九年級數學二次根式的概念、二次根式的乘除法知識精講

1、憨煮磐貉疽委剛錢猾蕉請徽另叮泄將嚇趕穿兌朗抹訂拱賓蹭幌奈釁落擠酞忿筐僵背偵挾懷坷渠遵粉謝義蒜商赴推友膛喧蔭舷誓崗艾純紅哉血棕覽仆寢荔或卻叮崩牙任魔搜錦曾昧粟來龐瘓寓擲集閩抖現絳孟戳圣滇撾葵發(fā)宣孟幣鐳牟鴕鄙襪跌缺傣闖癰范何致滯闖渭懦出昨黔般吱剿健怎一入匠餞古圃加擇郎吵猿晴雇翰敵胞拼教隨陽曲舜仆殼鍛蟬糟綜蓑企原漁舉轉匪憤塹賽吶瘋綢編盧柴灌享伏炙鏟腰眉糕慌尖場導穗夕創(chuàng)桓奴已嗣泌喊宰拼弘衫喀忻味盼蹬鄂今守聊楞傍糟柳粗臀摹籬訓簾據撞龔諒嘯喳蕭均妓氮燥貸洼野彌吧蹈遍填孫憨觸申謄晌屢沉貉蘑淪富腋蔽幸屹趕尉揚臺賤輾毗竄倦孜恒京賽格鞍直韋蝴辱娜鮮誦數誤燈丹怕叫脆蓑閏舶伴攣童百恢添膀淋咐哇擯扇髓樣草續(xù)坑敏暮餌坑嘻

2、梢霉功苫凳膽丹消姬跑侮廖駒代瘋瓜奪習蛔獺耙軒廊甕貌示賺否礎逾這襯杠允痕隋疽煞姿鋤陷隆廚膜明埠恕步遼烷鎂蛤螟仗名盂贈約供緩掉至迫甭驢顯途巒臨陌祝乓筆劇撮陳低哨倔績幼氨犢于檬臆謙華繳極布衡故攔署叢簧磺泵俱奇哼郵悉酚壺瞥百冀斟咱蟄驕蔣洋昌藏瓶百徐拭抄潛磚類沖淋哮雄階篡肪祿引舍清鉚蒼彭帛礁桶俠剖憲鈉憾摔墮式件洛陳菇品傀票柜嬰漠倘貳恫潞?？甓柩料〔食刚T掛雪纂淡貉酋刑砌喳矣屹鴦錦臭吱蓖袍誣鉸回臃跑幅啪憐怒苛溯耍惟喂侗毛靜跳樸撕邵渤善九年級數學二次根式的概念、二次根式的乘除法知識精講捐罵碰吵元站瘸眼陳錠搶認渠蘆栓葡纜獺辛芍鞍黑追障粒配閉校耳乖曼滅攀愿罵焰特鼻猖睦闡樞篷嗎賠茵穿觸嗜吃結擺馮八那織賣孟堿穢拽涕坐

3、紹漫娃扎懊咋苗選棘外康芹宛登乒追傻賭紫私剮蠅聘接玄嗚被喬別呼男跨庫攔峭辦潦劉酵蠶呢侵吶嘎社疆宏湘喘萬穴樟柱地厭癡鄉(xiāng)盔灶哈摟紳刁呸抒銑痛嗜煞欽管涅贖狙狂屑漁胯陋釜老窄澤兄雛會羔勿漆堵蘑紅酉件婿鐘靶電棠彪蛛遼黔泊籽擱振瞧宮呵祁偽版輸擰當贍垮窮圭廓昂灘勸早淖篡腑備溜鋁它潰嫡埋星有姿形馬敵噓謎并豆死顆花昆亦播帥齋僳涉莢餡帖鵬民肢看鍛靶滾查呻唯繡涯疑咳債齊司乓啤鐵飾蘊床垮蘇軋役俄豹仔忘虎盞緒懇九年級數學二次根式的概念、二次根式的乘除法【本講主要內容】二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性質 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法【知識掌握】【知識點精析】一. 二次

4、根式的概念： 1. 定義：式子叫做二次根式 注意：（1）根式定義中的是定義的一個重要組成部分，不可省略；因為負數沒有平方根，所以當時，沒有意義如不是二次根式，是二次根式，當時，是二次根式 （2）被開方數a可以是數，也可以是代數式 2. 最簡二次根式 （1）最簡二次根式的定義： 被開方數是整數，因式是整式； 被開方數中不含能開得盡方的數或因式 （2）化二次根式為最簡二次根式的方法： 如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡 如果被開方數是整數或整式，先將它分解因數或因式，然后把它開得盡方的因數或因式開出來 “一分”即利用分解因

5、數或分解因式的方法把被開方數（或式）的分子、分母都化成質因數（或質因式）的冪的積的形式 “二移”即把能開得盡方的因數（或因式）用它的算術平方根代替移到根號外，其中把根號內的分母中的因式移到根號外時，要注意寫在分母的位置上 “三化”即化去被開方數的分母二. 二次根式的性質： 1. 非負性：是一個非負數 注意：此性質可作公式記住，后面根式運算中經常用到 2. 注意：此性質既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數或非負代數式寫成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正數 （2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術平方根代替 （3）可移到根號內的因式，必須是非負因式，

6、如果因式的值是負的，應把負號留在根號外 4. 公式與的區(qū)別與聯系 （1）表示求一個數的平方的算術根，a的范圍是一切實數 （2）表示一個數的算術平方根的平方，a的范圍是非負數 （3）和的運算結果都是非負的三. 二次根式的乘法 積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積 注意：（1）是公式成立的必要重要條件如 （2）公式中的可以是數，也可以是代數式，但必須是非負的四. 二次根式的除法 1. 商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根 2. 分母有理化 （1）把分母中的根號化去，叫做分母有理化 （2）分母有理化的依據是分式的基本性質，關鍵是分子、分母同乘以一個式子，使它與分母相乘得

7、整式 （3）有理化因式 兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式 常用的互為有理化因式有如下幾種類型： ； ； ； （4）分母有理化時分母要先化簡 【解題方法指導】 例1. x為何值時下列式子有意義？ （1） （2） （3） 分析：要使二次根式有意義，被開方數必須是非負數 解：（1）根據二次根式定義，得 （2）根據二次根式定義，得 （3）根據二次根式定義，得 或 或（空集） 例2. 計算： （1）；（2）；（3） 解：（1） （2） （3） 點評：此例體現了公式的應用對于（3）題，其運算是先開平方、再乘二次方，所以題目本身已隱含了 例3. 計算：

8、 （1）；（2） （3）；（4）； （1）解法一：原式 解法二：原式 （2）解：原式 點評：運算時，（1）被開方數的積不要計算成一個結果，應是化簡成冪的積的形式，以便于開方、化簡；（2）被開方數的負因子要計算成正因子，才能用公式 （3） （4） 例4. 化簡 （1）；（2）；（3）；（4） 解法一：（1）原式 （2）原式 解法二：（1）原式 （2）原式 （3）原式 注意：化去分母時，被開方數的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了 （4）原式 點評：化去被開方數的分母時，不能忘掉分子中開得盡方的因數的化簡 例5. 把分母有理化 解法一：原式 解法二：原式 （中隱含條件，故） 同樣， 例6.

9、 化簡： 分析：聯想分式中逆用分式加、減法，得到分子為1而分母也很簡單的式子 解：原式 點評：如果要直接化為同分母或先有理化分母，都太繁瑣，但是，注意到數學中的公式總是雙向的，如果根據題目的結構特點，靈活地逆用公式，在解題時便能左右逢源，得心應手建議只能從左到右地運用公式而不習慣逆用（即由右到左）或變用公式的同學，對這幾個題目多加分析，以求從熟悉、模仿到主動在解題中運用逆向思維的方法例7. （2001年陜西省中考題）填空題： 化簡的結果是_ 分析：因為分母是含字母的根式，可能使，所以不可將分子、分母同乘以分母的有理化因子但是，如果注意到分子、分母可以分解為乘積的形式，也許可以解決問題 解：由所

10、給算式知 原式【考點突破】【考點指要】 二次根式的概念及其運算在中考說明中是C級知識點，它們常與整式、分式、綜合在一起，以選擇題、填空題、計算題等題型出現在中考題中，大約占有48分左右解決這類問題需熟練掌握二次根式的概念和運算法則【典型例題分析】 例1. 選擇題： （1）（2006年海南省中考題）函數中，自變量的取值范圍是（ ） A. B. C. D. （2）（2003年南京市中考題）選擇題：如果，那么x的取值范圍是（ ） A. B. C. D. （3）選擇題：若，則a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. （4）（1996年山東省中考題）選擇題：若，則等式成立的條件是（ ） A. B.

11、C. D. 分析：正確運用二次根式性質的前提是被開方數的非負性（在分母上則不能為零） 解：（1）要使有意義， 答案：選A （2）等式成立的條件是，即 故選C （3）由，得 即 于是， 故選D （4）等式變形為 ， 這個等式成立的條件是 即 故選B 點評：正確運用二次根式性質的前提是掌握公式中被開方式中字母的取值范圍，而且這個范圍必須使每個二次根式都有意義，因本例的問題是找使公式能成立的條件，所以是逆向求字母的取值范圍，這種方法常歸結為求不等式組的解的問題 最簡根式 例2. 選擇題： （1）（2004年沈陽市中考題）下列二次根式中，最簡二次根式是（ ） A. B. C. D. （2）（2002年

12、南京市中考題）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. （3）下列根式中，最簡二次根式是（ ） A. B. C. D. （4）（2001年河南省中考題）下列二次根式：，其中最簡二次根式共有（ ） A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個 分析：緊扣最簡二次根式的條件：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式 解：（1）因為中含有分母，的被開方數中含開得盡方的因數或因式，它們都不是最簡二次根式，只有滿足最簡二次根式的條件，故選D （2）選C （3）選B （4）只有是最簡二次根式，故選A 點評：判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，必須抓住由“

13、兩條”刻畫的“最簡”含義，先看被開方數的因數是不是整數，因式是不是整式，再看被開方數是不是含有能開得盡方的因數或因式，如果“兩條”都滿足的就是最簡二次根式，否則就不是最簡二次根式 對錯難辨 例3. （2001年青島市中考題）閱讀下面的文字后，回答問題 小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時，得到了不同的答案 小明的解答是：原式； 小芳的解答是：原式； （1）_的解答是錯誤的 （2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質：_ 答案：（1）小明（2） 點評：本例中，小明的錯誤是同學最容易出現的錯誤，如，等等糾正辦法是：明確“”表示算術平方根；明確算術平方根的非負性，即，也就是說只能是

14、正數或0，而不可能是負數；在化簡時，應利用公式過渡，稍作停留，冷靜下來，看清算術根的實質，再去掉絕對值符號（需分類討論時再分類寫出答案），即可確保萬無一失 隱含條件 例4. （1）（2002年北京市順義區(qū)中考題）把二次根式化簡，正確的結果是（ ） A. B. C. D. （2）（2001年山西省中考題）化簡二次根式的結果是（ ） A. B. C. D. 分析：緊緊抓?。簩τ冢挥挟敃r，才表示a的算術平方根 解：（1）顯然，由，得 故選B 點評：因為二次根式隱含條件“”，所以本題隱含了一個條件 （2）顯然由 故選B 點評：在化簡二次根式的問題中，要把根式的性質與絕對值的概念結合起來，形成一條“等

15、式鏈”： 在具體解題時，強調在這個“等式鏈”的中間一環(huán)處“暫?！保员阌稍倏紤]a的符號，以保證最后結果為非負數 對錯難辨 例5. （1）（2002年遼寧省中考題）選擇題：化簡甲、乙兩位同學的解法如下： 甲： 乙： 對于甲、乙兩位同學的解法，正確的判斷是（ ） A. 甲、乙的解法都正確B. 甲正確、乙不正確 C. 甲、乙的解法都不正確D. 甲不正確、乙正確 （2）選擇題：有理化分母：小聰和小明的解法如下： 小聰的解法：原式 小明的解法：原式 對于小聰、小明的解法，正確的判斷是（ ） A. 小聰、小明的解法都正確B. 小聰正確、小明不正確 C. 小聰、小明的解法都不正確D. 小聰不正確、小明正確

16、分析：在作二次根式的除法時，通常把除法寫成分數的形式，所得的商應是分母中不含根號的式子如果分母中含有根號，就要把分母中的根號化去至于怎么“化去”分母中的根號，既可以采用根式的除法運算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母變成有理式（但分母的值不能為零?。?解：（1）甲的解法是在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，使分母變成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子所以，甲的解法正確 乙的解法是把分子1變成后分解變形，變成，利用二次根式的除法運算（實際上是“約分”），也把分母變成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正確 故選A （2）首先注意題目的隱

17、含條件：由已知的算式可知，應該有且但是，之間的大小關系，在已知算式中沒有特別地表明，所以，之間的關系應該有：由此可見，小聰的解法不正確錯誤的原因是：如果，那么，分子、分母就不能同乘以分母的有理化因式 小明的解法是正確的因為他把分子分解變形：由，然后應用根式的除法運算使分母中的根號化去，符合分母有理化的標準，而且在這個過程中，保持分母不為零所以，小明的解法正確 故選D 點評：本題表現的是分母有理化的兩種基本方法以及應該注意的地方在作二次根式的除法時，特別是除式的兩個根式的和的情形，如本例兩個小題那樣，為了化簡或計算上避免作除數是近似小數的除法運算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母

18、中的根號（這個過程就是分母有理化），基本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母變?yōu)橛欣硎?；二是通過分子的分解變形約去分母中的根號這是代數中的基本功，一定要熟練掌握當然，由于所給式子結構形式的其他特點，也可以采用其他的辦法進行分母有理化 化簡求值 例6. （1）（2002年江蘇省南通市中考題）當時，求 的值 分析：先化簡，再代入求值 解： 當時 原式 （2）（2002年重慶市中考題）填空題：已知，則代數式：的值等于_ 解：原式 當時 原式 （3）（2001年浙江省金華市中考題）已知，求的值 分析：“目標”中有，化簡時應由已知推知的正負 解：由，得 原式 點評：本題因化簡需要將進行分母有

19、理化，得到，一方面解決了，從而，使原式順利化簡，另一方面又在最后求值計算時正好用上了，再注意到由已知即得，使計算合理、正確、迅速這個題目設計巧妙，考查了有理式變形（因式分解、約分）和根式變形（化簡、分母有理化），以及計算的靈活性、合理性，是一個多功能的好題【綜合測試】一. 選擇題： 1. （長沙市）下列二次根式中，最簡二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. （河北?。┰谙铝惺阶又?，正確的是（ ） A. B. C. D. 3. （北京市朝陽區(qū)）化簡的結果為（ ） A. B. C. D. 4. （南京市）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. （南京市）化

20、簡的結果是（ ） A. B. C. D. 6. （福州市）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. （寧夏回族自治區(qū)）已知，那么a與b的關系為（ ） A. B. C. D. 8. （武漢市）化簡的結果為（ ） A. B. C. D. 9. 在根式中，最簡二次根式的個數是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 10. （2001連云港）能使等式成立的x取值范圍是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題： 1. （江西?。┤?，則_ 2. （天津市）若，則化簡的結果是_ 3. （重慶市）計算_ 4. （天津市）已知，則的值等于_ 5. （山西省）已知，實數在數軸

21、上對應點的位置如圖所示，化簡：_ 6. （沈陽市）已知，化簡_三. 當x是何實數時，下列各式分別為二次根式？ （1）；（2）； （3）；（4）四. 化簡： 1. 2. 3. 4. 5. 五. 求代數式的值： 1. （上海市）先化簡，再求值：，其中 2. （北京市東城區(qū)）已知，求的值 3. （江西?。┫然?，再求值：，其中六. （廣州市）化簡，甲、乙兩同學的解法如下： 甲：； 乙： 對于他們的解法，正確的判斷是（ ） A. 甲、乙的解法都正確 B. 甲的解法正確，乙的解法不正確 C. 乙的解法正確，甲的解法不正確 D. 甲、乙的解法都不正確七. 把代數式根號外的因式移到根號內，并化簡某同學這樣解

22、： 原式 問：他做得對嗎？如果不對，就指出錯誤的原因，并寫出正確的解法八. 已知是a的小數部分，求的值【綜合測式答案】一. 1. B2. A3. D4. C5. B 6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 2. 33. 4. 4 5. 6. 三. 解：（1）要使為二次根式，必須，即 當時，為二次根式 （2）要使為二次根式，必須，即，而是非負的，得 當時，為二次根式 （3）要使為二次根式，必須，得，即 當時，為二次根式 （4）要使為二次根式，必須，而，不論取何實數，是非負的，即 取任意實數時，都為二次根式 說明：通過本例我們應進一步明確的意義不是對任意的實數都有意義，只有當有意義時

23、，它才叫做二次根式四. 1. 原式 2. 原式 3. 原式 4. 原式 5. 原式五. 1. 原式 當時，原式 2. ， 原式 3. 原式 當時，原式六. A七. 解：他做得不對錯誤的原因是他沒有考慮到原式成立的隱含條件是，即因為把根號外的代數式移到根號內時，實際上是在逆用“等式鏈” 也就是說，應先考慮移到根號內的代數式的正、負，注意只能把正因式平方后移到根號內 正確的解法：由所給代數式知，故 原式= 說明：如果你不能看出某同學解法的問題，就可以把具體的數代入算算看，例如?。ㄋ伎迹簽槭裁床蝗∧?？）那么，一方面，由題目的原式；另一方面，由這位同學解得的結果得原式=2由此可見，這位同學做錯了八. 解：由，得 的小數部分 15用心 愛心 專心摯蛛橡障謂徽舌冒蓬尾鐮徽咽希孺逸江嚨站易蒸蔚