第8章導行電磁波

1、第八章 導行電磁波 第八章第八章 導行電磁波導行電磁波 8.1 沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析8.2 矩形波導矩形波導8.3 圓柱形波導圓柱形波導8.4 波導中的能量傳輸與損耗波導中的能量傳輸與損耗8.5 同軸線同軸線8.6 諧振腔諧振腔 第八章 導行電磁波 8.1 沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析 8.1.1 在導波裝置中電磁場縱向場分量與橫向場分量間的關(guān)系在導波裝置中電磁場縱向場分量與橫向場分量間的關(guān)系 在無耗的媒質(zhì)中電磁波沿+z方向傳輸，則對于角頻率的正弦電磁波，它滿足無源區(qū)域的麥克斯韋方程： 00EHHjEEjH

2、第八章 導行電磁波 采用廣義坐標系(u1, u2, z)，其中u1和u2為導波裝置橫截面上的坐標，z為縱向坐標。場強的縱向分量用Ez(u1, u2, z)和Hz(u1, u2, z)來表示，場強的橫向分量用Et(u1, u2, z)和Ht(u1, u2, z)表示，則場強矢量可表示為 ztztztztHHzuuHzuuHzuuHEEzuuEzuuEzuuE),(),(),(),(),(),(212121212121第八章 導行電磁波 ttzztzttttzztzttHjzEeEHjEEjzHeHEjHztzzttztzzttEejHzHzkHejEzEzk222222第八章 導行電磁波 0,

3、00, 022222222zzzzttttHkHEkEHkHEkE式中 為電磁波在無限媒質(zhì)中的波數(shù)。由分離變量法可知，式(8 - 4b)中的Ez和Hz的解，可表示為f(u1, u)e-z的形式， 其中 稱為導行電磁波的轉(zhuǎn)輸常數(shù)。這樣橫向場分量與縱向場分量間的關(guān)系可表示成 k22kkc)(1)(122ztztctztztctEzjHkEHzjEkE第八章 導行電磁波 將廣義柱坐標系中的t算子代入，可得橫向場分量的表達式為 112222222112112222222112111111112121uEhkjuHhkEuEhkjuHhkHuHhkjuEhkEuHhkjuEhkEzczcuzczcuzc

4、zcuzczcu第八章 導行電磁波 8.1.2 導行波波型的分類導行波波型的分類 1. 橫電磁波橫電磁波(TEM波波) 此傳輸模式?jīng)]有電磁場的縱向場量，即Ez=Hz=0，由式(8-6)可知，要使Et和Ht不為零，必須有kc=0，即 zcjkjkk22,10, 00, 022tztttttttttEeHHHEE第八章 導行電磁波 2. 橫電波橫電波(TE波波)或磁波或磁波(H波波) 此波型的特征是Ex=0, Hz0，所有的場分量可由縱向磁場分量Hz求出。 3. 橫磁波橫磁波(TM波波)或電波或電波(E波波) 此波型的特征是Hz=0，Ez0，所有的場分量可由縱向電場分量Ez求出。 第八章 導行電磁

5、波 8.1.3 導行波的傳輸特性導行波的傳輸特性 1. 截止波長與傳輸條件截止波長與傳輸條件 導行波的場量都有因子e-z(沿+z軸方向傳輸)，=+j， 為傳播常數(shù)。由前面的推導可知 222kkc 對于理想導波系統(tǒng)， 為實數(shù)，而kc是由導波系統(tǒng)橫截面的邊界條件決定的，也是實數(shù)。這樣隨著工作頻率的不同， 2可能有下述三種情況： (1) 20，即=。此時導行波的場為 tjaxeeuuEE),(21 顯然這不是傳輸波，而是沿z軸以指數(shù)規(guī)律衰減的，稱其為截止狀態(tài)。 (3) =0。這是介于傳輸與截止之間的一種狀態(tài)，稱其為臨界狀態(tài)， 它是決定電磁波能否在導波系統(tǒng)中傳輸?shù)姆炙畮X。這時由 所決定的頻率(fc)和

6、波長(c)分別稱為截止頻率和截止波長，并且 22kkcccccckfkf2,2第八章 導行電磁波 其中 為無限介質(zhì)中電磁波的相速，而kc稱為截止波數(shù)，并有 /1vcck2這樣導波系統(tǒng)傳輸TE波和TM波的條件為 ccff或截止條件為 ccff或?qū)τ赥EM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何頻率下， TEM都能滿足ffc=0的傳輸條件，均是傳輸狀態(tài)。也就是說TEM波不存在截止頻率。 第八章 導行電磁波 2. 波導波長波導波長 zggzkk222或在傳輸狀態(tài)下，=j=jkz，22221kkkkkkccz將kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 rr22121cczkk第八章 導行電磁波

7、 所以可得 rrcrrcg11/12002對于TEM波，c=， rrpg0第八章 導行電磁波 3. 相速、群速和色散相速、群速和色散(1) 相速。 21cprrcv對于TEM波(c)，有 rrpcvv(8 - 11a)第八章 導行電磁波 (2) 群速。群速是指一群具有相近的和kz的波群在傳輸過程中的“共同”速度，或者說是已調(diào)波包絡(luò)的速度。從物理概念上來看， 這種速度就是能量的傳播速度，其一般公式為 ddvg2222cczkkkk21cgvddv(8 - 11d)第八章 導行電磁波 可見，群速vgfc，為純虛數(shù)，=j=jkz， 電磁波才可能在波導中沿+z方向傳輸。這種z方向傳輸常數(shù)為 22222

8、bnamkkkcz或?qū)懗?)(12kffkkcz 當工作頻率低于截止頻率時，即f1，這時擊穿功率可減小到 brbrPP 事實上，波導的擊穿功率還與其它因素有關(guān)。如波導內(nèi)表面不干凈，有毛刺或出現(xiàn)不均勻性等等，都會使波導的擊穿功率進一步降低。為使波導能安全地工作，通常把傳輸線允許通過的功率Pt規(guī)定為 5131brtPP第八章 導行電磁波 8.4.2 波導的損耗和衰減波導的損耗和衰減 在考慮損耗的波導中，電磁波的傳輸常數(shù)是復數(shù)，即=+j=+jkz，此時電磁波的場矢量 )(2121)(2121),( ),(),( ),(zktjazzktjazzzeeuuHzuuEeeuuEzuuE式中E(u1，u2

9、)e-z和H(u1，u2)e-z是場矢量的振幅。顯然電磁波每傳輸一個單位距離，場矢量的振幅是原來值的e-z倍，而電磁波所攜帶的功率則是原來值的e-2倍。設(shè)在z處通過波導橫截面的功率為P，則傳輸一個單位距離所損耗的功率PL為 )1 (2aLePP(8 - 80)第八章 導行電磁波 在一般情況下，波導中任意橫截面處的傳輸功率P總是遠大于該處單位長度波導中損耗的功率PL，即PPL，這說明衰減常數(shù)1。在此種情況下，將e-2展成冪級數(shù)，并取前兩項作近似， 則式(8 - 80)可簡化為 PPL2由此可得衰減常數(shù)的近似表示式為 PPL2(8 - 81)第八章 導行電磁波 1. 波導內(nèi)壁導體損耗引起的衰減常數(shù)

10、波導內(nèi)壁導體損耗引起的衰減常數(shù)c 若要計算c，必須先計算傳輸功率P和損耗功率PL。由電磁場理論可知， 這兩部分功率分別為 0*)(Re21)(Re21SttLSdSHEPdSHEP第八章 導行電磁波 dlHRPdSHZPtlSLSt22|2|2)/(|2|22mNdSHzdlHRapStltSc式中，Z為傳輸模的波阻抗，RS為金屬材料的表面電阻。將式(8 - 84)和式(8 - 85)代入式(8 - 81)，可得 (8 - 84)(8 - 85)第八章 導行電磁波 202200020022221|2| )(2bHakaHdyHdxHHdlHzbxzylazxtbzzxlatHakabdxdyH

11、dSH022022222212110aababRaScTE第八章 導行電磁波 圖圖 8 - 16 矩形波導中矩形波導中TE10模的模的c特性曲線特性曲線 第八章 導行電磁波 2. 波導中填充介質(zhì)的損耗引起的衰減常數(shù)波導中填充介質(zhì)的損耗引起的衰減常數(shù)d 當波導中填充非理想介質(zhì)時，介質(zhì)中將損耗部分功率，使得電磁波在傳輸過程中衰減。波導中非理想介質(zhì)引起的損耗包括兩部分：一部分是由介質(zhì)電導率不等于零，即0而引起的； 另一部分是由介質(zhì)極化阻尼而引起的。 介質(zhì)電導率不為零引起的衰減常數(shù)dc由傳輸常數(shù)的表示式可以導出，其dc為 21tanccrrdea第八章 導行電磁波 介質(zhì)極化阻尼損耗引起的衰減常數(shù)de為

12、 21tancerrde式中tane=/稱為介質(zhì)損耗角正切。 以上的分析表明，對于空氣填充的波導，其損耗是由波導壁有限電導率引起的，衰減系數(shù)=c；對于非理想介質(zhì)填充的波導， 不僅有波導壁引起的損耗，而且還有介質(zhì)引起的損耗，其衰減常數(shù)=c+dc+de。 第八章 導行電磁波 8.5 同同 軸軸 線線 圖 8 - 17 同軸線的結(jié)構(gòu)與坐標 第八章 導行電磁波 8.5.1 同軸線主模同軸線主模TEM波的性質(zhì)波的性質(zhì)1. 同軸線中的場方程同軸線中的場方程 01122222rrrr0222drdrdrdr該方程的一般解為 nrBB110第八章 導行電磁波 zjzjrerEEerEE00 將以及式(8 -

13、22d)代入式(8 - 22a)，可得到同軸線中TEM波的橫向場分量為 式中E0是電場的振幅，是TEM波的波阻抗。 第八章 導行電磁波 2. 傳輸參數(shù)傳輸參數(shù) 設(shè)同軸線內(nèi)、外導體之間的電壓為U(z)，內(nèi)導體上的軸向電流為I(z)， 則 20002)(1)(zjbazjreEdrHdlHzIeabnEdrEzU由特性阻抗的定義可知其特性阻抗Z0為 abnabnIUZr160120第八章 導行電磁波 其相移常數(shù)和相速vp分別為 rpvvk0 (v0=光速) 其波導波長(相波長)為 rpgfv2第八章 導行電磁波 3. 傳輸功率與衰減傳輸功率與衰減設(shè)z=0時，內(nèi)、外導體之間的電壓為U0， abnUE

14、100zjrerabnUE110zjerabnUH110第八章 導行電磁波 同軸線傳輸TEM波的平均功率： 02020222112212|21|21ZUabnUrdrEEPbatSt同軸線的功率容量Pbr可按下式計算： 0221ZUPbrbrabnaEUbrbr1Ubr與Ebr的關(guān)系： 第八章 導行電磁波 故功率容量的計算公式可寫成 abnEaPbrrbr112022)/(1112mNpabnbaRSc)/(tan0mNprd第八章 導行電磁波 8.5.2 同軸線中的高次模同軸線中的高次模 ,.)2 , 1()(2)(nabnEmne 對于同軸線內(nèi)的TE或TM高階模來說，其截止波數(shù)kc所滿足的

15、方程都是超越方程，嚴格求解是很困難的，一般采用近似的方法得到其截止波長的近似表達式。對于TM波， 最低波型為TM01，其截止波長c(E01)=2(b-a)。 當m0、n=1時，對于TE波，其截止波長為 ,.)2 , 1()()(1mmbaHme第八章 導行電磁波 最低波型為H11， 其截止波長為 )()(11baHc在m=0時，TE01模的截止波長為 )(2)(01abHc第八章 導行電磁波 8.5.3 同軸線尺寸的選擇同軸線尺寸的選擇 1. 保證同軸線中單模保證同軸線中單模(TEM)傳輸傳輸 為了保證在同軸線中只傳輸TEM波，其工作波長與同軸線尺寸的關(guān)系應(yīng)滿足 )()(11baHc第八章 導

16、行電磁波 2. 保證傳輸電磁波能量時導體損耗最小保證傳輸電磁波能量時導體損耗最小 為了保證獲得最小的導體損耗，將c表達式(8-100a)中b保持不變，對a求導并令 ，可求得c取最小值時b/a的比值為 0/ac59. 3ab此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為77 。 第八章 導行電磁波 3. 保證同軸線具有最大的功率容量保證同軸線具有最大的功率容量 為了保證獲得最大的功率容量，可將Pbr的表達式(8-99)中b保持不變，對a求導并令 ， 可求得Pbr取最大值時b/a的比值為 0/aPbr65. 1ab此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為33。 第八章 導行電磁波 8.6 諧諧 振振 腔腔 8.6.

17、1 空腔諧振器的一般概念空腔諧振器的一般概念 圖 8 - 18 集總參數(shù)LC電路向空腔諧振器過渡 第八章 導行電磁波 1. 諧振波長諧振波長0 空腔諧振器的諧振波長0是指在空腔諧振器中工作模式的電磁場發(fā)生諧振時的波長。這時諧振器內(nèi)的電場能量的時間平均值與磁場能量的時間平均值相等。諧振波長0取決于諧振器的結(jié)構(gòu)形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/0(空氣填充時， v為自由空間的光速)稱為諧振頻率。 第八章 導行電磁波 2. 固有品質(zhì)因數(shù)固有品質(zhì)因數(shù)Q0 品質(zhì)因數(shù)Q是空腔諧振器的另一個重要參數(shù)。它表征了空腔諧振器的頻率選擇性和諧振器能量損耗，其定義為 LPWQ00系統(tǒng)中每秒的能損耗系統(tǒng)中的平均儲能一

18、個與外界沒有耦合的孤立空腔諧振器的品質(zhì)因數(shù)稱為固有品質(zhì)因數(shù)，以Q0表示。對孤立的空腔諧振器，式(8 - 101)中系統(tǒng)中每秒的能量損耗僅包括空腔諧振器本身的損耗， 如導體損耗和介質(zhì)損耗等。 (8 - 101)第八章 導行電磁波 當場量用瞬時值定義時，總儲能的時間平均值為 dVHdVEW21212121式中1為諧振器內(nèi)部介質(zhì)的介電常數(shù)，1為介質(zhì)的磁導率，V為諧振器的體積。對于孤立的金屬空腔諧振器，其損耗主要來自導體壁的損耗，所以PL為 dSHRdSRJPStSSSSL222121第八章 導行電磁波 StSVdSHRdVHQ22100由于 21SR所以式(8 - 104)也可以寫成 (8 - 10

19、4)StVdSHdVHQ2202第八章 導行電磁波 8.6.2 矩形空腔諧振器矩形空腔諧振器 圖 8 - 19 矩形波導諧振腔 第八章 導行電磁波 1. 諧振頻率諧振頻率 矩形波導諧振腔內(nèi)的場分量可由入射波和反射波疊加來求得。),(),(0zjkzjkzzeAeAyxEzyxE式中，E0(x, y)為該模式橫向電場的橫向坐標函數(shù)，A+、A-分別為正向和反向行波的任意振幅系數(shù)。TEmn和TMmn的傳輸常數(shù)為 2220bnamkkz式中， ，和是腔體內(nèi)填充介質(zhì)的磁導率和介電常數(shù)。 0k第八章 導行電磁波 將z=0處的邊界條件Et=0代入式(8 -106)，得到A+=A-，再將z=l處的邊界條件Et

20、=0代入式(8 - 106)，可得E(x, y, l)=-E0(x, y)2jA+sinkzl=0，由此可得 ), 3 , 2 , 1(plpkz2222lpbnamkmnp這表明， 諧振腔的長度必須為半波導波長的整數(shù)倍。由此得矩形波導諧振腔的諧振波數(shù)為 第八章 導行電磁波 這樣與矩形波導的模式相對應(yīng)，矩形諧振腔可以存在無限多個TEmnp模和TMmnp模，下標m、n、p分別表示沿a、b、l分布的半駐波數(shù)。TEmnp模和TMmnp模的諧振頻率為 222022lpbnamcvkfrrmnpomnp式中c為真空中的光速。最低的諧振頻率或最長的諧振波長為諧振腔的主模。矩形波導諧振腔的主模是TE10p模

21、，其諧振頻率為 22102lpacfrrp第八章 導行電磁波 2. TE10p模的固有品質(zhì)因數(shù)模的固有品質(zhì)因數(shù)Q0 zlpaxakEjHzlpaxZjEHzlpaxEEzTExysincoscossinsinsin00010矩形波導腔TE10p模的電磁場分量為 第八章 導行電磁波 圖 8 - 20 TE101模的場結(jié)構(gòu) 第八章 導行電磁波 TE10p模的電場儲能為 202222220*16116)(410EablakZEabldVHHHHWTEVxzzxm第八章 導行電磁波 allapabllabpERdxdzyHyHdxdyxHdxdyzHRdxHRPSzxalzblxbaSStSL228|

22、 )0(| )0(|2| )0(|2| )0(|22|212222202022002002002)22(12)(3323322200allapbllapRbkalRWQSLm第八章 導行電磁波 一般情況下，矩形波導諧振腔的填充介質(zhì)為干噪的空氣，介質(zhì)損耗不計。若填充的介質(zhì)為有耗介質(zhì)，其有耗介質(zhì)引起的Q值為Qd， 其值為 tan1dQ式中，tan為介質(zhì)損耗角正切。由腔體導體壁引起的Q值為Qc， 則總的固有品質(zhì)因數(shù)Q0為 1011dcQQQ第八章 導行電磁波 例例8-1 用BJ48銅波導做成矩形波導諧振腔，a=4.775cm， b=2.215cm，腔內(nèi)填充聚乙烯介質(zhì)(r=2.25, tan=410-

23、4)，其諧振頻率f0=5 GHz。若諧振模式分別為TE101或TE102，其要求腔長應(yīng)為多少，并求出它們的無載Q值。 解解： 當用BJ48波導傳輸f0=5GHz的電磁波時，其波數(shù)k應(yīng)為 1000208.1572mcfkrr得到諧振時的腔長l(m=1, n=0)為 22akpl第八章 導行電磁波 當工作在TE101模式時，其腔長應(yīng)取為 cml204. 204775. 0)08.157(22當工作在TE102模式時，其腔長應(yīng)取為 cml409. 404775. 0)08.157(222第八章 導行電磁波 銅的導電率=5.813107 S/m，則表面電阻為 201084. 12SR而 3 .2513

24、77r對于TE101模式： 3380cQ第八章 導行電磁波 對于TE102模式： 3864cQ對于TE101和TE102模式其介質(zhì)損耗的Q值為 2500tan1dQ對于TE101模式： 14371110dcQQQ對于TE102模式： 15181110dcQQQ第八章 導行電磁波 8.6.3 圓柱形諧振腔圓柱形諧振腔 圖 8-21 圓柱形波導諧振腔 第八章 導行電磁波 1. 諧振頻率諧振頻率 對于TE模： )sin()cos(cos)(21zkczkcmrkJAHzzcmmnz式中，kc=xmn/a, xmn是第一類m階貝塞爾函數(shù)導數(shù)的第n個根。 利用邊界條件 z=0和z=l處Hz=0，可得 ,.)2 , 1 , 0(, 01plpkczmn對于TM模，其縱向場分量為 )sin()cos(cos)(21zkczkcmrkJAEzzcmmnz第八章 導行電磁波 采用與TE模同樣的方法可以確定： ,.)2 , 1 , 0(, 02plpkczmn在8.3節(jié)中，已經(jīng)給出 220220axkkaxkkmnzmnmnzmn(TE模)(TM模)在諧振腔中， lpkzmn第八章 導行電磁波 所以諧振波數(shù)應(yīng)為 220220axkkax