì)算:26.(2019四川省南充市,第
13、17題,6分)計(jì)算:(1 -兀)0+| V227. (2019江蘇省泰州市,第17題,12分)(1)計(jì)算:(J8 J: ) J6;,C、加十加 2x 53x 3(2)解萬程:3 -x 2 x 228. (2019內(nèi)蒙古呼和浩特市,第17題,10分)計(jì)算(1)計(jì)算(1 1) + ( 3)也屈()2; 241 .3(2)先化簡,再求值:(代3y-2xF)x淇中x=3j3,y Lxyy x3 x y229. (2019內(nèi)蒙古赤峰市,第24題,12分)閱讀下面材料:我們知道一次函數(shù) y=kx+b (kw0,k、b是常數(shù))的圖象是一條直線 ,到高中學(xué)習(xí)時(shí),直線通常寫成 Ax+By+C=0(AW0,A、B
14、、C是常數(shù))的形式,點(diǎn)P (x°,y0)至I直線Ax+By+C=0的距離可用公式 d 1Ax=By0 cl計(jì)算.、.A B2例如:求點(diǎn)P (3,4)到直線y= 2x+5的距離.解:: y= -2x+5,,2x+y5=0,其中 A=2,B=1,C= 5, .點(diǎn) P (3,4)到直線 y= 2x+5 的距離為:A% By。C 2 3 14 5、A B222 12根據(jù)以上材料解答下列問題:(1)求點(diǎn)Q (-2,2)到直線3x-y+7=0的距離;(2)如圖,直線y=-x沿y軸向上平移2個(gè)單位得到另一條直線,求這兩條平行直線之間的距離.【2018年題組】、選擇題1 . (2018四川省達(dá)州市,
15、第2題,3分)二次根式 J2x 4中的x的取值范圍是()B. x< - 2D. x> - 22.(2018山東省日照市,第4題,3分)若式子 7叵2r有意義,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(m 1)2m> 2C. m>- 2D.m> 2 且 mw13.(2018云南省曲靖市,第6題,4分)下列二次根式中能與2 73合并的是(C.18D. .94.(2018內(nèi)蒙古赤峰市,第7題,3分)代數(shù)式73X + 中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為(C.4 0 12 3 41、j,1)之值為何?(5.(2018臺(tái)灣省,第7題,3分)算式 娓乂-3C. 2 . 6D. 16.(2018四川省德陽
16、市,第4題,3分)下列計(jì)算或運(yùn)算中,正確的是(.,歷 <8 ,23 45D. - 373 V27,第6題,3分)等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為(2018四川省綿陽市7.(2018江蘇省無錫市8.B.9.(2018江蘇省泰州市,第1題,3分)下列等式正確的是(C. ,33=3,第2題,3分)下列運(yùn)算正確的是(B . .18 =2 3C.1=210. (2018浙江省臨安區(qū),第4題,3分)化簡22 的結(jié)果是(A.-2B.±2C.2D.411. (2018蘭州,第4題,4分)下列二次根式中,是最簡二次根式的是()A. 18bbJT3C.歷D.41212.(2018重慶市,第7
17、題,4分)估計(jì)(2 病2 V24 ) ?.8的值應(yīng)在(1和2之間B. 2和3之間C. 3和4之間D. 4和5之間13.(2018黑龍江省綏化市,第5題,3分)若y=J1 2x有意義,則x的取值范圍是(xx< L且 xw 02、填空題C.1x< 2D. xw014. (2018北京,第10題,2分)若Jx在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 . x 2 ,15. (2018四川省涼山州,第13題,4分)式子有忌乂的條件是 .x 316. (2018 四川省巴中市,第 13 題,3 分)已知 |sinA 8| J(V3 tanB)2 0,那么/A+/B=. 2117. (2018天
18、津市,第14題,3分)計(jì)算(J6 +J3)(娓-屈)的結(jié)果等于 .18. (2018山東省煙臺(tái)市,第14題,3分)位與最簡二次根式51a 1是同類二次根式,則a=19. (2018山東省萊蕪市,第15題,4分)如圖,正三角形和矩形具有一條公共邊,矩形內(nèi)有一個(gè)正方形,其四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上,正三角形和正方形的面積分別是2 J3和2,則圖中陰影部分的面積是20. (2018山西省,第11題,3分)計(jì)算:(3近 1) (3拒 1) =21. (2018廣州,第15題,3分)如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a,化簡:a+Ja2 4a 4=.LBL - J-J _0222. (2018山東省棗莊市,第15題
19、,4分)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章一書中,給出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求積公式,即如果一個(gè)三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為S= 1a2b2a_b_c_)2 .現(xiàn)已知 ABC的三邊長分別為1,2, J5,則 ABC的面積為23. (2018山東省濱州市,第20題,5分)觀察下列各式:111/111,1.2.2=1+ ;,. 1_2,2=1+ ,.1 一2121 2.232 3,342 =1 +請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律24. (2018貴州省畢節(jié)市,第20題,5分)觀察下列運(yùn)算過程:2 1二122 22,3匹11.2 11.22 1.21-2 11 2,3 Y22
20、 ,3-.3 .2,3 、2.3 .2L L請(qǐng)運(yùn)用上面的運(yùn)算方法計(jì)算:121 L11. 3.3. 5%5 7. 2015;2017、2017.2019三、解答題25. (2018遼寧省大連市,第17題,9分)計(jì)算:(6+2) 2- 748 +2 2.J6 ) +| J2 1|+ (5 2 城 0.26. (2018陜西省,第15題,5分)計(jì)算:(-J3) X27. (2018 湖北省襄陽市,第 17 題,6 分)先化簡,再求值:(x+y) (x-y)+y (x+2y) - (x-y)2,其中 x=2+J3 ,y=228. (2018廣西玉林市,第20題,6分)先化簡再求值:2ab b2、(a
21、一)a2 b2_+ ,其中 a=1+ 6 ,b=1 -6.模擬鞏固一、選擇題1. (2019保定二模,第2題,3分)使二次根式 Jx 2有意義的x的取值范圍是()A . x>2B. x>2C. x=2D. x22. (2019東西湖區(qū)模擬,第2題,3分)式子 GT在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是(A. x>- 2B. x> - 2C. xv - 2D. x< - 23. (2019重慶八中模擬,第9題,4分)化簡J4x2 4x 1 (J2x 3)2得()A. 2B. - 4x+4C. - 2D. 4x-4二、填空題4. (2019豐臺(tái)區(qū)一模,第9題,2分)若二
22、次根式 Jx 2有意義,則x的取值范圍是 5. (2019長春二模,第9題,3分)與 行最接近的整數(shù)是 .6. (2019長春四模,第9題,3分)應(yīng) 而 7. (2019武侯區(qū)二診,第21題,4分)已知x 而J5 ,y JT3 J5 ,則代數(shù)式x2-2xy+y2的值是、,一 升48. (2019玄武區(qū)二模,第10題,2分)計(jì)算一產(chǎn)、39. (2019高淳區(qū)二模,第9題,2分)若J2x 3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是10.(2019高淳區(qū)二模,第10題,2分)計(jì)算(J12 后) J3的結(jié)果是(2019邢臺(tái)二模,第17題,3分)計(jì)算: 石712.(2019河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬,第11題,3分
23、)化簡:2 J3 0 疝 J213.(2019東西湖區(qū)模擬,第11題,3分)計(jì)算J16的結(jié)果是14. (2019松滋市三模,第11題,5分)計(jì)算:(72 1) (72 1) =三、解答題=.=1 1.=15. (2019 大連二模)計(jì)算:J2 1 J2 1(-)J12.316. (2019 碑林區(qū)校級(jí)模擬)計(jì)算:2,2 娓 2 1+ (tt-3) 0- |273 4 .17. (2019鄂州模擬)計(jì)算:(1) 3阮2,1 屈2技_2_(2) 2忑 173 2 遮 218. (2019開平區(qū)一模)在學(xué)習(xí)二次根式時(shí),思思同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)這樣的規(guī)律J2-2 2; 33 3(1)假設(shè)說思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的
24、,請(qǐng)你寫出J4 4J"4后面連續(xù)的兩個(gè)等式;,15. 15(2)用字母表示思思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律;(3)請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論的一般性的證明.19.(2019重慶模擬)我們將(« jb)、(ja C)稱為一對(duì)“對(duì)偶式”,因?yàn)椋╦a jb)(ja ,u)=(指)2-(而)2=a - b,所以構(gòu)造“對(duì)偶式”再將其相乘可以有效的將(ja 而)和(ja Jb)中的“去掉于是二次根式除法可以這樣解:如1323 2.2' (2.2)23333,2 .2222 .23 2J2 .像這樣,通過分子,分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去,叫做分母有理化根據(jù)以上材料,理解并運(yùn)用材
25、料提供的方法解答以下問題:(1)山 ,1比較大小-j=,7 216 -3(用“v”或“="填空);(2)已知x 質(zhì)2 , y 成2 ,求x2+y2的值; 5 25 2,“2(3)計(jì)算:-=3 .3225.3 3.5 7.5 5.7299 971 9719920. (2019灤南縣一模)在解決問題“已知 a 一二,求2a2- 8a+1的值”時(shí),小明是這樣分析與解答的:231 23- a 丁 2 33 ,a- 233,(a - 2) =3,a2 _ 4a+4=3,- a 4a= 1, - 2a-8a+1 =2(a2-4a)+1=2x( - 1) +1= - 1.請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程,解
26、決如下問題:(1)化簡:(2)若 a -J,求 3a2 6a 1 的值.2 121. (2019廣水市模擬)閱讀材料:小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如3+2 J2(1 J2) 2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:設(shè)a+bJ2 (m+nJ2)2(其中a, b, m, n均為整數(shù)),則有a+b J2 m2+2n2+2mn J2 ,. a=m2+2n2, b=2mn .這樣小明就找到了一種把類似a+b J2的式子化為平方式的方法.請(qǐng)你仿照小明的方法解決下列問題:(1)當(dāng)a, b, m, n均為正整數(shù)時(shí),若a+b J3(m+nJ3) 2,用含m, n的式子分別表示a,b,得a= , b=;(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a,b,m, n填空:+*B 2;(3)若a+4志(m+n J3) 2,且a, m, n均為正整數(shù),求a的值.(4)試化簡力4/3 .22. (2019長沙一模)在計(jì)算 而 273 V24 J3的值時(shí),小亮的解題過程如下:解:原式 6 2.3 . 24.3=2 v1'6" 欄L L 二2 08花L L=(2-1) J18 8L L Ml l(1)老師認(rèn)為小亮的解法有錯(cuò),請(qǐng)你指出:小亮是從第 步開始出錯(cuò)的;(2)請(qǐng)你給出正確的解題過程.23. (2019杏花
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