第二十三屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用竟賽初賽試題(含答案)

1、第二十三屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽試題一、下圖所示的是六角星跳棋盤(pán)，它是由一些小的正三角形拼出的， 如果記棋盤(pán) 上最小正三角形的邊長(zhǎng)為1cm,六角星的每個(gè)角上的三角形的邊長(zhǎng)為 kcm,就稱(chēng) 這個(gè)六角星跳棋盤(pán)為“ k六角星棋盤(pán)”，下圖就是“3六角星棋盤(pán)”，跳棋盤(pán)上 的每一個(gè)交叉點(diǎn)是旗子可以落下的地方，問(wèn)：(1)把“3 六角星棋盤(pán)”看成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)地圖，三角形的邊組成這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的道路， 這個(gè)網(wǎng)絡(luò)地圖里的道路總長(zhǎng)度是多少？(2)對(duì)于“k 六角星棋盤(pán)”構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)地圖，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)地圖里的道路總長(zhǎng)度是 多少？(3)能否一筆畫(huà)出“ 3-六角星棋盤(pán)” ？若能，請(qǐng)給出畫(huà)法：若不能，說(shuō)出至少需 要幾筆能畫(huà)出來(lái)，并給出

2、畫(huà)法。橫幅，上面有一個(gè)字母J在剪這個(gè)字時(shí),、一次學(xué)生科技成果報(bào)告會(huì)需要做先將正方形紙對(duì)折，并剪出一個(gè)矩形和四 分之一圓環(huán)的連體，打開(kāi)后，剪掉多余的 矩形，即得到字母J剪紙的示意圖如圖1,2,3所示，問(wèn)：如何剪出好看的字母J?三、將若干個(gè)物品合理地裝到給定的幾個(gè)箱子里面， 在技術(shù)上是非常重要的，往 往涉及到體積長(zhǎng)度、重量等多個(gè)因素。比如，有幾個(gè)容量為 10噸的一樣的箱子 和6件重量分別是5噸、4噸、3噸、3噸、3噸、2噸的物品，若先在一個(gè)箱子 里裝入5噸、4噸的物品，這個(gè)箱子再也裝不下其他物品了而剩下的4件物品共11噸，無(wú)法全部裝入第2個(gè)箱子，就需要三個(gè)箱子裝這 6件物品。而若先在個(gè) 箱子里裴入

3、5噸、3噸、2噸的物品各一件，則兩個(gè)箱子就能全部裝下所有物品。 對(duì)于裝箱問(wèn)題，一般來(lái)講，人們總是希望所用的箱子盡量少， 計(jì)算機(jī)內(nèi)存分配就 是典型的裝箱問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算是非常復(fù)雜的，很難找到最優(yōu)的算法及相應(yīng) 的裝箱結(jié)果。于是人們利用經(jīng)驗(yàn)和邏輯盡量尋找較為理想的解決辦法，如果只考 慮重量這一因素，“首次適應(yīng)，從最重到最輕”的方法被普遍應(yīng)用，該方法是按 照由重到輕對(duì)物品進(jìn)行排列，然后依次將物品裝入首次適合其重量的箱子里， 如 果有已經(jīng)裝物的箱子能夠放下這個(gè)物品，就不用空箱子?，F(xiàn)在有充分多的完全一樣、容量為 524kg的箱子，有33件物品，具重量如卜表所小:物品重量(kg)442252127106

4、8584463712109物品數(shù)量(件用“首次適應(yīng)，從最重到最輕”的方法裝箱?；卮鹣旅鎲?wèn)題：(1)裝下這33件物品需要多少個(gè)箱了 ？并列出裝箱過(guò)程。(2)如果去掉重量46kg的那件物品，將其他32件物品裝箱，需要多少個(gè)箱子？(3)如果把46kg的物品換成其他數(shù)值，其他物品不變，可以用(1)中得到的箱子數(shù)裝下這33件物品嗎？四、近年來(lái)，每到春節(jié)都有支付寶集?；顒?dòng)。每完成一筆交易就獲贈(zèng)一張“?！?字卡，集齊五個(gè)不同的“?！弊挚纯色@獎(jiǎng)。若干年前購(gòu)買(mǎi)一袋干脆面隨贈(zèng)一張 水滸傳一百單八將的好漢卡，集齊全部好漢卡將獲得生產(chǎn)商頒發(fā)的大獎(jiǎng)。問(wèn)：(1)如果每完成一筆交易獲贈(zèng)每種卡片的

5、可能性是一樣的，那么，平均來(lái)說(shuō)，要購(gòu)買(mǎi)多少筆有關(guān)的商品才能集齊五個(gè)不同的“?！弊挚?(2)如果購(gòu)買(mǎi)一次干脆面隨贈(zèng)一百單八將的好漢卡中每一張的可能性是一樣的，那么，平均來(lái)說(shuō)要購(gòu)買(mǎi)多少袋干胞面才能獲得生產(chǎn)商頒發(fā)的大獎(jiǎng)?三個(gè)提示：1°.這個(gè)問(wèn)題等同于在一個(gè)口袋中有5 個(gè)球， 編號(hào)為1,2,3,45,有放回地隨機(jī)摸球，每個(gè)球被取到的概率相同，求5 個(gè)號(hào)碼全部都被取到所需要的平均摸球次數(shù)。2°.若干個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于這些隨機(jī)變量分別取數(shù)學(xué)期望后再求和。3°.請(qǐng)自行查閱資料，了解如下常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布：兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，幾何分布，超幾何分布。根據(jù)概

6、念判斷這個(gè)問(wèn)題中的隨機(jī)變量的分布種類(lèi)，并運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)解決問(wèn)題。五、在 2019 年“雙十一”到來(lái)之際，作為綜合性購(gòu)物網(wǎng)站的天貓商城和旗下的數(shù)千家店鋪給出了五花八門(mén)的優(yōu)惠方式， 天貓?jiān)陔p十一當(dāng)天的優(yōu)惠活動(dòng)有以下幾種：1° . 天貓購(gòu)物津貼。每滿(mǎn)400 減 50,或者每滿(mǎn) 200 減 20,可跨店鋪使用，每個(gè)商品僅享有其中種滿(mǎn)減優(yōu)惠： 使用購(gòu)物津貼的條件： 加入購(gòu)物車(chē)后， 一起提交下單的商品： 購(gòu)買(mǎi)商品需支持購(gòu)物津貼且滿(mǎn)減門(mén)檻一致， 且湊單后合并下單的付款金額需達(dá)到滿(mǎn)減門(mén)檻， 如每滿(mǎn) 200 減 20.每滿(mǎn) 400 減 50,依此類(lèi)推：不同訂單的商品不能累計(jì)價(jià)格使用購(gòu)物津貼。2

7、6; . 店鋪的限時(shí)低價(jià)。商品標(biāo)價(jià)比平日低，僅限在某個(gè)時(shí)間段購(gòu)買(mǎi)，比如0:00-2:00。3° . 店鋪優(yōu)惠券。某商品直接由店鋪打折，或者發(fā)優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可能限時(shí)使用，或者有其他使用條件限制。4° . 預(yù)訂商品。需要在雙十一前預(yù)訂，交付一定的定金，在雙十一當(dāng)天凌晨1點(diǎn)之后再下單并支付尾款。需要注意的是，除特殊標(biāo)明，以上的各種優(yōu)惠可以疊加使用，比如某商品450 元，店鋪優(yōu)惠50 元，接著可以使用滿(mǎn)400 減 50 的天貓購(gòu)物津貼50 元，最后實(shí)際付款是350 元， 非預(yù)訂商品的付款金額是指商品價(jià)格減去店鋪折扣或使用優(yōu)惠券之后的價(jià)格， 預(yù)訂商品的付款金額是指商品價(jià)格扣除定金的尾

8、款部分， 預(yù)訂商品可與非預(yù)訂商品一起下單，付款金額（即這一單的預(yù)訂商品的尾款與其他商品扣除店鋪優(yōu)惠后的金額）達(dá)到滿(mǎn)減門(mén)檻可以享受天貓購(gòu)物津貼。工作在京的職員小張想給遠(yuǎn)在故鄉(xiāng)的媽媽和自己購(gòu)買(mǎi)一些商品，在天貓購(gòu)物車(chē)中放入了護(hù)膚品眼鏡架、鏡片、洗護(hù)用品、烘焙用品等，涉及到前面提到的多種優(yōu)惠類(lèi)型， 給媽媽買(mǎi)的商品寄到故鄉(xiāng)家里， 給自己買(mǎi)的商品寄到北京的家中，不同郵寄地址的商品是不能一起下單的， 為了在雙十一當(dāng)天能夠以最優(yōu)惠的價(jià)格購(gòu)到心儀的商品， 小張滿(mǎn)要提前計(jì)算出下單方式， 她將購(gòu)物車(chē)中的商品都列在了下面的清單里，其中沒(méi)有標(biāo)明郵寄地址的可以寄到故鄉(xiāng)家里，也可以寄到北京的家中，品名帶“ * ”的商品是可

9、買(mǎi)可不買(mǎi)的，可用于湊單，在店鋪優(yōu)惠方式、購(gòu)買(mǎi)時(shí)限、 滿(mǎn)減種類(lèi)欄目中的空格分別表示沒(méi)有相關(guān)優(yōu)惠、 沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)時(shí)限、 不參加滿(mǎn)減。如果認(rèn)為所有商品供應(yīng)充足，請(qǐng)你幫小張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)下單方案，使得購(gòu)物最省附：購(gòu)買(mǎi)商品清單（金額單位：元）呼號(hào)*風(fēng)網(wǎng)婢En«frR1FVM7W.Wml.g Nkl或爭(zhēng)28h. fHU；424.Mt桁ifhi衣耀崔1伊 訂甲只就代叫利比索iK*5 m科私語(yǔ)中“城SD h的小不走»MAUMtt.'m0:300IJW-SOJig4M山言黛ttil）如秋融5WfflIDO】no上x(chóng)at$敗蜜新危ill匹身Sin noMl1 mzm *00 50海等16Fit

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