中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)—初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合一、旋轉(zhuǎn)1.（操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1,4ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°）,旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=30,連接AF,EF.求/EAF的度數(shù)；DE與EF相等嗎？請(qǐng)說明理由；（類比探究）（2）如圖2,4ABC為等腰直角三角形，/ACB=90,先將三角板的90°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于45。），旋轉(zhuǎn)后三角板的

2、一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=45,°連接AF,EF.請(qǐng)直接寫出探究結(jié)果：/EAF的度數(shù)；線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)120°DE=EF；(2)90°AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,/BAC=/B=60。，求出ZACF=ZBCD,證明AC陣BCD得出/CAF=/B=60;求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=120:證出/DCE=ZFCE由SAS證明DC電FCE得出DE=EF即可；(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,/BAC=

3、/B=45°,證出ZACF=ZBCD,由SAS證明ACFBCD,得出/CAF=/B=45°,AF=DB,求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=90°證出/DC&/FCE由SAS證明aDC9FCE得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF?,即可得出結(jié)論.試題解析：解：(1)-ABC是等邊三角形，AC=BC,/BAC=ZB=60:/DCF=60；/ACF=ZBCD.在4ACF和4BCD中，/AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SAS),/CAF=ZB=60:/EAF=ZBAG/CAF=120DE=EF.理由如下：

4、/DCF=60:/DCE=30:，/FCE=60-30=30:，/DCE=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF,ZDCE=ZFCECE=CE,DCEFCE(SA§,.DE=EF；(2).一ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,，AC=BC,/BAC=/B=45：./DCF=90；/ACF=/BCD.在ACF和ABCD中，/AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SAS,，/CAF=/B=45；AF=DB,/EAF=ZBAC+ZCAF=90-AE2+DB2=DE2,理由如下：/DCF=90:DDCE=45;：./FCE=90-45=45:：./DC

5、E=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF,/DCE=/FCECE=CE,DCEFCE(SAS,，DE=EF.在RtAEF中，AE2+aF2=eF?,又AF=DB,AE2+DB2=DE2.2.請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1:如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ACB90°,BCa,將邊AB繞點(diǎn)B12順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為一a2.（提示：過點(diǎn)D作BC2邊上的高DE,可證VABCVBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中，ACB90°,BCa,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD

6、,連接CD.請(qǐng)用含a的式子表示VBCD的面積，并說明理由.3探究3：如圖3,在等腰三角形ABC中，ABAC,BCa,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過程.12【答案】（1）詳見解析；（2）VBCD的面積為一a,理由詳見解析；（3）VBCD的面2_,12積為a2.4【解析】【分析】1如圖1,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE,就有DEBCa.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；2如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE,就有D

7、EBCa.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論;3如圖3,過點(diǎn)A作AFBC與F,過點(diǎn)D作DEBC的延長線于點(diǎn)E,由等腰三角形DE,由1的性質(zhì)可以得出BFBC,由條件可以得出VAFB且VBED就可以得出BF2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,過點(diǎn)D作DECB交CB的延長線于E,BEDACB90°，由旋轉(zhuǎn)知，ABAD,ABD900,ABCDBE90°，QAABC90°,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDADBE,ABBDVABCVBDEAASBCDEa,QSVBCD1一BCDE,2SVBCD1a2;2122VBCD的面積為一a,2理由：如圖2,過

8、點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E,BEDACB90°，Q線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,ABBD,ABD900,ABCDBE900,QAABC900,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDADBE,ABBDVABCVBDEAAS,BCQSVBCDSVBCDDEa,1 -BCDE,21 2-a;23如圖3,過點(diǎn)A作AFBC與F,過點(diǎn)D作DEBC的延長線于點(diǎn)E,c_1一1AFBE90°,BF-BC-a,22FABABF900,QABD900,ABFDBE900,FABEBD,Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，ABBD,在VAFB和VBED中

9、,AFBEFABEBD,ABBDVAFBVBEDAAS,1BFDE-a,21 1112QSvbcdBCDEaaa,2 224八二二-112VBCD的面積為一a.4【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.3.平面上，RtABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，/B=90：AC=2CE=m,BC=n,半圓。交BC邊于點(diǎn)D,將半圓。繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且/ECD始終等于/ACB,旋轉(zhuǎn)角記為e（0。WaW）180°(1)

10、當(dāng)“=0°時(shí)，連接DE,則/CDE=°,CD=BD（2）試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中2D的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；AE（3）若m=10,n=8,當(dāng)”=/ACB時(shí)，求線段BD的長；（4）若m=6,n=4J2,當(dāng)半圓。旋轉(zhuǎn)至與ABC的邊相切時(shí)，直接寫出線段BD的長.【答案】（1）90。，口；（2）無變化；（3）12Y5；（4）BD=2聞或14.253【解析】CDCE試題分析：（1）根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DE/AB得即可解決問題.求出CBCABD、AE即可解決問題.（2）只要證明ACa4BCD即可.（3）求出AB>AE,利用AC&BCD即可解決問題.（4）分類討論

11、：如圖5中，當(dāng)a=90時(shí)，半圓與AC相切，如圖6中，當(dāng)a=90°4ACB時(shí)，半圓與BC相切，分別求出BD即可.試題解析：（1）解：如圖1中，當(dāng)"0寸，連接DE,則CECD11./CDE=90：ZCDE=ZB=90.DE/AB,.二一BC=n,CD=-n.故答ACCB221案為90n.2如圖2中，當(dāng)a=18叫，BD=BC+CD=-3n,AAC+CE=-3m,.果.故答案為(2)如圖3中，/AC&/DCE/ACE=ZBCD.-CD-史CEACm'BDBC.ACEBCD,AEAC(3)如圖4中，當(dāng)a=ZACB時(shí).在RABC中，.0=10,BC=8,-AB=7aC2

12、_BC2=6.在RtABE中,AB=6,BE=BC-CE=3,AE=7Ab'_BET=6232=375,由(2)可知AC&BCD,BDAEBCAC'BD812.5珈公安*125=而，.BD=一匚.故答案為.(4)m=6,n=4&,，CE=3,CD=29，AB=JcA?BC2=2,如圖5中，當(dāng)a=90時(shí)，半圓與AC相切.在RtaDBC中，BD=Jbc2cd2=,(4揚(yáng)2(2揚(yáng)2=2標(biāo).如圖6中，當(dāng)a=90°Z+ACB時(shí)，半圓與BC相切，作EMXABTM.ZM=ZCBM=ZBCE=90°,.四邊形BCEM是矩形，.BMEC3,ME4叵,AM=5,

13、AE=VAM2ME2=V57,由(2)可知-DB-=22，-BD=2114.AE33故答案為2、而或21143點(diǎn)睛：本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類討論的思想，本題綜合性比較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題.4.已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF，BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG(1)求證：EG=CG;(2)將圖中4BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖所示，取DF中點(diǎn)G連接EGCG問中的結(jié)論是否仍然成立*成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)將圖中4BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖

14、所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能彳#出什么結(jié)論(均不要求證明).(2) (1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接AG,過G點(diǎn)作MNXAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).圖2在DAG與4DCG中， AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,DAGDCGAG=CG在4DMG與4FNG中， /DGM=/FGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG與RtENG中， AM=EN,MG=NG,AAMGAENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.圖才【解析】試題分析：(1)利用直

15、角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG(2)結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn)；再證明DA84DCG,得出AG=CG再證出DMGFNG,得到MG=NG;再證明AMGAENG,得出AG=E0最后證出CG=EG(3)結(jié)論依然成立.還知道EG±CG;試題解析：解：(1)證明：在RtAFCD中，.G為DF的中點(diǎn)，一一一，2同理，在RtDEF中，EG=-FD,2.CG=EG(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG,過G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn)，如圖所示：在DAG與4DCG中，1 .AD=CD/ADG=/CDGDC=D

16、C.DAGADCG,.AG=CG,在4DMG與4FNG中，3 /DGM=ZFGN,DG=FG/MDG=ZNFG,4 .DMGAFNG,.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在RtAAMG與RtENG中，5 .AM=EN,MG=NG,6 .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) (1)中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG且EG±CG過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖所示：A£由于G為FD中點(diǎn)，易證CDGWMFG,得到CD=FM,又因?yàn)锽E=EF易證/EFM=/EBC,貝UEFMEBC/FEM=/BECEM=EC/FE

17、EBEC=90,°/FEEFEM=90；即/MEC=90；MEC是等腰直角三角形，.G為CM中點(diǎn)，EG=CGEG±CG?！军c(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。5.在等邊4AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2,OC=OD=1,固定等邊AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段ACBD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.(0Vaw360°(1)當(dāng)OC/AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=度；發(fā)現(xiàn)：(2)線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖2給出證明.應(yīng)用：

18、(3)當(dāng)A、CD三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長.拓展：(4)P是線段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值.【答案】(1)60或240；(2)AC=BQ理由見解析；(3)斤+1或A1;(4)PC的22最大值=3,PC的最小值=J3-1.【解析】分析：(1)如圖1中，易知當(dāng)點(diǎn)D在線段AD和線段AD的延長線上時(shí)，OC/AB,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=60或240°.(2)結(jié)論：AC=BD,只要證明AOCBOD即可.(3)在圖3、圖4中，分別求解即可.(4)如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OHLAB于H,直線OH交。于C'、C，線段

19、CB的長即為PC的最大值，線段CH的長即為PC的最小值.易知PC的最大值二3,PC的最小值=73-1.詳解：(1)如圖1中，ABC是等邊三角形，ZAOB=ZCOD=60°,當(dāng)點(diǎn)D在線段AD和線段AD的延長線上時(shí)，OC/AB,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=6減240°,故答案為60或240；(2)結(jié)論：AC=BD,理由如下：如圖2中，ZCOD=ZAOB=60°,./COA=/DOB.在AOC和ABOD中，OAOBCOADOB,.AOCBOD,.1.AC=BD;COOD(3)如圖3中，當(dāng)A、CD共線時(shí)，作OHXACTH.在RtACOH中，-.OC=1,ZCOH=30°,，C

20、H=HD=1,OH=也.在RtAOH中,22AH=J0A20H2=姮，BD=AC=CH+AH=1A22131易知AC=BD=AH-CH=-2綜上所述：當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，BD的長為而1或而1;22(4)如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以。為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。作OHXABTH,直線0H交。于C'、C，線段CB的長即為PC的最大值，線段CH的長即為PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=J3-1.點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用

21、輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，利用輔助圓解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題.6.兩塊等腰直角三角板ABC和DEC如圖擺放，其中/ACB=/DCE=90°,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.【答案】（1）相等

22、，垂直.D（2）成立，證明見解析；（3）成立，結(jié)論是FH=FG,FHXFG.1FG=BE,2【解析】試題分析：（1）證AD=BE根據(jù)三角形的中位線推出FH=1AD,FH/AD,2FG/BE,即可推出答案；（2）證AC*BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；（3）連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：(1)解：CE=CDAC=BC/ECA=/DCB=90,BE=AD,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn),.FH=1AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22.FH=FG.ADXBE,FHXFG,故答案為相等，垂直

23、.(2)答：成立，證明：CE=CD/ECD=ZACD=90,AC=BC.ACDABCE.AD=BE,由(1)知：FH=1AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22.FH=FGFHI±FG,，（1）中的猜想還成立.E(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG,Fhl±FG.連接AD,BE,兩線交于Z,AD交BC于X,同(1)可證.FH=-AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,221 三角形ECDACB是等腰直角三角形，2 .CE=CDAC=BC/ECD叱ACB=90；/ACD=ZBCE在ACD和ABCE中AC=BCACD=BCE,CE=CD3 .ACDABCE.AD=BE,

24、/EBC4DAC,4 /DAC+/CXA=90,°/CXA=ZDXB,5 /DXB+ZEBC=90,°/EZA=180°90=90；即AD±BE,1. FH/AD,FG/BE,FHXFG,即FH=FGFH±FG,結(jié)論是FH=FGFHXFG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.7.如圖，在等腰4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,且/BAC=/DAE=120°.(1)求證：AB44ACE;(2)把ADE繞點(diǎn)A逆

25、時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM,判斷PMN的形狀，并說明理由；(3)在(2)中，把4ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=6,請(qǐng)分別求出PMN周長的最小值與最大值.圖圖【答案】（1）證明見解析；（2）4PMN是等邊三角形.理由見解析；（3）4PMN周長的最小值為3,最大值為15.【解析】分析：（1）由/BAC玄DAE=120,可得ZBAD=ZCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定AB44ADE;（2）PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得PM=1CE）PM/CE,PN=1BD,PN/BD,同（1

26、）的方法可得BD=CE即可得PM=PN,所22以4PMN是等腰三角形；再由PM/CE,PN/BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/DPM=/DCE,/PNC=ZDBC,因?yàn)?DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+/DBC,所以/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+/DBC=ZACB+ZACE叱DBC=ZACB+/ABD+>DBC=ZACB叱ABC,再由/BAC=120可得/ACB+ZABC=60,°即可得ZMPN=60°,所以4PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，APMN是等邊三角形，PM=PN=1BD,所以當(dāng)PM最大時(shí)，4PMN周長最大，當(dāng)點(diǎn)

27、D在AB上時(shí)，BD最小，PM2最小，求得此時(shí)BD的長，即可得4PMN周長的最小值；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM的值最大，此時(shí)求得4PMN周長的最大值即可.詳解：（1）因?yàn)?BAC=/DAE=120,所以/BAD=ZCAE,又AB=AC,AD=AE,所以AB44ADE;（2）PMN是等邊三角形.理由：二.點(diǎn)P,M分別是CD,DE的中點(diǎn)，PM=1CE,PM/CE2點(diǎn)N,M分別是BC,DE的中點(diǎn)，.PN=1BD,PN/BD,2同（1）的方法可得BD=CE.PM=PN,.PMN是等腰三角形，.PM/CE,ZDPM=ZDCE,1. PN/BD,/PNC=ZDBC, /DPN=ZDCB+ZPNC

28、之DCB+ZDBC,/MPN=/DPM+/DPN=/DCE+/DCB+/DBC=ZBCE-+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+/ABD+ZDBC=ZACB+/ABC, /BAC=120,°ZACB+ZABC=60,°/MPN=60；.PMN是等邊三角形.1（3）由（2）知，4PMN是等邊二角形，PM=PN=-bd,2 PM最大時(shí)，4PMN周長最大，.點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM最小，BD=AB-AD=2,PMN周長的最小值為3;點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10,PMN周長的最大值為15.故答案為PMN周長的最小值為3,最大值

29、為15點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第（3）問，要明確點(diǎn)D在AB上時(shí),點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，BD最小，PM最小，4PMN周長的最小;PMN周長的最大值為15.8.如圖（1）所示，將一個(gè)腰長為2等腰直角BCD和直角邊長為2、寬為1的直角4CEDa.求證：四邊形ACED'BC上如何取點(diǎn)G,使得GD=E'p并說明理由.a的值.拼在一起.現(xiàn)將4CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACED'旋轉(zhuǎn)角為（1）如圖（2）,旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，點(diǎn)D'到CD邊的距離DA=為矩形；（2）如圖（1）,4CED繞點(diǎn)

30、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，在【答案】1【解析】分析：（1）過D作DNLCD于N.由30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可得結(jié)論.由D'A/CE且D'A=CE=1,得到四邊形ACED為平行四邊形.根據(jù)有一個(gè)角為90。的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；（2）取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G,連接GD'.易證DCE'D'CG,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論.（3）分兩種情況討論即可.詳解：（1）D'A=1.理由如下：過D作DNCD于N./NCD'=30CD'CD=2,ND'1CD'=12由已知，D'A/CE,且D&

31、#39;A=CE=1,四邊形ACED為平行四邊形.又/DCE=90°,四邊形ACED為矩形；(2)如圖，取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G,連接GD'.D/DCE=/D'CE'=90°/DCE£D'CG.又.D'C=DC,CG=CE',.DC三D'CG,.GD'E'D.(3)分兩種情況討論：如圖1./CED=90:CD=2,CE'=1.1./CDE=30、/ECD=60；./ECB=30;：.旋轉(zhuǎn)角=/ECE=180°+30°=210°如圖2,同理可得/E'CE=

32、30°,旋轉(zhuǎn)角=360°30=330°.點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.9.正方形ABCD的邊長為1,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，CE與BD相交于點(diǎn)F,設(shè)線段BE的長度為x.DCDC(1)如圖1,當(dāng)AD=2OF時(shí)，求出x的值；(2)如圖2,把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接AP,設(shè)APE的面積為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=v&-1;1IIII-_J-(2)S

33、=-2(x-')2+口(0<x<1),111II當(dāng)乂=時(shí)，S的值最大，最大值為豆，.【解析】試題分析：(1)過。作OM/AB交CE于點(diǎn)M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x|1-X1-x72*-=求得OF=OM=?解方程:工，即可得到結(jié)果；(2)過P作PG,AB交AB的延長線于G,如圖2,根據(jù)已知條件得到/ECB4PEG根據(jù)1全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x由三角形的面積公式得到S=(1-x)?x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.試題解析：(1)過。作OM/AB交CE于點(diǎn)M,如

34、圖1,.OA=OC,.CM=ME,.AE=2OM=2OF,.OM=OF,OMOF,而二肝BF=BE=x(2)過P作PG±AB交AB的延長線于G,如圖2, /CEP4EBC=90,° /ECB4PEG .PE=EQ/EGP玄CBE=90,°在EPG與CEB中，LCEB=LPECPE-EC.,.EPGACEB,EB=PG=x.AE=1-x,1 IIII111(0<x<1),S="(1x)?x=-'x2+'x=7(x-?)2+斡12 -v0,111當(dāng)x=?時(shí)，S的值最大，最大值為8,.考點(diǎn)：四邊形綜合題10.已知R3DAB中,ZAD

35、B=90,扇形DEF中，ZEDF=30°,且DA=DB=D將RtAADB的邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到扇形DEE'設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<a<180)(1)如圖2,當(dāng)(Tva<90,且DF'/AB時(shí)，求a；(2)如圖3,當(dāng)a=120；求證：AF'=BE【答案】(1)15°(2)見解析.【解析】試題分析：(1),ZADB=90,DA=DB,./BAD=45,/DF/AB,ZADF2BAD=45,a=45-30=15;(2)a=120,ZADE=120；/.ZADF=120&#

36、176;+30=10OZBDE=360-90-rDA=DB120=150,./ADF'2BDE',在ADF'和BDE'中，/ATF'二/BDE',.ADFABDE；.AF'=BE'考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì).11.如圖2,邊長為2的等邊aABC內(nèi)接于。O,4ABC繞圓心O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到TIAR(,A'昔別與AB、AC交于E、D點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為以。0<"360°).(1)當(dāng)q=_,AA?B'ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中的第一次完全重合;(2)當(dāng)1=60°時(shí)(如圖1),該圖(

37、)A,是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形B.是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形D.既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形(3)如圖2,當(dāng)卜狀120，4ADE的周長是否會(huì)發(fā)生變化，如會(huì)變化，說明理由，如不會(huì)變化，求出它的周長.【答案】(1)120°(2)C;(3)力口工的周長不變.【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的中心角為120?？芍苯忧蠼?；(2)根據(jù)題意可知，當(dāng)1H=60°時(shí)，點(diǎn)A、八、B、甘、C：為。的六等分點(diǎn)，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有圖形即是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；(3)得到結(jié)論：周長不發(fā)生變化，連接A41,根據(jù)弦相等，則

38、它們所對(duì)的弧相等的性質(zhì)可得%二國，即招三層再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得AA'LAA'C由等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得以同理0八=口%因此可求川八目的周長.【詳解】解：(1)120°.如圖，可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得/0=120;圖1(2) C(3) 的周長不變；理由如下：連接AA',府場即局?=皿F.1時(shí)切，同理，DA=DC'仞云的周長="+即+即A，考點(diǎn)：正多邊形與圓，圓周角定理12.如圖1,在4ABC中，E、D分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED/BC,。為DC中點(diǎn)，連結(jié)EO并延長交BC的延長線于點(diǎn)F,則有S四邊形ebcD=Sa

39、ebf.（1）如圖2,在已知銳角/AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P.過點(diǎn)P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N.將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線MN滿足某個(gè)條件時(shí)，AMON的面積存在最小值.直接寫出這個(gè)條件：.（2）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6,猶0）、（6,3）、（,，）、（4、2）,過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.卸廢1?力圖3【答案】（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最?。唬?）10.【解析】試題分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)

40、P是MN的中點(diǎn)時(shí)Samon最小，過點(diǎn)M作MG/OB交EF于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；（2）如圖3過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OGAB分別交于點(diǎn)M、N,由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，4MND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大，S四邊形oanm=Saoad-Qmnd.如圖3，過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N,利用S四邊形ocmn=Soct-SamnT,進(jìn)而得出答案.試題解析：（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最小.如圖2,過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PFvPE,過點(diǎn)M作MG/OB交EF于G

41、,可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形mofg=Samon.1S四邊形mofgvSaeof,1-Samon<Saeof.當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SAMON最小.(2)分兩種情況：如圖3過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OGAB分別交于點(diǎn)M、N.延長OC、AB交于點(diǎn)D,易知AD=6,Saoad=18.由(1)的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，AMND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大.過點(diǎn)P、M分別作PRXOA,MMi±OA,垂足分別為Pi、Mi.由題意得MiPi=PiA=2,從而OMi=MMi=2,又P(4,2),B(6,3).PiA=MiPi="O"Mi=P

42、iP=2,MiM=OM=2,可證四邊形MMiPiP是正方形.MN/OA,/MND=90；NM=4,DN=4,求得Samnd=8.F網(wǎng)立；霞,i：:三打二端一凝靖號(hào)三-8三y如圖3，過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CROA分別交M、N.延長CB交x軸于T點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+9.則T點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,0).II(981由(i)的結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時(shí)，AMNY的面積最小，此時(shí)四邊形OCMN的面積最大.過點(diǎn)P、M點(diǎn)分別作PPiOA,MMiOA,垂足為Pi,Mi.從而NPi=RMi,MMi=2PR=4.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)P（4、2）,PiMi=NPi=i

43、,TN=6.18133,2_4_“.Samnt=X6X4=,i2S四邊形ocmn=Szoct-Qmnt=-i2=Vi0.綜上所述：截得四邊形面積的最大值為i0.考點(diǎn)：i.線動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的判定和性質(zhì)；3.圖形面積求法；4.分類思想的應(yīng)用13.正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF.(1)如圖1,若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG,則EF與FG關(guān)系為：；(2)如圖2,若點(diǎn)P為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP,將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FQ,連接EQ,請(qǐng)彳#想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若點(diǎn)P為CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照

44、(2)中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出BF、EQBP三者之間的數(shù)量關(guān)系：.G圖1圖？郢【答案】(1)證明見解析(2)BF+EQ=BP(3)BF+BP=EQ【解析】試題分析：(1)EF與FG關(guān)系為垂直且相等(EF=FG且EF±FG).證明如下：點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，AEF和BGD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形.，EF=FG/AFE=/BFG=45/EFG=90,°即EF±FG.(2)取BC的中點(diǎn)G,連接FG,則由SAS易證FQSFPG,從而EQ=GP因此EFV2BPEQ.(3)同(2)可證FQEFPG(SAS,得EQ=GP因此，EFGF

45、V2BG乏GPBP&EQBP.14.(1)發(fā)現(xiàn)如圖，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BCa,ABb.填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為(用含a,b的式子表示)A(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC3,AB1.如圖所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.找出圖中與BE相等的線段，并說明理由;直接寫出線段BE長的最大值.(3)拓展如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為5,0，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA2,PMPB,BPM90,求線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)CB的延長線上，a+b；(2)DC=BE,理由見解析；BE的最大值是4;(3)AM的最大值是3+20，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-J2,J2)【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,推出CADEAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE由于線段BE長的最大值二線段CD的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；(3)連接BM,將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至iJPBN,連接AN,得到4A