湖南省師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)月考試卷(七)文(含解析)

1、湖南師大附中2020屆高三月考試卷（七）數(shù)學(xué)（文科）第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1 .已知集合幺=之0,二9S 1,則（）A.寸一:B. C c C - cC.號(hào)三 JD. a 二?！敬鸢浮緽【解析】集合A二同tg* >0 - xx21,日二xx El,兩個(gè)集合有公共元素1,故A不對(duì)。兩個(gè)集合也有不同元素。故答案選B。故答案選B。2 .若復(fù)數(shù)產(chǎn)滿(mǎn)足&-3） = -1 + 3f （其中i是虛數(shù)單位），則/的虛部為（）A. 1B. 6C.忖D.【答案】A【解析】【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得出 z,結(jié)合

2、虛部的定義求得結(jié)果.【詳解】.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i （z-3） =- 1+3i,“-1 + 3，(-1 +30C-0 ° .6 = 3 +：一 =3 +-= 6+i ./的虛部為1 .故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.23 .函數(shù)人町=帆工+】廣；的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（A.B.C.D.【答案】B【解析】 試題分析：函數(shù)f （x） =ln （x+1）的零點(diǎn)所在區(qū)間需滿(mǎn)足的條件是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反.解： f (1) =ln (1+1) - 2=ln2 - 2<0,而 f (2) =ln3 - 1 > lne 1=0,函數(shù)f (x) =l

3、n (x+1)的零點(diǎn)所在區(qū)間是(1, 2),故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.4 .七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為(A.B.16D.分析：由七巧板的構(gòu)造,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和。詳解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng) M1,可得黑色平行四邊形的底為 小,高為1;黑色等腰直角三角形的直角邊為2,斜邊為2.圈，大正方形的邊長(zhǎng)為 2顯,所以故選C。1 ,通過(guò)分析觀察，求點(diǎn)睛：本題主要

4、考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出黑 色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得 概率，屬于較易題型。5 .設(shè)3和&為雙曲線(xiàn) 4> 0力 > 優(yōu)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)|周0,2乩，是等腰直角三角形 1b2的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A.”土 加B./ 二土 -xC. D = ±D.【答案】C【解析】若P&物,設(shè)（-斕）巴（匚四，則產(chǎn)/ =4叫 4b2, .“1鳥(niǎo)#（07加是等腰直角三角形的三個(gè)頂 點(diǎn)，7# + 點(diǎn)=八 /

5、4 4/ 二 2e* ,+ 4（/口$ = 2/ , *，.3/=4口2 ，即,31 +補(bǔ)'4d=9，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y= 土 "，即為/土邑，故選C.a 3a36 .給出下列四個(gè)命題：“若人為=燈的極值點(diǎn)，則1%）=0”的逆命題為真命題；“平面向量£方的夾角是鈍角”的充分不必要條件是a 6<u；1 i若命題p： <0,則-I冏士。；jf1x1命題“ m*E也使得k2 +胃+ 1C0”的否定是：FeR,均有/ + K+ 130” .其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】分別對(duì)進(jìn)行真假判斷，從而得到結(jié)論.【詳解

6、】 “若 Xo為 y=f （x）的極值點(diǎn)，則1口）=0”的逆命題為："若"G"）=0,則xo為y=f （x）的極值點(diǎn)”，為假命題，即不正確；“平面向量”的夾角是鈍角”的必要不充分條件是口，6 < U,即不正確；若命題p： 六 <0,則盧三>0,即不正確；特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題 ，即正確.即不正確的個(gè)數(shù)是 3.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了四種命題的關(guān)系，充分必要條件，以及命題的否定，屬于中檔題.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7,則判斷框內(nèi)m的取值范圍是（A. J.O.門(mén)B.C.門(mén)!：D.【答案】A【解析】依次運(yùn)行程序框圖中的程序可得：第

7、一次，5 = 0 + 2 x l = 2rJf = 2,滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；第二次，$=2 + 2 乂2 = 6/=3,滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；第三次，¥ = 6 + 2乂3=12K=4,滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；第四次，5= 12 + 2x4 = 20及=5,滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；第五次，5 = 20 +2x5 = 30> = 6,滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；第六次，5 = 30 + 2 x 6 = 42 = 7,不滿(mǎn)足條件，停止運(yùn)行，輸出 7.故判斷框內(nèi)m的取值范圍為30 cm £42.選A.8 .如圖，在四面體村日。中，若截面|PQMN是正方形，則在下列命題中，不一定正確 的是（A

8、. !B.必。截面PQMNC.，皿D.異面直線(xiàn)PM與此。所成的角為45【答案】C【解析】【分析】首先由正方形中的線(xiàn)線(xiàn)平行推導(dǎo)線(xiàn)面平行，再利用線(xiàn)面平行推導(dǎo)線(xiàn)線(xiàn)平行，將AC BD平移到正方形內(nèi)，即可利用平面圖形知識(shí)作出判斷.【詳解】因?yàn)榻孛?PQMN正方形，所以 PQ/ MN QMT PN則PQ/平面 ACD QMZ平面BDA所以 PQ/ AC QMT BD由PCL QMR*彳導(dǎo)ACL BQ故A正確；由PQ/ AC可得AC/截面PQMN故B正確；異面直線(xiàn)PM與BD所成的角等于PM與QM斤成的角，故 D正確；綜上C是錯(cuò)誤的.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的性質(zhì)與判定，考查了異面直線(xiàn)所成角的定

9、義及求法，屬于基礎(chǔ)題.9 .已知拋物線(xiàn)C： /二2PMp>0）的焦點(diǎn)為叫 準(zhǔn)線(xiàn)-1,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C上，點(diǎn)M在直線(xiàn)F ：F二-1上的射影為阿，且直線(xiàn)百F的斜率為一同 則的面積為（）A.卜同B.而C.D.【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖形，拋物線(xiàn)的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)計(jì)算出A, M的坐標(biāo)，計(jì)算三角形的面積.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn) 4：二-1,所以焦點(diǎn)為F（1, 0）,拋物線(xiàn)C: y2 = 4x,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C上，點(diǎn)A在準(zhǔn)線(xiàn)l上，若MA_ l ,且直線(xiàn)AF的斜率kAF二一福，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為NI,則AN= 2gHA（-l, 24t）,則M （3, 2號(hào)）， IlJ Sq=5 A AM<

10、; AN=5 x 4X 2 = 45. 上I占故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的面積計(jì) 算，屬于中檔題.10.若函數(shù)+ 23月%+ 在區(qū)間f-上單調(diào)遞增，則正數(shù) 3的最大值為（A.1iiB.C.D.-f(吟=2tntxcostijx + 2sE*5ir+ 匚口占2山，=+ 1 在區(qū)間I-T?上單調(diào)遞增,f - 3nm >正數(shù)31fu 三一 f 1故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中參數(shù)值的最大正值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注 意二倍角的正余弦公式、正弦函數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用.11.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線(xiàn)畫(huà)的是某幾何

11、體的三視圖，則該幾何體的體積【解析】【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何體是該幾何體是如圖所示的三棱柱DCC挖去一個(gè)三棱錐"一FCG|,進(jìn)而得到答案.由三視圖可得，該幾何體是如圖所示的三棱柱1即DC。柩去一個(gè)三棱錐£_匹向，故所求幾何體11123的體積為-x(2x2x 2)- x (-X 1 x 1) x 1 = ZaZ(i故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求幾何體體積，考查空間想象能力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)人，）在定義域無(wú)上的導(dǎo)函數(shù)為/&,若函數(shù)¥ =門(mén)打沒(méi)有零點(diǎn)，且TT TT1“-2019。= 2019,當(dāng)幻=$山XT第丘在一15上與（

12、X：在"上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是（）A. 一，,，'_B.,5.同c. 一md. 【答案】A【解析】【分析】由題意可知：f (x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則 f (x) - 2020、為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)為R上的增函數(shù),貝U g (x)在為單調(diào)遞增，求導(dǎo),則g (x) >0恒成立，則k居sin(x + -) m%根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得k的取值范圍.【詳解】解：若方程f (x) = 0無(wú)解，則f'仃)>0或(x)<0恒成立，所以f (x)為R上的單調(diào)函數(shù),? xC R者B有201 %=2019,則/-2019'

13、為定值，設(shè)t =月，)-201寸；則f (x) =1+2019”，易知f (x)為R上的增函數(shù)，g (x) = sin x- cosx- kx,q'Cr) =+ sirix - k =- /r,又g (x)與f (x)的單調(diào)性相同， g (x)在R上單調(diào)遞增，則當(dāng)xe g (x) >o恒成立,ITx + -e4此時(shí)k< - 1,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助 角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答 .第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、

14、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分，？t分20分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線(xiàn)上.13.已知等比數(shù)列 應(yīng)的前行項(xiàng)和為3,且%=:，叼=或。力，則際n&=.920172-2【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得若a2a6=8 (a4-2),則有a：-8a4+16 = 0,解可得a4=4,進(jìn)而計(jì)算可得q的值，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q,若 a2a6= 8 (a4 2),則有(ad)2= 8 (a4 2),即 a42 - 8a4+16 = 0,解可得a4=4,則 q3 = .= 1 = 8,

15、則 q= 2,2則 S2020 一型-S_ 22020 1-2*故答案為【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式，關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題.1414 .設(shè)。為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=-B 若此三項(xiàng)me曰,則X二. 口kJ【答案】-3【解析】【分析】直接利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】D為山1加?所在平面內(nèi)一點(diǎn)，- J 4-1八=AB + -AC33- 1 .1 一 1 ,=i)AB-AX 43，比較可得:. B, Q D三點(diǎn)共線(xiàn).若血二，而泣用?三癡C一工疝,化為: 即答案為-3.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算及相關(guān)的恒等變換問(wèn)題.15 .記命題"為“

16、點(diǎn)M(應(yīng)用滿(mǎn)足/ + /(u > 0) ”，記命題q為滿(mǎn)足1 jc-2y W 4x +: 若P是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) 卜的最大值為 |4x-3y+ 4 >0【解析】【分析】a的最畫(huà)出約束條件的可行域，戶(hù)是4的充分不必要條件，判斷圓與可行域的關(guān)系，然后求解大值即可.【詳解】滿(mǎn)足x - 21x + y<- 3y + 4> 0命題p為“點(diǎn) 呵砧；滿(mǎn)足，+ /(白>0)的可行域如圖:工-2y V 4,記命題q為滿(mǎn)足 x + y <4 |4jc-3j4-4> 0若P是q的充分不必要條件，說(shuō)明圓的圖形在可行域內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的最大值就是圓與直線(xiàn)3y +4 =

17、0相切時(shí)，半徑取得最小值，即【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，充分不必要條件的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能 力.16.已知函數(shù)f(x) = *4| + / +小，若函數(shù)/在(0.3上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 有的取值范圍是.11【答案】a【解析】【詳解】函數(shù)可化為：f(X)人年：3。晨3 ,若 m>0,當(dāng) 0vxv2 時(shí)，f (x)遞增，m當(dāng)2wxv 3時(shí)，f (x)的對(duì)稱(chēng)軸是 x= -<0,4故函數(shù)f (x)在2 , 3)遞增，f (x)在(0, 3)連續(xù)，. f (x)在(0, 3)遞增；當(dāng)mO0時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, 3)不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)mi= 0時(shí)，f (x

18、)=在 © 3)上沒(méi)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)mx 0時(shí)，f (x)在(0, 2)遞減，當(dāng)0 工一" M2即-8W mx0時(shí)，函數(shù)f (x)在2 , 3)遞增，故函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, 3)有2個(gè)不同的零點(diǎn)只需滿(mǎn)足:即4>014 + 3m>0 4 + 2m < 014< m< - 2,當(dāng) 2< - 一<3 即12V mK 8 時(shí)，4函數(shù)f (x)在(0, -7)遞減，在(- 7,3)遞增，44故函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, 3)有2個(gè)不同的零點(diǎn)只需滿(mǎn)足:I / 加 !<04>014 + 3m>0口 m4<08解得

19、14 m»712V mx8,所以不存在滿(mǎn)足條件的當(dāng)二之3即nm - 12時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, 3)遞減， 4函數(shù)f (x)在(0, 3)上不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，14綜上，-nm: - 2時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,3)上有2個(gè)不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及分段及二次函數(shù)的基本性質(zhì), 考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17.在中，內(nèi)角/、B、。的對(duì)邊分別是口、人、匕，且心fnZ + £*油。一加=、加5仕(力+剛.(1)求打的值；(2)若向量 由=(co54cn屋間，口二12,-5),

20、 口二4,當(dāng)欣，金取得最大值時(shí)，求b的值.【答案】(1)(2)卜二+.4d【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理可求a2+c2- b2=,進(jìn)而利用余弦定理可求cosB的值，即可得解B的值.(2)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求二，； 結(jié)合已知可求sin A的值，利用正弦定理即可得解b的值.【詳解】(1)因?yàn)镮A/IBC中，卜巾5 +為=5M4,所以，變形為由正弦定理得：.由余弦定理得： c=t2tle 2,JT又因?yàn)?<8<斤，R = .(2)因?yàn)?-lOcos + IZeosA + 5 =4所以當(dāng)coj/I =:時(shí),5m 打取得最大值，此時(shí)5m4 =-5由正

21、弦定理得）=空叫=空inA【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換 的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18.如圖，四棱錐PTBCD中，AU = AD = 2HC = 2,西 八口 10。，APHD為正三角形.且 ，一,.£.（I）證明：平面 儼人0_1,平面川北；（n）若點(diǎn)P到底面71BCD的距離為2, £是線(xiàn)段PQ上一點(diǎn)，且PH平面,4C闿，求四面體再一 CDE 的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（I ）證明1 PH, AB 1 匚，可證平面母口 _L|平面因北；（n）如圖，連接RD,“交于點(diǎn)。，因?yàn)榭?

22、#163;川），由（I）點(diǎn)P到平面ARC。的距離為2,14所以點(diǎn)£到平面的距離為h = -x2 = -,所以由也_ £曬=% -心可求四面體A - CDE的體積.【詳解】（I）證明：,H8i50,且。=2,，用）=2居，又APBD為正三角形，所以PG二PD=皿二2盤(pán),又丁力8=2, P>1=2/,所以又.刀。J. AD, BC/ A。， ."B J. BL, PH 門(mén) 3。=" 所以/口！平面PB。，又因?yàn)锳RC平面YB, 所以平面力!平面朋斗（n）如圖，連接 肛 AC交于點(diǎn)。，因?yàn)镚£'八D,且1D = 2H。所以0。= 2。5

23、，連接U£,因?yàn)镻IM 平面4。屏 所以PB。屏 則DE = 2P屏由（I）點(diǎn)P到平面RBCD的距離為2,所以點(diǎn)£到平面的距離為力=（乂 2 = 331114 H所以辦 BE = % 4c口=§5*18 力=§*（5乂2 乂 Z）Xg=g即四面體A - C0E的體積為5【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及錐體體積的實(shí)際，屬中檔題19.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)X （單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量乂（單位：噸）和年利潤(rùn)|z （單位：萬(wàn)元）的影響.對(duì)近六年的年宣傳費(fèi) 號(hào)和年銷(xiāo)售量Y（i= 1.2,3454）的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)

24、:年份20132C14|2015|201612017|201B年宣傳費(fèi)K （方兀）|384A|586R7088年銷(xiāo)售量y （噸）|16B10,8|20.7|22.4|24；0|25.5|經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi) X （萬(wàn)元）與年銷(xiāo)售量y （噸）之間近似滿(mǎn)足關(guān)系式 y = a xb（口加0）.對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如表：6加占.lny)y) a6t 16gd叫yi - 1|75.3|2410.3101.4(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求 卜關(guān)于J的回歸方程;(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn) ，與4,)的關(guān)系為7 =、2/-息才若想在2019年達(dá)到年利潤(rùn)最大，請(qǐng)預(yù)測(cè)2019年的宣傳費(fèi)用是多少萬(wàn)元?附

25、：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(叫叫)，*%),其回歸直線(xiàn)著=/?，匕+。中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為1-1r=iit = vp u【答案】(1) 丁=0.、&(2)當(dāng)2020年的宣傳費(fèi)用為98萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)有最大值.【解析】【分析】(1)轉(zhuǎn)化方程y = a.xJI,結(jié)合線(xiàn)性回歸方程參數(shù)計(jì)算公式，計(jì)算，即可。(2)將z函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，計(jì)算最值，即可。【詳解】(1)對(duì)|y三it 3>O, b>0),兩邊取對(duì)數(shù)得 Iny = Ina + blnxW，= Inx； V； ? 24,6由題目中的數(shù)據(jù)，計(jì)算 = = 4,1 u18.3- = 3.0562(%卬=£(國(guó)囪坊戶(hù)7羽i

26、 =1i =二 yflnjr,)2 = 101.4£ 占則Z"； 6，# 1=175,3 - 6 x 41 3,05101.4-6x4.10.27 _ 1(154-2得出力二所以J關(guān)于上的回歸方程是產(chǎn)(2)由題意知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z的預(yù)測(cè)值為* = e 必_R "14必)=-(行-7畫(huà)必，所以當(dāng)行 二7、即！=麗時(shí),，取得最大值,即當(dāng)2020年的年宣傳費(fèi)用是19H萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)有最大值.【點(diǎn)睛】考查了線(xiàn)性回歸方程求解，考查了二次函數(shù)計(jì)算最值問(wèn)題，關(guān)鍵結(jié)合題意，得到回歸方程，第二問(wèn)關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，難度中等。20.如圖，已知圓F1的方程為"+1)2+

27、必=/，圓&的方程為(靠-1產(chǎn)+ /=；,若動(dòng)圓M與圓 F：內(nèi)切，與圓心外切.(I )求動(dòng)圓圓心 闞的軌跡。的方程；(n )過(guò)直線(xiàn)，=2上的點(diǎn)Q作圓0.x2 +/=2的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別是 M ,若直線(xiàn)MN與 軌跡C交于白，,兩點(diǎn)，求|£P|的最小值.【答案】(1) L + / = i (2) /【解析】【分析】(I)設(shè)動(dòng)圓的的半徑為一由題動(dòng)圓M與圓片內(nèi)切，與圓七外切，則|MF；| +固產(chǎn)？ = 2衣:> IFF=2 ,由此即可得到動(dòng)圓圓心 M的軌跡是以FjF工為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為?國(guó)的橢圓，進(jìn)而得到動(dòng)圓圓心 M的軌跡。的方程；(n)設(shè)直線(xiàn),二2上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(2，

28、)，切點(diǎn)坐標(biāo)分別是口23),(丁主義)；則經(jīng)過(guò)凹點(diǎn)的切線(xiàn)斜方程是 ,好+ 了4 = 2,同理經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)方程是 2 + 3 = 2, 又兩條切線(xiàn)MQ, ZVQ相交于Q (2rt).可得經(jīng)過(guò)MJV兩點(diǎn)的直線(xiàn)I的方程是Zty = 2,對(duì)1t分類(lèi)討 論分別求出EF的值，即可得到|EF|的最小值.【詳解】（I）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為，;動(dòng)圓用與圓Fl內(nèi)切，與圓心外切,7隹 口在 工曰MF = -J-,且網(wǎng)&| 二彳+ J".于TE,所以動(dòng)圓圓心 面的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2眼的橢圓.從而，”二鹿1二1 , 所以b = 1.故動(dòng)圓圓心m的軌跡q的方程為；_ + / = 】.（n）設(shè)直線(xiàn)卜

29、=2上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2上），切點(diǎn),M.N坐標(biāo)分別是（與歲3），則經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)斜率k =方程是心工+ ¥才=2 , 四經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)方程是 qr + y4y = 2,又兩條切線(xiàn)MQ , NQ相交于Q （2»則有 自:夠二;，所以經(jīng)過(guò)的亦兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程是2x+ty = 2,則|即二隹;當(dāng) £二0時(shí)，有|N（L-1）, £口斗，F(xiàn)（】，-+ ty= 2當(dāng)上于0時(shí)，聯(lián)立,整理得(1 +助- 13+ 8-2d=0;x2 2+ ,一 二1216設(shè)技坐標(biāo)分別為仍,（工通）,則I2 +8 8-2tz 號(hào)/二 t r + fl?L2 7 I5 2國(guó)1 + 4)所

30、以 | = Jl+t-)2' 限 +2=一.+ 8 二 綜上所述，當(dāng)f = 0時(shí)，|EF|有最小值虛.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡的求法，考查直線(xiàn)與圓、橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題如已知函數(shù)加工）=Hr?上，/（比）=x3+/ + ".（1）若fa_.在區(qū)間L2上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) b的范圍；（2）若對(duì)任意JTEL“，都有加的之一？ + 3+2及恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；（3）當(dāng)b = 0時(shí)，設(shè)卜。）=。就nJ ,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)d,曲線(xiàn)¥ =尸上是否存在兩 點(diǎn)凡Q,使得liPQQ是以。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，而且此三角形斜邊中點(diǎn) 在'軸上？請(qǐng)

31、說(shuō)明理由【答案】（1） -16<6<-5； （2） Q <-1; （3）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間。上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為/（幻工0（或門(mén)：工區(qū)。）恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=是否可以取到，若不是單調(diào)函數(shù)，則不恒成立；（2）含參數(shù)不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來(lái)處理，一般后者比較簡(jiǎn)單，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1 ） 口之恒成立=口之/= ， （ 2 ）。王/（工）恒成立Q日E/（X）亡.（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問(wèn)題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第

32、二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn) 試題解析：解：（1）由 /（x） = JT +i.x得 八工1三共工+2,2 ,因人工I在區(qū)間10上不上單調(diào)函數(shù)所以fix）=3/42, +占在1閔上最大值大于0,最小值小于0廣Y1，'（川=3/+ 2=+5 三號(hào) x+ +b-I 3；3/'（工乙= 16+占.,.*=5+匕由 g（x） > -x3 + （3 +2, 得 I m - lii xj）dr < x2 2-xe Le:/.ln x<<x ,且等號(hào)不能同時(shí)取，.In x

33、<x ,即 m-1uk>0二4工三上恒成立，即a<-x-liix屋/ 1 x* 2x /】、 if x lx11（x+ 2 2Inx令 = .（> e LeT）,求導(dǎo)得 七（工1二;jc-hi xWin幻當(dāng)彳曰Lw時(shí)，x-1 >0=0<ln x<Lx4-2-21n .x>0 ,從而/（#）之。二1rf封在L 上是增函數(shù)，工（x） = r（l） = -l£1 三1（、 -XT 4k < 1由條件，F(xiàn)LrJn口In xtx>l假設(shè)曲線(xiàn)J'二FIhJ上存在兩點(diǎn)滿(mǎn)足題意，則EQ只能在工軸兩側(cè)不妨設(shè)尸匕尸(I)()01，則+廣

34、)，且riSPOQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，r.OP.OdO/.-r+F(r')|f3+f' 1 = 0(, 是否存在中,0等價(jià)于方程(*)在/。且才手1是否有解當(dāng)0工工1時(shí)，方程1"1為二一J +(_/ +JJ 1=0，化簡(jiǎn)建一 J +1 =。,此方程無(wú)解；當(dāng) 1時(shí)，方程(*)為-J + 4!n r|F + J I=0 ,即1=(e + 1舊r設(shè) ， = +l)ln tit 1),則 /(。= In r + - + 1 t顯然，當(dāng)±i時(shí)，*()。，即方M在5+工上為增函數(shù)二的值域?yàn)?例1廿幻，即(0,+工：1,二當(dāng)白二o時(shí)，方程1*)總有解二對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù) / 曲線(xiàn)y =網(wǎng)不上是否存在兩點(diǎn) R0 ,使得8P0Q是以。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形，而且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍；2、恒成立的問(wèn)題；3、探究性問(wèn)題請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清 題號(hào)。22.在直角坐標(biāo)系中，圓G：/ + /=1經(jīng)過(guò)伸縮變換二篇 后得到曲線(xiàn)G.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極 點(diǎn)，T軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn) t的極坐 標(biāo)方程為 p(2co