高二數(shù)學(xué)乘法原理與排列精講

1、高二數(shù)學(xué)春季第九講 乘法原理與排列1問題：?jiǎn)栴}1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對(duì)象叫做元素問題2從這四個(gè)字母中，每次取出3個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個(gè)字母中取，有

2、3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個(gè)字母中取，有2種方法由分步計(jì)數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法2排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列說明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從個(gè)不同

3、元素中，任取個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從個(gè)元素中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個(gè)空位來考慮，=，求以按依次填個(gè)空位來考慮，排列數(shù)公式：（）說明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)；（2）

4、全排列：當(dāng)時(shí)即個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：（叫做n的階乘） 5 階乘的概念：個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)；把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘表示： ， 即規(guī)定6 排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： 即 = 典型例題：題型一、乘法原理的應(yīng)用：乘法原理運(yùn)用的范圍是：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成；每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來完成這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題例1、 書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？ 例2、 王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、1

5、00米跑、200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問：報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？ 二、排列問題的思考模式：1、特殊元素優(yōu)先考慮：例3、由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？變式訓(xùn)練：用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？2、特殊位置優(yōu)先考慮：例3、解法二變式訓(xùn)練：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？3、扣除法：例3、解法三例4、由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？ 變式訓(xùn)練：（1）從0，1，2，3，4中取出不同的3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，所有

6、這些三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和是多少？（2）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)5位偶數(shù).（1）有多少個(gè)這樣的數(shù)？（2）所有這些5位數(shù)的個(gè)位數(shù)字的和是多少三、排列相關(guān)問題的解題方法：1、相鄰元素捆綁策略：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.例5、 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.2、不相鄰問題插空策略: 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端.例6.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)

7、唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？3、定序問題倍縮空位插入策略: 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理。例7、7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法4、重排問題求冪策略: 允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種例8、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法例9、 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法_5、環(huán)排問題線排策略：一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取

8、出m個(gè)元素作圓形排列共有。例10、 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?6、多排問題直排策略：一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.例11、8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法7、小集團(tuán)問題先整體后局部策略：小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。例12.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？例13、 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_種變式訓(xùn)練；（1）7個(gè)人排成一排,按下列要求有多少種排法?(1)其中甲不站排頭,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、

9、丙3人必須相鄰;(3)其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰;(4)其中甲、乙中間有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列.四、排列相關(guān)的綜合問題例14下列排列數(shù)中，等于（n5）（n6）（n12）（n13，nN*）的是（）ABCD變式訓(xùn)練：（1） 一條鐵路原有m個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加n（n1，nN*）個(gè)車站，因而增加了58種車票（起迄站相同的車票視為相同的車票），問原來這條鐵路有幾個(gè)車站?現(xiàn)在又有幾個(gè)車站?例15n（n1）（n2）4等于（）APn4Bn!4!CPnn4DPnn3變式訓(xùn)練：（1）若，則 ， （2）若則用排列數(shù)符號(hào)表示 例161!+22!+33!+20082008!=（

10、）A2009!1B2010!1C2011!1D2012!1變式訓(xùn)練：（1）計(jì)算：； （2）解方程：3 （3）解不等式：例174名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)，籃球隊(duì)，乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A34B43C24D12變式訓(xùn)練：（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 例18用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為1，2，9的9個(gè)小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條

11、件的所有涂法共有（）A108種B60種C48種D36種例19如圖所示的陰影部分由方格之上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)形（每次旋轉(zhuǎn)900仍為L(zhǎng)形的圖案），那么在4×5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個(gè)數(shù)是（）A16B32C48D64例20只用1，2，3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A6個(gè)B9個(gè)C18個(gè)D36個(gè)例21從1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有18個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有個(gè)（用數(shù)字作答）例22某城市由n條東西方向的街道和m條

12、南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？例23從0、2中選一個(gè)數(shù)字從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A24B18C12D6例24有7個(gè)座位連成一排，4人就坐，要求恰有兩個(gè)空位相鄰且甲乙兩人不坐在相鄰座位，則不同的坐法有種（用數(shù)字作答）例25將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai（i=1，2，6），若a11，a33，a55，a1a3a5，則不同的排列方法種數(shù)為（）A18B30C36D48例26有甲、乙、丙在內(nèi)的6個(gè)人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，則這樣的排法共有種例27用1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶不同，這樣的六位數(shù)共有個(gè)（用數(shù)字作答）變式訓(xùn)練：某小組6個(gè)人排隊(duì)照相留念(1)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？(2)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必須