湖北省華中師大一附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

湖北省華中師大一附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿足條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若，則（）A．2 B．4 C． D．83．下列命題中，假命題是（）A．不是有理數(shù) B．C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．等腰三角形不可能有的角4．甲、乙兩名同學(xué)參加2018年高考，根據(jù)高三年級(jí)一年來(lái)的各種大、中、小型數(shù)學(xué)模擬考試總結(jié)出來(lái)的數(shù)據(jù)顯示，甲、乙兩人能考140分以上的概率分別為和，甲、乙兩人是否考140分以上相互獨(dú)立，則預(yù)估這兩個(gè)人在2018年高考中恰有一人數(shù)學(xué)考140分以上的概率為()A． B． C． D．5．在高校自主招生中，某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額，其中清華大學(xué)2名，北京大學(xué)2名，浙江大學(xué)1名，并且清華大學(xué)和北京大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有（）A．36種 B．24種 C．22種 D．20種6．學(xué)校組織同學(xué)參加社會(huì)調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)?，F(xiàn)從該小組中選出3位同學(xué)分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同安排方法有（）A．70種 B．140種 C．420種 D．840種7．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．8．用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是（）A．至少有兩個(gè)解 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至多有一個(gè)解9．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對(duì)任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_14．已知非零向量滿足，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.15．用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)是_____人.16．集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最值.18．（12分）已知19．（12分）已知，是正數(shù)，求證：.20．（12分）某種設(shè)備隨著使用年限的增加，每年的維護(hù)費(fèi)相應(yīng)增加.現(xiàn)對(duì)一批該設(shè)備進(jìn)行調(diào)查，得到這批設(shè)備自購(gòu)入使用之日起，前五年平均每臺(tái)設(shè)備每年的維護(hù)費(fèi)用大致如下表：年份(年)12345維護(hù)費(fèi)(萬(wàn)元)1.11.51.82.22.4（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）若該設(shè)備的價(jià)格是每臺(tái)5萬(wàn)元，甲認(rèn)為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備，而乙則認(rèn)為應(yīng)該使用滿十年換一次設(shè)備，你認(rèn)為甲和乙誰(shuí)更有道理？并說(shuō)明理由.(參考公式：.)21．（12分）我市物價(jià)監(jiān)督部門(mén)為調(diào)研某公司新開(kāi)發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價(jià)格的合理性，對(duì)該公司的產(chǎn)品的銷售與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：定價(jià)（元/）102030405060年銷售11506434242621658614.112.912.111.110.28.9圖（1）為散點(diǎn)圖，圖（2）為散點(diǎn)圖.（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，與哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性（不必證明）；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果和參考數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字）；（Ⅲ）定價(jià)為多少時(shí)，年銷售額的預(yù)報(bào)值最大？（注：年銷售額定價(jià)年銷售）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：，.22．（10分）若存在常數(shù)（），使得對(duì)定義域內(nèi)的任意，（），都有成立，則稱函數(shù)在其定義域上是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行平移，結(jié)合圖象得到的取值范圍.【題目詳解】解：由得，作出實(shí)數(shù)，滿足條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如下圖所示：平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，值最小.由，解得，，由，解得，..故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.3、D【解題分析】

根據(jù)命題真假的定義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判定即可．【題目詳解】解：.為無(wú)理數(shù)，故正確，．，故正確，．因?yàn)?，即方程沒(méi)有實(shí)根，故正確，．等腰三角形可能以為頂角，為底角，故錯(cuò)誤，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】分析：根據(jù)互斥事件概率加法公式以及獨(dú)立事件概率乘積公式求概率.詳解：因?yàn)檫@兩個(gè)人在2018年高考中恰有一人數(shù)學(xué)考140分以上的概率為甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率與乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率的和，而甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率為，乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率為，因此，所求概率為，選A.點(diǎn)睛：本題考查互斥事件概率加法公式以及獨(dú)立事件概率乘積公式，考查基本求解能力.5、B【解題分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、第一類三個(gè)男生每個(gè)大學(xué)各推薦一人，兩名女生分別推薦北京大學(xué)和清華大學(xué)，共有=12種推薦方法；②、將三個(gè)男生分成兩組分別推薦北京大學(xué)和清華大學(xué)，其余2個(gè)女生從剩下的2個(gè)大學(xué)中選，共有=12種推薦方法；故共有12+12=24種推薦方法，故選B．6、C【解題分析】

將情況分為2男1女和2女1男兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】2男1女時(shí)：C52女1男時(shí)：C共有420種不同的安排方法故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的應(yīng)用，將情況分為2男1女和2女1男兩種情況是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)可能都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，所以。而，所以，故選B8、C【解題分析】分析：把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，即為所求．詳解：由于用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

命題：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)解”的否定是：“至少有三個(gè)解”，

故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查用命題的否定，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．9、A【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【題目詳解】，，令，由于，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．10、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對(duì)稱性的運(yùn)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．11、C【解題分析】分析：首先通過(guò)題中的條件，得到棱錐的三組對(duì)棱相等，從而利用補(bǔ)體，得到相應(yīng)的長(zhǎng)方體，列式求得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，從而求得外接球的半徑，利用球體的表面積公式求得結(jié)果.詳解：對(duì)棱相等的三棱錐可以補(bǔ)為長(zhǎng)方體（各個(gè)對(duì)面的面對(duì)角線），設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是，則有，三個(gè)式子相加整理可得，所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以其外接球的半徑，所以其外接球的表面積，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的體積問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意根據(jù)題中所給的三棱錐的特征，三組對(duì)棱相等，從而將其補(bǔ)體為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是該長(zhǎng)方體的對(duì)角線，利用相應(yīng)的公式求得結(jié)果.12、C【解題分析】

對(duì)a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，利用“一畫(huà)、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由已知，根據(jù)垂直向量的關(guān)系和向量的數(shù)量積公式，建立關(guān)于的方程，即可求解.【題目詳解】由，又由，得.，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直、向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15、900【解題分析】

計(jì)算可得樣本中高二年級(jí)人數(shù)，從而可計(jì)算得到抽樣比，從而可求得學(xué)生總數(shù).【題目詳解】由題意可知，高二年級(jí)抽?。喝顺闃颖葹椋涸撔W(xué)生總數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確每層在樣本中占比與該層在總體中的占比相同.16、【解題分析】

根據(jù)并集運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【題目詳解】集合，若則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），或；（2），.【解題分析】

（1）由直線與二次函數(shù)相切，可由直線方程與二次函數(shù)關(guān)系式組成的方程組只有一個(gè)解，然后由判別式等于零可求出的值，再設(shè)出直線與函數(shù)圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值等于切線的斜率可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出的值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)為零，求出極值點(diǎn)，然后比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值大小，可求出函數(shù)的最值.【題目詳解】（1）聯(lián)立可得，，設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，則，或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或（2）由（1），，令則或；令則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，，，【題目點(diǎn)撥】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.18、【解題分析】

把z1、z2代入關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可【題目詳解】，【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)，則，.19、見(jiàn)證明【解題分析】

運(yùn)用基本不等式即可證明【題目詳解】證明：因?yàn)椋钦龜?shù)，所以.所以.即.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式，較為簡(jiǎn)單，注意需要滿足“一正二定三相等”的條件20、（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）先算出，再由公式分別算，和線性回歸方程。（Ⅱ）分別算出五年與十年的每臺(tái)設(shè)備的平均費(fèi)用，費(fèi)用越小越好。【題目詳解】(1)，所以回歸方程為.（Ⅱ）若滿五年換一次設(shè)備，則由（Ⅰ）知每年每臺(tái)設(shè)備的平均費(fèi)用為：（萬(wàn)元），若滿十年換一次設(shè)備，則由（Ⅰ）知每年每臺(tái)設(shè)備的平均費(fèi)用大概為：（萬(wàn)元），因?yàn)?，所以甲更有道理．【題目點(diǎn)撥】求線性回歸直線方程的步驟（1）用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求系數(shù)：公式有兩種形式，即。當(dāng)數(shù)據(jù)較復(fù)雜時(shí)，題目一般會(huì)給出部分中間結(jié)果，觀察這些中間結(jié)果來(lái)確定選用公式的哪種形式求；（3）求：.；（4）寫(xiě)出回歸直線方程．21、(Ⅰ)答案見(jiàn)解析；(Ⅱ)答案見(jiàn)解析；(Ⅲ)定價(jià)為20元/時(shí)，年銷售額的預(yù)報(bào)值最大.【解題分析】分析：（Ⅰ）由于圖（2）的點(diǎn)更集中在一條直線附近，所以與具有的線性相關(guān)性較強(qiáng).（Ⅱ）利用最小二乘法求關(guān)于的回歸方程為.（Ⅲ）先得到，，再利用導(dǎo)數(shù)求定價(jià)