福利經(jīng)濟學第一定理數(shù)學證明

1、附錄2A.1：偏好，效用函數(shù)和需求函數(shù) 如果消費者的偏好是理性的（完備的和傳遞的），連續(xù)的，那么就存在著一個能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。其中L表示消費集的維度，也就是商品的種類，除非做特別說明，我們總是假定，即消費者消費和兩種商品。我們還假定偏好是單調(diào)的和凸的，則效用函數(shù)u是遞增的和擬凹的。給定上述假定，我們能夠得到一組形狀良好的無差異曲線，如圖2A1，消費者的無差異曲線是一組凸向原點的曲線，離原點越遠，其代表的效用水平越高 關(guān)于偏好，以及偏好與效用效用函數(shù)關(guān)系的進一步討論，參見馬斯克萊爾等人，微觀經(jīng)濟理論，中國社會科學出版社，2001年版；瓦里安，微觀經(jīng)濟學（高級教程），經(jīng)濟科學出版社，19

2、97年版。Ox1x2|斜率|MRS圖2A1 無差異曲線一個常用的符合上述假定的效用函數(shù)是柯布道格拉斯效用函數(shù)，其形式是：其中。顯然，u是連續(xù)的，遞增的，凹的。一個理性的消費者面臨的問題是在約束條件下追求效用最大化。其約束條件為：其中，為兩種商品的市場價格，w則表示消費者的財富（或收入）。給定偏好的單調(diào)性，這一約束一定是緊的，也就是。則消費者的效用最大化問題可以描述為：上述問題的拉格朗日函數(shù)可以寫為：這一問題的一階條件為：，假定效用函數(shù)是凹的，上述條件是充分必要的。兩式相除，得到：上式意味著消費者實現(xiàn)效用最大化的條件是消費兩種商品最后一單位的邊際效用之比等于兩種商品的價格之比。我們還定義消費者無

3、差異曲線斜率的絕對值為邊際替代率（MRS），表示給定效用水平保持不變（比如），少消費一單位商品1，必須增加消費多少單位的商品2，即。無差異曲線的數(shù)學形式為：，表示使消費者的效用水平達到的所有商品組合，兩位全微分，得到，這樣我們就得到，。這一結(jié)果表明，邊際替代率（MRS）等于邊際效用之比。解上述問題，得到消費者效用最大化的解：上面兩個式子就是消費者的（馬歇爾）需求函數(shù)，表示當市場價格和財富分別為時，消費者愿意消費的（效用最大化的）商品和的數(shù)量。顯然，為給定價格和財富水平為時消費者所能達到的最大效用，我們令：是一個復合函數(shù)，我們將其稱為間接效用函數(shù)，它表示隨著價格和財富水平的變化，消費者所能夠?qū)崿F(xiàn)

4、的最大效用的變化。下面我們給出兩個特例：特例1：柯布道格拉斯偏好消費者的效用最大化問題為：一階條件為：和，兩式相除得到：將約束條件代入，可以得到：，。特例2：擬線性偏好如果消費者的偏好是擬線性的，那么她的效用函數(shù)的形式為：，這時，給定相對價格不變，消費者愿意消費的商品的數(shù)量是唯一的，無論消費者的財富水平怎樣變化（只要保證）。為了說明這一點，我們來求消費者的最大化問題：一階條件是：，得到：，則，這意味僅僅是相對價格的函數(shù)，與財富水平無關(guān)。給定相對價格不變，財富的變化只會改變消費者對的消費數(shù)量，而不會改變她對的消費數(shù)量。假定，則有：，。擬線性偏好非常重要，在公共經(jīng)濟學，特別是公共產(chǎn)品和外部性理論中

5、有廣泛的應用。附錄2A.2：生產(chǎn)集，生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)和生產(chǎn)可能性邊界 現(xiàn)在我們考察企業(yè)的行為。企業(yè)總是在特定的技術(shù)約束下將投入品轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品，從而可行的生產(chǎn)計劃總是受到特定技術(shù)的約束。我們把在技術(shù)上可行的所有的投入和產(chǎn)出組合（生產(chǎn)計劃）的集合稱作生產(chǎn)集，通常用Y表示。如圖2A2，假定只有一種投入品z，一種產(chǎn)品y，圖中的陰影部分就是生產(chǎn)集。通常，我們假定生產(chǎn)集是一個非空的閉集，也就是說生產(chǎn)集包括它的邊界，這條邊界線所確定的函數(shù)就是生產(chǎn)函數(shù)，用表示。這樣，我們就可以把生產(chǎn)集Y寫成：。我們還假定生產(chǎn)集是凸的，也就是任意兩個可行的生產(chǎn)計劃的線性組合一定是可行的?？梢宰C明，對于單一產(chǎn)出的技術(shù)，生產(chǎn)集是凸

6、的等價于生產(chǎn)函數(shù)是凹的 關(guān)于生產(chǎn)集及其與生產(chǎn)函數(shù)的關(guān)系的進一步討論參見馬斯克萊爾等人，微觀經(jīng)濟理論；瓦里安，微觀經(jīng)濟學（高級教程）。Oyzy=f(z)Y圖2A2 生產(chǎn)集為了考察企業(yè)在成本約束下的最優(yōu)投入品組合，我們現(xiàn)在假定存在兩種投入要素，和，生產(chǎn)函數(shù)為。企業(yè)面臨的問題是給定成本約束，選擇最優(yōu)的投入品組合，使其產(chǎn)出最大化，即：其中，為企業(yè)的最高成本約束，分別為兩種投入品的市場價格。一階條件是和。假定生產(chǎn)函數(shù)是凹的，上述條件是充分必要的。兩式相除，得到：上式表明兩種要素的邊際產(chǎn)出之比（即邊際技術(shù)替代率MRTS）等于要素價格之比。上述生產(chǎn)最大化問題的一個對偶問題是成本最小化問題，給定產(chǎn)出約束，即：

7、其中，y為企業(yè)的最低產(chǎn)出約束。一階條件同樣是和，將其代入約束條件，可以解得：上面兩個式子就是所謂的條件要素需求函數(shù)。令：則為企業(yè)的成本函數(shù)，表示給定要素價格和產(chǎn)出要求下的最小成本。如果生產(chǎn)函數(shù)是凹的，可以證明成本函數(shù)對于產(chǎn)量y是凸的?，F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向企業(yè)的利潤最大化問題，即在給定產(chǎn)品和投入品市場價格的前提下，選擇產(chǎn)量使利潤最大化。上述問題可以表示為：這一問題的一階條件是，由于目標函數(shù)對y是凹的，這一條件是充分必要的。意味著利潤最大化的條件是選擇產(chǎn)量使邊際成本等于價格?，F(xiàn)在我們考慮兩種產(chǎn)品的情況，為了和上節(jié)一致，分別用和表示這兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)函數(shù)分別為：和，可以分別解得兩種產(chǎn)品的要素需求函數(shù)：， 假定

8、投入品總量分別為和，且被完全充分利用，則有：， 圖2A3畫出了所有可能的兩種產(chǎn)品生產(chǎn)組合（我們不考慮負產(chǎn)出），稱為生產(chǎn)可能性集，其中FF曲線被稱為生產(chǎn)可能性邊界，它表示當資源（所有投入品）被充分利用時，兩種產(chǎn)品所有的可能性組合，也就是，隨著其中一種產(chǎn)品的產(chǎn)量變化，另一種產(chǎn)品所能獲得的最大產(chǎn)量的變化軌跡。x1x2FF生產(chǎn)可能性集|斜率|MRT圖2A3 生產(chǎn)可能性集我們將生產(chǎn)可能性邊界的斜率的絕對值定義為邊際轉(zhuǎn)換率（MRT），表示當資源充分利用時，多生產(chǎn)一單位，需要放棄多少單位的。一般用生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)來表示生產(chǎn)可能性邊界，則生產(chǎn)可能性集就可以寫作：。我們通常假定生產(chǎn)可能性集是一個凸集，假定是一個凸函

9、數(shù)。對生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)兩邊全微分，得到：這意味著：。另外，經(jīng)濟學中還有一個常用的結(jié)論，就是邊際轉(zhuǎn)換率等于邊際成本之比?，F(xiàn)在我們來證明這個結(jié)論：兩種產(chǎn)品的成本函數(shù)可以表示為： 則有： 在生產(chǎn)可能性邊界上，投入品被充分利用，這意味著：令上式兩邊對全微分，得到：這意味著：。2.1.2 福利經(jīng)濟學第一定理：數(shù)學證明本節(jié)我們對福利經(jīng)濟學第一定理給出一個簡化的數(shù)學證明。讀者應該將本節(jié)和附錄2A.1和2A.2結(jié)合起來學習。首先我們給出帕累托最優(yōu)的數(shù)學條件。假定存在兩個消費者A和B，兩個企業(yè)1和2，分別生產(chǎn)商品和。假定有兩種投入品和，但投入品不能直接用于消費。生產(chǎn)函數(shù)分別為：和。我們用表示生產(chǎn)可能性邊界。我們用和

10、表示A消費兩種產(chǎn)品的數(shù)量，用和表示B消費的數(shù)量，則：， 所謂帕累托最優(yōu)配置是指在不損害其他人的效用的前提下使任何個人的效用達到最大。因此，一個帕累托最優(yōu)問題可以寫成： 在單調(diào)性假設(shè)下，上述約束實際上都是緊的。這一問題的拉格朗日函數(shù)是：一階條件是：我們假定效用函數(shù)是凹的，生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)是凸的，則上述一階條件是充分必要的。將(2.5)和(2.6)兩式相除，得到：將(2.7)和(2.8)兩式相除，得到：(2.9)和(2.10)式意味著：（參見附錄），這就是我們在上一節(jié)給出的帕累托最優(yōu)的條件。下面我們證明完全競爭市場的一般均衡配置（以下簡稱競爭性均衡）是滿足上述帕累托條件的。一般而言，競爭性市場的本質(zhì)特征是價格接受，這就要求存在非常多的消費者和生產(chǎn)者，而我們的模型只有兩個消費者，兩個生產(chǎn)者，為此，我們可以把兩個消費者理解為兩群消費者，同理，把兩個生產(chǎn)者理解為兩群生產(chǎn)者。我們假定投入品稟賦屬于消費者，分別用和（）表示，滿足：（）。假定消費者擁有企業(yè)利潤，其利潤份額用（，）表示，滿足：（）。所謂競爭性均衡，是指一組資源配置和一組價格，使得：（1）生產(chǎn)者利潤最大化條件：對每一個企業(yè)j，滿足：， 我們假定成本函數(shù)是凸的，則上述條件等價于：， 將上