養(yǎng)老金計劃數(shù)學建模

1、重慶工商大學第六屆大學生數(shù)學建模競賽暨 2014 年全國大學生數(shù)學建模選拔賽論文題目：養(yǎng)老金計劃參賽隊員信息姓名學號學院 專業(yè)班級聯(lián)系電話性別宿舍特 長相關學科平均成績高 等 數(shù) 學線 性 代 數(shù)概 率 統(tǒng) 計計 算 機李祥龍2012XXXXX數(shù)統(tǒng)學院151XXXXXX男X無XXXX丁月月2012XXXXX管理學院151XXXXXX女X建模XXXX周影2012XXXXX管理學院138XXXXXX女X寫作XXXX2013 年 6 月 5 日養(yǎng)老金計劃的數(shù)學模型摘要中國正在跑步進入老齡化社會，養(yǎng)老金短缺問題受到了社會各界的廣泛關注。經(jīng)預測， 到 2039 年 , 我國將出現(xiàn)不足兩個納稅人供養(yǎng)一個養(yǎng)

2、老金領取者的局面, 這被稱為 “老齡社會危機時點”.本文就養(yǎng)老金問題進行了討論。假定養(yǎng)老金計劃從20 歲開始至80 歲結束，參加者20 到 60 歲時工作階段，他會每月存入一定的金額，60 歲退休以后，每月初領取相等的退休金，一直領取20 年。建立數(shù)學模型，計算參加者不同年齡階段投入不同的金額，他所領取到的養(yǎng)老金是多少。我們把它分為了兩個階段，先是以年金的形式算出參加者從投入資金到60 歲一月初時的本息和，再計算出了他從60 歲到 80 歲領取養(yǎng)老金的公式，從而求出了他每月領取的養(yǎng)老金P.然后利用Matlab 編寫程序，最終得出了結果，越早參加養(yǎng)老金計劃，領取的養(yǎng)老金越多。從20 歲開始參加養(yǎng)

3、老金計劃，每月領取的養(yǎng)老金為12205.7 元；從 35歲開始參加養(yǎng)老金計劃，每月領取的養(yǎng)老金為5747.6 元；從 48歲開始參加養(yǎng)老金計劃，每月領取的養(yǎng)老金為4644.4 元 .最后，本文討論了該模型的優(yōu)缺點，并進行了進一步的推廣與分析.關鍵詞：老齡化養(yǎng)老金 年金 Matlab一、問題重述養(yǎng)老金是指人們在年老失去工作能力后可以按期領取的補償金，這里假定養(yǎng)老金計劃從 20 歲開始至80 歲結束，年利率為10 . 參加者的責任是，未退休時（60 歲以前）每月初存入一定的金額，其中具體的存款方式為：20 歲 29 歲每月存入X1 元， 30 歲 39 歲每月存入X2元，40 歲 49歲每月存入X

4、3元， 50歲 59 歲每月存入X4元 . 參加者的權利是，從退休（60歲）開始，每月初領取退休金 P ，一直領取20 年 . 建立養(yǎng)老金計劃的數(shù)學模型，并計算不同年齡的計劃參加者的月退休金 .1、從 20 歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設X1=X2=X3=X4=200 元；2、從35 歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設X2=200 元 ， X3=500 元， X4=1000 元；3、從48 歲開始參加養(yǎng)老金計劃，假設X3=1000 元， X4=2000 元 .二、問題分析我們先對整個問題進行分析，建立一個適用于從任何年齡（ 20 59 歲） 開始參加養(yǎng)老金計劃的數(shù)學模型，再分別代入數(shù)據(jù)，計算出從20 歲開

5、始參加養(yǎng)老金計劃、從35歲開始參加養(yǎng)老金計劃和從48 歲開始參加養(yǎng)老金計劃可以得到的養(yǎng)老金補助.我們把參加者從開始參加養(yǎng)老金計劃到80 歲分為兩個階段。第一個階段為繳納養(yǎng)老金階段，從參加養(yǎng)老金計劃開始到60 歲 1 月初，計算出所有月份繳納的養(yǎng)老金到60歲 1 月初時的本息和S；第二階段為領取養(yǎng)老金階段，從60 歲 1 月初到 80 歲 12 月初，利用上一個階段求出的S 計算出每月應當領取的養(yǎng)老金P， 使得80 歲最后一個月領取養(yǎng)老金后賬戶的余額為0.三、模型假設1、假設參加者能領取養(yǎng)老金的年齡恰好到80 歲，不多不少.2、假設年利率一直都為10%不會受外界的其他因素而變動.3、假設參加者每

6、月初都是按時繳納相應的養(yǎng)老金，不會出現(xiàn)拖欠或間斷的情況.4、假設參加者80 歲時，銀行恰好能把參加者所繳納的養(yǎng)老金的本息和全部返還給參加者，賬戶余額沒有剩余.5、假設參加者每月初都會按時去領取養(yǎng)老金，不會提前或延遲.符號符號說明ai某人開始參加養(yǎng)老金時的年齡，i 為所處年齡段，i 1,2,3,4 ；a1 20,29,a2 30,39,a3 40,49,a4 50,59xi第 i 個年齡段存錢時每個月要存的金額, 單位為元；b在 20,29 年齡段存錢的計息次數(shù)；c在 30,39 年齡段存錢的計息次數(shù)；d在 40,49 年齡段存錢的計息次數(shù)；e在 50,59 年齡段存錢的計息次數(shù)；B在 20,2

7、9 年齡段存錢的存到60 歲時的本息和, 單位為元；C在 30,39 年齡段存錢的存到60 歲時的本息和, 單位為元；D在 40,49 年齡段存錢的存到60 歲時的本息和, 單位為元；E在 50,59 年齡段存錢的存到60 歲時的本息和, 單位為元；S某人開始存錢到60 歲存的錢的本息和, 單位為元；p某人每月初領取退休金, 單位為元.五、模型的建立一、建立每個年齡段存入的金額到60 歲時所產(chǎn)生的利息和的數(shù)學模型分不同的年齡段求在該年齡段內(nèi)每個月所存入的金額及到60 歲時所產(chǎn)生的利息和.由于人們是每個月的存錢，計算利率時也要用月利率，即10%/12.1、 20 29歲當人們在20 歲 29 歲

8、中的a1 歲開始每月存入X1 元時，到60 歲時該月金額的本息和為( 1+10%/12)的b次方乘X1， b 為該月月利率循環(huán)的次數(shù)。計算a1 到 29 歲最后一個月所有月份循環(huán)的次數(shù)，則b 從 361 到 12× (29- a1+1)+360。故在該年齡段，60歲時所產(chǎn)生的本息和一般模型為B =720 12a1 (1 10%/12)bx1(化簡得之)b 361其中，20<=a1<292、 30 39 歲30 歲 39 歲中的a2歲開始每月存入X2元時，到60 歲該月金額的本息和為( 1+10%/12)的c次方乘X2， c 為該月月利率循環(huán)的次數(shù)。計算a2到 39歲最后一

9、個月所有月份循環(huán)的次數(shù)，則c 從 241 到 12× (39- a2+1)+240。故在該年齡段，60 歲時所產(chǎn)生的本息和一般模型為C =720 12a2 (1 10%/12) cx2(化簡得之)c 241其中，30<=a2<393、 40 49 歲當人們在40 歲 49 歲中的a3 歲開始每月存入X3 元時，到60 歲該月金額的本息和為( 1+10%/12)的d次方乘X3， d 為該月月利率循環(huán)的次數(shù)。計算a 到 49歲最后一個月3所有月份循環(huán)的次數(shù)，d 從 121 到 12× (49- a3+1)+120。 故在該年齡段，60歲時所產(chǎn)生的本息和一般模型為D

10、=720 12a3(1 10%/12)dx3(化簡得之)d 121其中，40<=a <4934、 50 59 歲當人們在50 歲 59 歲中的a4歲開始每月存入X4元時，到60歲該月的金額的本息和為( 1+10%/12)的e次方乘X4， e為該月月利率循環(huán)的次數(shù)。計算a4到 59歲最后一個月所有月份循環(huán)的次數(shù)，e 從 1 到 12× (59- a4+1)。 故在該年齡段，60歲時所產(chǎn)生的本息和一般式為E =720 12a4(1 10%/12)ex4(化簡得之)e1其中，50<=a4<59二、計算參加者從參加養(yǎng)老計劃開始到60 歲一共所得金額基礎公式S=B+C+

11、D+E求解得到模型為在 2029歲時參加養(yǎng)老金計劃720 1a12360(1 10%/1b2x1)+(1 10%/1c2x2)+b 361c 241240(110%/1d2x)3+120(1 10%/12ex)4d 121e 1在 3039 歲時參加養(yǎng)老金計劃720-12 a2240120(1 10% /12)cx2+(1 10% /12)dx3+(1 10% /12) e x4c 241d 121e 1在 4049 歲時參加養(yǎng)老金計劃720 12a3120(1 10%/12)dx3+(1 10%/12)ex4d 121e 1在 5059 歲時參加養(yǎng)老金計劃(1 10% /12) ex4e1三

12、、求參加者每月初領取退休金金額參加者到60 歲時產(chǎn)生的本利息和為s，從退休(60 歲)開始，每月初領取退休金P，但余額仍然在產(chǎn)生利息. 以此一邊產(chǎn)利一邊領p 的模式領取20 年，直到80 歲的最后一個月賬戶余額為0，并以最后一個月賬戶余額為0 的情形建立等式，求得p.第一個月賬戶余額sp第二個月賬戶余額(s p) (1 10%/12) ps (1 10%/12) p(1 10%/12) (1 10%/12)0 第 三 個 月賬戶余額：(s p) (1 10% / 12)p ps (1 10%/12) 2 p(1 10%/12) 2 (1 10%/12) (1 10%/12) 0 第 四個月賬戶

13、余額：( s p) (1 10%/12) p p (1 10%/12) ps (1 10%/12)3 p(1 10%/12)3 (1 10%/12)2 (1 10%/12) (1 10%/12)0由上述結果，我們可以演繹推理出更一般的情形即第 n 個月賬戶余額為s (1 10%/12) n 1 p(1 10%/12) n1 (1 10%/12) n 2 (1 10%/12) 0由于第 80歲的最后一個月，應為第 240個月， 故令 n 為 240， 聯(lián)系此時賬戶余額為0建立平衡0=s (1 10%/12)240 1 p(1 10%/12)240 1 (1 10%/12)240 2 (1 10%

14、/12)0=s (1 10% /12)239 p(1 10% /12) 239 (1 10% /12) 238 (1 10%/12)0解之得 p 的模型為：p s(1 10%/12)239 10%/12( 10%/1224)0 12六、模型的求解問題一的求解720 12a1360240120p (1 10%/12b)x1(1 10%/12c)x2(1 10%/12d) x3(1 10%/12e)x4)b 361c 241d 121e 1(1 10% /12) 239 10%/12(1 10% /12) 240 12720 12 20360240120(1 10%/12)b 200(1 10%/

15、12)c 200(1 10%/12)d 200(1 10% /12) e 200)b 361c 241d 121e 1(1 10% /12) 239 10%/12(1 10% /12) 240 12=12205.7問題二的求解720-12 a2240120p (1 10%/12)cx2+(1 10% /12) d x3+ (1 10% /12) e x4)(1 10% /12) 239 10%c 241d 121e 1/12(1 10% /12) 240 12720-12 35240120(1 10%/12)c 200+(1 10%/12)d 500+ (1 10%/12)e 1000)(1

16、10%/12) 239 10%c 241d 121e 1/12(1 10% /12) 240 12=5747.6問題三的求解720 12a3120p (1 10%/12)dx3+ (1 10%/12)ex4)(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/12)240 12d 121e 1720 12 48120(1 10%/12)d 1000+ (1 10%/12)e 2000)(1 10%/12)239 10%/12(1 10%/12)240 12d 121e 1=4644.4七、模型的優(yōu)缺點討論1、 模型優(yōu)點(1) 給出一個年齡就可以計算出相應的月退休金, 若運用到實際中，會帶來很

17、大的便利；(2) 因為等式是以最后一個月的賬戶金額為0 建立的，所以按照我們計算的p 值，可以讓參加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益；(3) 建模的思路簡單，原理易于讓他人接受；(4) 編程簡單易行，可以快速計算出p 值2、 模型缺點：( 1) 該模型是在假設的條件下建立的，所以有一定的局限性，比如若沒有考慮到利率的變化，參加者能領取養(yǎng)老金的年齡不可能恰好到80 歲等；( 2) 該 模型只能以參加者的整數(shù)年齡計算，即參加者開始繳納養(yǎng)老金是每個年齡階段1 月初，而不能更加細致地表現(xiàn)出其他月份不為1 甚至是天數(shù)不為1 的情況 . 比如某人是27 歲 8 月 6 日參加養(yǎng)老計劃的，

18、而不是27 歲 1 月 1 日，那么在模型中就不能很方便地計算出p 值 .八、模型改進與推廣( 1)上述我們只是計算了參加者開始繳納養(yǎng)老金是每個年齡階段1 月初的情況，我們可以將其改進成不是1 月初的情況，進一步推廣，將年利率變成日利率，還可以計算出不是月初而是某一天的情況，這樣就能更接近實際情況.( 2)在實際生活中，利率不是一成不變的，我們可以將利率的變動情況考慮進去，進一步推廣成養(yǎng)老金的動態(tài)模型.參考文獻1 王化成主編，財務管理(第三版)，北京：中國人民大學出版社，20102 姜啟源 謝金星 邢文訓 張立平編著，大學數(shù)學實驗(第 2版) ， 清華大學出版社,2010附錄附錄一：用MATL

19、AB編程(1)x=200 200 200 200;a=20 30 40 50;syms b c d eB= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1);% 20歲29歲中的a1歲開始每月存入X4元時，到60 歲該月的金額的本息和；C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);% 30歲39歲中的a2歲開始每月存入X4元時，到60 歲該月的金額的本息和；D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);% 40歲 49歲中的a3歲開始每月存入X4元時，到60 歲

20、該月的金額的本息和；E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);% 50歲 59歲中的a4歲開始每月存入X4元時，到60 歲該月的金額的本息和；S=B+C+D+E;% 從開始存錢到60 歲時，總共產(chǎn)生本息和；S=vpa(S);% 將計算結果化成小數(shù);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S% 每月初領取退休金。運行結果：p =12205.747361515939831504737414689(2)x=0 200 500 1000;a=20 35 40 50;B= symsum(x(1).*(1+0.

21、1/12)b,b,361,720-12.*a(1);C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);S=B+C+D+E;S=vpa(S);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S運行結果：p =5747.6671888650846543896949163785(3)x=0 0 1000 2000;a=20 30 48

22、50;B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)b,b,361,720-12.*a(1);C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)c,c,241,720-12.*a(2);D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)d,d,121,720-12.*a(3);E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)e,e,1,720-12.*a(4);S=B+C+D+E;S=vpa(S);p=(1+0.1/12)(239)*0.1/12*(1+0.1/12)(240)-12*S運行結果：p =4644.4837248332347384601281888253小學少先隊組織機構少先隊組織由少先隊大隊部及各中隊組成，其成員包括少先隊輔導員、大隊長、中隊長、小隊長、少先隊員，為了健全完善我校少先隊組織