兩平面垂直的判定和性質(zhì)練習題及答案

1、典型例題一例1.根據(jù)敘述作圖，指出二面角的平面角并證明.(1)如圖1,已知acP=l,Awl.在口內(nèi)作PA_Ll于A,在P內(nèi)作QA_Ll于A.(2)如圖2,已知acP=l,AWa,Al.作AP_LP于P,在a內(nèi)作AQ_Ll于(3)已知acP=l,A宓%A宓P.作AP_La于P,AQ_LP于Q,lc平面PAQ=H，連結(jié)PH、作圖與證明在此省略.說明：本題介紹了作二面角的平面角的三種常用方法,法最常用，還需補充這種方法的其他典型圖形.典型例題二例2.如圖，在立體圖形DABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點，則下列命題中正確其中用三垂線定理及逆定理的方的是().(A)平面ABC，平面AB

2、D(B)平面ABD，平面BDC(C)平面ABC，平面BDE,且平面ADC，平面BDE(D)平面ABC，平面ADC,且平面ADC，平面BDE分析：要判斷兩個平面的垂直關(guān)系，就需固定其中一個平面，找另一個平面內(nèi)的一條直線與第一個平面垂直.解： 因為AB=CB,且E是AC的中點， 所以BE_LAC,同理有DE_LAC,于是AC_L平面BDE.因為仁CA平面ABC,所以平面ABC_L平面BDE.又由于ACu平面ACD，所以平面ACD_L平面BDE.所以選 C.說明：本題意圖是訓練學生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)低級位置關(guān)系以便得到高級位置關(guān)系.在某一個平面內(nèi)，得到線線垂直的重要途徑是出現(xiàn)等腰三角形底邊的中線，由線線

3、垂直得到線面垂直，由線面垂直可得到面面垂直.典型例題三例3.如圖，P是AABC所在平面外的一點，且PA_L平面ABC,平面PAC_L平面PBC.求證BC_LAC.分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直.證明：在平面PAC內(nèi)作AD_LPC,交PC于D.因為平面PAC.L平面PBC于PC,ADu 平面PAC，且AD_LPC,所以AD_L平面PBC,又因為BCu平面PBC,于是有AD1BC.另外PA_L平面ABC,BC仁平面ABC，所以PA_LBC.由及ADPA=A,可知BC_L平面PAC,因為A

4、Cu 平面PAC，所以BC_LAC.說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直二線面垂直二線線垂直.典型例題四例4.如圖，AB是。O的直徑，PA垂直于。O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC，平面PBC.分析：證明面面垂直的有兩個依據(jù)，一是證明二面角的平面角為直角，二是利用兩個平面垂直的判定定理.由于C點的任意性，用方法一的可能性不大，所以要尋求線面垂直.證明：因為AB是。O的直徑，C是圓周上的點，所以有BC_LAC.因為PA_L平面ABC,BCu 平面ABC，則PA_LBC.由及AC口PA=A，得BC_L平面PAC.因為B

5、Cc平面PBC,有平面PAC1平面PBC.說明：低一級的垂直關(guān)系是判定高一級垂直關(guān)系的依據(jù)，根據(jù)條件，由線線垂直二線面垂直=面面垂直.通過這個例題展示了空間直線與平面的位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系， 垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)共同構(gòu)成了一個完整的知識體系.典型例題五例5.如圖，點A在銳二面角a-MNP的棱MN上，在面ct內(nèi)引射線AP,使AP與MN所成的角/PAM為45：與面P所成的角大小為30求二面角a-MN-P的大小.分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解.解：在射線AP上取一點B,作BH_LP于H,連結(jié)AH,則/BAH為射線AP

6、與平面P所成的角，/BAH=30再作BQ_LMN，交MN于Q,連結(jié)HQ，則HQ為BQ在平面P內(nèi)的射影.由三垂線定理的逆定理，HQ1MN,二NBQH為二面角a-MNP的平面角.設(shè)BQ=a,在RtABAQ中，/BQA=90：/BAM=45：,AB=“Ma,在RtBHQ中,-2-.BHQ=90,BQ=a,BH=a,sin.BQH2:/BQH是銳角，,/BQH=45二,即二面角a-MNP等于451說明：本題綜合性較強，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義添加適當?shù)妮o助線.典型例題六例6.如圖

7、，將邊長為a的正三角形ABC以它的高AD為折痕折成一個二面角CADC.(1)指出這個二面角的面、棱、平面角；(2)若二面角CADC是直二面角，求CC的長；(3)求AC與平面CCD所成的角；(4)若二面角CADC的平面角為120:求二面角ACCD的平面角的正切值.分析：根據(jù)問題及圖形依次解決.解：(1):AD_LBC,，AD_LDC,AD_LDC二面角C一ADC的面為ADC和面ADC,棱為AD,二面角的平面角為NCDC.(2)若/CDC=901丁AC=a，,DC=DC=a,.CC,=-a.222BH_2a_2BQ一a一2(3):AD_LDC；ADDC,：.AD_L平面DCC，二NACD為AC與平

8、面1CCD所成的角.在直角三角形ADC中，DC=DC=AC1.2DAC=30，于是2/ACD=601(4)取CC的中點E,連結(jié)AE、DE,丫DC=DC,AC=AC,二AE_LCC；DE_LCC,ZAED為二面角A-CC-D的平面角.11.CDC=120,CD-CDa,.DE=a,24旦在直角三角形AED中，AD=、a,，tan/AED=殷=N=2J3.2DE1-a4說明：這是一個折疊問題，要不斷地將折疊前后的圖形加以比較，抓住折疊前后的變與不變量.典型例題七例 7 7 正方體ABCDABGD1的棱長為1,P是AD的中點.求二面角A-BD1-P的大小.分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在

9、二面角的棱上任取了點，在二個半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用.在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到AB垂直于平面AD1,BD1在平面AD1上的射影就是AD1.再過P作AD1的垂線PF,則PF，面ABD1，過F作D1B的垂線FE,ZPEF即為所求二面角的平面角了.解：過P作BD1及AD1的垂線，垂足分別是E、F,連結(jié)EF.AB，面AD1,PFu 面AD1,AB_PF,又PF1AD1,PF，面ABD1.又PE1BD1,.EF1BD1,ZPEF為所求二面角的平面角.一12而AP=2,DD1=1,AD1=

10、J2,PF=1,3-PE_1_BD1,BE=BD=.22-2在RtAPEB中，PE=JPB2-BE2=,2PF1在RtAPEF中，sin/PEF=,PE2ZPEF=30叱典型例題八例8在AABC所在平面外有一點S,已知SC.LAB,SC與底面ABC所成角為0,二面角SABC的大小為中，且8+邛=90叱求二面角CSBA的大小.分析：由題設(shè)易證SC1SD,由已知得SC_L平面SAB,顯然所求的二面角是直二面角，此時只需證明二面有的兩個面垂直即可.在解這種類型題時，如果去作二面角C-SB-A的平面角，那么可能會走彎路.解： 如圖所示， 作SO_L平面ABC于O,連結(jié)CO并延長交AB于D,連結(jié)SD.S

11、O_L平面ABC,/SCO是SC與平面ABC所成角，/SCO二日.SO_L平面ABC,SC_LAB,AB_LCD,AB_LSD.RtAADQsAPFA,PFAPDDi-ADi在APBQ中,PD1.5=PB=2/SDO是二面角SABC的平面角，/SDO=5. e+邛=90 口，SC1SD.又.SC1AB,SC1 平面 SAB, 平面 SBC_L 平面 SAB, 二面角 CSBA 的大小為 90.說明：二面角的平面角滿足三個條件：（1）頂點在棱上，（2）兩邊在面內(nèi)，（3）兩邊與棱垂直.應(yīng)注意 NCSB 不滿足第（3）條，不是二面角 C-SBA 的平面角.在求二面角大小時，若其平面角不易作出時，則可

12、考慮判定兩平面是否垂直，如果兩平面垂直，則其二面角為 90,反之亦然.典型例題九例 9 如果 P_La,y_Lct,PCl=a,那么 a_La.分析：（1）本題是一道高考題，考查線面垂直和面面垂直的性質(zhì)和邏輯推理能力.要證 ala,只要證明直線 a 與平面口內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以了，從而借助平面與平面垂直的性質(zhì)達到證明 ala 的目的；（2）要證 ala,只要證明 a 平行于平面 a 的一條垂線就可以了，這也可以借助面面垂直的性質(zhì)加以考慮；（3）可以用“同一法”來證明.證法一：如圖所示，設(shè) o（np=b,o（rn=c,過平面 a 內(nèi)一點 P 作 PA_Lb 于 A,作 PB_Lc 于 B.

13、又 prn=a,PA_La,同理可證 PB_La.PAPB=P 且 PA、PBCO（,.a.證法二：如圖所示，設(shè)ClP=b,在平面 P 內(nèi)作直線 11.Lb.a_LB11_L設(shè)0（n=c,在平面7內(nèi)作直線l2_LC.同理可證l2_La,因此11/12.由于11uP,120P,12P.而12u 尸，a=?y,12/a.故由12a知，aa.證法三：如圖所示過直線a上一點P作直線a.L.a=P門丁，Pwa,P=P,根據(jù)課本第 37 頁例 2（如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)），a仁P.同理可證au了，故a=Pn丫.楣公理 2 可知，直線a與直線a重

14、合.a_1說明：（1）本例實際上可作為兩個平面垂直的性質(zhì)定理，主要用于判斷直線和平面的垂直，在很多習題中都可以用到本例的結(jié)論.（2）本例的三種證明方法其思維角度不同，但都是圍繞“面面垂直”、“線面面垂直”的判定與性質(zhì)定理來進行思考的，希望同學們今后在解題中多進行這方面的訓練，這對提高數(shù)學思維能力是大有裨益的.典型例題十例10設(shè)由一點S發(fā)出三條射線SA、SB、SC,/ASB=a,/BSC=P,/ASC=8,a、P、8均為銳角，且coscosP=cosH,求證：平面ASBL平面BSC.分析：欲證兩平面垂直，只需證明其中一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面即可，此題設(shè)法通過線段關(guān)系過渡.證明：如圖，任取點

15、A,作AB_LSB于B,過B作BC_LSC于C,連結(jié)AC.SB=AScosa,SC=SBcosP,故SC=AScosacosP.又由cos二cos-cosr,則SC=AScose,從而可得ZACS=90。即AC_LSC,已作BC_LSC,故SC_L平面ACB,即有AB_LSC,已作AB_LSB,從而AB_L平面BSC,故平面ASB_L平面BSC.說明：本題易犯錯誤是：作AB_LSB于B,作BC_LSC于C,連結(jié)AC,由三垂線定理得SC_LAC,SC_L平面ACB，.二AB_LSC,.AB_L平面SBC.其錯誤原因是作AB_LSB后，將AB誤認為是平面SBC的垂線.此題的證明也可以作AB1SB于

16、B,AC_LSC于C,連結(jié)BC.在3SBC中，由余弦定理及條件cosacosP=cos8,證明SB2=BC2+SC2,從而SC_LBC,/.SC_L面ABC，.-AB_LSC,由此進一步證明，平面ASB_L平面BSC.典型例題旺例 1111 如果二面角a_|_p的平面角是銳角，點P到ot、P和棱|的距離分別為2/2、4、452，求二面角的大小.分析：如果二面角 a a-l-P內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)區(qū)別處理.解：如圖甲是點P在二面角a_|P的內(nèi)部時,乙是點P在二面角a-|-P的外部時.PA_La，PA_Ll-vAC_Ll，.面PAC_Ll-同理，面PBC_Ll，而面PACn面PBC=PC，面PA

17、C與面PBC應(yīng)重合，即A、C、B、P在同一平面內(nèi)，ZACB是二面角的平面角PA221在RtAAPC中，sin/ACP=,PB4.22ZACP=30-在R3BPC中，sin/BCP=里=-4=立，PC4、22.BCP=45，故/ACB=30+45*=75*（圖甲）或/ACB=45030中=15口（圖乙）說明：作一個垂直于棱的平面，此平面與兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角.這是本題得到二面平面角的方法，即所謂垂面法.典型例題十二例 1212P為120A的二面角 a aaP內(nèi)一點，P到口和P的距離均為10,求點P到棱2的距離.分析：本題已知二面角的大小而求點到直線的距離，須做出二面角的平面

18、角，然后將條件揉和在一起，便可解決問題.解：如圖，過點P作PA_La于A,PB_LP于B,設(shè)相交直線PA、PB確定的平面為Y,an=o，則no（=OA，np=OB連結(jié)PO，則AP=BP=10PA_L,PB_LP，a_LPO，PO的長即為點P到直線 2 的距離.又a_，OA，OBNAOB是二面角aaP的平面角，即NAOB=120-而四邊形AOBP為一圓內(nèi)接四邊形，且PO為該四邊形的外接圓直徑.四邊形AOBP的外接圓半徑等于由A、B、0、P中任意三點確定的三角形的外接圓半徑，因此求PO的長可利用AAPB-在AAPB中，AP=BP=10，/APB=60*，AB=10說明：(1)該題尋找120叩勺二面

19、角的平面角，所采取的方法即為垂面法，由此可見，若題目可找到與棱垂直的平面，用“垂面法”確定二面角的平面角也是一種可取的方法.(2)充分借助于四邊形PAOB為一圓內(nèi)接四邊形，=PA_L0A，PB_LOB，P0即為其外接圓直徑，然后借助于四邊有的外接圓直徑等于其中任一三角形的外接圓直徑進行轉(zhuǎn)移，由正弦定理幫助解決了問題.典型例題十三例 1313 如圖，正方體的棱長為1,B1c門BC1=0,求:(1)A0與A1cl所成的角；(2)A0與平面AC所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成的角.解：(1)AC/AC，AO與AC1所成的角就是ZOAC.OC_LOB,AB_L平面BC1，OC-LOA（

20、三垂線定理）f-由正弦定理:P0 =2RAB20.3sin60-3在RtMOC中，0C=12，AC=正，ZOAC=30(2)作OE_LBC，平面BC1_L平面AC-OE_L平面AC，ZOAE為OA與平面AC所成的角.在RtAOAE中，OE=；,AE=，12+(1)2=苧.-OEtan.OAE二AE說明：本題包含了線線角、線面角和面面角三類問題.線所成角07TL直線和平面所成角0,二面角(0n三種.22典型例題十四例 1414 如圖，矩形ABCD,PD_L平面ABCD，若PB=2,PB與平面PCD所成的角為45,PB與平面ABD成30n角，求：(1)CD的長；(2)求PB與CD所在的角；(3)求

21、二面角CPBD的余弦值.分析：從圖中可以看出，四面體P-BCD是一個基礎(chǔ)四面體，前面已推導出平面PBC與平面BCD所成的二面角的余弦值為PDBC=A2_=蟲,可見，基礎(chǔ)四面體作為PCBD233一部分，經(jīng)常出現(xiàn)在某些幾何體中.解：(1)PD_L平面ABCD,PD.LBC.又BC_L平面PDC,/BPC為PB與平面PCD所在的角，即/BPC=45.同理：NPBD即為PB與平面ABD所成的角，PBD=30,5(3)OC_LOA，OC_LOB，OC_L平面AOB-又OCu 平面AOC，,平面AOB-L平面AOC-求角度問題主要是求兩條異面直AB在RtPBC中，PB=2,.BC=PC=Q.在RtAPBD

22、中，/PBD=30,，PD=1,BD=4.在RtABCD中，BC=J2,BD=3,CD=1.(2)/AB/CD,PB與CD所成的角，即為PB與AB所成的角，/PBA即為PB與AB所成的角PD_L平面ABCD,AD_LAB,PA_LAB(三垂線定理).在RtAPAB中，AB=CD=1,PB=2,/PBA=60叱由點C向BD作垂線，垂足為E,由點E向PB作垂線，垂足為F,連結(jié)CF.PD_L平面ABCD,.PD1CE.又CE_LBD,CE_L平面PBD,CF為平面PBD的斜線，由于EF_LPB, 由三垂線定理：PB_CF.ZCEF為二面角C-PB-D的平面角在RMBCD中，BC=V2,DC=1,BD

23、=j3,BCCDCE=BDBC=2,PC=.2,PB=2,CF二,.sin.CFE二強 3CF3.cosdCFE=-3,7._V 二面角C-PB-D的余弦值為.3說明：解空間幾何計算問題，一般要做兩件事：一件是根據(jù)問題的需要作必要證明，如本題中的線線所成的角、面面所成的角從理認上都必須說清楚究竟是誰；另一件事才是計算，這兩件事是根據(jù)問題解答邏輯上的需要有機的結(jié)合在一起的.典型例題十五例 1515 過點S引三條不共面的直線SA、SB、SC,如圖，NBSC=90,/ASC=/ASB=601若截取SA=SB=SC=a(1)求證：平面ABC，平面BSC；(2)求S到平面ABC的距離.在RtAPCB中,

24、T分析：要證明平面ABC，平面BSC,根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面ABC或平面BSC內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線.(1)證明：.SA=SB=SC=a,又/ASC=/ASB=60,MSB和AASC都是等邊三角形，AB=AC=a,取BC的中點H,連結(jié)AH，.二AH_LBC.在RtABSC中，BS=CS=a,AH2=AC2CH2=a2（萬a）2=a,.SH2=a-.22222在ASHA中，AH2=,SH2,SA2=a2,22222SA=SH+HA，.二AH1SH,AH_L平面SBC.AH仁平面ABC，平面ABC_L平面BSC.或：:SA=AC=AB, 頂點A在平面BSC內(nèi)的射影H為ABSC的

25、外心，又ABSC為RtA，.一H在斜邊BC上，又ABSC為等腰直角三角形，.H為BC的中點，AH_L平面BSC.AHu 平面ABC，平面ABC_L平面BSC.(2)解：由前所證：SH.LAH,SH_LBC,SH_L平面ABC,BC2.SH的長即為點S到平面ABC的距離，SH=2上=Wa,22一C一.2點S到平面ABC的距離為a.2典型例題十六例 1616 判斷下列命題的真假(1)兩個平面垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作與它們交線垂直的直線，必垂直于另一個平面.(2)兩個平面垂直，分別在兩個平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；(3)兩平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)的兩直線互相垂直.分析：

26、(1)若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的，如圖，正方體A1C中，平面AC_L平面ADi，平面AC口平面ADi=AD,在AD上取點A,連結(jié)AB，則AB_LAD,即過棱上一點A的直線AB1與棱垂直，但AB1與平面ABCD不垂直，其錯誤的原因是AB沒有保證在平面ADDiA內(nèi).可以看出：線在面內(nèi)這一條件的重要性；D.AB(2)該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖，在正方體AC中，平面AD1_L平面AC,AD1仁平面ADD1A，AB仁平面ABCD,且AB.LAD1,即AB與AD1相互垂直，但AD1與平面ABCD不垂直;(3)如上圖，正方體AC中，平面ADD1A1，平面ABCD,ADu平面ADD1A,ACU平面ABCD,AD3AC所成的角為60,即AD1與AC不垂直.說明：必須注意兩個平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件：(1)線在面內(nèi)，(2)線垂直于交線，從而