上海市中考數學壓軸題幾何背景探尋和思考

1、2009上海市中考數學壓軸題幾何背景探尋和思考上海市光明初級中學劉穎頒近幾年來，全國各省市的數學中考壓軸題大部分都有一個很明確的幾何背景，今年的上海市中考數學壓軸題也是如此。背景1:如圖點P是正方形ABCD對角線上任意一點。求證：PA=PC證明：.四邊形ABCD是正方形AB=CB,ZABP=ZCBP=45°又=BP=BPAABPACBP=iPA=PC背景2:接上題，以P為圓心，以PA為半徑畫弧交求證：PQXPC證明：pa=PQ=Z1=Z3又ABPACBP=Z1=Z2=Z1=Z2=Z3而：Z3+Z4=180°=Z2+Z4=180°又./QBC=90°./Q

2、PC=900=PQXPCAB（或AB的延長線）于點當點Q在AB的延長線上時，-.Z2=73;/4=/5=ABQHACPHZQPC=90°=iPQXPC背景3:反過來，若將一個直角頂點放在正方形的對角線上移動，一條直角邊過點C,另一條直角邊與正方形的邊（或邊的延長線）AB交于點Qo求證:PQ=PC證明：過P作MN平行于BC交AB、CD于M、N/1+ZQPC=/2+ZPNC=Z1=Z2又ZMBR=450=MP=MB=NC而/QMP=ZPNC=90%AQMPAPNC=PQ=PC2從上述的幾個背景看出PQABADP卜面我們將背景弱化:MN的對ADPMNCB交于ABQQCBQMPA PNCQ在

3、射DQ'PCMNPQXPCQCBBCPNbCDAMaQ1ADAMpMN從這兩個背景看出CBb >a時就QDANADMQ。求證QMPA PNCBC2 QMPA PNC =2 a證明：易證證明：易證但若點Q關于MN的對稱點QPC = 90當/ QPC = 90 %寸PQ ADPC ABPC ABQPC = 90鈾AB MB NCPC ABQi也在射線AB上時，如同上述背景將一個直角頂點放在對角線 BD上移動，一條直角邊過點 C背景4:若將一個直角頂點放在長方形PC時，因為有PA= PC時/ APC = 90%一定成立，所以/ QPC = 90。AD=b，點P在對角線BD上運動PQ A

4、D ,工PQ AD=；但反過來當=a, b滿足什么條件時，會有PQXPCQ。求證：fQ=也PC ABPQ MP MP ADPC - NC - MB - AB背景6:如圖四邊形 ABCD是梯形，AD / BC, / ABC = 90 口，若三 1 二 b2 a2 m 0= (b a)(b a)三 0二 b 工 aPC AB PQ AD MP MP 探索：正常情況下， =PQi ,PQ AD線AB上運動，若PQ=CD,試探索PQ AD , 工一= ;但反過來當PC ABPQ = PC，PC_2MQ b背景5:如圖，矩形 ABCD的AB = a,MQ PQ _ b PNPN PC a ' D

5、NPQMPMPAD_6-PC-NC-MB-AB背景7:如圖，四邊形ABCD是梯形，AD/BC,ZABC=900，AB=a,BC=b,AD=x,點P在對角線BD上運動，點Q在射線AB上運動，若PQ ADPC AB與a、b之間應該滿足什么條件時，一定會有 PQXPCQ1探索：正制#況下，PQ="二MP二MPPC AB MB NC二QMPsPNCn /QPC=90 - PQXPC但若點Q關于MN的對稱點Qi也在射線AB上時，如樣，連PQi, / Q1PC=90覬不一定成立了。所以這同上述背景里我們應該關注當點Qi “最低”時點P的位置，其實無論AD邊的長度如何要使得點Qi的位置“最低”，那

6、么點P的位置只能與點 B重合。Q'Q'這時 Q'DPspqc,且PQ'=PQ=p PQ又PC ABAD 十r ，而當AD時，在AB、BC都是定值的情況下，PQ也就變大了,即Q'點就不在射線AB上了（而是在射線BA上了），那樣/Q'PC=90處一定成立了所以結論就是當AD>a-時，/QPC=90J定成立b09上海市中考數學壓軸題:25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）已知 /ABC =90°, AB =2, BC =3, AD /PQBC, P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，

7、且滿足匚QPCADAB（如圖8所示）.（1）當AD =2,且點Q與點B重合時（如圖9所示），求線段PC的長;3Saapq（2）在圖8中，聯(lián)結AP.當AD=,且點Q在線段AB上時，設點B、Q之間的距離為x,Q=y,其2SAPBC中Szxapq表示APQ的面積，SzxPBC表示PBC的面積，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域;10所示），求/QPC的大小.（3）當AD<AB,且點Q在線段AB的延長線上時（如圖因為BC第一步：對所給的主條件進行分析，做“先期準備”，我們發(fā)現當“點P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上,PQAD且滿足=（如圖8所示）”時，一定有/QPC=90。PCAB第二

8、步：做第一小題時，我們知道AD=AB時一定有PB=PC,又因為有/BAD=90。=/ABD=45"BC=90口45045'/PCB二45'BPC=90。332又BC=3=PC=7=。出題者的本意是想給同學一個/QPC22的提示的。但是這個提示不明顯，直接影響了后面的作圖和解決問題，第“鋪墊”的目的沒有很好地達到。AD=3第三步：第二小題的條件在主條件上加了一個2,所以我們還要對形單獨地做個分析：這是白ADB和PQC都是3：4：5的直角三角形,= 2AD,也容易證明 DBC為等腰三角形，DC=DB等等。第四步：畫出所有運動狀態(tài)，在“極限圖形”中求出x等于多少？ y存在還

9、是不存在?要注意這里的“點 P為線段BD上的動點，點 Q在線段AB上"，所以有三個圖:在圖1中x= 0, y是存在的，在圖 3中PQ AD 3 PQPC " AB "5"2工31297、而AD=AQ=x=,這時y也是存在的。2888所以x的取值范圍應該是：0MxM7。8在圖2中我們容易知道:1-(2-x)hiy=3 h222-xohi 2 - x o AD?3 h23 AB2-x 32-xX -=344第五步：在做第三小題時，由于題中已經明確有“點Q在線段AB的延長線上時、如圖10所示”兩個明確條件,所以我們在背景中考慮的另類情況在這里就沒有必要討論了。最后看來，除了第一小題有點值得商榷外，今年上海市的壓軸題緊扣教材（所