上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題幾何背景探尋和思考

1、2009上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題幾何背景探尋和思考上海市光明初級中學(xué)劉穎頒近幾年來，全國各省市的數(shù)學(xué)中考壓軸題大部分都有一個很明確的幾何背景，今年的上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題也是如此。背景1:如圖點P是正方形ABCD對角線上任意一點。求證：PA=PC證明：.四邊形ABCD是正方形AB=CB,ZABP=ZCBP=45°又=BP=BPAABPACBP=iPA=PC背景2:接上題，以P為圓心，以PA為半徑畫弧交求證：PQXPC證明：pa=PQ=Z1=Z3又ABPACBP=Z1=Z2=Z1=Z2=Z3而：Z3+Z4=180°=Z2+Z4=180°又./QBC=90°./Q

2、PC=900=PQXPCAB（或AB的延長線）于點當點Q在AB的延長線上時，-.Z2=73;/4=/5=ABQHACPHZQPC=90°=iPQXPC背景3:反過來，若將一個直角頂點放在正方形的對角線上移動，一條直角邊過點C,另一條直角邊與正方形的邊（或邊的延長線）AB交于點Qo求證:PQ=PC證明：過P作MN平行于BC交AB、CD于M、N/1+ZQPC=/2+ZPNC=Z1=Z2又ZMBR=450=MP=MB=NC而/QMP=ZPNC=90%AQMPAPNC=PQ=PC2從上述的幾個背景看出PQABADP卜面我們將背景弱化:MN的對ADPMNCB交于ABQQCBQMPA PNCQ在

3、射DQ'PCMNPQXPCQCBBCPNbCDAMaQ1ADAMpMN從這兩個背景看出CBb >a時就QDANADMQ。求證QMPA PNCBC2 QMPA PNC =2 a證明：易證證明：易證但若點Q關(guān)于MN的對稱點QPC = 90當/ QPC = 90 %寸PQ ADPC ABPC ABQPC = 90鈾AB MB NCPC ABQi也在射線AB上時，如同上述背景將一個直角頂點放在對角線 BD上移動，一條直角邊過點 C背景4:若將一個直角頂點放在長方形PC時，因為有PA= PC時/ APC = 90%一定成立，所以/ QPC = 90。AD=b，點P在對角線BD上運動PQ A

4、D ,工PQ AD=；但反過來當=a, b滿足什么條件時，會有PQXPCQ。求證：fQ=也PC ABPQ MP MP ADPC - NC - MB - AB背景6:如圖四邊形 ABCD是梯形，AD / BC, / ABC = 90 口，若三 1 二 b2 a2 m 0= (b a)(b a)三 0二 b 工 aPC AB PQ AD MP MP 探索：正常情況下， =PQi ,PQ AD線AB上運動，若PQ=CD,試探索PQ AD , 工一= ;但反過來當PC ABPQ = PC，PC_2MQ b背景5:如圖，矩形 ABCD的AB = a,MQ PQ _ b PNPN PC a ' D

5、NPQMPMPAD_6-PC-NC-MB-AB背景7:如圖，四邊形ABCD是梯形，AD/BC,ZABC=900，AB=a,BC=b,AD=x,點P在對角線BD上運動，點Q在射線AB上運動，若PQ ADPC AB與a、b之間應(yīng)該滿足什么條件時，一定會有 PQXPCQ1探索：正制#況下，PQ="二MP二MPPC AB MB NC二QMPsPNCn /QPC=90 - PQXPC但若點Q關(guān)于MN的對稱點Qi也在射線AB上時，如樣，連PQi, / Q1PC=90覬不一定成立了。所以這同上述背景里我們應(yīng)該關(guān)注當點Qi “最低”時點P的位置，其實無論AD邊的長度如何要使得點Qi的位置“最低”，那

6、么點P的位置只能與點 B重合。Q'Q'這時 Q'DPspqc,且PQ'=PQ=p PQ又PC ABAD 十r ，而當AD時，在AB、BC都是定值的情況下，PQ也就變大了,即Q'點就不在射線AB上了（而是在射線BA上了），那樣/Q'PC=90處一定成立了所以結(jié)論就是當AD>a-時，/QPC=90J定成立b09上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題:25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）已知 /ABC =90°, AB =2, BC =3, AD /PQBC, P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，

7、且滿足匚QPCADAB（如圖8所示）.（1）當AD =2,且點Q與點B重合時（如圖9所示），求線段PC的長;3Saapq（2）在圖8中，聯(lián)結(jié)AP.當AD=,且點Q在線段AB上時，設(shè)點B、Q之間的距離為x,Q=y,其2SAPBC中Szxapq表示APQ的面積，SzxPBC表示PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;10所示），求/QPC的大小.（3）當AD<AB,且點Q在線段AB的延長線上時（如圖因為BC第一步：對所給的主條件進行分析，做“先期準備”，我們發(fā)現(xiàn)當“點P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上,PQAD且滿足=（如圖8所示）”時，一定有/QPC=90。PCAB第二

8、步：做第一小題時，我們知道AD=AB時一定有PB=PC,又因為有/BAD=90。=/ABD=45"BC=90口45045'/PCB二45'BPC=90。332又BC=3=PC=7=。出題者的本意是想給同學(xué)一個/QPC22的提示的。但是這個提示不明顯，直接影響了后面的作圖和解決問題，第“鋪墊”的目的沒有很好地達到。AD=3第三步：第二小題的條件在主條件上加了一個2,所以我們還要對形單獨地做個分析：這是白ADB和PQC都是3：4：5的直角三角形,= 2AD,也容易證明 DBC為等腰三角形，DC=DB等等。第四步：畫出所有運動狀態(tài)，在“極限圖形”中求出x等于多少？ y存在還

9、是不存在?要注意這里的“點 P為線段BD上的動點，點 Q在線段AB上"，所以有三個圖:在圖1中x= 0, y是存在的，在圖 3中PQ AD 3 PQPC " AB "5"2工31297、而AD=AQ=x=,這時y也是存在的。2888所以x的取值范圍應(yīng)該是：0MxM7。8在圖2中我們?nèi)菀字?1-(2-x)hiy=3 h222-xohi 2 - x o AD?3 h23 AB2-x 32-xX -=344第五步：在做第三小題時，由于題中已經(jīng)明確有“點Q在線段AB的延長線上時、如圖10所示”兩個明確條件,所以我們在背景中考慮的另類情況在這里就沒有必要討論了。最后看來，除了第一小題有點值得商榷外，今年上海市的壓軸題緊扣教材（所