數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程

1、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程目 錄第1講 計算（一） 速算與巧算1第2講 計算（二） 比較大小、估算、定義新運算16第3講 數(shù)字謎、數(shù)陣圖、幻方29第4講 數(shù)論（一） 整除、奇偶性、極值問題43第5講 數(shù)論（二） 約數(shù)倍數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)54第6講 數(shù)論（三） 帶余除法、同余性質(zhì)、中國剩余定理64第7講 幾何（一） 平面圖形74第8講 幾何（二） 曲線圖形93第9講 幾何（三） 立體圖形106第10講 典型應(yīng)用題（一）和差倍、年齡、植樹問題116第11講 典型應(yīng)用題（二）雞兔同籠、盈虧、平均數(shù)問題122第12講 牛吃草問題130第13講 行程（一） 相遇追及（多次）、電車問題137第14講 行程（二

2、） 平均速度、變速度、流水、電梯153第15講 行程（三） 行程中的比例163第16講 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)177第17講 工程問題187第18講 濃度與經(jīng)濟問題202第19講 方程211第20講 排列組合222第21講 容斥原理233第22講 抽屜原理245第23講 邏輯推理253第24講 統(tǒng)籌與策略271第1講 計算（一） 速算與巧算一、知識地圖速算與巧算 整數(shù)計算 基本公式平方、立方公式 數(shù)列及特殊公式特殊方法分?jǐn)?shù)計算 拆分與裂項幾個常用拆分分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)二、基礎(chǔ)知識（一）整數(shù)計算1、基本公式（1） 加法交換律：（2） 加法結(jié)合律：（3） 減法的性質(zhì)：（4） 乘法交換律：（5） 乘法結(jié)合律：

3、（6） 乘法分配律：（7） 除法的性質(zhì)：2、平方、立方公式（1） 完全平方公式：（2） 平方差公式：僅做了解（3） 完全立方公式：（4） 立方和公式：（5） 立方差公式：3、數(shù)列及特殊公式（1） 等差數(shù)列：A) 通項公式：為什么要“1”呢？B) 求項數(shù)公式：為什么要“+1”呢？C) 求和公式：為什么要“÷2”呢？關(guān)于這個等差數(shù)列，同學(xué)們可以聯(lián)系植樹問題的數(shù)量關(guān)系來看，怎么把植樹問題與等差數(shù)列聯(lián)系在一起呢？“在數(shù)軸上植樹”，這可是帶有一定的技術(shù)含量的如圖：請體會這里數(shù)字與“樹”對應(yīng)、公差與“株距間隔”對應(yīng)。例如： a) 22這個數(shù)是“第七棵樹”，要由“第一棵樹”加上六個“間隔”得到，算

4、式為： 22=4+（7-1）×3；b) 如果要求這個數(shù)列從4到25，一共有多少個數(shù)，相當(dāng)于把4看作第一棵樹，問25是第幾棵樹？可以思考，從4到25一共有多少個“間隔”，（25-4）÷3=7，所以應(yīng)該是“第8棵樹”，這里注意到了為什么求項數(shù)“加1”了吧？c) 求和公式的來龍去脈，同學(xué)們不可不知：法一：高斯“配對法”。例如，在計算1+2+3+8+9這一串?dāng)?shù)列的和時，我們可以把第一個數(shù)加上最后一個數(shù)，第二個數(shù)加上倒數(shù)第二個數(shù)，這樣，一直到第四個數(shù)加上倒數(shù)第四個數(shù)，每一對數(shù)的和都是10，這里，要注意還有一個“中間數(shù)”5，沒有配上對，所以，這組數(shù)列9個數(shù)的和是10×4+5=

5、45。法二：借來還去法。例如，還是計算1+2+3+8+9這一串?dāng)?shù)列吧，如果我再“借”來一串“9+8+7+3+2+1”， 這么一串?dāng)?shù)只是把原來的數(shù)列顛倒一下順序，可以知道兩串?dāng)?shù)是相等的。所以，如果我把這兩串?dāng)?shù)的和求出來，是一定要“除以2”的！問題在于，本來要求一串?dāng)?shù)的和，干嘛我還扯上了另一串，這樣做好算嗎？答案正在這個地方，就是因為再有這么一串倒過來的數(shù)，好算不得了“變異為同”了！如圖： 所以，可以得出，10×9÷2=45 回頭再看，這里的10可以用（1+9）為代表，則得： （1+9）×9÷2=45 再推廣開去，對于其他等差數(shù)列，都有這么一個公式： 和=（

6、首項+末項）×項數(shù)÷2（2） 等比數(shù)列：（3）a)b)（4）（5）（n9） （6）（7）這一類的數(shù)不妨稱之為“重碼數(shù)”，關(guān)鍵于把一個循環(huán)節(jié)的“個位”的“1”作為記數(shù)單位，結(jié)合位值原則，我們可以得到上述結(jié)果。4、特殊方法（1） 湊整法：利用運算公式和運算律（如交換律、結(jié)合律、分配律）將一些數(shù)湊成整一或整十整百再計算。（2） 換元法：將一些數(shù)或一個式子記為某個字母，如a，b，c 達到化繁為簡的目的。（二）分?jǐn)?shù)計算1、拆分與裂項（1）（2） （3）（4） 2、幾個常用拆分分?jǐn)?shù) 3、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù) 請聰明的你，來比較1與0.99999999的大??？你可能已經(jīng)知道：0.9999999

7、=1也就是：=1，可是這是為什么呢？鋪墊： 以此題為例推導(dǎo)：設(shè) 為A，那么100A=10000A=所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12注意：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，分母中9的個數(shù)與其循環(huán)節(jié)的位數(shù)對應(yīng)，0的個數(shù)與小數(shù)點后不循環(huán)的位數(shù)對應(yīng)。分子是不循環(huán)部分連上第一個循環(huán)節(jié)組成的多位數(shù)與不循環(huán)部分組成的多位數(shù)相減所得到的差。三：經(jīng)典透析【例1】：（） 審題要點：1） 看題目中的數(shù)，聰明的你是否發(fā)現(xiàn)了什么秘密？對了，每一個數(shù)都有一個小秘密： 2） 發(fā)現(xiàn)了秘密就趕緊動手吧！詳解過程：專家點評：<恍然大悟>原來平方差公式還可以這么用！ 這道題目不是很難，關(guān)鍵是要學(xué)會“

8、湊整”的思路！【例2】（） 審題要點：1） 好大的數(shù)??！別怕，肯定有絕招。2） 哈哈，終于發(fā)現(xiàn)了數(shù)之間的小秘密。 詳解過程：專家點評： 做這道題目，你會發(fā)現(xiàn)，奧數(shù)的很多題目，不僅僅是記公式就能解決的，很多時候需要你對公式進行消化吸收，達到靈活應(yīng)用才能在用時得心應(yīng)手?！纠?】（） <友情提示>；湊整；提取公因數(shù)；“借來還去”思想。審題要點：1） 這題看著很熟悉聯(lián)想平方求和公式2） 可是起始的數(shù)不是？沒關(guān)系，缺什么補什么！<友情提示>提取公因數(shù)的兩大特征： 一是要有“公因數(shù)”，“疑似”公因數(shù)也不錯，我們可以借助下面兩招對它加工。 二是要有互補數(shù)。詳解過程：專家點評：很多題目

9、不能就題論題，你必須要在熟練應(yīng)用公式的前提下，做適當(dāng)?shù)淖儞Q，這道題目就是一個很好的例子?！纠?】（） 審題要點：1）“73”好像是關(guān)鍵。2）如果可以提取73，那不是很簡單？試試吧！詳解過程： 專家點評：此處利用了分拆法，將730分拆為73×10，153.3分拆為73×2.1，目的都是為了構(gòu)造出“公因數(shù)”73。此種構(gòu)造方法很常用，你學(xué)會了嗎？【例5】（） 審題要點：1） 分母很特別哦：2） 3）詳解過程：原式=專家點評：這道題目稍微有點難度，需要先歸納分母的通項，然后利用裂項進行解題，所以同學(xué)們應(yīng)該在記住公式的同時做適當(dāng)?shù)木C合應(yīng)用?！纠?】（）審題要點：1） 分?jǐn)?shù)相加，分子不

10、相等，似乎不能裂項；2） 如果做一下變換呢？ 試試吧。詳解過程：原式=專家點評：這道題目的解題關(guān)鍵在于對裂項的熟練應(yīng)用。題目本身并不是很難，但是需要同學(xué)認(rèn)真仔細(xì)?！纠?】（） 審題要點： 1）既然題目這樣出了，說明絕大部分項能夠裂項約掉！試驗可知：，（這兩個利用輾轉(zhuǎn)相除法），能夠約掉37，看來確實可以裂項。詳解過程：觀察到5，37，101以及約去的最大公約數(shù)17和65都是偶數(shù)的平方+1，所以立刻猜測最后的約分后等于，原式等于。專家點評：這是一道比較難的計算題，很多人認(rèn)為只有到了初中，學(xué)了因式分解才有可能做出來。但是，小學(xué)生如果能夠有“找規(guī)律”的思維，也是完全可以得出答案的。本題解題的關(guān)鍵在于“

11、試算觀察法”與“輾轉(zhuǎn)相除法”的綜合運用，你學(xué)會了么？【例8】（） 審題要點： 1）看到這么龐大的算式，應(yīng)該想到要換元； 2）換元時注意要整個括號作為一個整體代換； 3）不妨設(shè) 詳解過程： 原式 = = = =9專家點評： “換元”法在龐大的數(shù)學(xué)計算中經(jīng)常用到，數(shù)學(xué)題目很少是需要你對一個復(fù)雜的式子進行每一步的計算，一般都有簡便算法，這些需要你平時多積累。利用換元法解題時有兩種可能性：一，換元的未知數(shù)最后都消去，可直接得出答案。二，換元的未知數(shù)不能完全消去，那么就應(yīng)該將原數(shù)或原式重新代入計算，此時的代入計算將很簡單，如本題中最后（）須換回原來式子計算得?！纠?】（） 審題要點：1）：有循環(huán)小數(shù)的計

12、算，首先要進行分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換。2）：每個數(shù)都是混循環(huán)小數(shù)，應(yīng)該怎樣化成分?jǐn)?shù)？詳解過程： 原式+ + = = =專家點評： 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，你學(xué)會了么？這是個很重要的知識，在比較大小和計算過程中經(jīng)常用到。另外，如果對循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)很熟悉的話，知道=1，則可觀察到：還有一個，所以總和為。經(jīng)驗證，。四、拓展訓(xùn)練1. =初級點撥 這道題目不難，關(guān)鍵是考察對公式的應(yīng)用；深度提示 注意哦，分母中1與3，3與5都是要差2，所以在裂項時，括號外面要乘以；全解過程 原式=2. （）×（1） （1）×（）。初級點撥 這么龐大的式子，換元毫無疑問，但是要找好，到底換什么哦。深度提示 換元時，可以設(shè)，；

13、全解過程 設(shè)， 原式= =3. 。初級點撥 類似于例題2；深度提示 運用平方差公式，你會了么？全解過程 原式4. 。初級點撥 這題比較簡單，利用；深度提示 這道題目很簡單，主要就是公式應(yīng)用的問題；全解過程 原式= 2×（+） = =5. 。初級點撥 直接利用公式；深度提示 公式的直接應(yīng)用，但是要注意，分母拆開后，差值是3；全解過程 原式=×（1+）=6. 。初級點撥 帶分?jǐn)?shù)在計算過程中，通常有兩種處理辦法，或者化成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和，或者化成假分?jǐn)?shù)，聰明的同學(xué)，想想這道題應(yīng)該怎么處理呢？深度提示 拆成你熟悉的形式：全解過程 原式=（1+2+3+6）+(+)=7. 。初級點撥 類

14、似于上面的第6題，但是要稍微難點，關(guān)鍵也是對帶分?jǐn)?shù)的處理，不要猶豫，你想的沒錯，寫出來試試。深度提示 將帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和；全解過程 原式=(3)(3+)+(5)+(5+)(7)+(7+)(9)+(9+)(1+) =8. 。初級點撥 這道題目是典型的利用公式解題，所以公式一定要熟記哦。深度提示 記住兩個公式即可，翻看前面的基礎(chǔ)知識，你需要的都在那里；全解過程 原式=9. 。初級點撥 提取公因數(shù)，但是要先做下變換，看看，怎么變動一下！深度提示 1）找題目中的特殊之處。2）如果分母中也是那多好??！3）變變嘛！全解過程 原式1.10. 。初級點撥 第一步肯定是要去括號，聰明的你想到了嗎？深度提

15、示 去括號，提取公因式，兩項結(jié)合；全解過程 原式=11. 。初級點撥 如果在計算中出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)，那毫無疑問要先化為分?jǐn)?shù)。深度提示 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的計算。全解過程 原式=第2講 計算（二） 比較大小、估算、定義新運算一：知識地圖：比較大小 分?jǐn)?shù)的大小比較 通分 比倒數(shù) 與1相減比較法 經(jīng)典結(jié)論 放縮法 化成小數(shù)比較 兩個數(shù)相除進行比較 對于分?jǐn)?shù)的分子分母同時加上或減去相同的數(shù)和原分?jǐn)?shù)進行比較 小數(shù)的大小比較 估算 常用方法 經(jīng)典步驟 定義新運算二：基礎(chǔ)知識（一）：比較大小1、分?jǐn)?shù)的大小比較1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分?jǐn)?shù)比較，分子小的分?jǐn)?shù)??； b） 通分子：化成分子相同的分?jǐn)?shù)比較，分母

16、小的分?jǐn)?shù)大。2）比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小。3）與1相減比較法：a） 真分?jǐn)?shù)：與1相減，差大的分?jǐn)?shù)??； b） 假分?jǐn)?shù)：與1相減，差大的分?jǐn)?shù)大。4）經(jīng)典結(jié)論：a） 對于兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子分母相差相同的數(shù)，則分子分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；b） 對于兩個假分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子分母都小的分?jǐn)?shù)比較大。 對于分?jǐn)?shù)的分子分母同時加上或減去相同的數(shù)和原分?jǐn)?shù)進行比較：（，且為非零自然數(shù)時）（1）即“真分?jǐn)?shù)越加越大，越減越小”（）如；（2）即“假分?jǐn)?shù)越加越小，越減越大”。3）放縮法。4）化成小數(shù)比較：小數(shù)比較大小的關(guān)鍵是小數(shù)點對齊，從高位比起。切記！5）兩個數(shù)相除進行比較。如：和，所以。2、小數(shù)的大

17、小比較常用方法：將小數(shù)排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù)，然后比較。（二）估算問題1、常用方法1） 放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮小，將結(jié)果確定在兩個接近數(shù)之間，從而估算出結(jié)果。2）變換結(jié)構(gòu)：將算式變形為便于估算的形式。2、經(jīng)典步驟 估算和式整數(shù)部分：a） 令和式結(jié)果等于A； b） 最小的數(shù)×個數(shù)A最大的數(shù)×個數(shù)； c） 求A。對于較簡單的題目，使用“最小的數(shù)×個數(shù)A最大的數(shù)×個數(shù)”就可以確定整數(shù)部分。對于較復(fù)雜的題目，這會造成放縮幅度過大。如果出現(xiàn)此情況，設(shè)法比較原式與（最小的數(shù)+最大的數(shù)）

18、5;個數(shù)÷2的大小，以及與（中位數(shù)×個數(shù)）的大?。偣灿信紨?shù)個數(shù)的時候，“中位數(shù)”視為中間兩個數(shù)的平均數(shù)）。（三）定義新運算這是近年來出現(xiàn)的一種新題型，解題的過程可以歸結(jié)為經(jīng)典三步：閱讀理解應(yīng)用。三：經(jīng)典透析【例1】（）如果，那么，中較大的數(shù)是。審題要點： 1°通分似乎太麻煩了，怎么辦呢？ 2°大小比較有6個經(jīng)典方法，這個似乎與“4 經(jīng)典結(jié)論”相仿哦！3°發(fā)現(xiàn)了嗎？兩個分?jǐn)?shù)的分子分母的差值都相等：， 詳解過程：因為a與b都是真分?jǐn)?shù)，且分母與分子差相同，并且，所以ab。專家點評：分?jǐn)?shù)比較問題，方法很多，做題時要注意從不同角度考慮。 下面再介紹兩種

19、解題方法：方法二：1°a與b都很接近“1”；2°聰明的你，發(fā)現(xiàn)秘密了吧！1 ， 1。 且a和b為真分?jǐn)?shù)， 所以ab。方法（三）：比倒數(shù)。1， 1， 所以ab。方法（四）：兩個數(shù)相除進行比較。，所以：。同學(xué)們開動腦筋看還有沒有更多的思路！【例2】（）如果，A與B中哪個數(shù)較大？審題要點：1°快開動腦筋看這個題目適合用哪個方法？2°不妨先試試比倒數(shù)。詳解過程：，專家點評： 同樣是分?jǐn)?shù)比大小的問題，你能做出幾種解答過程呢？下面給出另外兩個解題過程。 解法二：1°這么龐大的式子，如果能“4經(jīng)典結(jié)論”該多棒??！2°開動腦筋做個小變換，變換后A與B

20、分子分母相差相同的數(shù)“3”，A與B都為真分?jǐn)?shù)且A的分子分母都較小， 所以A<B。 解法三：與比較法，聰明的你自己動手試試哦!【例3】（）在上式的方框內(nèi)填入一個整數(shù)，使不等式成立，那么= 。審題要點：<友情提示>這類題目解題方法：1）2）3）通過適當(dāng)相加組合為A1°這類題目關(guān)鍵是對公式的靈 活應(yīng)用詳解過程：因為所以即則專家點評：這道題目比較簡單，聰明的你做出來了吧！下面再介紹另外一個解法希望對同學(xué)們?nèi)蘸蠼忸}有幫助。利用公式：當(dāng)那么： 可以得到所以【例4】（÷312111，它的計算結(jié)果的小數(shù)點后的前三位數(shù)字分別是。審題要點： 1°毫無疑問，這是一道估

21、算題。詳解過程：1） 取除數(shù)的前兩位：12.345÷32<原式<12.345÷310.385<原式<0.398 在0.385到0.398之間無法確定小數(shù)點后三位的準(zhǔn)確值，說明放縮范圍太大。2） 再取除數(shù)的前三位：123.456÷313<原式<123.456÷3120.394<原式<0.395仍無法確定。3） 取除數(shù)的前四位。1234.567÷3122<原式<1234.567÷31210.3954<原式<0.3955所以小數(shù)點后三位分別為3，9，5。專家點評：這道題

22、目稍微有點難，但是只要是估算的問題，都不需要算出最終結(jié)果，通過這道題目，你有沒有學(xué)到什么呢？有些書上解這道題的時候是把被除數(shù)和除數(shù)都放縮：12÷32<原式<13÷31，123÷313<原式<124÷312，1234÷3122<原式<1235÷3121。但是，對被除數(shù)的放縮只會徒增加放縮幅度，而不會簡化計算。如果你認(rèn)為，計算1234÷3122比計算1234.567÷3122省事，那你一定是在用計算器！【例5】（）老師在黑板上寫了7個自然數(shù)，讓小明計算它們的平均數(shù)（保留小數(shù)點后面兩位

23、），小明算出的答數(shù)是14.73，老師說：“除最后一位數(shù)字外其他都對了”，那么正確的得數(shù)應(yīng)是 。審題要點：1°估算題目最直接的方法就是放縮。2°這道題的關(guān)鍵點是，只有最后一位是錯的，那么分?jǐn)?shù)的取值范圍是 14.7014.79詳解過程：設(shè)這7個自然數(shù)之和為A（A為整數(shù)） 平均數(shù)為專家點評：關(guān)于平均數(shù)的估算，是經(jīng)常會出的題目，所以同學(xué)們一定要學(xué)會如何去解答這類題目，下面再介紹另外一種解題方法。14.73中前三位14.7是 正確的 所以總數(shù)肯定大于 14.7則總數(shù)只能是103、104 當(dāng)和等于103時，平均數(shù)是14.71 當(dāng)和等于104時，平均數(shù)是14.86（不符合）所以七個自然數(shù)

24、的和為103，平均分是14.71事實上一個自然數(shù)被7除如果除不盡，那么所得的商的小數(shù)部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的順序不斷循環(huán)，只是循環(huán)初始數(shù)字不一定相同。觀察一下除式：所以如果對被7除商數(shù)特征熟悉的話，一定能馬上反應(yīng)過來這個平均數(shù)是?！纠?】（），哪個更大，為什么？審題要點：1°這道題比較難，式子比較龐大，我們不妨引入換元的思想。設(shè)a 2°設(shè)詳解過程：很明顯所以 專家點評：這道題目，可以說是估算里面比較難的題目，需要自己構(gòu)建新的算式，同學(xué)們學(xué)會這個解題思路了嗎？【例7】（）數(shù)審題要點：1°這道題的難點集中在分母上2°不妨把分母單獨拿出來，設(shè)3

25、°看明白了吧詳解過程：原式= 所以即1<原式<1.9所以數(shù)。 【例8】（）（第二屆小學(xué)"希望杯"全國數(shù)學(xué)邀請賽） 如果，那么 。審題要點：定義新運算，不妨試試經(jīng)典三步法：閱讀理解應(yīng)用！詳解過程：原式= = =專家點評：這是一道綜合性題目，首先要看明白定義的新運算，其次要學(xué)會用裂項法解題，總的來說，題目不難，關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)。 【例9】（）兩個用同樣材料做成的球A和B，一個實心，一個空心，A的直徑為7，重量為22，B的直徑為10.6，重量為33.3。問哪一個球是實心球？審題要點：顯然，兩個球中單位體積重量大的球是實心球。所以第一步首先要求兩個球的體積各是

26、多少！詳解過程：由球的體積公式可知，球的體積與半徑的3次方成正比；顯然球的體積與直徑的3次方成正比。 即 V1：V2 = 73：10.63因為，即可知：所以 即A球為實心球?qū)＜尹c評：比較大小，估算以及定義新運算，都不是只局限于現(xiàn)有的幾個數(shù)的計算，很多時候是將知識點作了綜合，因此同學(xué)們在做題過程中，一定要在讀懂題的前提下再動筆開始做！四、拓展訓(xùn)練1. 在.初級點撥 1）觀察題目，找數(shù)之間的相似處 2）你是否發(fā)現(xiàn)了這個小秘密？ 深度提示 1）發(fā)現(xiàn)了嗎？2）因為 全解過程 顯然，所以題中最小分?jǐn)?shù)為.2. ，求A的整數(shù)部分 .初級提示 這道題隱藏的知識點是估算，你發(fā)現(xiàn)了么？深度提示 “經(jīng)典三步法”看行

27、不行？全解過程 ，適當(dāng)擴展：，所以A的整數(shù)部分為44。（同學(xué)們想想，還有沒有別的方法?。?. 已知：.初級點撥 問題的關(guān)鍵在分母，同于“例7”（但是要小心，有一點小區(qū)別哦）深度提示 這道題目中，分母按照我們給出的估算方法，似乎不能做到最后，那怎么辦呢？ 發(fā)現(xiàn)規(guī)律了么？全解過程 設(shè) 即 不能確定A的整數(shù)部分，怎么辦？先看看一個例子 則聰明的你從中會發(fā)現(xiàn)一個找“最小界線的新規(guī)律”，那么讓我們回到原題來看看吧！ 即 A的整數(shù)部分為73。4. 有8個數(shù)，如果按從小到大的順序排列時，第四個數(shù)是初級點撥 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)。深度提示 1）分?jǐn)?shù)小數(shù)的大小比較首先要統(tǒng)一形式 2）兩個未寫出的數(shù)要確定它們的位置全解

28、過程 顯然即因為8個數(shù)由小到大排第4個是所以從大到小第4 個是5. 1）試比較。2）如果.初級點撥 這兩道題目可以參考例1和例2深度提示 對于兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子分母相差相同的數(shù)，則分子分母都大的分?jǐn)?shù)比較大全解過程 1） 2）A<B6. 有13個自然數(shù)，它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點后一位是26.9。那么精確到小數(shù)點后兩位數(shù)是多少？初級點撥 估算問題參考例5深度提示 平均小數(shù)估算，關(guān)鍵確定最后兩位是什么？平均數(shù)如果保留兩位數(shù)，則范圍為26.8526.94全解過程 1）平均數(shù)如果保留兩位數(shù)，則范圍為26.8526.94。（想想為什么？）2）設(shè)13個自然數(shù)的和為A ，所以350，平均數(shù)

29、為.7. 1）比較以下小數(shù)，找最大的數(shù)： 2）比較以下5個數(shù)，排列大小：初級點撥 分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間大小的比較，首先要統(tǒng)一形式深度提示 通常將分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，將各個數(shù)位都寫出來，逐個數(shù)位作比較全解過程 （1） 1.121=1.121000000 <友情提示>1)倒數(shù)法2)與1相減法3)分子分母差值相同時,分子分母大的分?jǐn)?shù)大. 1.12121=1.121210000 1.12=1.120000000 顯然 （2）8. 如果用.初級點撥 1）這是一道典型的定義新運算的問題，經(jīng)典三大步找出來2）閱讀，理解找最大的數(shù)，應(yīng)用吧！深度提示 的作用是找較大的數(shù)，所以首先要比較兩個分?jǐn)?shù)的大小全解過程

30、 ，所以.9. 假設(shè)有一種計算器，它由A，B，C，D四種裝置組成。將一個數(shù)輸入一種裝置后會自動輸出另一個數(shù)，各裝置的運算程序如下： 裝置A：將輸入的數(shù)加上6之后輸出； 裝置B：將輸入的數(shù)除以2后輸出； 裝置C：將輸入的數(shù)減去5之后輸出； 裝置D：將輸入的數(shù)乘以3后輸出；這些裝置可以互相連接，如在裝置A后接裝置B就記做：AB。例如輸入1后，經(jīng)過AB輸出3.51）若經(jīng)過ABCD，輸出120。則輸入的數(shù)是多少？2）若經(jīng)過BDAC，輸出13，則輸入的數(shù)是多少？初級點撥 1）好復(fù)雜的過程啊，但是聰明的同學(xué)肯定不會被嚇倒2）對啦，利用經(jīng)典三步分析后，你會發(fā)現(xiàn)，這并不是一道難題3）閱讀A，B，C，D四個裝置

31、是關(guān)鍵理解明白這四個裝置的運算特點應(yīng)用逆向思維深度提示 裝置A：將輸入的數(shù)加上6； 裝置B：將輸入的數(shù)除以2； 裝置C：將輸入的數(shù)減去5； 裝置D：將輸入的數(shù)乘以3； 確定每個裝置的作用后，從后往前計算結(jié)果。全解過程 1）經(jīng)ABCD后輸出120按逆向思維后推 設(shè)最先輸入的數(shù)為經(jīng)過A后變?yōu)?，?jīng)過B后變?yōu)?，?jīng)過C后變?yōu)?，如上圖所示即 2）類似于1）的解答，聰明的你試試吧。輸入的數(shù)是8。10. 有一個算式，左邊方框里都是整數(shù)，右邊答案寫出了四舍五入后的近似值： 求左邊方框里的整數(shù)從左至右分別是什么？初級點撥 1）這道題目，入手比較難。開動你的小腦筋看能不能發(fā)現(xiàn)什么小秘密？ 2）近似值估算？深度提示

32、看似一道數(shù)字謎問題，其實也是估算的問題，既然結(jié)果約等于1.16那么原式可以做一個變換（看明白了么）全解過程 將原式做一下變化，三個分?jǐn)?shù)不妨先通分，即，將式子擴大105倍得設(shè) ；A為整數(shù)（想想為什么？） 121.275，122即通過試驗知所以左邊方框里的值依次是1，2，3。11. 用表示不超過a的最大整數(shù)。例如=0.3； ，記請計算的值.初級點撥 1）這是一道綜合題目，同學(xué)們千萬不要被多變的符號給嚇倒！2）“三步經(jīng)典”來分析深度提示 閱讀題中的符號有； ；，理解， ；的意義及表示方法應(yīng)用吧！全解過程 1.41=1.4=0.4=1.4=1=1=0 =1=1第3講 數(shù)字謎、數(shù)陣圖、幻方一，知識地圖

33、二，基礎(chǔ)知識（一）數(shù)字謎1、 數(shù)字謎介紹數(shù)字謎從形式上可以分為橫式數(shù)字謎與豎式數(shù)字謎，從內(nèi)容上可以分為加減乘除四種數(shù)字謎。橫式數(shù)字謎一般可以轉(zhuǎn)化為豎式數(shù)字謎，所以我們這里主要討論豎式數(shù)字謎的一般解題技巧與思路。2、數(shù)字謎常用的分析法介紹解決數(shù)字迷問題最重要的就是找到突破口，突破口的尋找是需要一定的技巧，一般來說首先是觀察題目中給出數(shù)字位置，同時找出涉及這些已知數(shù)字的所有相關(guān)計算，然后根據(jù)各種分析法進行突破，一般的突破順序是，三位分析（個位分析，高位分析，進位借位分析），另外加入三大技巧（估算技巧（結(jié)合數(shù)位），奇偶分析技巧，分解質(zhì)因數(shù)技巧）等。而且一般應(yīng)該先從涉及乘法的地方入手，然后再考察加法或

34、減法的分析（并不完全是這樣）。（1）個位數(shù)字分析法（加法個位數(shù)規(guī)律，減法個位數(shù)規(guī)律，乘法個位數(shù)規(guī)律）若題目已知條件里面給出的主要是個位數(shù)字，那么我們就要考慮使用個位分析法，這是大部分?jǐn)?shù)字謎都要用的分析方法。加減法的個位數(shù)字規(guī)律比較簡單，這里要求重點掌握乘法個位數(shù)的規(guī)律。A）加法個位數(shù)規(guī)律舉例：如右圖：由8的結(jié)果個位數(shù)為5可推出7，十位進位，9+1結(jié)果個位為7，可推出7，進而推出1。B）減法個位數(shù)規(guī)律舉例：如右圖：由7的結(jié)果個位為9，可推出6，且借一位，進而十位數(shù)中9-1結(jié)果個位數(shù)為4，可推出4。注意：當(dāng)個位數(shù)已經(jīng)推導(dǎo)出來，那么十位數(shù)的推理也可以繼續(xù)使用個位分析法進行推理，后面依次類推，高位使用

35、個位數(shù)字分析法時必須同時考慮進位或借位的情況。C）乘法個位數(shù)規(guī)律歸納：1、當(dāng)結(jié)果為奇數(shù)，其中一個乘數(shù)也為奇數(shù)時，則另一個乘數(shù)也為奇數(shù)，且只有一種答案（注意：數(shù)字5除外，5和0的規(guī)律比較特殊，后面補充）。 如右圖：由b×7結(jié)果個位為1，可推知3，利用后面介紹的高位分析法可繼續(xù)推出1，9。2、當(dāng)結(jié)果為偶數(shù)，其中一個乘數(shù)為奇數(shù)時，則另一個乘數(shù)為偶數(shù)，且只有一種答案。如右圖：由b×9結(jié)果個位數(shù)為8，可推知2，由后面介紹的高位分析法可繼續(xù)推知4，7。3、當(dāng)結(jié)果為偶數(shù)，其中一個乘數(shù)也為偶數(shù)時，則另一個乘數(shù)有兩種可能性，一奇一偶，且相差5。如右圖：由b×6結(jié)果個位數(shù)為4，可推知

36、4或9，當(dāng)4時，進而推出8或9，相對應(yīng)0或6。當(dāng)9時，進而推出8或9，相對應(yīng)3或9。共有四種可能性，再根據(jù)其他條件進行排除。4、當(dāng)結(jié)果為奇數(shù)，其中一個乘數(shù)為偶數(shù)時，另一個乘數(shù)無解，因為根據(jù)奇偶性，偶數(shù)乘于任何數(shù)都不可能等于奇數(shù)。如右圖：由b×8結(jié)果為7可推知此題無解。5、當(dāng)結(jié)果為5，則其中一個乘數(shù)必須為5，另一個為奇數(shù)。當(dāng)結(jié)果為0，則其中一個乘數(shù)為5，另一個為偶數(shù)，或者一個乘數(shù)為0即可。當(dāng)一個乘數(shù)為5，則結(jié)果為0或5，另一個乘數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果為0；另一個乘數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果為5。（2） 高位分析法（主要在乘法中運用）如右圖：由a×7結(jié)果為四十幾，結(jié)合進位考慮，可知5，6或7，

37、再根據(jù)其他條件進行排除。（3） 數(shù)字估算分析法（最大值與最小值的考量，經(jīng)常要結(jié)合數(shù)位考慮）如右圖：由×4，A為三位數(shù)，可推知25，由×3，B為二位數(shù)，可推知33，由×34，C為三位數(shù)，可推知29，綜合考慮可知2，5，6，7，8或9。再根據(jù)其他條件排除。（4） 加減乘法中的進位與借位分析前面三種分析法都涉及到了進位與借位，這里再次強調(diào)進位與借位的重要性，千萬不要忽視了（這是同學(xué)們非常容易出錯的地方。）加法進位中，加數(shù)有n個，則最多向前進1，乘法進位中，乘數(shù)是n，則最多向前進1。如右圖：由百位可推知十位向百位進2，而個位最多向十位進2，則推知a至少為9，即就是9，進而

38、繼續(xù)推知b也只能是9，而0。如右圖：由a×8等于四十幾而個位最多向前進7，得知a只能為5或6，而不能是4。注意：此處也可以利用數(shù)字估算分析法得出5062，同學(xué)們知道為什么嗎？（5） 分解質(zhì)因數(shù)分析法當(dāng)乘法數(shù)字謎中一個積全部已知或者只有一個數(shù)字未知而又沒有其他辦法判斷時，可考慮使用分解質(zhì)因數(shù)。由×206可將206分解質(zhì)因數(shù)，206=2×2×2×2×13，根據(jù)兩個乘數(shù)分別是一位數(shù)和兩位數(shù)可推知兩種可能性：52×4與26×8，又根據(jù)×3為兩位數(shù)可確定=26。（6） 奇偶性分析（加減乘法）數(shù)字謎中經(jīng)?？梢灾苯永?/p>

39、奇偶性進行排除選項。（見乘法個位規(guī)律里面的第四點。）復(fù)雜數(shù)字謎中不能直接確定某一數(shù)字時，經(jīng)常需要使用假設(shè)法進行逐一排除，排除的判斷一般是通過另外一個數(shù)字或者題目中其他條件來進行。如帶漢字的數(shù)字謎經(jīng)常需要符合的條件是“相同漢字代表相同數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字”等。（二）數(shù)陣圖的一般解題思路與步驟數(shù)陣圖中的數(shù)字關(guān)系一般比較復(fù)雜，同學(xué)們注意一定不要一開始就使用嘗試的方法，而應(yīng)該使用一定的技巧求出某些特殊位置的數(shù)字后再逐一分組嘗試。由于數(shù)陣圖中沒有填充之前各個數(shù)字的位置無法確定，所以從每一個單個數(shù)字上無法進行判斷，所以我們采用的是整體與個體相結(jié)合考慮的方法，即利用所有相關(guān)數(shù)字和全部相加法進行分析。一

40、般分為以下幾個步驟：（注意：建議先學(xué)習(xí)完幾個相關(guān)例題再回來進行總結(jié)）1、從整體考慮，將要求滿足相等的幾個數(shù)字和全部相加，一般為n×S的形式。 2、從個體考慮，分別計算每一個位置數(shù)字相加的次數(shù)，將比較特殊的（多加或少加幾次）位置數(shù)字用未知數(shù)表示，全部相加，一般為（題目所給全部數(shù)字和）×一般位置數(shù)字相加次數(shù)±（特殊位置數(shù)字和）×多加或少加次數(shù) 的形式。 3、根據(jù)整體與個體的關(guān)系，列出等式即：n×（題目所給全部數(shù)字和）×一般位置數(shù)字相加次數(shù)±（特殊位置數(shù)字和）×多加或少加次數(shù)4、根據(jù)數(shù)論知識即整除性確定特殊位置數(shù)的取值及

41、相對應(yīng)的S值。5、根據(jù)確定的特殊位置數(shù)字及S值進行數(shù)字分組及嘗試。三：幻方811211732136幻方中的各數(shù)互不相同，且橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3×3的數(shù)陣稱作三階幻方，4×4的數(shù)陣稱作四階幻方，5×5的稱作五階幻方我們這里重點介紹三階幻方的主要性質(zhì)，以上圖為例，主要有以下幾個，希望同學(xué)們牢記：1、能組成幻方的數(shù)必須為從小到大排列，首尾對應(yīng)相加均相等且等于中間數(shù)兩倍的九個數(shù)數(shù)列。如1，2，3， 6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般為等差數(shù)列（不完全是）。2、幻方的中心數(shù)為數(shù)列

42、中的中間數(shù)，如上一列數(shù)中的7必須位于幻方中心。3、幻方中關(guān)于中心對稱的兩數(shù)均為數(shù)列中首尾相對應(yīng)的配對，且兩數(shù)的平均數(shù)為中心數(shù)。如上列數(shù)中的1，13與4，10的平均數(shù)均為7。4、幻方中所有相等的和稱做幻和，幻方的幻和等于中心數(shù)的三倍。如幻和為21，等于中心數(shù)7的三倍。 5、數(shù)列中最大與最小數(shù)的配對不能出現(xiàn)在幻方中的四角，即只能出現(xiàn)在中間位置，依次可以得知第二大與第二小數(shù)的配對只能出現(xiàn)在四角，在構(gòu)造幻方的過程中如果能夠遵循這個規(guī)律可以很快地得出答案。 6、幻方中四角的數(shù)等于與它不相鄰的兩個行列中間數(shù)的平均數(shù)。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均

43、。 7、具有一個共同數(shù)的一行和一列中其他兩個數(shù)的和相等（同學(xué)們能不能知道為什么？）如第一行和第一列中有一個共同數(shù)8，則其他兩個數(shù)1+12=11+2。 綜合利用上面7個幻方性質(zhì)就可以得出很多幻方的解題思路了。趣題解析： 學(xué)習(xí)完幻方的性質(zhì)之后，開篇趣題就很好填了吧，首先根據(jù)性質(zhì)7，可知6=10+4，8，根據(jù)性質(zhì)3，可知：（4+8）÷2=6，根據(jù)性質(zhì)4，可知幻和為18，其他就全部根據(jù)每行相加等于幻和求出每一項，結(jié)果如圖所示： 三、經(jīng)典透析【例1】（）右面殘缺算式中只知道三個“4”，那么補全后它的乘積是 。審題要點：此題為乘法數(shù)字謎，由于其中A中4出現(xiàn)在高位，所以利用高位分析法進行突破。詳解

44、過程：解：1、由c×，A百位數(shù)為4，可知8或9，若8，則c×a必須向前進8，不可能。所以9。2、9時，a×9至少向前進4，即a×940，知a5。3、對5，6，7，8，9進行逐一驗算，驗算的主要方法是通過c中的4進行，若5，則405，4，但5×b末位不可能為4，排除。若6，則414，3，但6×b末位不可能為3，排除。若7，則423，2，7×b末位為2，則6，所以乘積為3243。若8，則432，1，但8×b末位不可能為1，排除。若9，則441，0，但9×b末位不可能為0，（因為乘數(shù)不能0開頭），排除。專家點評

45、：此題是乘法數(shù)字謎中比較經(jīng)典的一個題型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步驟1），進位分析法（步驟1），估算分析法（步驟2），個位分析法（步驟3），逐一嘗試法（步驟3），及排除法（步驟3），注意尋找數(shù)字謎突破口的方法，抓住題目所給的已知數(shù)字，從涉及已知數(shù)字所有的計算處考慮，首先考慮乘法的關(guān)系，因為能夠使用的分析法最多。希望同學(xué)也可以自己根據(jù)做題體會進行總結(jié)?！纠?】（）已知右面的除法算式中，每個表示一個數(shù)字，那么被除數(shù)應(yīng)是 。審題要點：此題屬于數(shù)字謎中的復(fù)雜題型，題目給出已知數(shù)字只有兩個，不能直接使用個位分析法與高位分析法，可以結(jié)合數(shù)位考慮利用數(shù)值大小估值的方法進行分析。詳解過程：解：1、首

46、先比較明顯可得出0，然后從2個數(shù)字的相關(guān)計算進行突破，首先，由于B只有兩位數(shù)，所以可估算推知=10，11或12。2、又，A為3位數(shù)，結(jié)合=10，11或12可知，9且，將其他各數(shù)補充完整即可。專家點評： 此題是結(jié)合數(shù)位進行估算的一個典型數(shù)字迷，也利用了循環(huán)推理的原理。先是根據(jù)數(shù)字8×的乘積，利用數(shù)位估算確定的可能值，再根據(jù)c×的乘積，利用數(shù)位估算確定為12。所以在數(shù)字迷中，不僅有數(shù)字的地方有突破口，沒有數(shù)字的地方也可能有突破口，一般是利用數(shù)位估算，當(dāng)然也有其他分析方法，例如利用進退位的分析進行突破?！纠?】（）在右面的乘法算式中，每一個中要填一個數(shù)字，不同的中文字代表不同的數(shù)

47、字，請問：“新年”兩字代表什么數(shù)字？ 審題要點：此題屬于乘法數(shù)字謎中較難的題型，由于題目中出現(xiàn)的幾個數(shù)字都為個位數(shù)，所以首先考慮運用個位分析法進行突破。詳解過程：解：1、A行中末位為1，可推知a×b有四種可能性，1×1，3×7，7×3，9×9，又因為A行中為5位數(shù)，所以排除1×1，若a×b為9×9，則又結(jié)合B，C，D行中末位為9，可推出h，f，d為1，與B，C，D都為5位數(shù)矛盾，排除。3×7，7×3暫時不能確定。2、假設(shè)7，3，由三個末位數(shù)是9，可推知7，這樣反復(fù)利用乘法和加法的個位分析法，可推

48、知6，4，g無法滿足。假設(shè)排除。3、假設(shè)3，7，由三個末位數(shù)為9，可推知3，同步驟2反復(fù)利用乘法與加法個位分析法，可依次推出，而且滿足，所以“新年”代表15。專家點評：此題也是乘法數(shù)字謎中非常經(jīng)典的一個題型，綜合運用的分析法非常的多，且反復(fù)使用，環(huán)環(huán)相扣，同學(xué)可以在練習(xí)中好好體會其中的巧妙之處，依次包括：個位分析法（乘法與加法）（步驟1，2，3），結(jié)合數(shù)位考慮數(shù)字大小估算分析法（步驟1），循環(huán)推導(dǎo)（步驟2，3）?！纠?】（）2008年奧運會快要到了，下圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環(huán)標(biāo)志，你能把19分別填入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等嗎？審題要點：此題屬于典型的數(shù)陣

49、圖，應(yīng)該利用數(shù)字和全部相加的方法進行解答，從整體與個體的角度，同時考察應(yīng)該填入的數(shù)字。詳解過程：解：1、首先由于一共5個圓圈的數(shù)字和相等，由于填入的數(shù)無法確認(rèn)，將5個數(shù)字和全部相加，由于數(shù)字和未知，設(shè)為S，則5個圓圈全部數(shù)字和為5S。2、考慮全部數(shù)字和5S中的各個組成部分：可知a，b，c，h，i只加了一次，而d，e，f，g四個加了2次，即可以看成1至9全部數(shù)字均加了一次，d，e，f，g多加了一次，表示為（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（）。3、 整體等于部分之和，列出方程：5（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（），化簡為545+（），的最小值為1+2+3+4=10，此時11，最大值為6+7+8+9=30，此時15，一共5種可能填法。4、逐一進行試驗：當(dāng)11時，d，e，f，g為1，2，3，4時，可得出答案為：當(dāng)12時，經(jīng)過試驗無解。當(dāng)13時，20，取2，4，6，8，得出答案：當(dāng)14時，25，取3，6，7，9，得出答案：當(dāng)15時，經(jīng)過試驗無解。【例5】（）小兔子在森林玩耍，遇到一個畫著奇怪圖形的樹樁，上面寫著：把10至20這11個數(shù)分別填入右圖的各圓