高中數(shù)學教學設計大賽獲獎作品匯編(中冊-共10課-含點評)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學教學案例設計匯編（中 部）10、直線與平面平行的判定一、教學內容分析: 本節(jié)教材選自人教A版數(shù)學必修第二章第一節(jié)課，本節(jié)內容在立幾學習中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位。本節(jié)課是在前面已學空間點、線、面位置關系的基礎作為學習的出發(fā)點，結合有關的實物模型，通過直觀感知、操作確認(合情推理，不要求證明)歸納出直線與平面平行的判定定理。本節(jié)課的學習對培養(yǎng)學生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對線線平行、面面平行的判定的學習作用重大。二、學生學習情況分析：任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，但學習立幾所具備的語言表達及空間感與空間想象能力相對不

2、足，學習方面有一定困難。三、設計思想本節(jié)課的設計遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，操作確認，合情推理，歸納出直線與平面平行的判定定理，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示直線與平面平行的判定、理解數(shù)學的概念，領會數(shù)學的思想方法，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，發(fā)展學生的空間觀念和空間想象力，提高學生的數(shù)學邏輯思維能力。四、教學目標通過直觀感知觀察操作確認的認識方法理解并掌握直線與平面平行的判定定理，掌握直線與平面平行的畫法并能準確使用數(shù)學符號語言、文字語言表述判定定理。培養(yǎng)學生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)

3、的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學生在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態(tài)度，提高學習的自我效能感。五、教學重點與難點重點是判定定理的引入與理解，難點是判定定理的應用及立幾空間感、空間觀念的形成與邏輯思維能力的培養(yǎng)。六、教學過程設計（一）知識準備、新課引入提問1：根據(jù)公共點的情況，空間中直線a和平面有哪幾種位置關系？并完成下表：(多媒體幻燈片演示)位置關系公共點符號表示圖形表示我們把直線與平面相交或平行的位置關系統(tǒng)稱為直線在平面外，用符號表示為a提問2：根據(jù)直線與平面平行的定義(沒有公共點)來判定直線與平面平行你認為方便嗎？談談你的

4、看法，并指出是否有別的判定途徑。設計意圖：通過提問，學生復習并歸納空間直線與平面位置關系引入本節(jié)課題，并為探尋直線與平面平行判定定理作好準備。（二）判定定理的探求過程1、直觀感知提問：根據(jù)同學們日常生活的觀察，你們能感知到并舉出直線與平面平行的具體事例嗎？生1：例舉日光燈與天花板，樹立的電線桿與墻面。生2：門轉動到離開門框的任何位置時，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行(由學生到教室門前作演示)，然后教師用多媒體動畫演示。學情預設：此處的預設與生成應當是很自然的，但老師要預見到可能出現(xiàn)的情況如電線桿與墻面可能共面的情形及門要離開門框的位置等情形。2、動手實踐教師取出預先準備好的直角梯形泡沫板演

5、示：當把互相平行的一邊放在講臺桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面的位置給人以平行的感覺，而當把直角腰放在桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺，則大家會感覺到老師（視為線）與四周墻面平行，如老師向前或后傾斜則感覺老師(視為線)與左、右墻面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺老師(視為線)與前、后墻面平行(老師也可用事先準備的木條放在講臺桌上作上述情形的演示)。設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是為了讓學生更清楚地看到線面平行與否的關鍵因素是什么，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數(shù)學，領悟空間觀念與空間圖形性質。3、探究思考(1)上述演示的直線與平面位

6、置關系為何有如此的不同？關鍵是什么因素起了作用呢？通過觀察感知發(fā)現(xiàn)直線與平面平行，關鍵是三個要素：平面外一條線 平面內一條直線 這兩條直線平行(2)如果平面外的直線a與平面內的一條直線b平行，那么直線a與平面平行嗎？4、歸納確認：（多媒體幻燈片演示）直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和這個平面平行。簡單概括：（內外）線線平行線面平行符號表示：溫馨提示：作用：判定或證明線面平行。關鍵：在平面內找（或作）出一條直線與面外的直線平行。思想：空間問題轉化為平面問題（三）定理運用，問題探究（多媒體幻燈片演示）1、想一想：(1)判斷下列命題的真假？說明理由：如果一條

7、直線不在平面內，則這條直線就與平面平行( )過直線外一點可以作無數(shù)個平面與這條直線平行( )一直線上有二個點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行( )(2)若直線a與平面內無數(shù)條直線平行，則a與的位置關系是( )A、a |B、a C、a |或aD、學情預設：設計這組問題目的是強調定理中三個條件的重要性，同時預設(1)中的學生可能認為正確的，這樣就無法達到老師的預設與生成的目的，這時教師要引導學生思考，讓學生想象的空間更廣闊些。此外教師可用預先準備好的羊毛針與泡沫板進行演示，讓羊毛針穿過泡沫板以舉不平行的反例，如果有的學生空間想象力強，能按老師的要求生成正確的結果則就由個別學生進行演示。2、作

8、一作：設a、b是二異面直線，則過a、b外一點p且與a、b都平行的平面存在嗎？若存在請畫出平面，不存在說明理由？先由學生討論交流，教師提問，然后教師總結，并用準備好的羊毛針、鐵線、泡沫板等演示平面的形成過程，最后借多媒體展示作圖的動畫過程。設計意圖：這是一道動手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定理的認識，更重要的是培養(yǎng)學生空間感與思維的嚴謹性。3、證一證：例1(見課本60頁例1)：已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，求證：EF | 平面BCD。變式一：空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA中點，連結EF、FG、GH、HE、AC、BD請分別找出圖中滿

9、足線面平行位置關系的所有情況。(共6組線面平行)變式二：在變式一的圖中如作PQEF，使P點在線段AE上、Q點在線段FC上，連結PH、QG，并繼續(xù)探究圖中所具有的線面平行位置關系？(在變式一的基礎上增加了4組線面平行)，并判斷四邊形EFGH、PQGH分別是怎樣的四邊形，說明理由。設計意圖：設計二個變式訓練，目的是通過問題探究、討論，思辨，及時鞏固定理，運用定理，培養(yǎng)學生的識圖能力與邏輯推理能力。例2：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1中點，求證：EF | 平面BDD1B1 分析：根據(jù)判定定理必須在平面BDD1B1內找(作)一條線與EF平行，聯(lián)想到中點問題找中點

10、解決的方法，可以取BD或B1D1中點而證之。思路一：取BD中點G連D1G、EG，可證D1GEF為平行四邊形。思路二：取D1B1中點H連HB、HF，可證HFEB為平行四邊形。知識鏈接：根據(jù)空間問題平面化的思想，因此把找空間平行直線問題轉化為找平行四邊形或三角形中位線問題，這樣就自然想到了找中點。平行問題找中點解決是個好途徑好方法。這種思想方法是解決立幾論證平行問題，培養(yǎng)邏輯思維能力的重要思想方法4、練一練：練習1：見課本6頁練習1、2練習2：將兩個全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，設M、N分別為AC、BF中點，求證：MN | 平面BCE。變式：若將練習2中M、N改為AC、BF分點且AM =

11、 FN，試問結論仍成立嗎？試證之。設計意圖：設計這組練習，目的是為了鞏固與深化定理的運用，特別是通過練習2及其變式的訓練，讓學生能在復雜的圖形中去識圖，去尋找分析問題、解決問題的途徑與方法，以達到逐步培養(yǎng)空間感與邏輯思維能力。（四）總結先由學生口頭總結，然后教師歸納總結（由多媒體幻燈片展示）：1、線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與這個平面平行。2、定理的符號表示：簡述：（內外）線線平行則線面平行3、定理運用的關鍵是找（作）面內的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質等。七、教學反思本節(jié)“直線與平面平行的判定”是學生學習空間位置關系的

12、判定與性質的第一節(jié)課，也是學生開始學習立幾演澤推理論述的思維方式方法，因此本節(jié)課學習對發(fā)展學生的空間觀念和邏輯思維能力是非常重要的。本節(jié)課的設計遵循“直觀感知操作確認思辯論證”的認識過程，注重引導學生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，從多角度認識直線和平面平行的判定方法，讓學生通過自主探索、合作交流，進一步認識和掌握空間圖形的性質，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，發(fā)展合情推理、發(fā)展空間觀念與推理能力。本節(jié)課的設計注重訓練學生準確表達數(shù)學符號語言、文字語言及圖形語言，加強各種語言的互譯。比如上課開始時的復習引入，讓學生用三種語言的表達，動手實踐、定理探求過程以及定理描述也注重三種語言的表達

13、，對例題的講解與分析也注意指導學生三種語言的表達。本節(jié)課對定理的探求與認識過程的設計始終貫徹直觀在先，感知在先，學自己身邊的數(shù)學，感知生活中包涵的數(shù)學現(xiàn)象與數(shù)學原理，體驗數(shù)學即生活的道理，比如讓學生舉生活中能感知線面平行的例子，學生會舉出日光燈與天花板，電線桿與墻面，轉動的門等等，同時老師的舉例也很貼進生活，如老師直立時與四周墻面平行，而向前、向后傾斜則只與左右墻面平行，而向左、右傾斜則與前后黑板面平行。然后引導學生從中抽象概括出定理。本節(jié)課對定理的運用設計了想一想、作一作、證一證、練一練等環(huán)節(jié)，能從易到難，由淺入深地強化對定理的認識，特別是對“證一證”中采用一題多解，一題多變的變式教學，有利

14、于培養(yǎng)學生思維的廣闊性與深刻性。本節(jié)課的設計還注重了多媒體輔助教學的有效作用，在復習引入，定理的探求以及定理的運用等過程中，都有效地使用了多媒體。福建省寧德第一中學 葉洪康點評本節(jié)課教師利用教室現(xiàn)有實物，如日光燈管、地面、教師個人、門等做教具，讓學生認識和理解直線和平面平行的理由和條件。學生在應用觀察、猜想等手段探索研究判定定理時，能獲得視覺上的愉悅，增強探求的好奇心。學生經(jīng)過思維活動，從中找出一類事物的本質屬性，最后通過概括得出新的數(shù)學概念。創(chuàng)設的問題情景有效，能遵循認識規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象。本節(jié)課的設計符合新課程立幾中“直觀感知操作確認思辯論證”的教學理念。整體設計中規(guī)中矩，自

15、然流暢。教師對問題、例題的設計都別具匠心，考慮到學生的實際，有意地設計了一些鋪墊和引導，既鞏固已有知識，又為新知識提供了附著點，充分體現(xiàn)學生的主體地位。本節(jié)課蘊涵著化歸思想，設計中注重對學生進行思想方法的訓練，通過一題多解、一題多變，滲透了聯(lián)系與轉化的思想，使學生學會思考、掌握方法，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性與深刻性。11、循環(huán)結構一、教學內容分析循環(huán)結構是人民教育出版社課程教材研究所編著的普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學3（必修）（A版）中§1。1。2的第二課時的內容。（1）算法是高中數(shù)學課程中的新內容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐漸成為每個現(xiàn)代人所必須具備的數(shù)學素養(yǎng)。（2）

16、本節(jié)課的內容是循環(huán)結構，它與順序結構、條件分支結構是算法的三種基本邏輯結構，可以表示任何一個算法。并且循環(huán)結構是算法這一部分的重點和難點，它的重要性就是充分體現(xiàn)計算機的優(yōu)勢，也即能以極快的速度進行重復計算。二、學生學習情況分析學生已經(jīng)學習了有關算法和框圖的基礎知識。絕大多數(shù)同學對算法和框圖的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力，應用數(shù)學的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強。三、設計思想建構主義學習理論認為，建構就是認知結構的組建，其過程一般是引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，思考如何解決問題，進而聯(lián)系所學的舊知識，首先明確問題的實質，然后總結出新知識的有關概念和規(guī)律，形

17、成知識點，把知識點按照邏輯線索和內在聯(lián)系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內容、性質、作用、因果等關系組成綜合的知識體。也就是以學生為主體，強調學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)以及學生對所學知識意義的主動建構。基于以上理論，本節(jié)課遵循引導發(fā)現(xiàn)，循序漸進的思路，采用問題探究式教學，運用多媒體，投影儀輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式。具體流程如下：創(chuàng)設情景（課前準備、引入實例）授新設疑（自主探索形成概念理解概念能識別框圖）質疑問難、論爭辯難（進一步加深對概念的理解突破難點）溝通發(fā)展（反饋練習歸納小結）布置作業(yè)。四、教學目標理解循環(huán)結構，能識別和理解簡單的框圖的功能，

18、通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達，解決問題的過程，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力；能運用循環(huán)結構設計程序框圖解決簡單的問題，感受和體會算法思想在解決具體問題中的意義，增強學生的創(chuàng)新能力和應用數(shù)學的意識。五、教學重點與難點重點：理解循環(huán)結構，能識別和畫出簡單的循環(huán)結構框圖。難點：循環(huán)結構中循環(huán)條件和循環(huán)體的確定。六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境引例：德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：123499100？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。（課本例6）你能否寫出求的值的一個算法，并用框圖表示你的算

19、法。此例由學生動手完成，投影展示學生的做法，師生共同點評。鼓勵學生一題多解?！驹O計意圖】通過高斯求和的故事，復習順序結構，提出遞推求和的方法，導入新課。此環(huán)節(jié)旨在提升學生的求知欲、探索欲，使學生保持良好、積極的情感體驗。（二）授新設疑1循序漸進，理解知識（1）引進“計數(shù)變量” 、“累加變量”。借助“計數(shù)變量”和 “累加變量”使學生經(jīng)歷把“遞推求和”轉化為“循環(huán)求和”的過程，同時經(jīng)歷初始化變量，確定循環(huán)體，設置循環(huán)終止條件3個構造循環(huán)結構的關鍵步驟。將“遞推求和”轉化為“循環(huán)求和”的緣由及轉化的方法和途徑引例“求的值”這個問題的自然求和過程可以表示為： 用遞推公式表示為：直接利用這個遞推公式構造

20、算法在步驟中使用了共100個變量，計算機執(zhí)行這樣的算法時需要占用較大的內存。為了節(jié)省變量，充分體現(xiàn)計算機能以極快的速度進行重復計算的優(yōu)勢，需要從上述遞推求和的步驟中提取出共同的結構，即第步的結果第（1）步的結果。若引進一個計數(shù)變量來表示計算到第幾步，一個累加變量來表示每一步的計算結果，則第步可以表示為賦值過程?！啊?、“”的含義利用多媒體動畫展示計算機中計數(shù)器的工作原理，借助形象直觀對知識點進行強調說明1）的作用是將賦值號右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量。2）賦值號“”右邊的變量“”表示前一步累加所得的和，賦值號“=”左邊的“”表示該步累加所得的和，含義不同。3）賦值號“”與數(shù)學中的等號意義不

21、同。在數(shù)學中是不成立的。4）的作用是將賦值號右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量。（類比 理解）借助“計數(shù)變量”、“累加變量”既突破了難點，同時也使學生理解了“”、“”的含義。初始化變量，設置循環(huán)終止條件由的初始值為0，的值由1增加到100，可以初始化循環(huán)變量和設置循環(huán)終止條件。（2）循環(huán)結構的概念開始i=1sum=0i=i+1sum=sum+ii100?結束輸出sum是否循環(huán)變量初始化循環(huán)體循環(huán)條件從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的結構稱為循環(huán)結構。教師學生一起共同完成引例的框圖表示，并由此引出本節(jié)課的重點知識循環(huán)結構的概念(循環(huán)變量、循環(huán)體、循環(huán)終止的條件)?！驹O計意圖】這樣講

22、解既突出了重點又突破了難點，同時學生在教師引導下，在已有探索經(jīng)驗的基礎上，借助多媒體的形象直觀，共同完成問題的抽象過程和算法的構建過程。體現(xiàn)研究問題常用的“由特殊到一般”的思維方式。2類比探究，掌握知識例1：改造引例的程序框圖表示求的值求的值求的值此例可由學生獨立思考、回答，師生共同點評完成。【設計意圖】通過對引例框圖的反復改造逐步幫助學生深入理解循環(huán)結構，體會用循環(huán)結構表達算法，關鍵要做好三點： 確定循環(huán)變量和初始值 確定循環(huán)體 確定循環(huán)終止條件。例2：根據(jù)程序框圖回答下面的問題開始i=1sum=0i=i+1sum=sum+ii>5?結束輸出sum是否開始i=1sum=0sum=sum

23、+ii=i+1i>5?結束是否輸出sum圖A 圖B（1） 圖中箭頭指向時，輸出_;指向時輸出_。（2）該程序框圖的算法功能是_。（3）去掉條件“”按程序框圖所蘊含的算法，能執(zhí)行到底嗎，若能執(zhí)行到底，最后輸出的結果是什么？對比練習：（1）圖B輸出_。（2）圖A指向時與圖B有何不同？你能得到什么結論？（3）對比“引例”與“例2”的程序框圖，試說明二者的區(qū)別和聯(lián)系？可由學生小組討論，教師巡視，加強對學生的個別指導，再由學生分析。例2是寫出程序框圖的運算結果，及其功能?！驹O計意圖】設計此例的目的是讓學生通過類比意識到：循環(huán)結構不能是永無終止的死循環(huán)，一定要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來

24、做出判斷，因此，循環(huán)結構一定包含條件結構。循環(huán)結構中語句的順序對算法的影響。當型循環(huán)結構與直到型循環(huán)結構的區(qū)別。（三）質疑問難、論爭辯難例3 圖（1），圖（2），圖（3），圖（4）是為計算而繪制的程序框圖。根據(jù)程序框圖回答下面的問題：開始i=42s=22i=i+1s=s+ii>100?結束輸出s是否開始i=4s=22s=s+ii>100?結束輸出s是否圖(1) 圖(2)開始i=2s=0i=i+1s=s+i2i>100?結束輸出s是否開始i=4s=22i=i+1s=s+i2i>100?結束是否輸出s圖(3) 圖(4)其中正確的程序框圖有哪幾個？錯誤的要指出錯在哪里。錯誤的

25、程序框圖中，按該程序框圖所蘊含的算法，能執(zhí)行到底嗎？若能執(zhí)行到底，最后輸出的結果是什么？根據(jù)上面的回答總結出應用循環(huán)結構編制程序框圖應該注意哪幾方面的問題？【設計意圖】通過類比，自主探究，幫助學生深入理解知識，完善知識結構，提升認知水平。通過小組討論，實現(xiàn)生生互動，師生互助，豐富情感體驗，活躍課堂氣氛。（四）溝通發(fā)展、歸納小結1溝通發(fā)展仿照本節(jié)課例題，同桌倆人一人編題一人解答?！驹O計意圖】通過練習進一步鞏固所學知識，培養(yǎng)和提升學生的認知水平。溝通發(fā)展，有助于及時查漏補缺，保持學生學習的熱情和信心。2課后小節(jié)理解循環(huán)結構的邏輯。明確條件結構與循環(huán)結構的區(qū)別，聯(lián)系。當型循環(huán)結構與直到型循環(huán)結構的區(qū)

26、別。數(shù)學思想方法：算法思想，類比方法?！驹O計意圖】通過小結使學生對本節(jié)課的知識有一個全面的認識，掌握知識。為今后學習其它知識打基礎。（五）布置作業(yè)課本P11 習題11 A組 2課外拓展：寫出一個求滿足1×2×3××n5000的最小正整數(shù)的算法并畫出相應的程序框圖?！驹O計意圖】書面作業(yè)第一個層次要求所有學生完成，第二個層次，只要求學有余力的同學完成。體現(xiàn)了差異發(fā)展教學。七、教學反思循環(huán)結構這部分內容在算法中起著承上啟下的作用。本節(jié)施教過程中，基本完成設計構思，教學效果良好，但仍發(fā)現(xiàn)一些不足之處：1、學生對循環(huán)終止條件的確定還存在一定困難，尤其循環(huán)體中“”、

27、“”的順序對終止條件的影響。2、教學過程中對循環(huán)體“”、“”中滲透的函數(shù)思想（數(shù)學本質）體現(xiàn)不夠。對算法教學的思考：教材將“算法與程序框圖”和“基本算法語句”分開處理。是否將這兩部分內容結合起來處理，在講基本結構的時候，通過基本算法語句在計算機上演示計算結果，是否會更生動，效果會更好。強調基本結構，適當降低程序框圖和算法語句的難度（學生反映其中的一些例題結構太復雜，理解比較吃力）。算法作為數(shù)學與計算機技術的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學研究的一個新的方向，其作用是勿庸質疑的，但作為高中數(shù)學課程中的新內容，如何將其更完美地展現(xiàn)給學生，還需大家共同努力！ 龍巖第一中學章楊點評本節(jié)是概念課，是算法初步這一章節(jié)的重

28、點與難點。概念的建構應該是多元的，但無論采用何種方式建構新的知識，都要關注課堂上一些顯現(xiàn)因素和課堂教學的內在因素，以教材為“生長點”，在師生、生生互動中，不斷創(chuàng)造出新的教學資源，使師生的思維和情感在和諧的“共振”中得到升華，讓學生對學習保持良好、積極的情感體驗，提升求知欲、探索欲。本設計以循環(huán)結構的典型模型“寫出求的值的一個算法”作為引入，并以它為核心進行剖析，表達概念的含義，從中抽象出循環(huán)結構的概念。設計中能夠緊緊圍繞如何確定循環(huán)變量和初始值及如何確定循環(huán)終止條件，通過變式訓練、正反例判斷，抓住重點，突破難點。循環(huán)結構是三種結構中的一種結構，教材中只安排了一個例題“設計一個計算的值的一個算法

29、，并畫出程序框圖”。設計中能夠充分發(fā)揮例題的功能，通過例題講清概念，通過例題的引伸，讓學生掌握本節(jié)知識。當型與直到型的兩種循環(huán)結構是本節(jié)課的重要知識點，教學中要講清兩種結構的異同點。設計中已經(jīng)注意到了這一點，但重視的程度還略顯不夠。12、任意角的三角函數(shù)（1）一、教學內容分析：高一年普通高中課程標準教科書·數(shù)學（必修4）（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在課程標準中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重

30、要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用。課程標準還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數(shù)及其基本性質，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。二、學生學習情況分析我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進行普通高中數(shù)學課程標準(實驗)(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值

31、得思考探索。如何讓學生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數(shù)的定義中？普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀中在三角函數(shù)的教學中，教師應該關注以下兩點：第一、根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實際問題，這也是課程標準在三角函內容處理上的一個突出特點。根據(jù)課程標準的指導思想，任意角的三角函

32、數(shù)的教學應該幫助學生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認識其定義域、函數(shù)值的符號。三、設計理念：本節(jié)課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，數(shù)學應用于生活，激發(fā)同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數(shù)學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。四、教學目標：1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在

33、直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；2.從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號；3.能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題。五、教學重點和難點：1.教學重點：任意角三角函數(shù)的定義.2.教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設計如下：六、教學過程第一部分情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的

34、高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？【設計意圖】：高中學生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質。第二部分復習回顧銳角三角函數(shù)讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH，所以本問題轉變成求PH再次轉變?yōu)榍驪M。要求PM就是回到初中所學的

35、解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角的正弦函數(shù)如何定義？【學生自主探究】：學生很容易得到所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”【教師總結】：在銳角的范圍中，第三部分引入新課問題3：請問的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數(shù)角函數(shù)。問題4：如圖建立直角坐標系，設點，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？【學生自主探究】：，問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什

36、么？【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明。【設計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？通過摩天輪知道：由此得到：【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗在第二象限角是否正確？問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？【設計意圖】

37、：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)正、負符號的偏差。（可以讓學生取，從而得到，發(fā)現(xiàn)這與不相符，實際上是）【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數(shù)學模型來表示，當摩天輪轉動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替或，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。第三部分給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點為角終邊上的點，點到頂點的距離為R，則 （） （） （）【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點

38、的坐標、點到頂點的距離。問題8：當摩天輪的半徑R1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W生自主探究】：，。教師引導學生進行對比，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。教師進一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學生自己補充完整。三角函數(shù)定義一：定義二：定義域及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.（課本P14例2）已知角終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦和正切值?！痉治觥浚鹤寣W生現(xiàn)學現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正切值?！緦W生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點?！?/p>

39、教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道，又點P在第四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學生取，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數(shù)的定義。第四部分鞏固練習練習1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內的三角函數(shù)值的符號?獨立完成課本P15的“探究”?！驹O計意圖

40、】：練習1、練習2的設計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數(shù)的本質特征，引導學生從定義出發(fā)利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數(shù)的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結合的思想方法。第五部分小結與作業(yè)學生自我總結作業(yè)：P23習題1.2A組 1,2,3七、教學反思上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：1. 教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。2. 情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好

41、引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質。3. 通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系，在體驗中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。4. 標準把發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創(chuàng)設應用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高學生的直覺猜想、

42、歸納抽象、數(shù)學地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數(shù)學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數(shù)學的角度運用學過的數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實際問題的策略, 使學生認識到數(shù)學原來就來自身邊的現(xiàn)實世界, 是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進行數(shù)學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數(shù)學的理解和應用數(shù)學的信心。南安僑光中學 蘇飛文點評本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問題形式鞏固深

43、化任意角三角函數(shù)值的計算，結合平位圖直觀作用，使學生經(jīng)歷了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過程，加深了對任意角三角函數(shù)的認識。新課程教材強調了學生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個知識點都需要人為創(chuàng)設情景加以探究，現(xiàn)實的教學由于受教學時數(shù)限制，總是希望課堂教學效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要創(chuàng)設情景讓學生探究？只要讓學生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直接下定義，從課堂教學效率而言，可能會更好些。13、任意角的三角函數(shù)（2）一、教學內容分析本節(jié)課的教學內容是普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（4）（人教A版）。三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，

44、有非常廣泛的應用.直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數(shù)定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、同角三角函數(shù)關系、多組誘導公式、圖象和性質。三角函數(shù)定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身.二、學生學習情況分析在初中學生學習過銳角三角函數(shù)。因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以

45、推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。三、設計思想教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經(jīng)歷過程. 根據(jù)本節(jié)課內容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.四、教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)

46、值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.借助有向線段進一步認識三角函數(shù). 4、通過任意三角函數(shù)的定義，認識銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關系的理解。5、通過三角函數(shù)的幾何表示，使學生進一步加深對數(shù)形結合思想的理解，拓展思維空間。通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學概念的嚴謹性與科學性。五、教學重點和難點重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點: 任

47、意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；六、教學過程設計教學過程一、復習引入、回想再認（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù). 請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？學生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調： 對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 設計意圖：學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）. 溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少

48、. 二、 引伸鋪墊、創(chuàng)設情景（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導. 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù). 設計意圖：從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程. 教師

49、對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數(shù)比值：xO·MP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（圖2）設計意圖：此處做法簡單，思想重要. 為了順利實

50、現(xiàn)推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形. 由于前一節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數(shù). 初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義. 這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關鍵之一，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎. （情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？a的終邊P(

51、x,y)Oxy顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數(shù)：; ; .思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數(shù)的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題任意角的三角函數(shù).先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角的每一個確定值，三個比值都是xO·MPy（圖3）PM確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 三、探究新知1.探究:結合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應如何

52、求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必

53、然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.設計意圖：初中學生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次，扣準函數(shù)概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據(jù)，是準確理解三角函數(shù)概念的關鍵，也是在認知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結構的關鍵. 這樣做能夠使學生有效地增強函數(shù)觀念. 四、 探索定義域（情景4）1、函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應法則、定義域、值域. 正弦函數(shù)sin的對應法則是什么？正弦函數(shù)sin的對應法則，實質上就是sin的定義：對的每一個確定的值，有唯一確定的比值y

54、/r與之對應，即 y/r= sin.2、布置任務情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sincostan定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數(shù)），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R. 對于tan=y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎上記熟。設計意圖：定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域. 指導學生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握. 五、符號判斷、形象識記（情景5）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？