完整word版,向量方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、向量方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用王賢舉摘要 ： 向量具有豐富的物理背景。它既是幾何的研究對(duì)象，又是代數(shù)的研究對(duì)象，是溝通代數(shù)、 幾何的橋梁。 通過向量法使代數(shù)問題幾何化、 使幾何問題代數(shù)化、使代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化的一些實(shí)例， 體現(xiàn)向量法在解決中學(xué)代數(shù)問題和幾何問題的一些作用和優(yōu)點(diǎn)。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量法；解題；應(yīng)用Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of

2、algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and

3、 geometry problems in senior high school mathematics.Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application1、向量與高中數(shù)學(xué)教學(xué)向量是既有大小， 又有方向的量【 1】 ， 是數(shù)學(xué)中的重要概念之一。 向量具有豐富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、動(dòng)量、電場(chǎng)強(qiáng)度等都是向量。在高 中數(shù)學(xué)新課程中設(shè)置向量的內(nèi)容，是基于以下幾方面原因：1.1 向量是幾何的研究對(duì)象物體的位置和外形是幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。 向量可以表示物體的位置，

4、也是一種幾何圖形 （幾何里用有向線段表示向量： 所指的方向?yàn)橄蛄康姆较颍?線段的長(zhǎng)度表示向量的大?。?，因而它成為幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。作為幾何學(xué)的研究對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對(duì)象及它們的位置關(guān)系；向量有長(zhǎng)度，可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問題。1.2 向量是代數(shù)的研究對(duì)象運(yùn)算及其規(guī)律是代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量 積（點(diǎn)乘）等多種運(yùn)算，這些運(yùn)算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量 具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運(yùn)算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。1.3 向量是代數(shù)研究對(duì)象和幾何研究對(duì)象的橋梁。著名數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)

5、鍍，它們的進(jìn)展就緩 慢.它們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸收新鮮的 活力，從而以快捷的步伐走向完美”。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生也有“數(shù)缺形 時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”的精辟論述。高中數(shù)學(xué)中引入向量后121,通過在代 數(shù)、幾何中應(yīng)用，改善教材結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)化解題方法，也可通過在幾何中的應(yīng)用，加 深對(duì)向量?jī)?nèi)容的理解。數(shù)學(xué)新大綱引入向量后學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容既可了解向 量的實(shí)際應(yīng)用，又可加深對(duì)該部分內(nèi)容的理解。本文通過向量法使代數(shù)問題幾何化、使幾何問題代數(shù)化、使代數(shù)問題和幾何 問題相互轉(zhuǎn)化的一些實(shí)例，體現(xiàn)向量法在解決中學(xué)代數(shù)問題和幾何問題的一些作 用和優(yōu)點(diǎn)。從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用向量法來解決

6、高中數(shù)學(xué)問題， 提高數(shù)學(xué)解題能力。2、向量方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2.1、 向量法使代數(shù)問題幾何化向量溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，因此對(duì)某些代數(shù)問題，如能巧妙地構(gòu)造向量，便能將其轉(zhuǎn)化為幾何問題【4】，從而使問題簡(jiǎn)化|b| |a b| |a| |b|例1、證明：對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b ,都有|a|證明：若a,b中有一個(gè)為0 ,則不等式顯見 成；若a, b都不是0時(shí)，作OA a, AB b貝（1）當(dāng)a,b不共線時(shí)，如圖1所示，則 |OA| |AB| |OB| |OA| |OB|,即 l|a| |b| |a b| |a| |b|.（2）當(dāng)a,b共線時(shí)，若a,b同向，如圖2所示,|OB| |OA | |

7、AB| 即 |a b| g |b|.若a,b反向，如圖3所示，|OA| |AB | |OB|,則 |a| |b| |a b|綜上可知：|a| |b| |a b| |a| |b|.BOA圖3評(píng)注：該命題的證明方法有多種，但應(yīng)用向量工具把代數(shù)問題幾何化， 使其理解 更容易和具體化。通過向量具有數(shù)形結(jié)合的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，利用向 量的三角形法則，轉(zhuǎn)化為幾何中三角形的性質(zhì)進(jìn)行討論，得出 伯|ib111a bi iai向.當(dāng)兩向量共線時(shí)，轉(zhuǎn)化為對(duì)線段的討論，從而可得到 11aLibii ia bi 向 ib|02.2、 向量法使幾何問題代數(shù)化通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)可知，向量有一整套的符號(hào)和運(yùn)算系統(tǒng)，對(duì)

8、大量的幾何問 題，不但可以用向量的語(yǔ)言加以敘述，而且完全可以借助向量的方法予以證明，從而把抽象的邏輯推理轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算 【5】。例1、求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。證明：如圖4所示，在Rt ABC中， C Rt ,D是AB邊上的中點(diǎn)。由向量加法的平行四邊形法則CD1 -(CA CB)1 CD CD (CA CB)(CA CB) 4CA CB 0,212212|CD |(| CA |2 |CB|2)| AB |244-1評(píng)注：向量作為聯(lián)系代數(shù)與幾何圖形的最佳橋梁,它可以使圖形量化，使圖形問|CD | 11 AB |.16的關(guān)系代數(shù)化。本題將直角三角形的各邊及斜邊上的中線用向量

9、表示出來，利用平面向量的平行四邊形法則和兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0,轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)CD !AB.算，得2 ,即證得直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。例2、設(shè)拋物線y2 2px p 0的焦點(diǎn)為F ,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。點(diǎn)c在拋物線的準(zhǔn)線上，且2證明：如圖5所示，設(shè)A上，%2pBC/ x軸.求證:由題設(shè)可知F2 pAF 一故2P2 yi,yiAB2 2y2 yi2p，V2yi（圖5）由三點(diǎn)共線，知AF / AB ,22pyi2pY2yi2 2y2 yi2pyi0,y2yiyy20.yiy2,2yi y2p , y22 pyiAO2y2p, yiAC2 yi 2p,y2yi2yi

10、 2p2yi yi2yi2p2yi yi2p2p2yiyi 0,且直線AO與直線AC有公共點(diǎn)A,A、O、C三點(diǎn)共線，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.評(píng)注：用向量方法去解傳統(tǒng)的立體幾何題也是有優(yōu)勢(shì)的， 能使問題很清晰，本題 通過建立平面直角坐標(biāo)，可得到向量AF,AB,AO,AC。根據(jù)三點(diǎn)共線得AF,AB是共線的向量，從而可求得 aO,aC也是共線向量。由平面上共線的兩向量有公共點(diǎn)時(shí)，那么這三點(diǎn)在同一直線上，所以直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)Q例3、如圖6,在直三棱柱ABC AB1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90o,側(cè)棱AAi 2, D,E分別是CC1與A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是 ABD的重心

11、G。(1)求AB與平面ABD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(2)求點(diǎn)A到平面AED的距離。解：以C為原點(diǎn)，CA,CB,CCi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA a則 A (a,0,2), B (0, a,0) , D (0,0,1) , A(aQ,2), 從 而d .Ge a - 2E a,a,1 , G 9,a,1 , AD ( a,0,1),6,6,3 ,由 GE” AD 得2 23 3 3a22GE AD 0,即 a- f 0 a 2.63uuu uuurBE.BG 7 cos : | BE | | BG |3設(shè)AB與平面ABD所成的角，即BE與BG所成的角為，一

12、 2 4 1一BG (-)BE (1, 1,1),(3, 3,3),7 arccos 3 設(shè)點(diǎn)Ai在平面AED上的射影為H p,s,t ,則A1H AH,AH EH,A1H DH,即 A1H AH 0,AH EH 0,AiH DH 0,代入運(yùn)算得22p 2 s2 t t 20,p 2 p 1 s s 1 t 2 t 10,p p 2s2t 1 t 20.43,2,或32.3p 2,s 0, （舍去）4 2 23,3,3從而AH2.63t 2.沿基底，分解向量BB',評(píng)注：向量解決問題的直接好處體現(xiàn)得異常充分，學(xué)生比較容易找到落腳點(diǎn)，把空 問的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從向量的角度切入,可以有

13、效地避開很多難點(diǎn)。本題通 過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) CA a，得到向量aD，GE , BE,BG o根據(jù)空間直線與平面間的定理可得GE AD,算出ca的長(zhǎng)，在由BE,BG之間的數(shù)量積、火角和模的關(guān)系，可求出BE,BG的夾角，即為設(shè)AB與平面ABD所成的角。設(shè)點(diǎn)a在平面AED上的射影為H (p,s,t)，可得到向量A?h AH,AH EH,AH DH由兩向量垂直 時(shí)其數(shù)量積為 0得A?h Ah 0,A?H EH 0,AH DH 0可算出ah的長(zhǎng)度，也就是點(diǎn)a到平面 AED的距離。2.3、向量法使幾何與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化在直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)運(yùn)算有加、減、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算。建 立適當(dāng)?shù)闹苯亲?/p>

14、標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算有機(jī)結(jié)合 起來【7】，充分體現(xiàn)了解析幾何的思想，讓學(xué)生初步利用 解析法”來解決實(shí)際問題。例1、已知直線AA'，平面a ,直線BB'，平面a ,垂足 分別為A, B。求證：AA' / BB'證明 如圖1,在平面a內(nèi)，過點(diǎn) A作互相垂直向量一、 . > 一 一 、AC, AD ,以AC, AD,AA二個(gè)不共面的向量作為基底，由空間向量基本定理可設(shè)BB AC xAC AC yAD AC zAA AC ,(圖1)(1)BB AD xAC AD yAD AD zAA AD(2)由 BB'，a ,得 BB'

15、;AC, BB'XAR 又 AC ±AR同理 AA'AC, AA'XAD.AC AD 0,BB AC 0,BB AD0, AA AC 0, AA AD且AD0, AC0 ,分別代入(1)、(2)得 x 0, y 0.AA' / BB'.利用不共評(píng)注：本題根據(jù)空間的任一向量都可以用不共面的一組基底線性表示,線向量基本定理及兩向量垂直時(shí)的數(shù)量積為 0,證得BB'AA'(BB / AA o例2、如圖2,給出定點(diǎn)A(a,0)(a 0)和直線l :x 1B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C,求C點(diǎn)的軌跡方程 并討論方程表示的曲

16、線類型a值的關(guān)系。解 設(shè) OA (a,0), BC(1,b),OC (x,y),0 x a,則AC (x a,y),BC(x 1,y b),由OC平分 BOA , 當(dāng)b Qy知 cos AOC cos BOC0,0 x a,.OA OCOB OCOA OCby x x -,1 b2OB OC1又AC與BC共線,有(x a)(y b) y(x 1) Q.1a一b y.a x將代入得:(1 a)x2 2ax (1(2)當(dāng) b 0 時(shí)，AOBa)y20(0 x a)(，點(diǎn)C (0, 0)適合。綜上(1)、(2)得C的軌跡方程為：22(1 a)x即江4p 2ax (1 a)y2 0(0 x a).評(píng)注

17、：本題通過數(shù)形結(jié)合，建立平面坐標(biāo)，設(shè)出相應(yīng)的向量 oA、bC、oC ，可得到向量AC,BC ,根據(jù)角平分線定理得向量OA,OC和OB,OC的夾角相等，找出等量關(guān)系式c點(diǎn)的OA OC OB OC 、7,T ；T ,進(jìn)而求出軌跡方程。O.OCOB OC例3、設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2 4px(p 0)知原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知 OA OB,OM AB,求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 解：如圖32y24P,y2), M (x, y),MB則OA2 yi4p,yi),OB (2y24p, y2 ).OM(x,y),AB22(y2 yi4p,y2yi),(圖3)AM(x2 yi4p,yyi). O

18、AOB, OAOB0,2 y24pyi y202y216P又OM垂直 AB,OM AB 0.即Xy化簡(jiǎn)得yi- x (y2 y1) y 0,4p化簡(jiǎn)得：yLl x y 0.4P 222又AM / AB, . . （x 幺）（丫2 yj （近 九）（y yj 0.4p4p 4p即（x 比上）y 生 0.將代入得：x2 y2 4px 0. 4p4pA、B是異于原點(diǎn)的點(diǎn)，故x 0,所以點(diǎn)M的軌跡方程為 x2 y2 4px 0（x 0）它表示（2p,0）為圓心，以2P為半徑的圓（除去圓點(diǎn)）.評(píng)注：本題通過建立平面直角坐標(biāo)，將 OA, OB,OM, AB, AM轉(zhuǎn)化為向量，根據(jù)OA OB,OMAB,由兩

19、向量垂直，它們的數(shù)量積為 0,得OA OB 0.OM- AB 0.又AM. / AB,由共線向量的基本定理進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從 而求出點(diǎn)M的軌跡方程。例4、如圖4,在四棱錐O ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,ABC -, OA 底面 ABCD, OA 2,M 為 OA 的中點(diǎn), 4（I ）證明：直線MN |平面OCD ；（n）求異面直線 人8與乂麗成角的大??；（m）求點(diǎn)b到平面ocd勺距離。解：方法一（空間定理法）（1）取OB中點(diǎn)E,連接ME NEQ ME | AB AB II CD, ME | CD又Q NE | OC,平面 MNE | 平面 OCDMN | 平面 OCD（2） QCD

20、 | AB, MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）作AP CD于P,連接MPOA 面面B BCD,.,. CD MPADPDP 1 八 cos MDP, MDCMD 2MDMA2 AD2 ,2MDP 3所以AB與MD所成角的大小為一3(3) AB|平面OCD；.點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD勺距離相等，連接OP過點(diǎn)A作AQ OP 于點(diǎn) Q, AP CD,OA CD,： CD 平面 OAP,：AQ CD又V AQ OP,/. AQ 平面OCD ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD勺距離。尸DP2 .萌ALDP2 J4 1 2 好AP DP2. AQ OA吧 2g" 2 ,所以點(diǎn)B到平面

21、OCD勺距離為2OP3.2 332方法二(向量法)解：作AP!CD于點(diǎn)P,如圖，分別以AB, AP, AO所在直線為x, y, z軸建立坐 標(biāo)系PA(0,0,0),B(1,0,0),.2(0；,0)D2,O(0,0,2),M(0,Q1),22222MN(1 , ,1) OP(0, J2) OD( , ,2)(1) 44,2,22設(shè)平面ocd勺法向量為n (x,y,z)，則n op=o, n od =0即取Z 應(yīng)，解得.MN n (1 , , 1) (Q4,.,2) 0 44 .MM 平面 OCD(2)設(shè)人8與乂所成的角為8 ,22AB (1,0,0),MD ( , 1)2 ,2人3與乂的成角的

22、大小為3(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD勺距離為d,則d為OB在向量n Q4，、上的投 影的絕對(duì)值，由 OB=(1,0,-2),得 d=|OB n| -n 32所以點(diǎn)B到平面OCD勺距離為3 .評(píng)注：本題通過用用常規(guī)法和向量法兩種方法來解題，可以看出向量法解題的方便，通過作AP,CD于點(diǎn)P,建立空間直角A-xyz坐標(biāo)系，找出向量MN：OP、OD AB、MD：oB的坐標(biāo)，設(shè)平面0cD勺法向量為n，則n 0P 0,n OD 0,可以得到MN/平面OCD根據(jù)AB與MD勺夾角、模和數(shù)量積的關(guān)系可算出AB與MD9T成角。由向量OB在法向量n上投影的絕對(duì)值求得點(diǎn)B到平面OCD 的距離。運(yùn)用向量法解題，是解決立體幾何題得好方法。3、小結(jié)與展望向