中學(xué)考試題分類(lèi)匯總情況專(zhuān)題——平行四邊形

1、中考題分類(lèi)匯總專(zhuān)題一一平行四邊形 一、選擇題1. （ 2013普洱，6，3分）矩形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O,/ AOD= 120 °, AC= 8，則 ABO的周長(zhǎng)為（）A.16B.12C.24D.20【答案】B2. （2013, 7, 3分）如圖，在口 ABCD中，對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn)O作EF丄AC交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F，連接AE、CF 則四邊形AECF是（）A .梯形B .矩形C .菱形D .正方形C1，在菱形3分）如圖2,【答案】3. (2013,ABCD 中,AB = 3, / ABC = 60°,則對(duì)角線 AC =()A. 12

2、B. 9【答案】D4. （ 2013隨州，5, 4分）如圖，在菱形 ABCD中，/ BAD = 120° . 已知 ABC的周長(zhǎng)是15,則菱形 ABCD 的周長(zhǎng)是（）A. 25 B. 20 C. 15 D. 10【答案】B.5. （ 2013隨州，10, 4分）如圖，正方形 ABCD中，AB = 3,點(diǎn)E在邊CD上，且 CD = 3DE .將 ADE沿AE對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG , CF .下列結(jié)論：9點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；FG = FC;& fgc =.其中正確的是（）10A. B.C. D.第10題圖【答案】B.146 （2013, 8, 2分）有3

3、邊長(zhǎng)為A的正方形紙片，4邊分別為A、B（B>A）的矩形紙片，5邊長(zhǎng)為B的正方 形紙片，從其中取出若干紙片，每種紙片至少取一，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙乍進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），則拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以為（）A. A+BB. 2A+B C . 3A+B D . A+2B【答案】A7. （2013廣西貴港市，12, 3分）如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，/ EBC的平分線交 CD于點(diǎn)F. 將厶DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在BE上M點(diǎn)處，延長(zhǎng)BC、EF交于點(diǎn)N,有下列四個(gè)結(jié)論： DF = CF :BF 丄EN :厶BEN是等邊三角形； &bef=3&

4、;def.其中，將正確結(jié)論的序號(hào)全部選對(duì)的是（）A .B .C .D .第12題圖卍【答案】D8. （2013棗莊，12,3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E,使ME = MC, 以DE為邊作正方形 DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，貝U DG的長(zhǎng)為（）A.3 1 B.35 C . . '5 1D . . 5 1nC1£rLfMA第12題圖【答案】D9. （2013 , 3, 3分）如圖，4 X 4的方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1 ,則S四邊形ABDC與S四邊形ECDF的大小關(guān)系是（）AB E F/J/A . S四邊形ABDC = S四邊形ECD

5、FC . S四邊形ABDC = S四邊形ECDF + 1B . S四邊形ABDC < S四邊形ECDFD. S四邊形ABDC = S四邊形ECDF + 2C D【答案】A10.(2013, 8, 3 分)如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) O,/ AOB=60°, AD=2，貝U AC的長(zhǎng)是()D .4.3【答案】B11. . (2013 , 9, 4分)如圖，邊長(zhǎng)分別為 4和8的兩個(gè)正方形 ABCD和CEFG并排放在一起，連結(jié) BD并延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)T,交FG于點(diǎn)P,貝U GT =()A.2B. 22C. 212.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.

6、23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.二、填空題0,請(qǐng)你添加一個(gè)條件 (只添一個(gè)即可)，使1. ( 2013 , 12 , 3分)如圖，ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) ABCD是矩形.【答案】答案不唯一.如/ ABC=90°,/ BCD=90°,/ ABC= 90°,Z BCD= 90°, AC=BD .2. ( 2013, 16, 3分)夏季荷花盛開(kāi)，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過(guò)，如在荷中行”的美好意境，某景點(diǎn)擬在 如圖所示的矩形

7、荷塘上架設(shè)小橋.若荷塘周長(zhǎng)為280m,且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋總長(zhǎng)為 【答案】140m3. (2013, 18,3分)如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E是邊CG矩形ABCD部.將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G .若GBCD的中點(diǎn)，將 ADE沿AE折疊后得到 AFE，且點(diǎn)F在1AD，貝V= (用含k的代數(shù)式表示).kABAB4. （2013廣西，18, 3分）如圖，已知線段 AB=10, AC=BD =2，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP、PB為邊向上、向下作正方形 APEF和PHKB，設(shè)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)分別為Oi、02，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段0i02中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)是 .第18題圖【答案】3

8、, 25. （2013, 16, 4分）如圖，分別以直角 ABC的斜邊AB，直角邊 AC為邊向 ABC外作等邊厶ABD和等邊 ACE , F為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G, EF與AC交于點(diǎn)H，/ ACB=90。，/ BAC=30 ° .給出如下結(jié)論：1EF丄AC;四邊形 ADFE為菱形；AD=4AG ; FH= BD4其中正確結(jié)論的為 （請(qǐng)將所有正確的序號(hào)都填上）.6. (2013 , 14, 3分)如圖，矩形 ABCD中，E是BC中點(diǎn)，矩形 ABCD的周長(zhǎng)是20cm , AE = 5cm，貝U AB的長(zhǎng)為cm .D【答案】47. ( 2013呼和浩特，15, 3分)如圖，在四邊

9、形 ABCD中，對(duì)角線 AC丄BD，垂足為O,點(diǎn)E、F、G、H分別 為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn).若AC =8 , BD= 6，則四邊形 EFGH的面積為 .D/ FB第13題圖【答案】128. (2013龍東地區(qū)，3, 3分)如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,試添加一個(gè)條件： ，使得平行四邊形 ABCD為菱形.【答案】AD=DC或AC丄BD等9. (2013, 16, 3分)如圖，E, F是正方形 ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G, 連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為 2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 .【答案】5 -110. （

10、2013? ,16,4）如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O,點(diǎn)E、F分別是 AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6cm, BC=8cm,則厶 AEF 的周長(zhǎng)=9 cm.【答案】911.12.13.14.15.16.17.18.三、解答題1. （2013市，24 , 7分）如圖15,在菱形ABCD中，AB = 2, DAB 60；，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M是AB邊上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MD , AN.（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形.（2） 當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形 AMDN是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.A MB圖15【答案】（1）證明：T

11、 四邊形ABCD是菱形， ND / AM . / NDE = / MAE，/ DNE = / AME .點(diǎn) E 是 AD 中點(diǎn)， DE = AE. NDE MAE , ND = MA.四邊形AMDN是平行四邊形.（2 1；理由如下：四邊形ABCD是菱形， AD = AB = 2.若平行四邊形AMDN是矩形，則 DM 丄 AB , 即 / DMA = 90° ./ / A = 60°, / ADM = 30° . AM = 1 AD = 1.22. （2013市，附加題4,14分）已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D不與B、C重合）， 以AD

12、為邊作菱形 ADEF （A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使 DAF 60，連接CF.(1) 如圖4,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證： BD = CF ,AC = CF + CD .(2) 如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC = CF + CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫(xiě) 出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3) 如圖6,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AC、CF、CD之間存 在的數(shù)量關(guān)系D BC圖4圖5圖6【答案】(1)【證明】： BADDACDACCAF 60又 AB AC, AD AF . ABD 也 AFC ,BD CF .BA

13、D CAF.由厶 ABD AFC 知 BD CF , CF CD BD CD BC .又在等邊厶ABC中AC BC, AC CF CD(2) 解：AC CF CD不成立，應(yīng)該是 CF = AC + CD，理由為： 如圖，延長(zhǎng)AC到H，使CH CD，連結(jié)BH ,則在厶ACD與厶BCH中，AC BC, ACD BCH , CD CH , ACD 也 BCH . BH AD, HBC DAC.ABH FAC, BH AF. ABH 與厶 CAF 中，AB AC, ABHFAC, BH AF. ABH CAF , AH CF , CF AC CD(3) 解：當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)

14、全圖形如下圖6所示，此時(shí) AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系為 CD AC CF .(備注：連結(jié) CF，容易證明 ABD AHC , BD HC，又 HC 二CF,AC BC )EEAE3. ( 2013 , 23, 6分)矩形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)O, AC= 4 5 , BC=4，向矩形 ABCD 夕卜作 CDE ,使得 CDE為等腰直角三角形， 且點(diǎn)E不在邊BC所在的直線上請(qǐng)你畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出OE的長(zhǎng)，并畫(huà)出體現(xiàn) 解法的輔助線.【答案】有以下兩種圖形：OE= 2 29圖20E=64. ( 2013, 20, 12分)如圖 ABC中，AB=AC , AD是厶ABC的角平分線

15、，點(diǎn) 0為AB的中點(diǎn)，連接 DO并延 長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE=OD，連接 AE，BE，(1) 求證：四邊形 AEBD是矩形；(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，矩形 AEBD是正方形，并說(shuō)明理由.【答案】(1)v點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，OE=OD ,四邊形AEBD是矩形/ AB=AC , AD是厶ABC的角平分線， AD丄BC四邊形AEBD是矩形(2)當(dāng)厶ABC是等腰直角三角形時(shí)，矩形AEBD是正方形/ ABC 是等腰直角三角形，/ BAD= / CAD= / DBA=45 ° BD=AD由(1)知四邊形AEBD是矩形四邊形AEBD是正方形5. (2013, 25, 12分)正方形 ABCD中，點(diǎn)

16、E、F分別是邊 AD、AB的中點(diǎn)，連接 EF.(1) 如圖1,若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG,則EF與FG關(guān)系為;(2) 如圖2,若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 FP,將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得到 線段FQ,連接EQ,請(qǐng)猜想EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(3) 若點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照(2)中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：解：(1)(2 )由互相垂直且相等(1)得 EF=FG ,所以 FEQBA FGP所以在 Rt BGF 中，F(xiàn)G= 2 BG，所以 BP=BG+GP= FG+QE= EF

17、+QE2 2(3) QE=BP+2EF26. (2013, 24, 12分)定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形” 性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等 理解：如圖，在厶ABC中，CD是AB邊上的中線，那么 ACD和厶BCD是“友好三角形”，并且Sacd=Sbcd.應(yīng)用：如圖，在矩形 ABCD中，AB=4,BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF , AF與BE交于點(diǎn)0.(1)(2) 探究：求證： AOB和厶AOE是“友好三角形”； 連接OD，若 AOE和厶DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積.在厶ABC中，/ A=30 &

18、#176; , AB=4,點(diǎn)D在線段 AB上，連接 CD, ACD和厶BCD是“友好三角形”，將1 ACD沿CD所在直線翻折，得到 A ' CD，若 A ' CD與厶ABC重合部分的面積等于 ABC面積的一，請(qǐng)4直接寫(xiě)出厶ABC的面積.C圖圖【答案】證明：四邊形ABCD為矩形, AD / BC,/ EAO= / BFO,又/ AOE= / FOB,AE=BF , AOE FOB , EO=BO. AOB和厶AOE是“友好三角形”(2) AOE和厶DOE是“友好三角形”-SAOE =Sa DOE ,1AE=ED= AD=3.2 AOB和厶AOE是“友好三角形”- SAOB =SA

19、OE. AOE FOB ,' Saoe =Sa fob,丄 X 4X 3=12.- SAOD =SABF , S 四邊形 CDOF=S 矩形 ABCD - 2 Sa ABF =4 X 6-2 X探究:2或2 3.7. (2013, 20, 10分)已知：如圖，在菱形 ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接 AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,連接EC.(1) 求證：AE=EC; (5 分)(2) 當(dāng)/ABC=60。，/ CEF=60°時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？說(shuō)明理由.(5分)C證明：連接AC/ BD是菱形ABCD的對(duì)角線 BD垂直平分 AC AE=EC點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).理由：

20、ABCD是菱形 AB=CB又/ ABC=60 ° ABC是等邊三角形/ BAC=60 °/ AE=EC/ EAC = / ACE/ CEF=60 °/ EAC =30 ° AF是厶ABC的角平分線 BF=CF點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).8. (2013, 23, 6分).如圖11,在正方形 ABCD中，點(diǎn)G是邊BC上的任意一點(diǎn)，DE丄AG ,垂足為E,延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F.在線段AG上取點(diǎn)H，使得AG = DE + HG ,連接BH.求證：/ ABH =Z CDE.圖11證明四邊形 ABCD是正方形，/ FAD = 90° ./ DE 丄 AG，/

21、AED = 90° .二 / FAG + Z EAD = Z ADF + Z EAD / FAG = Z ADF.TAG= DE + HG , AG = AH + HG DE = AH又 AD = AB, ADE ABH / AHB = Z AED = 90° ./ ADC = 90°, / BAH + Z ABH = Z ADF + Z CDE / ABH = Z CDE.9. (2013省市，21, 10分)(本題瀟分10分)如圖，在正方形 ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且 PE = PB.求證： BCP DCP ; (4 分)(2

22、) 求證：/ DPE =Z ABC; (4 分)(3) 把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變 (如圖)，若/ ABC = 58°，則/ DPE =度.(2分)【答案】證明：在正方形ABCD中，BC = DC,/ BCP = Z DCP = 45°,/ PC = PC, BCP BA DCP .(2)證明：由(1)知厶 BCP DCP .CBP =/ CDP ./ PE = PBCBP =/ E .CDP = / E.又/ 1 = / 2. 180 ° -/ 1 -/ CDP = 180°-/ 2-/ E .即/ DPE = / DCE ./ AB /

23、CD / DCE = / ABC . / DPE = / ABC(3)58 .10. (2013, 23, 10分)某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形 ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q .(1) 求證：DP=DQ ;(2) 如圖，小明在圖的基礎(chǔ)上作PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并證明.(3) 如圖，固定三角板直角頂點(diǎn)在 D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)到三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q

24、,仍作 PDQ的平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE，若AB:AP=3:4，請(qǐng) 幫小明算出 DEP的面積.【答案】(1) 通過(guò)證明ADP和CDQ全等可得DP DQ.PE QE證明£PDE和QDE全等即可證明DE和QDE全等，可得PE QE.由勾股定理可得PD 10, CQ 8設(shè)PE EQ x,則CE 8-x,BE BC CE 6(8- x) 14- x在RtBEP中，由勾股定理得,222口 rr小2BP BE PE，即，2(14 x)2x，解，得x507150 15062772所以，DEP的面積=-EQ CD211. (2013，18，8分)如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分

25、別為DC、BC中點(diǎn).(1) 求證： ADE ABF.(2) 求厶AEF的面積.(1) 證明：T四邊形ABCD為正方形， AB=AD，/ B= / D=90 ° , DC=CB。 E、F 為 DC、BC 中點(diǎn)，11- DE= DC , BF= BC ,22 DE=BF, ADE ABF ;X 4=211(2) 由題知 ABF、 ADE、 CEF 均為直角三角形，且 AB=AD=4 , DE=BF= X 4=2, CE=CF=-22- Sa AEF=S 正方形 ABCD-Sa ADE-SaABF-SaCEF111=4 X 4- X 4X 2- X 4X 2- X 2X 2=6。222AD

26、平12. (2013, 23, 7 分)如圖，在 ABC 中，AB=AC,Z B=60。，/ FAC、/ ECA 是厶 ABC 的兩個(gè)外角,分/ FAC, CD 平分/ ECA。 求證：四邊形ABCD是菱形。(第笳題)【答案】證明： AB=AC,Z B=60° ABC是正三角形/ FAC= 120 ° , AB=AC =AD平分/ FAC/ DAC=60 °同理可證：/ DCA=60° ADC是正三角形 AD=AC = DC AB=BC= AD= DC四邊形ABCD是菱形BE=CF，連接AF , DE交于點(diǎn)O.13. (2013廣西，21, 8分)如圖，

27、在矩形 ABCD中，E, F為上兩點(diǎn)，且求證：(1 ) ABF DCE ; (2) AOD是等腰三角形.EF第21題圖【答案】 證明： 在矩形ABCD中，/ B=Z C=90° , AB=DC./ BE=CF , BF=CE.A ABF DCE(SAS).(2) / ABF DCE (SAS)，/ BAF = Z EDC ./ DAF=900- / BAF，/ EDA=900-Z EDC ,/ DAF = / EDA . AOD是等腰三角形.14. (2013, 21, 8 分)已知：如圖，在矩形 ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn).(1)

28、求證： ABM DCM ;(2) 判斷四邊形 MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；(3) 當(dāng)AD : AB =時(shí)，四邊形 MENF是正方形(只寫(xiě)結(jié)論，不需證明)證明：(1)(2)(1) 證明：在矩形 ABCD 中，AB= CD，/ A =Z D = 90°, 又 M 是 AD 的中點(diǎn)， AM = DM , ABM DCM (SAS).(2) 四邊形MENF是菱形.證明：E、F、N分別是BM、CM、CB的中點(diǎn)， NF / ME , NF = ME ,四邊形MENF是平行四邊形，由(1)得 BM = CM , ME = MF , MENF是菱形.(3) 填2 : 1 (理由見(jiàn)【解題

29、思路】).15. (2013, 22, 9 分)探究：如圖，在四邊形 ABCD 中，/ BAD=Z BCD =90 ° , AB=AD , AE丄 CD 于點(diǎn) E, 若AE=10，求四邊形 ABCD的面積.如圖，在四邊形 ABCD 中，/ ABC+ / ADC =180°, AB=AD , AE丄BC 于點(diǎn) E,若 AE=13 , BC=10, CD=6, 則四邊形ABCD的面積為.DECA圖【答案】 解：(1)過(guò)A點(diǎn)作AF丄CB于點(diǎn)F，則/ AFC =90 / AE 丄 DC 于點(diǎn) E,Z C=90°, / AEC= / AFC=Z C=90 ° ,四

30、邊形AECF是矩形. / EAF =90 ° ./ BAD =90 ° ,/ BAF = / DAE ,又 AB=AD，/ AED = / AFB =90 ADE ABF (AAS ), AE=AF,四邊形AECF為正方形，而 AE=10, - S四邊形ABCD =S正方形AECF =100.D(2) 10416. (2013, 25, 14分)如圖，在 Rt ABC 中，/ B = 90 ° , AC = 60cm，/ A = 60。，點(diǎn) D 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CA 方向 以4cm/秒的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B

31、勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其 中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D , E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0 < t < 15).過(guò)點(diǎn)D作DF丄BC于點(diǎn)F，連接DE , EF .(1) 求證：AE = DF ;(2) 四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 當(dāng)t為何值時(shí)， DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.A【答案】 解：(1)在厶 DFC 中，/ DFC = 90°，/ C = 30° , DC = 4t, DF = 2t,又T AE = 2t,. AE = DF能理由如下：/ AB 丄BC, DF 丄 BC , AE / DF又

32、AE = DF，四邊形 AEFD為平行四邊形， AD = AC - DC = 60 - 4t. 解得t = 10(秒)，當(dāng)t = 10秒時(shí)四邊形 AEFD為菱形(3) 當(dāng)/ DEF = 90° 時(shí)，由(2)知 EF / AD ,二/ ADE = / DEF = 90 ° ,v/ A = 60°, AD = AE cos60°= t,又 AD = 60 - 4t，即 60 - 4t = t，解得 t = 12 秒 當(dāng)/ EDF = 90。時(shí)，四邊形 EBFD為矩形，在 Rt AED中，/ A = 60°，則/ ADE = 3015 AD = 2A

33、E，g卩 60 - 4t = 4t，解得 t = 秒2 若/ EFD = 90。，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在，所以當(dāng)t = 秒或12秒時(shí)， DEF為直角三角形.217. (2013呼和浩特，23, 9分)如圖，在邊長(zhǎng)為 3的正方形 ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE= 1，/ AEP= 90°，且EP交正方形外角的平分線 CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F.FC(1)岸的值為；(2)求證：AE= EP ;(3) 在AB邊上是否存在點(diǎn) M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解】010證明：在 BA邊上截取 BK =BE，連接 KE. /

34、B= 90 °，BK=BE/ BKE= 45 °/ AKE= 135 °cp平分外角/ DCP = 45 °/ ECP = 135°/ AKE= / ECP/ AB = BC , BK = BE AB - BK = BC- BE 即: AK=EC 易證 / KAE= / CEP 在厶AKE和厶ECP中,KAE CEPAK ECAKE ECP AKE ECP(ASA) AE= EP 5 分(3) 存在6分作DM丄AE與AB相交于點(diǎn) M則有：DM/EP，連接 ME，DP易證： ADM BAE. MD = AE/ AE= EP MD = EP四邊形D

35、MEP為平行四邊形18. (2013龍東地區(qū)，26, 8分)正方形 ABCD的頂點(diǎn)A在直線 MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作OE丄MN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BP丄MN于點(diǎn)F.(1) 如圖1,當(dāng)O、B兩點(diǎn)均位于直線 MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE(不需證明).(2) 當(dāng)正方形 ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段 AF、BF、OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.帽圖2圖J鴉2殆聽(tīng)圖【答案】 解：圖2結(jié)論：AF BF=2OE圖 3 結(jié)論：BF AF=2OE對(duì)于圖2證明：過(guò)點(diǎn)B作BG丄OE交OE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G則四邊形EGBF是矩形

36、BF=GE , EF=GB四邊形ABCD是正方形 OA 丄OB, AC=BD/ BG 丄 OG, OE 丄 MN / 1 + / 2=90 °/ 1 + Z 3=90 ° / 2= / 3，/ OEA= / OGB=90 ° 又正方形 ABCD11 OA=OB= AC= BD22 AOE OBG AE=OG , OE=GB , OE=EF AF BF=2OE圧219. (2013達(dá)州，24, 9分)通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的。下面是一個(gè) 案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整。原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，/ EAF=4

37、5 °，連接EF,貝U EF=BE+DF，試說(shuō)明 理由。(1 )思路梳理/ AB=CD ,把厶ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至厶ADG，可使AB與AD重合。/ ADC= / B=90 ° ,/ FDG=180。，點(diǎn) F、D、G 共線。 根據(jù)，易證 AFG也，得EF=BE+DF。(2 )類(lèi)比引申如圖 2,四邊形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=90 °點(diǎn) E、F 分別在邊 BC、CD 上，/ EAF=45 °。若/ B、 / D都不是直角，則當(dāng)/ B與/ D滿足等量關(guān)系 互補(bǔ) 時(shí)，仍有EF=BE+DF。(3 )聯(lián)想拓展如圖 3,在厶 ABC

38、中，/ BAC=90 ° , AB=AC，點(diǎn) D、E 均在邊 BC 上，且/ DAE=45 °。猜想 BD、DE、 EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程。解: bd2+ec2=de2【解】(1) SAS AFE(2)結(jié)論/ B與/ D滿足等量關(guān)系互補(bǔ)_ 時(shí)，仍有EF=BE+DF如圖，將 ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使 AB與AD重合，得到 ADE則厶 ABE ADE/ DAE ' = / BAE , AE ' =AE , DE ' =BE，/ ADE ' =Z B , 又/ EAF=45 °/ EAF= / DAF+ / BAE= /

39、BAE+ / DAE/ EAF= / EAF又/ B+ / ADF=180 ° ,/ ADE ' + / ADF=180 ° , E '、D、E三點(diǎn)共線，在厶AEF與厶AEF '中，AE AE'EAF E'AFAF AF AFE AFE '( SAS), FE=FE ',又 EF ' =DF+DE ', EF=BE+DF ;(3)猜想:DE2=BD2+EC2,證明：根據(jù) ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 ACD'，如圖 ABD ACD ', CD ' =BD , AD ' =AD ,/ B= / ACD &