多元函數(shù)的泰勒極值球閥

1、8.6 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 主要內(nèi)容主要內(nèi)容1、多元函數(shù)泰勒公式、多元函數(shù)泰勒公式2、多元函數(shù)的極值和最值、多元函數(shù)的極值和最值3、條件極值拉格朗日乘數(shù)法、條件極值拉格朗日乘數(shù)法 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函數(shù)的泰勒公式：一元函數(shù)的泰勒公式：8.6 多元函數(shù)泰勒公式與極值多元函數(shù)泰勒公式與極值一、問題的提出一、問題的提出引入函數(shù)引入函數(shù)).10(),()(00 tktyhtxft顯然顯然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 利

2、用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn由由 的定義及多元復合函數(shù)的求導法則的定義及多元復合函數(shù)的求導法則,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx (*),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC )1(,),(!1),(! 21),(),

3、(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf )2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn公式公式)1(稱為二元函數(shù)稱為二元函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx的的 n 階泰階泰勒公式勒公式, ,而而nR的表達式的表達式)2(稱為稱為拉格朗日型余項拉格朗日型余項. .定定理理 設設),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且有有直直到到1 n階階的的連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù), , ),(00kyhx 為為此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任一一點點, ,則則有有二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式 )

4、10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnn)()(22khoRnn ),(00yxfykxh ),(002yxfykxh 一般地一般地,記號記號表表示示),(00yxfykxhm 00(,)0.mmppm pxypm pmpfh kxyC0000(,)(,),xyhfxykfxy22000000(,)2(,)(,),xxxyyyh fxyhkfxyk fxy )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由

5、)3(式式可可知知, ,誤誤差差nR是是當當0 時時比比n 高高階階的的無無窮窮小小. .當當0 n時時, ,公公式式)1(成成為為),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式稱為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.推論推論 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxf的偏導數(shù)的偏導數(shù)),(yxfx, ,),(yxfy在某一鄰域內(nèi)都恒等于零在某一鄰域內(nèi)都恒等于零, ,則函數(shù)則函數(shù)),(yxf在該區(qū)域在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù). .例例 1 1求函數(shù)求函數(shù))1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. .解解1( ,

6、)( , ),1xyfx yfx yxy,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p(0,0)(0,0)(0,0),xyxyfxfyfxyxy2222(0,0)(0,0)2(0,0)(0,0) () ,xxxyyyxyfx fxyfy fxyxy 332233(0,0)(0,0)3(0,0)3(0,0)(0,0)2() ,xxxxxyxyyyyyxyfxyx fx yfxy fy fxy又又0)0 , 0( f, ,故故,

7、)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR階階）展展開開成成泰泰勒勒公公式式（到到二二把把函函數(shù)數(shù)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)按按皮皮亞亞諾諾余余項項在在點點例例221),()0 , 0(2yxyxf )(),(),(2),(!21),(),(),(),(200002000000000022nyxyxxokyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxf 解解：1)0 , 0( f01)0 , 0()0,0(22 yxxfx0)0 , 0( yf1)1(1)0 , 0()0,0(232222 yxyfx1)

8、0 , 0(2 yf0)1()0 , 0()0,0(2322 yxxyfxy)(),(),(2),(!21),(),(),(),(2200002000000000022 okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx22222111( 1)()2!xyxyo 022 yx ykxh ,令令 特別的：二元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極大大值值；若若滿滿足足不不等

9、等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；1 1、多元函數(shù)極值的定義、多元函數(shù)極值的定義 設設P P R Rn n, , 函數(shù)函數(shù)u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某鄰域的某鄰域U(pU(p0 0, , ) )內(nèi)有內(nèi)有定義，對任何定義，對任何p p U(p U(p0 0, , ), ), , , 都有都有f(p)f(pf(p)f(pf(p)f(p0 0), ), 稱稱函數(shù)函數(shù) u=f(p)u=f(p)在在p p0 0點有極小值。點有極小值。0pp(1)(2)(3)例例1 1處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(4322yxz 例例

10、處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為使函數(shù)取得極值的點稱為極值點極值點. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設設),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當當0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx

11、 處有極大值處有極大值,例例, 點點)0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的唯唯一一駐駐點點，但但不不是是極極值值點點.注：注：1）極值點處的切平面平行于）極值點處的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一階偏導數(shù)同時為零的點，稱為）使一階偏導數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.駐點駐點極值點極值點如何判定駐點是否為極值點？如何判定駐點是否為極值點？注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令令: : Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條

12、件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值也可能沒有極值求求函函數(shù)數(shù)z z= =f f( (x x, ,y y) )極極值值的的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判

13、定是否是極值的符號，再判定是否是極值.在點在點（0 0，0 0）處，）處，A=B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此時應用極值定義判斷此時應用極值定義判斷 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否為極值是否為極值對足夠小的正數(shù)對足夠小的正數(shù) ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0這說明在點這說明在點（0 0，0 0）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0f(0, ,0)0)的點，又有函數(shù)值小于的點，又有函數(shù)值小于 f(0f(0，0)0)的點，故的點，故f(0f(0，0)0)非極值非極值. .求最值的一

14、般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大者即為最大值，最小者即為最小值. .3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例: : 求求函函數(shù)數(shù) z z= =f f( (x x, ,y y) )= =x x2 2+ +4 4y y2 2+ +9 9 在在區(qū)區(qū)域域 D D：x x2 2+ +y y2 24 4 上上的的最最大大值值 M 和和最最小小值值 m. .解解 第第一一步步，求求 f f 在在域域內(nèi)內(nèi)的的可可能能極極值

15、值點點的的函函數(shù)數(shù)值值為為此此解解: : f fx x( (x x, ,y y) )= =2 2x x= =0 0，f fy y( (x x, ,y y) )= =8 8y y= =0 0，駐駐點點( (0 0, ,0 0) ), , f f( (0 0, ,0 0) )= =9 9. .第第二二步步，求求 f f 在在邊邊界界上上的的可可能能最最值值點點的的函函數(shù)數(shù)值值在在邊邊界界 x x2 2+ +y y2 2= =4 4 上上，z z= =x x2 2+ +y y2 2+ +3 3y y2 2+ +9 9= =3 3y y2 2+ +1 13 3，2 2y y2 2， 令令：06 ydy

16、dz, , 得得 y y= =0 0，z z= =1 13 3; ; y y= =2 2 時時，z z= =2 25 5 第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，最小者為最小者為m故故M=25=25，m=9=9解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxD在在邊邊界

17、界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD(舍去舍去x1)例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得得駐駐點點)21,21(和和)21,21( ,解解 由由 x=y即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21(

18、 z,21)21,21( z所所以以最最大大值值為為21，最最小小值值為為21 .因因為為01lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.實例：實例： 張三有張三有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設每張磁設每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果

19、xyyxyxUlnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108 yx四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值, , ,x yx y解出其中就是可能的極值點的坐標.例例 7 7 將將正正數(shù)數(shù) 12 分分成成三三個個正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為 2x=

20、3y, y=2z例例 8 8 在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面 1222222 czbyax的的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標體積最小，求切點坐標.解解設設),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222 czbyaxzyxF, 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zc

21、z ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在在條條件件1220220220 czbyax下下求求 V 的的最最小小值值,在在條條件件1220220220 czbyax下下求求 V 的的最最小小值值,令令 ,lnlnln000zyxu 由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 333abc當切點坐標為，時，1. 在橢圓在橢圓 上求一點，使

22、其到直線上求一點，使其到直線4422 yx0632 yx的距離最短。的距離最短。解解 設設P(x，y)為橢圓為橢圓 上任意一點，則上任意一點，則P到直線到直線4422 yx0632 yx的距離為的距離為13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值點即求的最小值點即求 的最小值點。作的最小值點。作2d由由Lagrange乘數(shù)法，令乘數(shù)法，令0, 0, 0 FyFxF得方程組得方程組 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程組得解此方程組得53,58;53,582211 yxyx于是于是.1311,1

23、31),(),(2211 yxyxdd由問題的實際意義最短距離存在，因此由問題的實際意義最短距離存在，因此 即為所求點。即為所求點。 53,58 0440)83(22yxyx ),(zyx解解：設設點點zd 則則)1543()1(),(22212 zyxyxzzyxF 設設32),(21 xzyxFx42),(21 yzyxFy52),(2 zzyxFz0 0 0 yx86 122 yx又又43,55xy 1285,123521 zz)1235,53,54(距離最短點距離最短點之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz3.3.解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設設分析分析:2222( , , ), ,102261(22) )6P x y zx y zxyzdxyzdxyz本題實際為求一點，使得滿足且使即最小),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 0