數(shù)學(xué)建模之住房的合理定價(jià)問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上住房的合理定價(jià)問題摘要房?jī)r(jià)的合理性已成為當(dāng)今社會(huì)的熱門話題。本文依照題中所給出的數(shù)據(jù)，對(duì)3個(gè)問題分別建立模型并求解。針對(duì)問題1，首先利用Excel建立圖表，繪制出歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖。然后，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出指數(shù)型及多項(xiàng)式型擬合方程，并在原圖上繪制出趨勢(shì)線。同時(shí)，求出確定性系數(shù)，依據(jù)是否接近于1判斷擬合程度好壞，即檢驗(yàn)擬合方程的有效性。計(jì)算得出的指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程：、，由此預(yù)測(cè)出2010年房?jī)r(jià)分別為元/平米、元/平米。為了增加預(yù)測(cè)的可靠性，再結(jié)合二次指數(shù)平滑法對(duì)2010年房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過比較實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的平均偏差值ME的大小，選擇出合適的。預(yù)測(cè)出2010

2、年的房?jī)r(jià)為元/平米。最后，建立三元線性回歸模型，將上述三種方法對(duì)歷年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值分別作為自變量、的原始數(shù)據(jù)，以實(shí)際房?jī)r(jià)作為因變量，用Matlab軟件擬合出多元線性方程：。代入相關(guān)數(shù)據(jù)，求出歷年的最終房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值為3866元/平米。針對(duì)問題2，通過Excel繪制出歷年平均房?jī)r(jià)與人均GDP的關(guān)系走勢(shì)圖，且自動(dòng)生成對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后的指數(shù)型和自變量為2階、3階、4階的多項(xiàng)式型擬合方程及各自的確定性系數(shù)。的值分別為：；。由此判斷，因2階多項(xiàng)式型擬合方程的不僅十分接近于1，且相對(duì)于3階、4階的多項(xiàng)式方程更為簡(jiǎn)便，故選擇：為平均房?jī)r(jià)與人均GDP的關(guān)系方程。最后，在聯(lián)系當(dāng)下實(shí)際狀況的基礎(chǔ)上對(duì)建立的模型進(jìn)行研

3、究，分析出平均房?jī)r(jià)與人均GDP的關(guān)系。針對(duì)問題3，首先從政府、人民、房地產(chǎn)商三方面分析其各自對(duì)房?jī)r(jià)的要求。然后，利用Excel，并依據(jù)前兩個(gè)問題的解決方法求出最合理的歷年人均GDP和平均收入走勢(shì)的擬合方程，分別為：；。由此預(yù)測(cè)出2010年的人均GDP值為21781元、平均年收入為21547元。利用Matlab軟件擬合出以歷年人均GDP和平均年收入的實(shí)際值作為自變量，；以歷年平均房?jī)r(jià)的實(shí)際值作為因變量的二元線性回歸方程，將已經(jīng)預(yù)測(cè)出的2010年人均GDP和平均收入值代入擬合方程，得到2010年平均房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值3928元/平米。最后，再結(jié)合房?jī)r(jià)收入比等相關(guān)數(shù)據(jù)改善模型。本文最大的特色在于采用多種方

4、法解決問題并對(duì)其結(jié)果擬合得到最佳答案。同時(shí)結(jié)合國家政策，社會(huì)現(xiàn)狀等實(shí)際因素改善模型，增強(qiáng)模型的實(shí)用性。關(guān)鍵詞：二次指數(shù)平滑、多項(xiàng)式、線性回歸、房?jī)r(jià)收入比 1.問題的提出電視劇蝸居的熱播不是一個(gè)偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房奴”問題激發(fā)了廣大老百姓的共鳴。當(dāng)今社會(huì)，房?jī)r(jià)的急速上漲讓人們不知所措。房?jī)r(jià)太高，而需房者收入又太低，使得國內(nèi)的房地產(chǎn)業(yè)面臨前所未有的困境。如何遏制房?jī)r(jià)過快上漲勢(shì)頭，使百姓買得起房，房地產(chǎn)商有錢可賺，國家的支柱性產(chǎn)業(yè)得以健康地發(fā)展是放在我們面前的一大難題。以上述背景為基礎(chǔ)，根據(jù)某地區(qū)各年的平均房?jī)r(jià)、人均GDP、職工平均年收入等數(shù)據(jù)（見表1）解決關(guān)于住房的合理定價(jià)問題:

5、表1 某地區(qū)19972009年房?jī)r(jià)、GDP、職工收入數(shù)據(jù)表時(shí)間：年平均房?jī)r(jià)：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767 354051561998895 378351381999995 3916652620001117 4239743420011261 4922847520021437 5560968820031640 63991070320041957 78421138420052244 91161234320062489 108791363020072801 134751555820083096 167371847220093500 1874519820（1）根據(jù)該地區(qū)歷年的平均房?jī)r(jià)

6、建立模型預(yù)測(cè)2010年的平均房?jī)r(jià)。（2）研究該地區(qū)人均GDP與房?jī)r(jià)的關(guān)系。（3）試建立2010年該地區(qū)的合理房?jī)r(jià)模型使得百姓、房地產(chǎn)商、政府都比較滿意。2.基本假設(shè)1表1中所提供的1997至2009年的平均房?jī)r(jià)、人均GDP、平均收入值真實(shí)有效。2在2010年內(nèi)，無地震、洪災(zāi)、瘟疫等重大自然災(zāi)害及戰(zhàn)爭(zhēng)、動(dòng)亂等人為災(zāi)難發(fā)生。3在2010年內(nèi)，國內(nèi)經(jīng)濟(jì)以固有趨勢(shì)穩(wěn)步發(fā)展，無金融危機(jī)沖擊，人均GDP保持穩(wěn)定上漲趨勢(shì)。4. 針對(duì)第1個(gè)問題，假設(shè)政府沒有出臺(tái)任何有關(guān)住房的新政策。3.符號(hào)說明符號(hào)意義，1997為第1年，1998為第2年以此類推第年平均房?jī)r(jià)的實(shí)際值第年平均房?jī)r(jià)的第一次平滑值第年平均房?jī)r(jià)的第二

7、次平滑值（第1問中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值（第2問中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值（第3問中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值平滑系數(shù)由指數(shù)型擬合方程預(yù)測(cè)的第年平均房?jī)r(jià)值由二階多項(xiàng)式型擬合方程預(yù)測(cè)的第年平均房?jī)r(jià)值由二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)的第年平均房?jī)r(jià)值自時(shí)點(diǎn)起向前預(yù)測(cè)的時(shí)點(diǎn)數(shù)；、二次指數(shù)平滑法中的待定系數(shù)、（第1問中）三元線性回歸模型的待定系數(shù)、（第3問中）二元線性回歸模型的待定系數(shù)第年人均GDP的實(shí)際值第年人均GDP的預(yù)測(cè)值第年平均收入的實(shí)際值第年平均收入的預(yù)測(cè)值4.問題分析和模型的建立與求解問題1：1）問題分析Step1:利用Excel軟件，作出1997至2009年的平均房?jī)r(jià)走勢(shì)圖，并

8、添加指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型趨勢(shì)線。經(jīng)觀察可知，添加的趨勢(shì)線與原平均房?jī)r(jià)的走勢(shì)線較為吻合。故使軟件自動(dòng)生成指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程，和它們各自的確定性系數(shù)。如下圖：圖1添加指數(shù)型趨勢(shì)線的該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖圖2 添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖因分別為和，十分接近于1，故兩擬合方程的擬合程度均很高。利用它們進(jìn)行2010年，即第14年的平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)具有可很高的參考性。Step2:為了增加預(yù)測(cè)的可靠性，再利用二次平滑指數(shù)法對(duì)2010年平均房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先，要確定的值。選取不同的進(jìn)行計(jì)算，通過由不同值得出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)再進(jìn)行實(shí)際值與偏差值的平均偏差大小ME計(jì)算。選取ME值較小的作為參加計(jì)算

9、的平滑系數(shù)。Step3:建立三元線性回歸模型，將上述三種方法對(duì)歷年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值分別作為自變量、的原始數(shù)據(jù)，以實(shí)際房?jī)r(jià)作為因變量，用Matlab軟件擬合出三元線性回歸方程,使我們所需要的2010平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值更為精確。2）模型的建立與求解Step1：指數(shù)型擬合方程：其確定性性系數(shù)二階多項(xiàng)式型擬合方程：其確定性性系數(shù) 經(jīng)計(jì)算可得：（772，877 ，997，1133，1288，1464，1664，1892，2150，2444，2778，3158，3589）；（779，867，981，1119，1283，1471，1685，1924，2189，2478，2793，3133，3489）；（1，2，31

10、3）利用以下公式進(jìn)行誤差檢驗(yàn)：其中n=13;可得； 由此判斷該擬合方程誤差很小，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)具有有效性。其中，；即，用指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程對(duì)2010年的房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值分別為4080元/平米；3888元/平米。Step2:指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)關(guān)系式為:利用上式進(jìn)行兩次平滑值的計(jì)算；再將第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：確定待定系數(shù)的值；最后將代入公式求出預(yù)測(cè)值。當(dāng)求出所有年份的預(yù)測(cè)值后，利用以下公式進(jìn)行誤差檢驗(yàn)：其中n=12。比較ME大小，選ME較小的值。取值為；的初始值為表2 為0.5時(shí)的計(jì)算數(shù)據(jù)表時(shí)間：年平均房?jī)r(jià)：元/平米：元/平米：元/平米：元/平米1997767 76776719988

11、95 8317997671281999995 91385689510020001117 101593610279020011261 1138103711738820021437 1288116313409720031640 14641314153810220041957 17111513176419320052244 19781746210713720062489 2234199024424720072801 251822092902-10120083096 280725083136-4020093500 31542831340595取值為；的初始值為表3 為0.3時(shí)的計(jì)算數(shù)據(jù)表時(shí)間：年平均房

12、價(jià)：元/平米：元/平米：元/平米：元/平米1997767 7677671998895 8057787671281999995 86280384415120001117 93984494617120011261 1036902107518620021437 1156978122721020031640 13011075141023020041957 14981202162433320052244 17221358192132320062489 19521536224224720072801 22071737254625520083096 24741958287821820093500 27822

13、1133211289因?yàn)?，所以將的取值定?.5.則（767，895，1027，1173，1340，1538，1764，2107，2442，2902，3136，3405），（2，3，4，513）其中即，采用二次指數(shù)平滑法對(duì)2010年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值為3800元/平米。Step3:建立三元線性回歸方程：利用Matlab軟件解上式；可得：將，代入上式；得；即，2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值是3866元/平米。圖3 對(duì)三元線性回歸模型的誤差分析圖從圖中可看出確定性系數(shù)，擬合程度相當(dāng)高。因此根據(jù)此式得出的2010年平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值具有很大的參考價(jià)值。問題2：1）問題分析及模型的建立 建立如下圖表： 圖4 添

14、加指數(shù)型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均GDP關(guān)系走勢(shì)圖圖5 添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均GDP關(guān)系走勢(shì)圖圖6 添加三次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均GDP關(guān)系走勢(shì)圖圖7 添加四次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均GDP關(guān)系走勢(shì)圖由圖4圖7可看出，指數(shù)型和自變量為2階、3階、4階的多項(xiàng)式型擬合方程及各自的確定性系數(shù)。的值分別為：；。因?yàn)槎味囗?xiàng)式的值既比指數(shù)型擬合方程的更接近于1，且其方程形式比三次，四次多項(xiàng)式的擬合方程更為簡(jiǎn)便。故用它反應(yīng)歷年人均GDP與平均房?jī)r(jià)的關(guān)系。如下式：2）模型的求解根據(jù)建立的模型，即上式，研究分析該地區(qū)平均房?jī)r(jià)與人均GDP的關(guān)系。因?yàn)樵撌降亩雾?xiàng)系數(shù)小于1，則此方程的圖形為開口向下的拋

15、物線，必有一個(gè)最高點(diǎn)。因而，隨著人均GDP的不斷增長，平均房?jī)r(jià)也在不斷增長（如當(dāng)下的情況），當(dāng)人均GDP繼續(xù)增長到某一值時(shí)，平均房?jī)r(jià)達(dá)到最高點(diǎn)，且此后隨著人均GDP的不斷增長，房?jī)r(jià)呈下降趨勢(shì)。最近，國家出臺(tái)了一系列新的政策，如：在商品價(jià)格過高、上漲過快、供應(yīng)緊張的地區(qū)，商業(yè)銀行可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)狀況，暫停發(fā)放購買第三套及以上住房貸款；對(duì)不能提供1年以上當(dāng)?shù)丶{稅證明或社會(huì)保險(xiǎn)繳納證明的非本地居民暫停發(fā)放購買住房貸款；二套房首付款不得低于50%，貸款利率不得低于基準(zhǔn)利率的1.1倍（工商銀行已于2010年4月16日率先實(shí)行此政策）。而當(dāng)這些政府調(diào)控樓市的政策出臺(tái)之后不久，深圳、上海紛紛出現(xiàn)樓市投資者拋盤的情

16、況，更有浙江投資者將上億元的在京樓市投資拋售而出。由此分析得出，這一系列的新政策極大地影響了人們?cè)诜慨a(chǎn)上的消費(fèi)傾向，在一定程度上削弱了住房的購買量，從而使房地產(chǎn)商會(huì)以減少樓市的投資或以降低房?jī)r(jià)的手段促進(jìn)樓盤的買賣。綜上所述，以理論模型結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分析可得出以下結(jié)論：就當(dāng)前我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r來看，我國人均GDP會(huì)繼續(xù)保持增長趨勢(shì)，平均房?jī)r(jià)也會(huì)隨之增長。但是，由于國家政策的干預(yù)，平均房?jī)r(jià)的增長速度可能會(huì)逐漸減慢甚至呈負(fù)增長狀態(tài)，不過，這將是政策被實(shí)際且廣泛實(shí)行一段時(shí)間后才可能出現(xiàn)的結(jié)果，在短期內(nèi)房?jī)r(jià)不會(huì)大幅度下降。問題3：1）問題分析要想建立一個(gè)合理的房?jī)r(jià)模型使房地產(chǎn)商、人民、國家都滿意，就必

17、須同時(shí)從三方面著手考慮。企業(yè)的根本目的是利潤的最大化。因而，就房地產(chǎn)商而言，高房?jī)r(jià)與高銷售量成就的高銷售額是他們所追求的終極目標(biāo)。然而，房?jī)r(jià)可由房地產(chǎn)商決定，但他們卻決定不了銷售量。銷售量無法提高，贏取利潤便是空談。因此，確定合理的房?jī)r(jià)對(duì)于房地產(chǎn)來說十分必要。因?yàn)?，房?jī)r(jià)在很大程度上決定了銷售量的多少。對(duì)于普通老百姓而言，房?jī)r(jià)當(dāng)然是盡可能越低越好。（不考慮靠“炒房”謀生的人群）。當(dāng)下，房?jī)r(jià)的居高不下令許多買房者望而生畏，整個(gè)社會(huì)中降低房?jī)r(jià)的呼聲越來越高。針對(duì)政府來看，房?jī)r(jià)高，房地產(chǎn)業(yè)興盛必然會(huì)帶動(dòng)多產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與壯大，從而促進(jìn)整個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展。但是，過高的房?jī)r(jià)又必定會(huì)引起百姓的怨言。所以，怎樣確

18、定一個(gè)既能保持房產(chǎn)業(yè)的繁榮又能滿足百姓的住房需求的合理房?jī)r(jià)是政府不得不考慮的問題。綜上所述，合理房?jī)r(jià)的確定不僅要參考?xì)v年平均房?jī)r(jià)的走勢(shì)，也要將以上三個(gè)因素考慮在內(nèi)。因此，首先，根據(jù)該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入值的數(shù)據(jù)，分別擬合出一個(gè)二次多項(xiàng)式方程，通過該方程得到該地區(qū)2010年人均GDP和平均收入的預(yù)測(cè)值。然后再將該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入作為自變量，歷年平均房?jī)r(jià)作為因變量擬合出二元線性回歸方程。即，在人均GDP及平均收入的影響下，對(duì)2010房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)的模型。人均GDP在一定程度上反應(yīng)出整個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，而平均收入也在一定程度上映射出該地區(qū)老百姓的購買能力。 最后，結(jié)合國家政策和

19、社會(huì)狀況對(duì)該模型進(jìn)一步改善，使其具有實(shí)效性。2）模型的建立與求解Step1:圖8 添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的歷年人均GDP走勢(shì)圖圖9 添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的歷年平均年收入走勢(shì)圖以上兩圖是通過Excel軟件繪制的該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入的走勢(shì)圖，并自動(dòng)生成二次多項(xiàng)式擬合方程合確定性系數(shù)。人均GDP的擬合方程為：平均收入的擬合方程為：通過對(duì)與1的接近程度判斷可知，兩擬合方程的擬合程度均很高。代入數(shù)據(jù)可得：；。所以2010年的人均GDP和平均收入的預(yù)測(cè)值分別為21781元，21547元。Step2:以、作為自變量，作為因變量建立二元線性回歸模型。其中，（1，2，313）。利用Matlab軟件求

20、解，得到擬合方程：代入和，得到即，在人均GDP與平均收入的影響下所預(yù)測(cè)的2010年房?jī)r(jià)為3928元/平米。圖10 對(duì)二元線性回歸模型的誤差分析圖由上圖可知此二元線性回歸方程的確定性系數(shù)為0.。因此判斷該方程的擬合程度很高，誤差較小。但是，3928元/平米的2010年房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值并非最終所求的合理房?jī)r(jià)值。還要經(jīng)過以下步驟的修改后才可最終確定。Step3:以上的房?jī)r(jià)定制模型只是單純的基于人均GDP和平均收入因素。通過網(wǎng)上收集信息及向峨眉規(guī)劃設(shè)計(jì)院咨詢，可從以下兩個(gè)方面對(duì)確定2010年該地區(qū)合理房?jī)r(jià)的模型進(jìn)行修改。通過“房?jī)r(jià)收入比”確定合理房?jī)r(jià)。所謂“房?jī)r(jià)收入比”是指住房?jī)r(jià)格與城市居民家庭年收入之比。國際上通用的房?jī)r(jià)收入比的計(jì)算方式，是以住宅套價(jià)的中值，除以家庭年收入的中值。 通過網(wǎng)上查得的數(shù)據(jù)，截至2009年，全國