【高中數(shù)學(xué)題型歸納】8.4直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)

1、第四節(jié)直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)考綱解讀1 .要理解空間直線(xiàn)和平而各種位置關(guān)系的定義.2 .以立體幾何的定義，公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)而平行的有關(guān)性質(zhì)與判定，理解其判 定定理與性質(zhì)定理.命題趨勢(shì)探究有關(guān)平行的問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是空間線(xiàn)而關(guān)系的判定和推理；一類(lèi)是 幾何量的計(jì)算，主要考查學(xué)生的空間想象能力，思維能力和解決問(wèn)題的能力.平行關(guān)系是立體幾何中的一種重要位置關(guān)系，在高考中，選擇題、填空題幾乎每年都考，難度一般 為中檔題，且常常以棱柱、棱錐為背景.（1）高考始終把直線(xiàn)與平面、平而與平面平行的判定與性質(zhì)作為考查的重點(diǎn)，通常以棱柱、棱錐為 背景設(shè)計(jì)命題.考查

2、的方向是直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合平而幾何有關(guān)知識(shí)考查.（2）以棱柱、棱錐為依托考查兩平行平面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，線(xiàn)面距離和兩異面直線(xiàn)間的 距離問(wèn)題，通常是算、證結(jié)合，考查學(xué)生的滲透轉(zhuǎn)化思想.預(yù)測(cè)2015年高考對(duì)直線(xiàn)、平而平行的判定與性質(zhì)的考查集中在兩個(gè)方面：客觀題中，結(jié)合線(xiàn)面垂直 考查平行，垂直的判定，主要針對(duì)判定定理的條件是否充分、平行條件是否可以推廣到空間中來(lái)進(jìn)行考查; 解答題中，考查在特定的幾何題中證明線(xiàn)而、面而平行.知識(shí)點(diǎn)精講一、直線(xiàn)和平而平行1 .定義直線(xiàn)與平而沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)此直線(xiàn)/與平面。平行，記作/ a2 .判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）（見(jiàn)表8-

3、9）表8-9文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)線(xiàn) =線(xiàn) 面如果平面外的一條直線(xiàn)和 這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平 行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平 面平行（簡(jiǎn)記為“線(xiàn)線(xiàn)平行 二線(xiàn)而平行Z_/1/1,4 u a / = / a / ex a而而 =線(xiàn) 而如果兩個(gè)平面平行，那么在 一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都 平行于另一個(gè)平而Z_/ / /a/ pa ua3.性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）（見(jiàn)表8-10）表 8-10文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)而=線(xiàn)線(xiàn)如果一條直線(xiàn)和一個(gè) 平面平行，經(jīng)過(guò)這條 直線(xiàn)的平面和這個(gè)平 面相交，那么這條直 線(xiàn)就和交線(xiàn)平行vl/alu/3/W二、兩個(gè)平面平行1.定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面

4、,用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和若則a /2,判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）（見(jiàn)表8T1）表 8-11文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理 線(xiàn)面 n而 面如果一個(gè)平而內(nèi)有兩條相 交的直線(xiàn)都平行于另一個(gè) 平面，那么這兩個(gè)平面平 行（簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行= 而而平行£_/a ua,Z?ua,nO = Pa夕，b/p>a/p線(xiàn)_L而 n而 而如果兩個(gè)平而同垂直于一 條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面 平行1 三I La = a p/“J"3.性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）（見(jiàn)表8-12）表842文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言而而= 線(xiàn)面如果兩個(gè)平面平行，那 么在一個(gè)平面中的所 有直線(xiàn)

5、都平行于另外 一個(gè)平面z_y/ /alipa uct0aHl3性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平而同 時(shí)和第三個(gè)平面相交， 那么他們的交線(xiàn)平行 （簡(jiǎn)記為“而而平行 =線(xiàn)而平行”）7p7 L/alip2 n 7 =勺=。/ ". pCy = b而面二 線(xiàn)_L而如果兩個(gè)平面中有一 個(gè)垂直于一條直線(xiàn)，那 么另一個(gè)平而也垂直 于這條直線(xiàn)27al/pI LaJ題型歸納及思路提示題型114證明空間中直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系思路提示：線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)而平行、而而平行的轉(zhuǎn)換如圖8-90所示.圖 8-90（1）證明直線(xiàn)與平面平行的常用方法：G利用定義，證明直線(xiàn)。與平而。沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明：利用線(xiàn)而平行的判定定

6、理，即線(xiàn)線(xiàn)平行二線(xiàn)面平行.輔助線(xiàn)的作法為：平面外直線(xiàn)的端點(diǎn)進(jìn)平面，同 向進(jìn)而，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)而，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線(xiàn)段；利用而而平行的性質(zhì)定理，把而面平行轉(zhuǎn)化成線(xiàn)而平行：（2） 證明而而平行的常用方法：G利用而而平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合：利用而而平行的判定定理；利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線(xiàn)：證明兩個(gè)平而同時(shí)平行于第三個(gè)平面.（3）證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法：利用直線(xiàn)和平面平行的判定定理：利用平行公理：一、線(xiàn)面平行的判定定理與線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例8.24已知7,72是兩條不同的直線(xiàn)，。,力,/是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若?則B.若a_1_八4則。

7、/力.C.若 7 / /?,則 a 4D.若? _L tz, a,則? / /解析:舉反例排除，如圖8-91正方體模型所示,AB底面ACI，底面4G,但AB和AD不平行，A選項(xiàng) 錯(cuò)誤，同理，平面AC_L平面B£,平面4與_L平面BC故8選項(xiàng)錯(cuò)誤，A3底面AC1,A5底而AC, 而兩個(gè)平而為相交關(guān)系，故。錯(cuò)，選D圖 8-91評(píng)注：此類(lèi)問(wèn)題可以特殊化為一個(gè)長(zhǎng)方體的：棱，面等，進(jìn)而進(jìn)行轉(zhuǎn)化.變式1已知是兩條不同的直線(xiàn)，a,4是二個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題:Q m _L a,ml In,則 _L a. a/0、mua,u ?則?/.G> ml la、”/，貝 / /a.Q>a

8、t I py m / In, m _L a,則 _L p.其中正確的序號(hào)是（）A.0 B.（2）QC.QG）D.（2）（2）變式2給出以下四個(gè)命題：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直；如果兩條直線(xiàn)都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行；如果一個(gè)平而經(jīng)過(guò)另一個(gè)平而的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面相互垂直.變式3若平面24，直線(xiàn)4/Q,點(diǎn)Be/7,則在平面夕內(nèi)過(guò)點(diǎn)3的直線(xiàn)中（）A.不一定存在與a平行的直線(xiàn).B.只有兩條與平行的直線(xiàn).C存在無(wú)數(shù)條與。平行的直線(xiàn).D只有一條與平行的直線(xiàn).

9、例8.25如圖8-92所示，已知EEG,“分別為空間四邊形A8CO的邊上的點(diǎn)，若 求證：EH/BD.解析 因?yàn)镋H/FG ,七2平面8CO , FGu平面3CD ,所以EH/平面BCD .又EH u 平面ABD,平面ABDD 平面BCD=BD，所以 EH/BD.評(píng)注線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理是證明線(xiàn)線(xiàn)平行的首選方法，也是高考中使用的最多的證明方法.有時(shí)結(jié)合平行傳 遞性來(lái)證明.變式1如圖8-93所示，在四棱柱ABCQ-Ai&GQi中，AQ8C,E是。的中點(diǎn)，F(xiàn)是平而&C/與直線(xiàn) AA/I勺交點(diǎn)，證明：EF/MjDi.圖 8-93變式2 （2012北京海淀區(qū)一模理16（1）如圖8.94所示

10、，在四棱錐P-A8C。中，A8CQ設(shè)平面用8n平 面 PCO=求證：CD/m .B _圖 8-93二、線(xiàn)面平行的證明方法：線(xiàn)面平行的證明方法主要有兩種：（1）由線(xiàn)線(xiàn)平行二線(xiàn)而平行，其證明途徑通過(guò)平面外的直線(xiàn) 與平面內(nèi)的直線(xiàn)平行，推得直線(xiàn)與平面平行，也可以作輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形或平行四邊形，得到 線(xiàn)線(xiàn)平行，從而推出線(xiàn)面平行；（2）由面面平行二線(xiàn)面平行，由已知或構(gòu)造直線(xiàn)所在的平面與已知 平面平行，證明直線(xiàn)與平面平行.方法1：由線(xiàn)線(xiàn)平行和線(xiàn)面平行的相互轉(zhuǎn)化，求證線(xiàn)而平行.例8-26如圖8-95所示，圓錐頂點(diǎn)為P,底而圓心為。，A8和C£）是底面圓。上的兩條平行弦，證明：平 面PAB與平面

11、PCD的交線(xiàn)平行于底面.分析：本題是線(xiàn)面平行性質(zhì)判定定理及性質(zhì)定理的綜合, 即線(xiàn)線(xiàn)平行= 線(xiàn)而平行二 線(xiàn)線(xiàn)平行.解析：設(shè)平而以8和平面PCO的交線(xiàn)為/.因?yàn)锳W/CQAB <z平面PCD ,CD u平面PC。，所以A8平而PCD.又因?yàn)锳8u平面PAB,平面PABD平面PCD=/.所以A8/,由直線(xiàn)AB在底而上，/在底而外，所以有 /與底面平行.圖 8-95變式1如圖8.96所示，在三棱錐RA8C中，E,F,分別是用了。的中點(diǎn)，記平面5EF與平面A8C的交線(xiàn) 為/,試判斷直線(xiàn)/與平面以C的位置關(guān)系，并加以證明.圖 8-96方案二：平行進(jìn)面法（同向進(jìn)而法） 思路提示：如圖8-97所示，證明

12、A8a.圖 8-97分析過(guò)程：ABI lau ABH CD U四邊形ABCD為平行四邊形u ACBD.例8. 27如圖8-98所示，四棱錐尸-ABC。中，四邊形ABC。是平行四邊形，E/分別是A8和尸。的中點(diǎn), 求證AF平面PCE.解析：如圖8.99所示，取PC中點(diǎn)為G,連接EG/G由F為P。的中點(diǎn)，則FG1cD. =2由已知有AE1cD".AE/FG,故四邊形AEGF為平行四邊形，因此A/7/EG =2=又EGu平面PCE, AFu平面PCE,所以AF平面PC£圖 8-98圖 8-99評(píng)注：通過(guò)同向進(jìn)而法能有效的在平而PCE中找到與A八平行的直線(xiàn)，點(diǎn)A沿AE方向進(jìn)平而于點(diǎn)

13、£點(diǎn)廠(chǎng) 同向沿AE進(jìn)平而于點(diǎn)G,連接EG,構(gòu)造平行四邊形AEG凡 只要證明EGAF即可.變式1如圖8-100所示，在四棱錐O-A5CD中，底面A3CD為平行四邊形，財(cái)為OA的中點(diǎn)，N為3c的 中點(diǎn)，求證:直線(xiàn)MN平面OCD圖 8-100變式2如圖8-101所示，在多而體A8CDE尸中，四邊形A8C。是正方形，EFAB,AB=2EF,H為BC的中點(diǎn), 求證：FH/平面EDB.例8.28 (2012福建理18 (2)如圖8-102所示，在長(zhǎng)方體ABCQ-Ai&CiA中，E為CD的中點(diǎn)，在棱A4iAP上是否存在點(diǎn)P,使得OP平而8N瓦若存在，求一 的值：若不存在，說(shuō)明理由.AA分析

14、:先假設(shè)存在，推理出點(diǎn)P的位置,再證明，根據(jù)平行進(jìn)而法,點(diǎn)、D沿著DC方向到達(dá)點(diǎn)£且DE=-DCf 2若存在，則點(diǎn)P也可沿同樣方向運(yùn)動(dòng)且等距離進(jìn)入平面314E從而易猜出P為A4中點(diǎn).A p 1解析：在棱A4上存在點(diǎn)P使得OP平面8狀瓦且一 證明如下：AA12如圖8-103所示，取A4中點(diǎn)P, A&中點(diǎn)。連接PQ,PDQE,則在 A4片中,PQ為中位線(xiàn)，即PQH ,A片.2又長(zhǎng)方體ABCZXAiaG。中，E為CQ中點(diǎn)，故DE1aB/1A|B =2i=2故PQ幺DE,所以四邊形PQEO為平行四邊形，所以。P七。，又DPcz平面B|AE, £(?<=平面83

15、3;,所以O(shè)P平而B(niǎo)1AE.圖 8-102圖 8-103變式1如圖8-104所示，在四棱錐RA8CO中，底而ABCO是梯形，A8CZM5=2CD在棱尸B上是否存在PM點(diǎn)M使得CM平面力。?若存在，求 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.PB圖 8404變式2如圖8-105所示，在正方體ABCQ-Ai&G"中，E是棱。工中點(diǎn)，在棱G5上是否存在一點(diǎn)E便 得8/平而AIE?證明你的結(jié)論.圖 8-105方法三：相交進(jìn)而法（不同向進(jìn)而法）思路提示：如圖8-106思）思）所示，證明AB o oE分析過(guò)程(i)：EC EDAB/ a弘8CD仁在三角形ABE中逐一9 分析過(guò)程(2)：EA EBAB

16、/ aUA8CZ在三角形COE中就一而例8.29如圖8-107 (“)所示，三棱柱ABCA181cl中，。是3c的中點(diǎn)。求證：A1C平而A81。,圖 8-107分析： 要證明線(xiàn)而平行，可通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行=線(xiàn)而平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與己知直線(xiàn)平行。 觀察圖形，易知采用相交進(jìn)而法(不同向進(jìn)而法)：點(diǎn)C進(jìn)入平面A81Q到點(diǎn)。延長(zhǎng)到5,連接A18,與 平面A31。相交于點(diǎn)E,從而證明A1C。石即可。解析： 如圖8-107 (b)所示,連接A18nA81=E,連接。七.因?yàn)锳BCA181cl是三棱柱，所以四邊形 A1B15A是平行四邊形，故E為A18的中點(diǎn)。又因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以。E是4R41

17、C的中位線(xiàn)，所 以O(shè)EA1G 因?yàn)镈EU平面A81。，從1。2平而A81O,所以A1C平面AlBD。變式1如圖8.108所示，三棱錐P-ABC中，E、F、。分別為RI、PB、AC的中點(diǎn)，G為。的中點(diǎn)。求證：FG平面8。£,變式2(2012遼寧理18 (1)如圖8-109所示，在三棱柱ABC-/T夕C中，點(diǎn)M、N分別為48和9C的中點(diǎn)。證明：MN平面A3CC圖 8-109變式3如圖8-110所示，在四面體A-8CQ中，M是A。的中點(diǎn)，尸是8W的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線(xiàn)段AC上, 且A0=3QC。求證：尸。平面8co圖 8-110例8.30如圖8.111所示，三棱柱/WC-A181G中，。為AC的

18、中點(diǎn)。在8G上是否存在一點(diǎn)匕使得。上 平面AM8當(dāng),若不存在，說(shuō)明理由：若存在，確定點(diǎn)上的位置。圖 8-111圖 8-112解析： 在BG上存在點(diǎn)E,使得。七平而且七為8G的中點(diǎn)，證明如下：如圖8.112所示， 連接aC,設(shè)5<nBG=E,連接。及 由三棱柱ABC-Ai&g,得四邊形BCGB為平行四邊形，故E為 &C中點(diǎn)，又。為AC中點(diǎn)，所以0E為dA&C的中位線(xiàn)，所以。上月慶，有。陛平面A1A8&, A&u 平面AN8員,所以0E平面A1A581。得證.圖 8-113,變式1 (2012北京東城高三上期末理17 (2)改編)如圖8-113所示，在

19、四棱錐RA8CO中，底而A8C。 為平行四邊形，。為A。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上，PM=tPC,試確定，的值，使 平而“。瓦方法四：由而面平行證線(xiàn)面平行思路提示：證明A8 ”。 分析法過(guò)程：AB/ “<=平面£ a(ABu£),(其中平面£通常為平而ABX) u " to I例8.31 (2012北京西城一模理17 (2)改編)如圖8-114所示，四邊形ABCD與5DEF均為平行四邊形。 求證：FC平面E4。圖 8-114分析本題利用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)而平行很難入手，因此考慮利用面面平行的性質(zhì)定理，及面而平行證明線(xiàn)而平行。解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCO與8D

20、EF均為平行四邊形，所以8CA。，BF/DE,又8CQ平而E4。，A。平而 EAD,故8C平而E4X同理8E平面EAO,又BCcBF=B, BC、BFU平面FBC,所以平面F3C平而 EAD.又FCU平而用C,所以FC平而E4D評(píng)注本題證明線(xiàn)而平行是通過(guò)而而平行證明線(xiàn)而平行，直接由線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行較之難度大。變式1如圖8-115所示，幾何體EA8CO是四棱錐，4A3O為正三角形，CB=CD0若NBCO=120", M為 線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，求證：OM平面8EC。三、而而平行的證明思路提示：常用證明而而平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線(xiàn)同 時(shí)垂直于

21、這兩個(gè)平而。例8-32如圖8-116所示，已知三棱柱A3C-4&G中，D、E、F分別為5C、BBi、/Vh的中點(diǎn)。求證：平 面aFC平而E4ZXB圖 8-116解析 因?yàn)樵谌庵鵄8CA181cl中，。、E、E分別為8C、BB1、A41的中點(diǎn)，所以AF81E,故四邊 形AM1E是平行四邊形，AE/B1F.又 AEG平面 BIFC, 81FU平面 31FC,故 AE平而在dBCBl中，。七是中位線(xiàn)，板DECB,又OEQ平面81FC CB1U平面31FC,故OE平面81FC©。 由及AEnOE二E, AE. OEU平而£4。，得平面51FC平而£4。, 評(píng)注證

22、明面而平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線(xiàn)分別平行。變式1（2012北京海淀二模理16 （1）如圖8-117所示，點(diǎn)。在以AB為直徑的。上，點(diǎn)E為線(xiàn)段 尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)M在A8上，且0MAC 求證：平面MOE平而出C。圖 8-117最有效訓(xùn)練題34 （限時(shí)45分）i.在空間中，下列命題中正確的是（）A.平行直線(xiàn)的平行投影重合B.平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平而平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行。.垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行2,設(shè)小、是平面a內(nèi)的兩條不同直線(xiàn)：I、2是平而£內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則a £的一個(gè)充分而不必 要條件是（）A.帆£且仁8.?乙且/2 C.小£且

23、63;。,，£且 43 .對(duì)于平而a和共面的直線(xiàn)?、，下列命題中是真命題的是（）A.若加、與a所成的角相等，則加B.若】a, a,則?C.若a, 】_!_，則aD.若小Uq, 0,pllj m/n4 .已知hn為兩條不同的直線(xiàn)，a、£為兩個(gè)不同的平而，則下列命題中正確的命題是（）A.若機(jī)Uq, Ua, £, “£,則 a£B.若，Uq, U£, a£,則C.若，_La,貝ljaD.若 m/n> ;?±a» 則 ？_La5 .平而a平面£的一個(gè)充分條件是（）A,存在一條直線(xiàn)a, a. a£B.存在一條直線(xiàn)a, “Uq, “£C.存在兩條平行直線(xiàn)”、，“Ua, bU