灰色預(yù)測模型理論及其應(yīng)用

1、灰色預(yù)測模型理論及其應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為對既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，就是對在一定方位內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測.盡管過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、有界的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測.灰色預(yù)測模型只需要較少的觀測數(shù)據(jù)即可，這和時間序列分析，多元回歸分析等需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型不一樣.因此，對于只有少量觀測數(shù)據(jù)的項(xiàng)目來說，灰色預(yù)測是一種有用的工具.本文主要圍繞灰色預(yù)測GM(1,1)模型及其應(yīng)用進(jìn)行展開。一、灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測的概念1.1 灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研究中。

2、若一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱之為白色系統(tǒng)。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知，一團(tuán)漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)介于二者之間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素問是否有確定的關(guān)系。特點(diǎn)：灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對象。1.2 灰色預(yù)測灰色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析，并通過對原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性，可以用它來建立相應(yīng)的微分

3、方程模型，從而預(yù)測事物未來的發(fā)展趨勢和未來狀態(tài)?；疑A(yù)測是用灰色模型GM(1,1)來進(jìn)行定量分析的，通常分為以下幾類：(1)灰色時間序列預(yù)測。用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量(如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等)構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或者達(dá)到某特征量的時間。(2)畸變預(yù)測(災(zāi)變預(yù)測)。通過模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。(3)波形預(yù)測，或稱為拓?fù)漕A(yù)測，它是通過灰色模型預(yù)測事物未來變動的軌跡。(4)系統(tǒng)預(yù)測，是對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測理論模型，在預(yù)測系統(tǒng)整體變化的同時，預(yù)測系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的變化。上述灰預(yù)測方法

4、的共同特點(diǎn)是：(1)允許少數(shù)據(jù)預(yù)測；(2)允許對灰因果律事件進(jìn)行預(yù)測，比如灰因白果律事件：在糧食生產(chǎn)預(yù)測中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。白因灰果律事件：在開發(fā)項(xiàng)目前景預(yù)測時，開發(fā)項(xiàng)目的投入是具體的，為白因，而項(xiàng)目的效益暫時不很清楚，為灰果。項(xiàng)目前景預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。(3)具有可檢驗(yàn)性，包括：建?？尚行缘募壉葯z驗(yàn)(事前檢驗(yàn))，建模精度檢驗(yàn)(模型檢驗(yàn))，預(yù)測的滾動檢驗(yàn)(預(yù)測檢驗(yàn))。二、GM(1,1)模型2.1 GM(1,1)模型GM(1,1)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)化，用微分方程代替

5、差分方程，按時間累加后所形成的新的時間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近，用生成數(shù)序列代替原始時間序列，弱化原始時間序列的隨機(jī)性，這樣可以對變化過程作較長時間的描述，進(jìn)而建立微分方程形式的模型.其建模的實(shí)質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)，將時間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，通過灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時，灰色預(yù)測GM(1,1)模型的預(yù)測將是非常成功的.2.2 GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一階，一個變量的微分方案預(yù)測模型，是一階單序列的線性動態(tài)模型，用于時間序列預(yù)測的離散形式的微分方程模型.模型符號含義為

6、GM(1,)GreyMod1階方程,1個變量設(shè)時間序列X0有n個觀察值，X0x01,x02,x0n，為了使其成為有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，對其作一次累加生成運(yùn)算，即令從而得到新的生成數(shù)列X1,X1x11,x12,，x1n，稱為GM(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列X1一般近似地服從指數(shù)規(guī)律.則生成的離散形式的微分方程具體的形式為即表示變量對于時間的一階微分方程是連續(xù)的.求解上述微分方程，解為當(dāng)t=1時，x(t)x(1),即cx(1)u,則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具a體形式為其中，ax項(xiàng)中的x為小的背景值，也稱初始值；a,u是待識別的灰色參數(shù)，a為發(fā)dt展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢；u為

7、灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系.按白化導(dǎo)數(shù)定義有顯然，當(dāng)時間密化值定義為1時，當(dāng)儀1時，則上式可記為、，-dx一，1,.,，一，這表明dx是一次累減生成的，因此該式可以改寫為dtx與x(t)當(dāng)4足夠小時，變量x從x到x(tAt)是不會出現(xiàn)突變的，所以取的平均值作為當(dāng)At足夠小時的背景值，即x1x(t)x(t1)(緊鄰均值(MEAN)生成序列)將其值帶入式子，整理得x(0)(t1)1ax(1)(t)x(1)(t1)u(GM(1,1)模型的均值形式)2由其離散形式可得到如下矩陣：令Yx(0)(2),x(0)(3),x(0)(n)T稱Y為數(shù)據(jù)向量，B為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量.則上式可簡化為線性模型：

8、由最小二乘估計方法得1上式即為GM(1,1)參數(shù)a,u的矩陣辨識算式，式中BBBY事實(shí)上是數(shù)據(jù)矩陣B的廣義逆矩陣.將求得的a,u值代入微分方程的解式，則其中，上式是GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)形式，將它離散化得對序列？1t再作累減生成可進(jìn)行預(yù)測.即上式便是GM(1,1)模型的預(yù)測的具體計算式.2.3 GM(1,1)模型的檢驗(yàn)GM(1,1)模型的檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)三種形式.每種檢驗(yàn)對應(yīng)不同功能：殘差檢驗(yàn)屬于算術(shù)檢驗(yàn)，對模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)屬于幾何檢驗(yàn)范圍，通過考察模型曲線與建模序列曲線的幾何相似程度進(jìn)行檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度越大模型越好；后驗(yàn)差檢驗(yàn)屬于統(tǒng)計

9、檢驗(yàn)，對殘差分布的統(tǒng)計特性進(jìn)行檢驗(yàn)，衡量灰色模型的精度.?殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn)，即對模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn).設(shè)模擬值的殘差序列為e()(t),則令(t)為殘差相對值，即殘差百分比為1n令為平均殘差，1I(t).nt1一般要求t20%,最好是t10%,符合要求.?關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度是用來定量描述各變化過程之間的差別.關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說明預(yù)測值和實(shí)際值越接近.)?(0)(t)娉(1),娉(2),，婷(n)序列關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為式中,X(0)(t)x(0)(t)為第t個點(diǎn)x(0)和娉的絕對誤差，為第t個數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù),稱為分辨率，即取定的最大差百分比，0，一般取0.5.x(0)(t)和X(0)(t

10、)的關(guān)聯(lián)度為關(guān)聯(lián)度大于60%g滿意了，原始數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度越大，模型越好.?后驗(yàn)差檢驗(yàn)后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對殘差分布的統(tǒng)計特性進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)步驟如下：1、計算原始時間數(shù)列X0x(0)(1),x(0)(2)，,x(0)(n)的均值和方差2、計算殘差數(shù)列ee(0)(1),e(0)(2)，,e(0)(n)的均值e和方差s2其中e(0)(t)x(0)(t)x(0)(t),t1,2,n為殘差數(shù)列.3、計算后驗(yàn)差比值4、計算小誤差頻率令&=0.67456,(t)|e(0)(t)3|,即PP(t)S0.若對給定的C00,當(dāng)CC0時，稱模型為方差比合格模型；若對給定的P00,當(dāng)PB時，稱模型為小殘差概率合格模型

11、.模型精度0.950.800.700.65勉強(qiáng)合格0.65表3后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表2.3GM(1,1)模型修正(殘差GM(1,1)模型)當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列X(0)建立的GM(1,1)模型檢驗(yàn)不合格時，可以用GM(1,1)殘差模型來修正.如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確，也可以用GM(1,1)殘差模型來提高精度.若用原始序列X建立的GM(1,1)模型可獲得生成序列X的預(yù)測值，定義殘差序列e(k)x(k)x(k).若取k=t,t+1,，n,則對應(yīng)的殘差序列為計算其生成序列e(k),并據(jù)此建立相應(yīng)的GM(1,1)模型得修正模型1其中(kt)0ktkt為修正參數(shù).kt三、GM（1,1）模型的應(yīng)

12、用表1南昌市民用汽車保有量年份2004200520062007200820092010201120122013南昌市民用汽車保有量（萬輛）24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：構(gòu)造累加生成序列X1）；（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）,Xx（1）,x（2）,x（3）,x，x（5）,x（6）,x（7）,x（8）,x（9）,x（10）432.16624.4109,51.1416,81.5294,117.9101,158.9262,202.6562,251.0662,312.0662,369.

13、0662,第二步：計算系數(shù)值；對X做緊鄰均值生成.令Z(k)0.5x(k)0.5x(k1),得7。)(1)(1)/與(1)(1)(1)/力(1)/。(1)(1),Zz，z,z(4),z,z(6),z(7),z(8),z(9),z(,10)37.77625,66.3355,99.71975,138.41815,180.7912,226.8612,281.5662,340.5662,400.6161則數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y為B=z(1)(2)1z(1)(3)1z(4)1z(5)1z(1)(6)1z1z(1)(8)1z(1)(9)1-37.776251-66.33551-99.719751-138.

14、418151-180.79121,Y-226.86121-281.56621-340.56621-400.61611x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)(0)x(5)x(0)(6)x(0)x(0)(8)x(0)(9)26.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1對參數(shù)列?a,uT進(jìn)行最小二乘估計，得即a0.101624,u25.290111a=-0.101624,p=25.290111,平均相對誤差為4.685749%第三步：得出時間響應(yīng)預(yù)測函數(shù)模型為：第四步：進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。真實(shí)化24.4109,26.7307,30.3878,36.3

15、807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000預(yù)測值：24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056計算得到關(guān)聯(lián)系數(shù)為：1,0.906683,0.444273,0.416579,0.82377,0.357133,0.715694,0.843178,0.333333,0.770986于是灰色關(guān)聯(lián)度：r=0.661163關(guān)聯(lián)度r=0.661163滿足分辨率=0.5時的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r0.60,關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)通過。第五步：后驗(yàn)差檢驗(yàn)。計算真實(shí)值

16、的均值與標(biāo)準(zhǔn)差：X043.2166,614.0254計算殘差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：1.9295,S24.6134于是方差比C=S2/S1=0.32890.35So=0.6745*Si=9.4601所有ek都小于So,故小誤差概率PpeSo1,又C0.35所以后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過。第六步：殘差檢驗(yàn)。(1)得到模擬值、殘差和相對誤差如下：序號模擬值殘差相對誤差()124.410900229.2309862.5002869.353612332.3577511.9699516.482704435.818976-.561724-1.544016539.650442-1.365658-3.329566643.8917

17、49.161749.369881748.586737.176737.365084853.783938-7.216062-11.82961959.5370682.5370684.4509961065.9055972.8055974.446271相對誤差序列中有的相對誤差很大，所以要對原模型進(jìn)行殘差修正，以提高精度。(2)利用殘差對原模型進(jìn)行修正：我們?nèi)0_/八八八八八八e2.500286,1.969951,0.561724,1.365658,0.161749,0.176737,7.216062,2.537068,2.805597同樣的可求得a=-0.183488,仙=0.481549則有對上述求導(dǎo)，得：這樣就得到經(jīng)過殘差修正后的灰色預(yù)測GM(1,1)模型：其中:1,k20,k2為修正系數(shù)（k=0,1,2,修正后，精度有所提高。修正后的殘差計算見下表:序號k修正灰色預(yù)測父1k年份相對誤差024.4109200424.41090120055152943123.4488622007117.91011384163.42755822008158.92620745207.7