北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

初三年級(jí)數(shù)學(xué)

班級(jí)______姓名______學(xué)號(hào)______

~，.本試卷共10頁(yè)，共三道大題，28道小題；答題紙共3頁(yè)。

士滿分100分。考試時(shí)間120分鐘。

考

Z2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)。

生

『3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效。

須

/4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題黑色字跡簽字筆作答。

知

____

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意。每小題

2分，共16分）

1.剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，先后入選中國(guó)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

代表作名錄.以下剪紙中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.拋物線y=3（%-1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（-1,2）D.(-1,-2)

3.已知。。的半徑為5,若點(diǎn)。到點(diǎn)P的距離為4,則點(diǎn)P（）

A.在。。內(nèi)B.在。。外C.在。。上D.不能確定

4.將一元二次方程Y_4x+3=0通過配方轉(zhuǎn)化為（％+=人的形式,下列結(jié)果中正確的是（）

A.(x-2)2=1B.(x+2)2=1C.(x+2)2=3D.(x-2)2=7

5.如圖，。。是正方形ABCD的外接圓，若。。的半徑為2,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.2夜D.4

6.自電影《長(zhǎng)津湖》上映以來，全國(guó)票房連創(chuàng)佳績(jī).據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約2億元，以后每天票房

按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)18億元，若將增長(zhǎng)率記作X,則方程可列為（）

A.2+2x+2x2=18B.2(l+x)2=18

C.（l+x）2=18D.2+2（l+x）+2（l+x）2=18

7.如圖，在0。中，A3是直徑，C,。為0。上的點(diǎn)，BC=DC.若/CBD=35°,則/ABC的度數(shù)為

A.35°B.45°C.55°D.650

8.如圖，在菱形ABC。中，/24。=&（0。＜。＜90。），。為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到菱形AB'C'。'，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E,F,G,H.對(duì)八邊形BEB'GDH。'石給出下面四

個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A.對(duì)于任意a,該八邊形都是正八邊形

B.存在唯一的a,使得該八邊形為正八邊形

C.對(duì)于任意a,該八邊形都有外接圓

D.存在唯一的a,使得該八邊形有內(nèi)切圓

二、填空題（共8道小題，每題2分，共16分）

9.若x=1是一元二次方程x2-2x+k=0的一個(gè)根，則上的值為.

10.把拋物線y=gx2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為.

11.如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，若/AO5=128。，則/C=.

O

12.如圖，PA,PB,MN分別與0。相切于點(diǎn)A,B,。三點(diǎn).若AP=2.5,則△尸肱V的周長(zhǎng)為

13.拋物線y=—2（x—3）2+4上三點(diǎn)分別為4（—1,%）,磯3,必），。（5,%），則%,為，%的大小關(guān)系

為.（用號(hào)連接）.

14.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)。、E、F分別為邊AC,AB,BC的中點(diǎn)，若分別以E,D,尸為圓心，6

為半徑，作三個(gè)60。的扇形，則圖中陰影部分的面積為

15.某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，該賓館規(guī)定每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格不低于180元，且不高于250元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，

每天入住的房間數(shù)y（單位：間）與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格x（單位：元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式：y=--x+170,

則當(dāng)該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格％=元時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)房日營(yíng)業(yè)額w（單位：元）最大，最大營(yíng)業(yè)額為____元.

16.如圖，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，于點(diǎn)。，且A￡）=J5+2,點(diǎn)8,C均在直線/上，/5AC=45°,

則的最小值為

三、解答題（共12道小題，第17~21,24題，每題5分，第22、23、25、26題，每題6分,

第27,28題，每題7分，共68分）

17.解關(guān)于x的一元二次方程：6%+l=o.

18.下面是小石設(shè)計(jì)的“過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,AABC.

求作：直線3。，使得3r>〃ac.

作法：如圖2,

①分別作線段AC,8c的垂直平分線4，12,兩直線交于點(diǎn)。；

②以點(diǎn)。為圓心，04長(zhǎng)為半徑作圓；

③以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)。；

④作直線30.

直線5。即為所求作的直線.

根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接AD,

?.?點(diǎn)A,B,C,。在。。上，AD=BC,

AD=.

:.NDBA=NCAB（）（填推理的依據(jù)）.

BD//AC.

19.如圖，AA05的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，4（—1,3）,5（-2,2）.

(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；

(2)將AAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A。耳，畫出旋轉(zhuǎn)后的△4。四；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)3經(jīng)過的路徑為54,求的長(zhǎng).

20.如圖，在△ABC中，NACfi=90°,30°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段A。,

連接CZ>,BD.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)若BC=2也,求線段的長(zhǎng).

21.如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分.如果M是0。中弦CD的中點(diǎn)，EM

經(jīng)過圓心。交0。于點(diǎn)E,CD=10,5M=25.求0。的半徑.

22.已知二次函數(shù)y=必+〃〃與一次函數(shù)y=履+6(左/0)交于和網(wǎng)2,-2)兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)0WX<4時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是；

(3)關(guān)于x的不等式犬+(加—左)]+〃</?的解集為.

備用圖

23.已知關(guān)于x的一元二次方程_?+（7〃一4）%-2/〃+4=0.

（1）求證：無論加取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是正整數(shù)，求加的值.

24.甲，乙兩名同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球發(fā)出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.如圖建立平面直

角坐標(biāo)系，羽毛球從。點(diǎn)的正上方發(fā)出，飛行過程中羽毛球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單

位：m）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y=+左（々<0）.

比賽中，甲同學(xué)連續(xù)進(jìn)行了兩次發(fā)球.

（1）甲同學(xué)第一次發(fā)球時(shí)，羽毛球的水平距離x與豎直高度y的七組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m0123456

豎直高度y/m12.7544.7554.754

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下列問題：

①當(dāng)羽毛球飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是m；

②在水平距離5m處，放置一個(gè)高1.55m的球網(wǎng)，羽毛球（填“是”或“否”）可以過網(wǎng);

③求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-l^+k（a<0）；

（2）甲同學(xué)第二次發(fā)球時(shí)，羽毛球的豎直高度y與水平距離x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系

y=-0.2（x-4.5）2+5.2.乙同學(xué)在兩次接球中，都是原地起跳后使得球拍達(dá)到最大高度2.75m時(shí)剛好接到

球，記乙同學(xué)第一次接球的起跳點(diǎn)的水平距離為d,第二次接球的起跳點(diǎn)的水平距離為幺，則人-4

（填或“="）.

25.如圖，A3是。。的直徑，8，人5于點(diǎn)〃，M為08的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DELCB交CB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.點(diǎn)尸在AC上，DF交AB于點(diǎn)N.

（1）求證：OE是。。的切線；

(2)若/CDB=45°,DE<,求FN的長(zhǎng).

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax1-IcTx+a3-2（a^0）.

（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含。的式子表示）；

（2）己知〃（玉,yj,N（3a,%）是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若對(duì)于。+1＜西＜。+2,都有％＜%，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

27.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,。為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段A。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°―。，

得到線段AE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，連接DE,點(diǎn)產(chǎn)為線段DE的中點(diǎn)，連接求證：BC=2AF；

（2）當(dāng)A￡）＜A3時(shí)，連接BE,CD,取3E中點(diǎn)G,連接AG.

①如圖2,當(dāng)。點(diǎn)在△ABC內(nèi)部時(shí)，用等式表示線段AG與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②令。=90°,若當(dāng)A,D,G三點(diǎn)共線時(shí)，恰有NAG3=120。，直接寫出此時(shí)一的值.

CD

28.如圖，給定線段及其垂直平分線上的一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在線段上），若以P為圓心，為半徑

的優(yōu)弧上存在三個(gè)點(diǎn)可以作為一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為線段的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”.特別地，若

這樣的等邊三角形只存在一個(gè)，則稱點(diǎn)P為線段"N的“大實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A坐標(biāo)

為（2,0）,點(diǎn)3為第一象限內(nèi)一點(diǎn).

(1)在點(diǎn)中，可以成為線段的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”的是.

(2)若平面內(nèi)存在一點(diǎn)。既是線段04的“大實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，又是線段08的“大實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，求點(diǎn)3的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，以A為圓心，49為半徑作圓，圓上一動(dòng)點(diǎn)K從。出發(fā)，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。

后停止.設(shè)點(diǎn)K出發(fā)后轉(zhuǎn)過的角度為a(0°<a<270。)，若恰有線段AK的2個(gè)“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”片，工滿足

NOF&=ZOF2B=120°,請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中參考答案

九年級(jí)數(shù)學(xué)

一、選擇題（每小題2分，共16分）

二、填空題(每小題2分，共16分)

12

9.1l0.y=—(x—1)~+311.116°12.5

2'7

13.14.546—18萬15.180,1440016.2&

三、解答題（共12道小題，第17~21,24題，每題5分，第22、23、25、26題，每題6分,

第27,28題，每題7分，共68分）

17.x-—6x+l=0

解：（％—3『=8

石=3+2-72,x2=3—2-72...................................5分

18.(1)

（2）AD=BC,等弧所對(duì)的圓周角相等

19.(1)(1,-3)

⑶解：???5(—2,2),二03=20,

180

D

20.解(1)"k”...............................1分

(2)???NAC3=90°,^BAC=3Q°,BC=26，

..AB=45AC=y/AB2-BC2=6.

線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

ZACD=60°,AD=AC=6,

ZBAD=ZBAC+NCAD=90°.

在Rt△54￡)中，?.?A3=4石，AD=6,

BD=y/AB2+AD2=2A/21.............................5分

21.解:連接CO,

設(shè)CO=r,EM=25,則OM=25—r,

?.?M是。。中弦CO的中點(diǎn)，石M經(jīng)過圓心。，

交O。于點(diǎn)E,..?應(yīng)0，CD，

-.-CD=10,:.CM=-CD=5,

2

在RtZ^CQW中,r2=(25-r)2+5\

解得r=13,故。。的半徑為13m...............................5分

22.解:⑴將A(-1,1)和8(2,-2)代入二次函數(shù)y=%2+〃2x+〃中，得:

1-m+H=1,[m=-2,

,解得1,

4+2m+n——2[〃二一2

/.y=x2-lx-2..............................2分

(2)-3<y<6............................4分

(3)—1<x<2............................6分

23.解：(1)A=(m-4)-—2m+4)=m2>0,

無論加取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根................3分

(2)解關(guān)于x的一元二次方程/+(m—4)x—2/〃+4=0,得

%=2,x2-2-m.

?.?該方程的根都是正整數(shù)，...2—加之1,

:機(jī)為正整數(shù)，：.m=l.................6分

24.解：(1)①4；................1分

②是.................2分

③V(4,5)為拋物線y=a(x-hy+k(a<0)的頂點(diǎn)，

y=+5

1

將(0,1)帶入到,=。(%—4)9一+5中，得a=—4，

1,

y=--(x-4)+5.................4分

(2)>................5分

25.(1)證明：如圖1,連接OC,OD.

?.?直徑ABLCD,..5c=3。，

:.NCOB=NDOB.

-.AB±CD,M為08的中點(diǎn)，.,.(%)=CB.

-.-OC=OB：.CO=CB=OB,

△OCB為等邊三角形，，NOCB=NCOB=60°,

:.NDOB=NCOB=6(r,ZCOD=：120°,

NOCD=NODC=30°,/./BCD=NBOC-NOCD=30",

NBCD=ZBOC-NOCD=30°,

NDCB=NCDO=30。，OD//CE.

DE，CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,/DEC=90。，

/ODE=180°—/ODE=90°,：.OD_LDE.

?.?OD為半徑，.?.￡)￡為0。切線................3分

4

D

圖I

(2)如圖2,連接CN,CF.

^CED=90°,NCDE=30。，DE=0,:.CD=2DE=2/.

?.?直徑？18,0),.?.四=。凹=!0)=6.

2

ABLCD,CM=DM,：.NC=ND.

?.-NCDF=45°NCND=90°,/.NCNF=90°.

?.,NCND=90°,NC=ND,CD=26,:.CN=JcD=^.

2

NCOD=120°,NCFD=60。.

NCNF=90°,NCFD=60°,CN=R,

.-.FN^—CN=42...............................6分

3

26.解(1)1.1y=ax2-2a2x+a3-2=o(x-?)2-2(?0)

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,—2)............................2分

(2)①如圖1,當(dāng)a>0時(shí)，

a>0,3a>a.

,/當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，

且對(duì)于〃+1<%<4+2,都有％<%，

〃+2<3a,:.a>l.

圖?

②如圖2,當(dāng)。<0時(shí),

記（國(guó),％）關(guān)于x=a的對(duì)稱點(diǎn)為（用,%），

a<0,3a<a.

?.?當(dāng)x<a時(shí)，y隨x的增大而增大，

且對(duì)于。-2<%3<。一1，都有％<%，

ci—1W3a,—Va<0.

2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為—或............6分

2

27.(1