北京市通州區(qū)2018屆高考一?？荚嚁?shù)學(xué)(理)試卷及答案

1、通州區(qū)20172018學(xué)年度高三一?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試卷2018年4月本試卷分第一部分和第二部分兩部分，共 150分.考試時(shí)間長(zhǎng) 120分鐘.考生務(wù)必將答 案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共40分）、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共 合題目要求的一項(xiàng).40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符1.已知全集U R ,集合A x|xB 0,1,2,那么eU A IA.0,1,2B.1,2C.0,1D.2.已知xy滿足xy1,0,那么2,A. 1C. 1B.D.3.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸出 則輸入k的值可以是A.C.B.D.6104.設(shè)

2、A.5. ”,1 a log 1 -3 6c>b>a2x R , x10g 3 2bxB. c>a>b1 0成立”是“開始y的最小值是2x15,那么C. a >b >cb 0,1 ” 的D.a >c>bA.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件26.已知拋物線yuun uuuCA CB等于8x的準(zhǔn)線與圓心為.一 2C的圓x2y 2x 8 0父于A,B兩點(diǎn)，那么A. 2B, 272C.25D.4.27.已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為則該四棱錐側(cè)視圖的面積是2的正方形，且它的正視圖如圖所示,B. 4u

3、uir uuu 若BC BA12 ,則AC邊上的高為3J3；A. 4y2C. 2 垃D. 28 .描金又稱泥金畫漆，是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝.起源于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在漆器表面，用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數(shù)以朱漆為底.描金工作分為兩道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描繪花紋.現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成J A, B, C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描繪花紋.每道工序所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如下：原料時(shí)間工序-二原料A原料B原料C上漆91610描繪花紋15814則完成這三件原料的描金工作最少需要A. 43小時(shí)B. 46小時(shí)C. 47小時(shí)D, 49小時(shí)第二部分（非選擇題共

4、110分）、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.9 .已知復(fù)數(shù)1 i 1 ai是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù) a .x 1 t,10 .若直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)P 4,0到直線l的距離是y 1 t11 .已知數(shù)列 an是等比數(shù)列，a3 4, a6 32,那么生 ；記數(shù)列 an 2na6的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn .12 . 2位教師和4名學(xué)生站成一排合影，要求 2位教師站在中間，學(xué)生甲不站在兩邊，則不同排法的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)字表示）13 .在 ABC中，角A , B , C的對(duì)邊分別為a , b , c,已知B 60 , b 4 , 下列判斷：若c J3,則角

5、c有兩個(gè)解；a c不可能是9.其中判斷正確的序號(hào)是.14 .設(shè)函數(shù) f（x） x2 acosx , a R,非空集合 M x|f（x） 0, x RM中所有元素之和為若集合N x| ff x 04,且吊 N,則a的值是三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15 .（本題滿分13分)已知函數(shù)sin2cos- 73 cos 2的最小正周期;(n)求 f在區(qū)間 ,0上的最大值和最小值.16 .（本題滿分13分).2017 年 12 月25日發(fā)布的北京市通州區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒（ 定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長(zhǎng) 固定資產(chǎn)投資及增長(zhǎng)率，如圖一 .2017） »

6、顯示：2016年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固17.4%,下面給出的是通州區(qū)2011-2016年全社會(huì)又根據(jù)通州區(qū)統(tǒng)計(jì)局 2018年1月25日發(fā)布：2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資作為北京副中心，通州區(qū)的建設(shè)不僅成為京津冀協(xié)同發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，也肩負(fù)著醫(yī)治北京市“大城市病”的歷史重任，因此，通州區(qū)的發(fā)展備受矚目產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長(zhǎng) 12.2%.（I）在圖二中畫出2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（柱狀圖） ，標(biāo)出增長(zhǎng)率并補(bǔ)全折線圖；（n）通過計(jì)算 2011-2017這7年的平均增長(zhǎng)率約為 17.2%,現(xiàn)從2011-2017這7年中 隨機(jī)選取2個(gè)年份，記X為“選取的2個(gè)年份中

7、，增長(zhǎng)率高于17.2 %的年份個(gè)數(shù)”，求X 的分布列及數(shù)學(xué)期望；（出）設(shè)2011-2017這7年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額的中位數(shù)為x0 ,平均數(shù)為X，比較x0與x的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論） PAD為等腰直角三角形,AB17.（本題滿分14分）如圖所示的幾何體中，平面PAD 平面ABCD,APD 90°,四邊形 ABCD為直角梯形，AB/DC ,PQ/DC , PQ DC 1.(I)求證：PD平面QBC;(n)求二面角 Q BC A的余弦值;(m)在線段QB上是否存在點(diǎn) M ,使得AM平面QBC ,若存在，求QMQB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由18 .(本題滿分13分)已知函數(shù) f(x) xe

8、x, g(x) a(ex 1) , a R .(i)當(dāng) a 1 時(shí)，求證：f(x) g(x)；(n)當(dāng)a 1時(shí)，求關(guān)于x的方程f(x) g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù).19 .(本題滿分13分)22x y已知橢圓C :二二21ab 0的上、下頂點(diǎn)分別為 A , B ,且AB 2 ,離心率 a b為立,2O為坐標(biāo)原點(diǎn)(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)P, Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 A, B重合)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，M , N分別是OP , BP的中點(diǎn)，直線AM與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為 D .求證：D , N , Q三點(diǎn)共線.20 .(本題滿分14分)已知數(shù)列 為 ,設(shè)an an 1 an n 1,2,3, L

9、,若數(shù)列 為為單調(diào)增數(shù)列或常數(shù)列時(shí)，則an為凸數(shù)列.(I)判斷首項(xiàng)a10 ,公比q 0 ,且q 1的等比數(shù)列 & 是否為凸數(shù)列，并說明理由；(n)若 an為凸數(shù)列，求證：對(duì)任意的 1 k m n,且k,m,n N,an amam ak均有 am 1 am -，且 am max a,an ;n mm k其中max ai,an表示a1，an中較大的數(shù);（出）若 an為凸數(shù)列，且存在t 1 t n,t N ,使得ao at , an at ,求證：a1 a2 L an.高三數(shù)學(xué)（理科）一?？荚噮⒖即鸢?018.4、選擇題9.112. 24三、解答題10.近11.4, 2n 1 n2 n13.

10、14. 0, 015.解：（I）因?yàn)?f x sinx x =2 x一 cos- 、. 3cos222.x x -2 xsin - cos-. 3 cos 一2221 sin x 23一 cosx2工J 3sin x+ 十一 .32分所以f x的最小正周期T 2 .分（n）因?yàn)閤,0 ,所以x+ 一3所以當(dāng)x ,即x 0時(shí)，函數(shù) 33“5當(dāng)x ，即x 時(shí)，函數(shù)3263-f(x)取得最大值sin + V3.323 f(x)取得最小值1+.所以f x在區(qū)間,0上的最大值和最小值分別為J3和1 + 32題號(hào)12345678答案BACDBD1 CB 1所以X的分布列為X012P2477716.解：(I

11、)圖二2011-2017年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資及增長(zhǎng)率（億元）25.020.015.010.05.00.0全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)率分（n）依題意,X的可能取值為0,1,2.C2P(X 0) CC7_ 1_ 12,P(X 1)曾7C74-,P(X 2)7C32C7一 241610所以X的數(shù)學(xué)期望E X 0 - 1 - 2 -.777 7分13（出）兒 .分17 .解：（I）因?yàn)镻QCD , PQ CD,所以四邊形PQCD是平行四邊形.所以 PD/QC.因?yàn)镻D 平面QBC , QC 平面QBC ,所以PD平面QBC. 4（n）取AD的中點(diǎn)為O ,5因?yàn)镻APD,所以O(shè)P AD.因?yàn)槠矫嫠設(shè)P分P

12、AD平面平面 ABCD,OP ABCD.平面PAD,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線OD 則x軸在平面ABCD內(nèi).OP為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ,因?yàn)?APD 90AB ADPQCD 1所以 A 0, 1,0 ,B 2, 1,0 ,C 1,1,0 ,1,0,1uur所以BQuur1,1,1 , CQ0,r設(shè)平面QBC的法向量為nx, y,zr n r nuur BQ uur CQ0,0,y z 0, z 0.所以x yy z,令 z 1,2.z.r所以n2,1,1 .ir設(shè)平面ABCD的法向量為m0,0,1 ，所以u(píng)rcos n, m1,6又因?yàn)槎娼荙 BC A為銳角,所以二面角

13、Q BC A的余弦值是 610(m)存在.設(shè)點(diǎn)Ma,b,cQMQB01 .uuuu 所以QM1,b,cuurQB 1, 1,所以a+1+1.所以點(diǎn)M1,uuuu所以AM1,1,又平面QBC的法向量為2,1,1 , AM 平面 QBC ,所以1 所以 一3所以在線段QB上存在點(diǎn)M，使AM 平面QBC ,且QMQB的值是1418 .解：(i)設(shè)函數(shù) F(x) f x g xxex aex a.當(dāng) a1 時(shí)，F(xiàn) (x)xex ex 1 ，所以 F'(x) xex .所以x (，0) 時(shí)，F(xiàn) '(x) 0 ； x(0，) 時(shí)， F'(x) 0.所以 F (x) 在 (，0)上單

14、調(diào)遞減，在(0，) 上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x 0時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值F(0) 0.所以 F(x) 0,即 f(x) g(x) . 4分(n)當(dāng) a 1 時(shí)，F(xiàn) '(x) (x a 1)ex,令 F'(x)0 ，即(xa 1)ex0，解得xa1 ；令 F'(x)0 ，即(xa 1)ex0，解得xa1.所以F (x)在 (， a1) 上單調(diào)遞減，在(a1，) 上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x a 1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值，即 F(a 1) a ea 1. 6分令 h(a) a ea 1 ，則 h'(a) 1 ea 1 .因?yàn)閍 1 ,所以h'(a) 0.所以h(a)在(1

15、,)上單調(diào)遞減.所以 h(a) h(1) 0 . 所以 F(a 1) 0.又因?yàn)?F(a) a 0 ，所以 F(x) 在區(qū)間 (a 1,a) 上存在一個(gè)零點(diǎn) .所以在a 1,)上存在唯一的零點(diǎn). 10分又因?yàn)?F (x) 在區(qū)間 ( ,a 1) 上單調(diào)遞減，且 F (0) 0 ，所以F(x)在區(qū)間(,a 1)上存在唯一的零點(diǎn) 0. 12分所以函數(shù)h(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即使 f (x) g(x)成立的x的個(gè)數(shù)是兩個(gè).分 1319.解：(I)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 x軸上，AB.3一222 一 2所以由a b c ,得a 4.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是v21.(n)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Xo,yo,所以Q的坐標(biāo)

16、為Xo ,yo因?yàn)镸 , N分別是OPBP的中點(diǎn),所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為Xoy。2N點(diǎn)的坐標(biāo)為Xoy。12所以直線AD的方程為y。V x。1.2代入橢圓方程41中，整理得2x。y。 28xoyo2x0.所以8xo 2 y02x0y。所以y。2x。所以的坐標(biāo)為所以kQN2x。4 y。2 一25 4y。2x。2y。5 4y。2x0 2y04y°22y04y035 4y。22y04y035 4y°10y。12x。22y。24y°V。x0y。3x0又kQD5 4y。V。2x。2 y。x。5 4y。y。13x0所以D , N , Q三點(diǎn)共線.13anan 1an ,20.解：(i

17、)因?yàn)?an+1an 2 an+1 ,所以an+ianan 2an2an+ianq2 an 2anqan q2 1 2q2an q 12因?yàn)?，公比 ，且 ，所以an 0, q 10.所以 an q 1 2 0.所以等比數(shù)列 an為凸數(shù)列.分（n）因?yàn)閿?shù)列an為凸數(shù)列,所以am 1am=am 1am , am 2 am 1am , am 3am 2am 1am ,am n m am n m 1am 1am.疊加得 an am (n m) am 1 am所以mam1 am.n m同理可證amakam 1am.綜上所述,an amam akam 1 amn mm k因?yàn)閍nnam mamak所以（m k）an(k m)am(n m)am (m n)a.所以（m k）an(n m)ak (n k)am.令 k 1, m 1 * (n m)an 1 am.m 1所以am二an若Qan ,則 amm1anznm)a11m 1Jm、)an 1ann1( nn1 n( n若a1an ,則 amm1znm、cm1Jm、n1an( n閏1na1 1(