經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的邊際與彈性分析

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的邊際與彈性分析朱文濤(健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院商貿(mào)系，江蘇太倉(cāng)215411)摘要：邊際與彈性是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的重要概念，是微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用的一種有效的方法。本文從經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)理論中的“邊際”和“彈性”出發(fā)，對(duì)目前企業(yè)管理中常見(jiàn)的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)化討論和數(shù)學(xué)模型的建立，包括最低成本、最優(yōu)利潤(rùn)和價(jià)格變動(dòng)對(duì)銷售收入的影響模型等。關(guān)鍵詞：邊際；彈性；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中圖分類號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A邊際分析和彈性分析是經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析的重要組成部分，是微分法的重要應(yīng)用。它密切了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的聯(lián)系。在分析經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系時(shí)，不僅要知道因變量依賴于自變量變化的函數(shù)關(guān)系，還要進(jìn)一步了解這個(gè)函數(shù)變化的速度，即函數(shù)的變化

2、率，它的邊際函數(shù)；不僅要了解某個(gè)函數(shù)的絕對(duì)變化率，還要進(jìn)一步了解它的相對(duì)變化率，即它的彈性函數(shù)。經(jīng)過(guò)深層次的分析，就可以探求取得最佳經(jīng)濟(jì)效益的途徑。一、邊際及其經(jīng)濟(jì)意義邊際作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念,是指函數(shù)y=f(x)中變量x的某一值的“邊緣”上y的變化。它是瞬時(shí)變化率,也就是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)為：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則稱導(dǎo)數(shù)f(x)為f(x)在(a,b)內(nèi)的邊際函數(shù)；在x0處的導(dǎo)數(shù)值f(x)稱為f(x)在x0處的邊際值。根據(jù)不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，邊際函數(shù)有不同的稱呼，如邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際產(chǎn)值、邊際消費(fèi)、邊際儲(chǔ)蓄等。本文主要分析前三個(gè)邊際函數(shù)的應(yīng)用。1、邊際成本。

3、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本或增加這一個(gè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本定義為邊際成本，邊際成本就是總成本函數(shù)在所給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作MC=C(q)。2、邊際收益。是指銷售量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總收益或增加這一個(gè)單位的銷售產(chǎn)品的銷售收入，是總收入函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作MR=C(q)。3、邊際利潤(rùn)。對(duì)于利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C(q),定義邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)(q)=R(q)-Cf(q)=MR-MC，表示指銷售量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總利潤(rùn)或增加這一個(gè)單位銷售量時(shí)利潤(rùn)的改變量。二、邊際理論的應(yīng)用模型邊際分析理論是當(dāng)代經(jīng)濟(jì)理論中數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)之一，可用來(lái)預(yù)測(cè)商品價(jià)格需求量或供給量，確定企業(yè)內(nèi)部生

4、產(chǎn)資料同勞動(dòng)數(shù)量之間最合理的比例；確定企業(yè)的最佳規(guī)模，直至最合理的分配整個(gè)社會(huì)的資源等問(wèn)題。下面主要探討一下，如何利用邊際理論決策最低成本、最優(yōu)利潤(rùn)，以提高企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理水平。1.建立最低成本的模型從圖1可知，由于平均成本包括有產(chǎn)量的增加而始終遞減的固定成本，同時(shí)它又是按全部產(chǎn)量平均計(jì)算的，所以它的曲線由遞減轉(zhuǎn)為遞增較邊際成本曲線為遲。CAQQ（產(chǎn)量）Q邊際成本與平均成本之間有一個(gè)很重要的關(guān)系。從上圖來(lái)看，當(dāng)平均成本與邊際成本相等時(shí)，MC=AC,平均成本為最低，也就是說(shuō)，邊際成本曲線MC與平均成本曲線AC相交于平均成本曲線的最低點(diǎn)處F處。這一點(diǎn)就是通常所謂的“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)”或“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn)”，也就是

5、成本最低的一點(diǎn)。企業(yè)家應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點(diǎn)（即F點(diǎn)），才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用，增加盈利。建立模型的程序如下：第一步：建立子模型MC=dTCdQ(1)TCAC=TC2Q其中：Q一產(chǎn)量；TC總成本；AC一平均成本；MC邊際成本第二步：建立最優(yōu)化成本數(shù)學(xué)模型。（推導(dǎo)略）MC=ACi=0（AC的第二階導(dǎo)數(shù)大于零）（3）滿足上述（3）的Q值的生產(chǎn)規(guī)模，可以使AC達(dá)到最小值。舉例：TC（Q）=300+6Q+0.02Q2MC=TC(Q)=dTC=6+0.04QdQ2TC(Q)2006Q0.02Q2200AC=60.02QQQQdAC/200200=(+6+0.02Q)=0.02rdQ

6、QQ2所以，6+0.04Q=+6+0.02QQ得到：Qi=100,Q2=-100(舍去)此時(shí)dAC=。.02篝=0故產(chǎn)量達(dá)100時(shí)，AC最低2、建立最大利潤(rùn)模型如何求最大利潤(rùn)？當(dāng)商品產(chǎn)量無(wú)限增大時(shí)，價(jià)格極低，得不到最大利潤(rùn)；價(jià)格無(wú)限增大時(shí)，銷售量極少，也得不到最大利潤(rùn)。如圖2看出，只有在邊際收益等于邊際成本時(shí)，即兩條切線平行，收入和成本兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等時(shí)，這兩條曲線間的距離最大，才達(dá)到最大利潤(rùn)，才能找到合理的生產(chǎn)模型。此外為了是利潤(rùn)極大值存在，利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)還必須小于零。圖2R(收益成本、利潤(rùn))建立的模型程序?yàn)椋旱谝徊剑航⒆幽Ｐ蚫TRMR=(4)dQMC=TC(5)dQ其中：Q廣量；T

7、C-總成本；TR總收益；MC邊際成本；MR-邊際收益第二步：建立最優(yōu)化利潤(rùn)模型。MR=MCJd2(MRMC)(6)2:0dQ2滿足上述(6)的Q的生產(chǎn)規(guī)模，可以使利潤(rùn)達(dá)到最大。舉例：2TR=50Q-2QcQ32TC=-3Q215Q2503MR=50-4QMC=Q2-6Q+15所以,50-4Q=Q2-6Q+152Q2-2Q-35=0(Q5)(Q-7)-0所以Q1=5,Q2=7因?yàn)楫a(chǎn)量不可能是負(fù)數(shù)，所以最大利潤(rùn)的產(chǎn)量應(yīng)該是7件。三、需求價(jià)格彈性及其經(jīng)濟(jì)意義彈性作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念是指相對(duì)變化率，即相互依存的一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量變化的反應(yīng)程度。用比例來(lái)說(shuō)，是自變量變化1%所引起因變量變化的百分?jǐn)?shù)。彈性是

8、一種不依賴于任何單位的計(jì)量法，即是無(wú)量綱的。需求價(jià)格彈性是是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)彈性中應(yīng)用最廣泛的概念之一。它是指物品的需求量對(duì)價(jià)格變化的反應(yīng)程度即需求彈性=需求變化百分比/價(jià)格變化百分比。設(shè)需求函數(shù)為Q=Q(P)，這里P為價(jià)格,Q為需求量。如果我們以極限為工具來(lái)研究需求彈性，則此變化率可定義為Ep=lim99=EdQ,需求彈性有其實(shí)際的經(jīng)濟(jì)含義：表示當(dāng)某種商品的價(jià)p0P/PQdP格下降(或上升)1%時(shí)，其需求量將增加(或減少)|Ep|%。需求價(jià)格彈性可分五類：1)缺乏彈性。當(dāng)-1Ep0時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1%,需求量變化小于1%。表示價(jià)格的變化對(duì)需求量的影響較小，在適當(dāng)漲價(jià)后，不會(huì)使需求量有太大的下降，從而可以

9、增加收入?；旧畋匦杵肥侨狈椥缘?。如糧食、食鹽、針線等。2)富有彈性。當(dāng)Ep-1時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1%,需求量變化大于1%,也就是價(jià)格的變化將會(huì)引起需求的較大變化，這時(shí)需求量對(duì)價(jià)格的依賴是很大的，換句話說(shuō)，適當(dāng)漲價(jià)會(huì)使需求較大幅度上升從而增加收入。奢侈品、高價(jià)商品往往屬于富有彈性的。3）單位彈性。當(dāng)Ep=-1時(shí)，這時(shí)需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等，即商品的漲價(jià)或降價(jià)對(duì)商品的銷售基本無(wú)大的影響。4）完全彈性。當(dāng)Ep=+oo時(shí)，表示價(jià)格的任何變動(dòng)都引起需求量無(wú)限的變動(dòng)。如國(guó)家對(duì)棉、油、木材以及某些戰(zhàn)略物資的定價(jià)收購(gòu)，需求量可為無(wú)限制的5）完全無(wú)彈性。當(dāng)Ep=0時(shí)，表示不管價(jià)格如何變動(dòng),需求

10、量固定不變。四、需求價(jià)格彈性的應(yīng)用模型需求價(jià)格彈性應(yīng)用很多，這里主要談?wù)剝r(jià)格變動(dòng)對(duì)銷售收入的影響模型。在商品經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收入的影響，利用需求彈性的概念可以使經(jīng)營(yíng)者認(rèn)識(shí)到：漲價(jià)未必增收，降價(jià)未必減收的理論依據(jù)。設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=f（P）,商品的價(jià)格有一改變量PP,這時(shí)需求量相應(yīng)的改變量為AQ,銷售收入R=QP的改變量記為AR,由需求彈性的求解公式：Ep=pdQQdP可得PdQ=EpQdP因此，由價(jià)格P的微小變化（QP很小時(shí)）而引起的銷售收入R的改變量R=（QP）d（QP）=QdPPdQQdPEpQdP1EpQdP由Ep0（富有彈性）時(shí)，若90則ARA0;若APA0則奸

11、0。這表明適當(dāng)調(diào)低商品的價(jià)格薄利多銷，能使總收入增加；若提高商品的價(jià)格，企業(yè)的總收入反而減少。當(dāng)Ep1（缺少?gòu)椥裕r(shí)，若&P0貝IJAF0;若APA0WJ4RA0。這表明降低價(jià)格使總收入減少，提價(jià)可使總收入增加。當(dāng)Ep|=1（單位彈性）時(shí)，我們可以證明總收入的改變量AR是較價(jià)格改變量AP高價(jià)的無(wú)窮小量，提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收入沒(méi)有明顯的影響。下圖3表示不同彈性的需求曲線。圖3從以上需求曲線的不同情況，可顯示對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反映程度之差異。三個(gè)圖中矩形A0DC的面積分別大于、等于、小于矩形BOFK的面積，各矩形面積分別表示收益R=PQ的大小。美國(guó)勞埃德？雷諾茲在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析與政策一書(shū)中舉過(guò)這樣一個(gè)例子：

12、“假定你是小五金零件的生產(chǎn)者，你的產(chǎn)品的需求曲線是非彈性的(即Ep1),這意味著什么呢？如果你將價(jià)格提高，比如說(shuō)5%,你能夠出售的零件數(shù)量下降少于5%0因此，你得到的錢數(shù)是價(jià)格乘以數(shù)量，將大于過(guò)去。相反如果降價(jià)5%,零件售量低于5%的增加，你的銷售收入就會(huì)下降?！崩涸O(shè)小五金零件的需求價(jià)格E=0.60此例驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性。上述結(jié)論均可為企業(yè)改善經(jīng)營(yíng)管理提供信息，對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)決策起一定的作用。參考文獻(xiàn)：1王保華，叢國(guó)華.邊際與彈性及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用J.哈爾濱金融高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1997(4):15-17.2劉玉紅.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用J.山西統(tǒng)計(jì)，2002(5):14-15.3耿鎖華.數(shù)學(xué)

13、:濟(jì)中的彈性分析J.南京金融高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000(2):80-81.4史為，李楠.應(yīng)用邊際分析理論建立最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型J.昆明大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版),2002(1):15-19.TheAnalysisofMarginandElasticityinEconomicMathematicsZHUWen-tao(Chien-ShiungInstituteofTechnology,Taicang215411,China)Abstract:Marginandelasticityareimportantconceptsineconomicmathematics,aswellaseffectivewaysofdifferentialcalculusappliedineconomicanalysis.BasedonMargindndelasticityinthetheoryofeconomicmathematics,thisarticleistooffermathematizationdiscussionandestablishmentofmathematicalmodeltosomecommonquest