線性代數(shù)同濟第5版復習要點

1、線性代數(shù)（同濟第5版）復習要點以矩陣為工具，以線性方程組問題為主線第一章行列式基本結(jié)論1 .行列式的性質(zhì)（1）互換行列式的兩行，行列式變號.（2）行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.（3）把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行對應的元素上去，行列式不變2 .行列式按行（按列）展開定理3行列式等于它的任一行的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即DanAi1ai2Ai2ainAn(i1,2,n)3 .克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零,那末，線性方程組有唯一的解Xi即ana21a22a2naman2ann1V,D2VD0nDDnD1.2.例1.（例7）計

2、算行列式D35211105131324132.（例8）計算行列式D3111131111311113弟早矩陣及其運算主要計算計算行列式:數(shù)字行列式化為上三角形；計算有規(guī)律的n階行列式.基本概念注意：1.矩陣可乘條件、乘法規(guī)則2.矩陣乘法不滿足交換律ABBA3.矩陣乘法有零因子出現(xiàn)：AO,BO,但卻有ABO4.消去律不成立：ABAC,推不出BC基本結(jié)論1.轉(zhuǎn)置(i) (At)tA(ii) (AB)tAtBt(iii) (kA)TkAT(iv) (AB)tBtAt2 .方陣的行列式(i) |At|A|(行列式性質(zhì)1);(ii) |A|n|A|;(iii) |AB|A|B|3 .A的伴隨矩陣aaaa|

3、A|e4 .逆矩陣A可逆|A|0R(A)nA-EAE1E2EsEi是初等矩陣推論若abE(或baE),則ba1方陣的逆陣滿足下述運算規(guī)律：若A可逆，則a1亦可逆，且(A1)1A.1.(ii)若A可逆，數(shù)0,則A可逆，且(A)1-A1(iii)若A,B為同階方陣且均可逆，則AB亦可逆，且(AB)1B1A1(iv)若A可逆，則At亦可逆，且(At)1(A1)T基本計算用上面基本結(jié)論進行簡單計算主要計算1求a1：公式法a1a|A|基本證明用上面基本結(jié)論進行簡單證明1231.（例11）求矩陣的逆矩陣A221343第三章矩陣的初等變換與線性方程組基本結(jié)論線性方程組解的判定：1.n元非齊次線性方程組AXb

4、AXb有解R(A)R(B).有解時，(記R(A)R(B)r)(1) rn時，AXb有唯一解(2) rn時，AXb有無窮多解2.齊次線性方程組AX0(AX0是AXb的特殊情形)由于AX0永遠滿足R(A)R(B),故AX0總有解(至少有零解)從而(1) rn時，AX0有唯一零解(2) rn時，AX0有(無窮多)非零解基本計算1 .會求矩陣的秩2 .會用矩陣的秩判別線性方程組有沒有解，有解時，有多少解3.會用初等變換求矩陣的逆行初等變換(A|E)(E|A1)主要計算1. 設非齊次線性方程組AX2. 會用初等變換求矩陣的逆例320一、3231.(例5)設A201164行;(包括求矩陣方程AXB,用(A

5、|B)(E|A1B);b,試問此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解?50615314求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式1 232 .用初等變換求矩陣A221的逆矩陣3 433.(例13)設有線性方程組(1)X1X2X30,X1(1)X2X33,X1X2(1)X3問取何值時，此方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解？并在有無限多解時求其通解.第四章向量組的線性相關(guān)性基本概念1 .向量組的線性相關(guān)性向量的線性組合、線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的等價2 .向量組的秩極大線性無關(guān)組、向量組的秩3 .向量空間向量空間的基的定義、基的求法、向量空間的維數(shù)、維數(shù)的求法向量組

6、1,2,m所生成的向量空間為L(1,2,m)ki1k22%m|ki*2,kmR)4 .線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組基礎解系、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)基本結(jié)論1 .線性表出定理1向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣A(1,2,m)的秩等于矩陣B(1,2,m,b)的秩.定理2向量組B：1,2,l能由向量組A：1,2,m線性表示的充分必要條件是矩陣A(1,2,m)的秩等于矩陣(A,B)(1,m,1,l)的秩.即R(A)R(A,B).推論向量組B：1,2,l與向量組A：1,2,m等價的充分必要條件是R(A)R(B)R(A,B)定理3設向量組B：1,2,l能由向量組A：1,2,m線性表示，

7、則R(1,2,l)R(1,2,m).2 .向量組的線性相關(guān)性定理4向量組1,2,m線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A(1,2,m)秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)m定理5(1)若向量組A：1,2,m線性相關(guān)，則向量組B：1,m,m1也線性相關(guān).(2) m個n維向量組成的向量組，當維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān).(3)設向量組A：1,2,m線性無關(guān)，而向量組B：1,2,m,線性相關(guān)，則向量必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的.3 .向量組的秩定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.推論(最大無關(guān)組的等價定義)設向量組B是向量組A的部分組，

8、若向量組B線性無關(guān),向量組A能由向量組B線性表示，則向量組B是向量組A的一個最大無關(guān)組.4 .解的結(jié)構(gòu)(1)齊次線性方程組性質(zhì)1若1,2為Ax0的解，則12也是Ax0的解.性質(zhì)2若為Ax0的解，k為實數(shù)，則k也是Ax0的解.Ax0的基礎解系：1,，通解是Xki1knrnr定理7設mn矩P$A的秩R(A)r,則n元齊次線性方程組AXO的解集S的秩RSn(2)非齊次線性方程組性質(zhì)3設1及2都是Axb的解，則12為導出組Ax0的解.性質(zhì)4設是方程Axb的解，是方程Ax0的解，則仍是方程Axb的解.Axb的通解是：Xk11knrnr5 .向量空間向量組1,2,m所生成的向量空間為L(1,2,m)k11

9、k22基本計算1.一般地，要判別一個向量線性表出？設按分量形式寫出來就是kmm|k1,k2,kmRb1b2是否可由向量組bn現(xiàn)1a12a1sa211a22,2,a2ssan1an2ansk11k22kssa11k1a12k2a1sksb1,a21k1a22k2a2sksb2,an1k1an2k2ansksbn(*定理可由向量組1,2,$線性表出（*）有解2.一般地，要判別一個向量組1是否線性相關(guān)？設按分量寫出來就是現(xiàn)1a12a21,2a22,sa2san1an2ansx11x22xss0ai1k1ai2k2aisks0a21k1a22k2a2sks0*an1k1an2k2ansks0定理向量組

10、1,2,5線性相關(guān)齊次線性方程組（*）有非零解3 .L（1,2,m）基和維數(shù)的求法4 .線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）齊次線性方程組基礎解系1,nr（2）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的求法Xk11knrnr主要計算1 .設矩陣A,求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.2 .設非齊次線性方程組AXb,試問（1）此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解？（第三章內(nèi)容）（2）若有無窮多解，求其通解（要求通過它的導出組的基礎解系給出的通解）.（第四章內(nèi)容）基本證明向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量的組的等價、極大線性無關(guān)組、向量組的秩的證明向量空間的基、維數(shù)的證明基礎解系、

11、解的結(jié)構(gòu)的證明主要證明1 .線性無關(guān)的證明2 .AB0B的列是AX0的解例1 .（例11）設矩陣2 111211214A46224求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.x1x2x3x402 .(例16)設非齊次線性方程組x2x33x41,試問xx22x33x42(1)此線性方程組有解嗎？若有解，有多少解？(2)若有無窮多解，求其通解(要求通過它的導出組的基礎解系給出的通解)3 .(例6)已知向量組1,2,3線性無關(guān)，112,223,331,試證向量組1,2,3線性無關(guān).(第五章國定理1、運定理2)4 .(例13)設AB0,證明：R(A)R(B)n.

12、第五章相似矩陣及二次型基本概念1 .內(nèi)積內(nèi)積的定義：X,Yxy1X2Y2xnYn向量的長度：|X|磯X,Xqx；x；x；、當|X|1時，稱X為單位向量.向量的夾角：arccos丫IMIIIYII向量的正交：X,Y0時，稱向量X與Y正交正交向量組、正交基、規(guī)范正交基正交矩陣A:ATAE(即A1AT)2 .矩陣的特征值、特征向量特征值、特征向量3 .相似矩陣，對稱陣的對角化4 .二次型及其標準形，正定二次型，正定矩陣基本結(jié)論一.內(nèi)積X,YY,X；(ii) X,YX,Y(iii) XY,ZX,ZY,Z1 .非負性：對任意X都有|X|0;當且僅當XO時，兇02 .齊次性：IIx|I|X|；3 .三角不

13、等式：|XY|X|Y|定理1若n維向量1,2,，是一組兩兩正交的非零向量，則1,2,，線性無關(guān).2 .特征值、特征向量定理2設1,2,m是方陣A的m個特征值，Pi,P2,Pm依次是與之對應的特征向量.如果1,2,m各不相同，則P1,P2,Pm線性無關(guān)-3 .相似矩陣，對稱陣的對角化4 .二次型及其標準形，正定二次型，正定矩陣基本計算1.向量的長度：XX,XJx；x；x22 .向量的夾角的求法:3 .正交化方法：X,Yarc00'XY設1,2,，線性無關(guān)1 12,12 211,13,13,2r,r1r1r1,r11r3 31,112,22r,1r,2rr121,12,2114 .單位化：e1n1,e2u5 .特征值的求法、特征向量的求法