初中數(shù)學三角形解題技巧及例題

1、三角形解題口訣及例題角平分線四連線，邊垂折疊全等現(xiàn).垂線要把三線連，平行等腰來構建.垂直平分若出現(xiàn)，線上一點兩相連.六十三十四十五，等邊直角作三角.要證線段倍與半，延長縮短與直角.兩線之和等一線，截長補短試試看.線段和差比大小，三角形中來相見.三角形中有中線，延長中線等中線.中點若與中點見，兩點相連中位線1.在4ABC中，AD是 ABC的角平分線，所示，E、F分別是AB、AC上的點，且/ EDF +證明：作DMLAB于點M,作DNLAC于點N,如右圖所示,則/ EMD =/ FND = 90° , AD 平分/ BAC,DM = DN, . / EDF + Z BAC= 180

2、76; , ./ AED+Z AFD = 180° ,又 / DFN+ZAFD = 180° , ./ DEM =Z DFN ,在 EMD和 FND中，CZEMD=ZFNDZDEM=ZDFK,dh=dnEMDA FND (AAS),DE= DF .2.在 ABC中，AD為ABC的角平分線.如圖，/ C90° ,如果/ C=2/B,求證：AB 第1頁（共9頁）= AC+CD . AD為AABC的角平分線，折疊作全等第11頁（共9頁）CAD = Z EAD,在在 AED和 ACD中ZEAD-ZCADAD 二 ADAEDA ACD (SAS), ./ C=Z AED,

3、CD=ED, / C=2/ B, ./ AED = 2/ B, . / AED = Z B+ Z EDB , ./ B=Z EDB,ED= EB,EB=CD, AB= AE+EB,AB= AC+CD.3.如圖，點 O是4ABC邊AC上的一個動點，過O點作直線 MN / BC.設 MN交/ ACB的平分線于點 巳交/ ACB的外角平分線于點 F.求證：OE=OF;證明：: MN交/ ACB的平分線于點E,交/ ACB的外角平分線于點 F,，/2=/5, / 4=/6, MN / BC角平分線與平行于角一Z 1 = 7 5, Z 3=7 6邊的線構造等腰三角形證明：延長AE、BF CBC交于點F.

4、AEXBE垂直于角平分線，構造三線合一1 = / 2, Z 3=7 4, .EO=CO, FO = CO, .OE= OF;4.如圖，在 ABC 中，BC = AC, /ACB = 90° , D 是 AC 上一點，AEBD 交 BD 的延長 線于點E,且AE = BD,求證：BD是/ ABC的角平分線.，/BEF = 90° ,又/ ACF = /ACB = 90° , .Z DBC+ZAFC = Z FAC+ZAFC = 90° , ./ DBC = Z FAC,在 ACF和 BCD中， fZACF=ZBCD=90flIzfac=ZdbcACFA B

5、CD (ASA),.AF=BD. .AE = yAF = EF ,即點E是AF的中點. BEXAFDE是AF的垂直平分線.AB=BF,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可知：BD是/ ABC的角平分線.5.如圖，在 ABC中，/ C=90° , Z A=30° , AB的垂直平分線交 AB, AC于點D, E.DE是AB的垂直平分線，AE= BE, ./ ABE=Z A = 30° , . / C=90° , ./ ABC=90° - 30° = 60° , ./ CBE=/ ABC-/ ABE=30° ,在 RtBCE

6、 中，BE=2CE, . AE=2CE;6.如圖，已知在菱形 ABCD中，/ ABC=60° ,對角線 AC=8,求菱形 ABCD的周長和面積.解：四邊形ABCD是菱形，角我等邊三角形AB= BC, . / ABC=60° ,. .ABC是等邊三角形，AB=AC=8. 菱形 ABCD的周長=4X8=32, - BO =，g2_ &2 = 46,BD= 2BO = 8 后菱形ABCD的面積=1x8x|873=32V3.CAD= 30° ,.-.CD=A-AC=5,2 -ad = VaC2-CD2=55在 RtAADB 中，/ B = 45°BD=

7、AD=5/3,由勾股定理得，AB福幣=兀后百面fp =跖用8.如圖，四邊形ABCD 中，AD = 4, BC=1, /A = 30° , / B= 90° , Z ADC = 120° ,求CD的長.解：延長AD、BC交于E,30角找直角三角形 . / A=30° , / B=90/ E= 60 , . / ADC= 120° , ./ EDC = 60° , . EDC是等邊三角形,設 CD = CE= DE = x, . AD=4, BC=1,2 (1+x) = x+4,解得；x=2, .CD = 2.9.如圖， ABC中，AB=

8、AC = 2, /B=15° ,求等腰 ABC腰上高的值.解：作BDAC交CA的延長線于 D,15角構造30找直角三角形 AB= AC, / B= 15.Z C=Z B= 15° , ./ DAB = Z C+Z B = 30° ,BD = AaB= 1 .210.已知，如圖，/ C=90° , / B=30° , AD是 ABC的角平分線.求證： BD = 2CD;AC.DE= CD,又. / B=30° , .RtBDE 中，DE=BD, .BD=2DE = 2CD;11,已知：如圖， AD、AE分別是 ABC和 ABD的中線，且

9、 BA = BD,求證：AE =證明：延長AE至F,使EF = AE,連接DF . AE是 ABD的中線,，BE=DE. ./AEB=/FED，線段倍ABEAFDE (SAS).與半延B=Z BDF, AB= DF . .BA=BD,長縮短BAD = Z BDA, BD = DF. . Z ADF = Z BDA+Z BDF , Z ADC = Z BAD+ZB, ./ ADF = Z ADC.AD是ABC的中線，BD= CD.DF= CD.ADFA ADC (SAS).,-.AC= AF=2AE,即 AE=A.AC.212 .如圖，在 ABC中，AB>BC, BD是高，P是BD上任意一

10、點，求證： PA- PCvAD-線段和差比大小，構造三角形2 .AD - CD = AD - DE = AE,BD± AC,3 PDXCE,4 DE= CD,PE= PC,5 PA - PE< AE,故 PA - PCvAD - CD.13 .如圖，DC / AB, / BAD和/ ADC的角平分線相交于 E,過E的直線分別交 DC, AB于CB兩點.求證： AD= AB+DC兩線之和等一線，截長補短EF,如圖所示:證明：在 AD上截取AF = AB,連接 rAB=A?在4ABE 和4AFE 中，Z2 = Z1 ,lae=aeABEAAFE (SAS), ./ AFE = Z

11、B,1. AB/ DC,. B+Z C= 180 . / AFE + Z DFE = 180° , ./ DFE = Z C,rZDPE=ZC在 DEF 和 DEC 中，/3=/4,lde=de . DEFA DEC (AAS),DF = DC , . AB+DC = AF+DF = AD,即 AD = AB+DC .求證：AB = CD.中線倍長14.已知：如圖， E是BC的中點，點 A在DE上，且/ BAE=/CDE.證明：延長 DE至ij F ,使EF = DE,連接BF ,.E是BC的中點，BE=CE 在 BEF 和 CED 中rBE=CEZBEF=ZCED,Ief=de . BEFACED .，/ F = Z CDE, BF=