中考數(shù)學壓軸題專題初中數(shù)學旋轉的經(jīng)典綜合題及詳細答案

1、中考數(shù)學壓軸題專題初中數(shù)學旋轉的經(jīng)典綜合題及詳細答案一、旋轉1.操作與證明：如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CBCD上,連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關系和位置關系，得出結論.結論1：DM、MN的數(shù)量關系是結論2:DM、MN的位置關系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°,其他條件不變，則（2）中的兩個

2、結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF繼而證明出ABE0ADF,得到AE=AF從而證明出4AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結論.位置關系是垂直，利用三角形外角性質和等腰三角形兩個底角相等性質，及全等三角形對應角相等即可得出結論；（3）成立，連接AE,交MD于點G,標記出各個角，首先證明出11MN/AE,MN='aE,利用三角形全等證出AE

3、=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結論，再利用三角形外角性質和三角形全等，等腰三角形性質以及角角之間的數(shù)量關系得到/DMN=/DGE=90,從而得到DM、MN的位置關系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD/B=/ADF=90,=CEF是等腰直角三角形，/C=90,，CE=CF.BC-CE=C>CF,即BE=DF.ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關系是相等，DM、MN的位置關系是垂直；二,在RtADF中DM是斜邊AF的中線，AF=2DM,/MN是4AEF的中位線，AE=2MN,-.AE=AF,.DM

4、=MN;-/DMF=/DAF+/ADM,AM=MD,/FMN=ZFAE/DAF=ZBAE,/ADM=/DAF=ZBAE, ./DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+ZFAEBAD=90.DM，MN;(3)(2)中的兩個結論還成立，連接AE,交MD于點G,二點M為AF的中點，點N為EF的中點，1 .MN/AE,MN=?AE,由已知得，AB=AD=BC=CD/B=/ADF,CE=CF又.BC+CE=CD+CF即BE=DF/.AABEAADF,，AE=AF,在RtADF中，點M為AF的巴中點，DM=2AF,DM=MN,AABEAADF,，/1=/2,-.AB/DF,，/1=/3,同理可證：

5、Z2=Z4,.l.Z3=Z4,1DM=AM,，/MAD=/5,ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,°/MN/AE,./DMN=/DGE=90.DM，MN.所以(2)中的兩個結論還成立.考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.三角形中位線定理；4.旋轉的性質.2.（操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1,4ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與/ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0。且小于30。），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板斜邊上取一點F,使CF=CD線段AB上取點E,使/DCE=30,連接AF,EF.求/EAF的度數(shù)；

6、DE與EF相等嗎？請說明理由；（類比探究）（2）如圖2,4ABC為等腰直角三角形，/ACB=90,先將三角板的90°角與/ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0。且小于45。），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板另一直角邊上取一點F,使CF=CD線段AB上取點E,使/DCE=45,°連接AF,EF.請直接寫出探究結果：/EAF的度數(shù)；線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關系.【答案】(1)120°DE=EF;(2)90°AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：(1)由等邊三角形的性質得出AC=BC,ZBAC=ZB=60。，求出Z

7、ACF=ZBCD,證明AC陣BCD得出/CAF=ZB=60:求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=120:證出/DC&/FCE由SAS證明DCEFCE得出DE=EF即可；(2)由等腰直角三角形的性質得出AC=BC,/BAO/B=45°,證出ZACF=ZBCD,由SAS證明ACFBCD,得出/CAF=/B=45°,AF=DB,求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=90°；證出/DC&/FCE由SAS證明DCEFCE得出DE=EF;在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=E戶，即可得出結論.試題解析：解：(1).一ABC是等邊三角形，AC=BC,/BAC

8、=ZB=60:/DCF=60；./ACF=ZBCD.在4ACF和4BCD中，/AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SA§,/CAF=ZB=60:/EAF=ZBAG/CAF=120DE=EF.理由如下：/DCF=60；DDCE=30；./FCE=60-30=30；./DCE=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF,/DCE=/FCECE=CE,，DC®FCE(SAS,，DE=EF；(2).一ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,.AC=BC,/BAC=/B=45：./DCF=90；/ACF=/BCD.在ACF和ABCD中，/AC=BC,

9、ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SAS,，/CAF=/B=45；AF=DB,/EAF=ZBAG/CAF=90;AE2+DB2=DE2,理由如下：/DCF=90；DDCE=45；./FCE=90-45=45；./DCE=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF/DCE=/FCECE=CE,DCEFCE(SA§,，DE=EF.在RRAEF中，AE2+aF2=eF?,又AF=DB,AE2+DB2=DE2.3.(12分)如圖1,在等邊ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE連接BE,CD,點M、N、P分別是BECDBC的中點.(1)觀察猜想：圖1中，4PMN的形狀是

10、；(2)探究證明：把4ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，PMN的形狀是否發(fā)生改變？并說明理由；（3）拓展延伸：把4ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=1,AB=3,請直接寫出4PMN的周長的最大值.圖1圖2【答案】（1）等邊三角形；（2）4PMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形，理由見解析；（3）6【解析】分析：（1）如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質得到AB=AC,ZABC=ZACB=60°,則BD=CE,再根據(jù)三角形中位線性質得PM/CE,PM=-CE,PN/AD,PN=-BD,從而得到22PM=PN,/MPN=60°,從而可判斷4PMN為等邊三角形；（2）連接C

11、EBD,如圖2,先利用旋轉的定義，把4ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到CAE,貝UBD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM=PN,/BPM=/BCE,/CPN=/CBD,則計算出/BPM+/CPN=120從而得至ij/MPN=60；于是可判斷PMN為等邊三角形.（3）利用AB-AD由D系B+AD（當且僅當點B、A、D共線時取等號）得到BD的最大值為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1.4ABC為等邊三角形，AB=AC,ZABC=ZACB=60°. AD=AE,.1.BD=CE 點M、N、P分別是BE、CDBC的中點， .P

12、M/CE,PM=1CE）PN/AD,PN=1BD,22 .PM=PN,/BPM=/BCA=60；ZCPN=ZCBA=60；/MPN=60；APMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2）APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.理由如下：連接CEBD,如圖2.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=60°,.把ABD繞點A逆時針旋轉60可得到ACAE,.BD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM/CE,PM=1CE）PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM=/BCE,ZCPN=ZCBD,/BPM+ZCPN=ZCBC+ZCBD=ZABC-/ABD+ZACBZA

13、CE=60+60=120,°/MPN=60；PMN為等邊三角形.（3）-.PN=1bD,.當BD的值最大時，PN的值最大.2,AB-AD<BDqB+AD（當且僅當點B、A、D共線時取等號）BD的最大值為1+3=4,，PN的最大值為2,.PMN的周長的最大值為6.點睛：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質和三角形中位線性質.4.如圖,在等腰4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,且/BAC=/DAE=120°.（1）求證：AB44ACE;（2）把ADE繞點A

14、逆時針方向旋轉到圖的位置，連接CD,點M、P、N分別為DEDC、BC的中點，連接MN、PN、PM,判斷4PMN的形狀，并說明理由；（3）在（2）中，把4ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4,AB=6,請分別求出【答案】（1）證明見解析；（2）4PMN是等邊三角形.理由見解析；（3）4PMN周長的最小值為3,最大值為15.【解析】分析：（1）由/BAC=ZDAE=120,可得/BAD=/CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定AB44ADE;（2）PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得PMuCE,PM/CE,PN=；BD,PN/BD,同（1）的方法可得BD=CE即可得P

15、M=PN,所以4PMN是等腰三角形；再由PM/CE,PN/BD,根據(jù)平行線的性質可得ZDPM=ZDCE,/PNC=ZDBC,因為/DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+/DBC,所以/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+/DBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE-+ZDBC=ZACB+/ABD+>DBC=ZACB叱ABC,再由/BAC=120可得/ACB+ZABC=60,°即可得/MPN=60°,所以4PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，APMN是等邊三角形，PM=PN=1BD,所以當PM最大時，4PMN周長最大，當點D在AB上時，BD最小，PM2

16、最小，求得此時BD的長，即可得4PMN周長的最小值；當點D在BA延長線上時，BD最大，PM的值最大，此時求得4PMN周長的最大值即可.詳解：（1）因為/BAC=/DAE=120,所以/BAD=ZCAE,又AB=AC,AD=AE,所以AB44ADE;（2） 4PMN是等邊三角形.理由：二.點P,M分別是CD,DE的中點，PM=1CE,PM/CE2 點N,M分別是BC,DE的中點，.PN=1BD,PN/BD,2同（1）的方法可得BD=CE.PM=PN, .PMN是等腰三角形， .PM/CE,ZDPM=ZDCE,.PN/BD,/PNC=ZDBC,/DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,/M

17、PN=ZDPM+/DPN=/DCE+ZDCB+/DBC之BCE叱DBC=/ACB+ZACE叱DBC=ZACB+/ABD+ZDBC=ZACB+/ABC,/BAC=120,°ZACB+ZABC=60,°/MPN=60；.PMN是等邊三角形.1（3）由（2）知，4PMN是等邊二角形，PM=PN=BD2PM最大時，4PMN周長最大，.點D在AB上時，BD最小，PM最小，.BD=AB-AD=2,PMN周長的最小值為3；點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10,PMN周長的最大值為15.故答案為PMN周長的最小值為3,最大值為15點睛：本題主要考查了全等三角形的

18、判定及性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第（3）問，要明確點D在AB上時，BD最小，PM最小，4PMN周長的最小；點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，4PMN周長的最大值為15.5.已知4ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6,點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將4ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得至iJBCE連接DE.(1)如圖1,猜想：4CDE的形狀是三角形.(2)請證明(1)中的猜想(3)設OD=m,當6vmv10時，4BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出4BDE周長的最小值;若不存在，請說明理由.是否存在m的值，使4D

19、EB是直角三角形，若存在，請直接寫出m的值；若不存在,請說明理由.2J3+4;當m=2或14時，以D、E、B即可得到結論；BE=AD,于是得到CCV【答案】(1)等邊；(2)詳見解析；(3)為頂點的三角形是直角三角形.【解析】【分析】(1)由旋轉的性質猜想結論；(2)由旋轉的性質得到/DCE=60°,DC=EC,(3)當6vmv10時，由旋轉的性質得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質得到DE=CD,由垂線段最短得到當CD±AB時，4BDE的周長最小，于是得到結論；存在，分四種情況討論：a)當點D與點B重合時，D,B,E不能構成三角形；

20、b)當0用<6時，由旋轉的性質得到ZABE=60°,/BDEv60°,求得/BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質得到/DEB=60°,求得/CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=m；c)當6<m<10時，此時不存在；d)當m>10時，由旋轉的性質得到ZDBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到m=14.【詳解】(1)等邊；(2)二將4ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到4BCE/DCE=60°,DC=EC,.CDE是等邊三角形.(3)存在，當6vt<10

21、時，由旋轉的性質得：BE=AD,/.Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等邊三角形，.DE=CD,.Cadbe=CC+4,由垂線段最短可知，當CD±AB時，4BDE的周長最小，此時，CD=2J3,.BDE的最/、周長=CD+4=273+4;存在，分四種情況討論：a)二.當點D與點B重合時，D,B,E不能構成三角形，當點D與點B重合時，不符合題意；b）當0用<6時，由旋轉可知，ZABE=60°,/BDEv60°,，/BED=90°,由（1）可知,CDE是等邊三角形，./DEB=60°,/CEB=30&#

22、176;./CEB=ZCDA,/CDA=30:/CAB=60；ZACD=ZADC=30；.DA=CA=4,.OD=OADA=6-4=2,c）當6vmv10時，由ZDBE=120°>90°,此時不存在;m=2;d）當m>10時，由旋轉的性質可知，ZDBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,ZBDE=ZCDEfZBDC=60+ZBDC,而/BDC>0°,./BDE>60°,.只能/BDE=90；從而/BCD=30°,.BD=BC=4,.,.OD=14,，m=14.綜上所述：當m=2或14時，以D、E、

23、B為頂點的三角形是直角三角形.本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形周長的計算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.6.如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接PA,PB,PC.將PAB繞點B順時針旋轉90°到P'CB的位置.(1)設AB的長為a,PB的長為b(b<a),求PAB旋轉到P'CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積；(2)若PA=2,PB=4,/APB=135：求PC的長.【答案】(1)S陰影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將WCB時針旋轉90?？膳c4PAB重合，此時陰影部分

24、面積二扇形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉的性質可知，兩個扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據(jù)旋轉的性質可知：BP=BP；旋轉角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三角形,/BP'C=ZBPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135-45=90°,可推出PP'C是直角三角形，進而可根據(jù)勾股定理求出PC的長.試題解析：(1)二.將4PAB繞點B順時針旋轉90。到AP'C的位置，.PABAP'CB,Sapae=Sxp'cej,nS陰影=S扇形bac-

25、S扇形bpp=4(a2-b2)；(2)連接PP,根據(jù)旋轉的性質可知：APBCPB.BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32;又/BPC=BPA=135,./PP'CBP'-aBP'P=1345°=90；即PP'是直角三角形.伊”+pHPC=X=6.考點：1.扇形面積的計算；2.正方形的性質；3.旋轉的性質.7.如圖1,在4ABC中，/ACB=90°,點P為4ABC內一點.(1)連接PRPC,將ABCP沿射線CA方向平移，得到ADA

26、E,點B、CP的對應點分別為點D、AE,連接CE. 依題意，請在圖2中補全圖形；(2)如圖3,以點A為旋轉中心，將4ABP順時針旋轉60彳導至iJAMN,連接PAPRPC,當AC=4,AB=8時，根據(jù)此圖求PA+P叫PC的最小值. 如果BP±CE,AB+BP9,CE=373,求AB的長.【答案】見解析，AB=6；4".【解析】分析：(1)根據(jù)題意補全圖形即可；CD=連接BD、CD.根據(jù)平移的性質和ZACB=90°,得到四邊形BCAD是矩形，從而有AB,設CD=AB=X,則PB=DE=9X,由勾股定理求解即可；(2)當CP、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小.由

27、旋轉的性質和勾股定理求解即可.詳解：(1)補全圖形如圖所示；如圖：連接BD、CD.BCP沿射線CA方向平移，得到ADAE,2 .BC/AD且BC=AD,PB=DE.3 ZACB=90°，四邊形BCAD是矩形，.-.CD=AB,設CD=AB=X,貝UPB=9X,DE=BP=9X,.BPXCEBP/DE,DE±CE,222CE2DE2CD2,3V39xx,1-X6,即AB=6;(2)如圖，當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小.B由旋轉可得：AMN0APB,PB=MN.易得APM、ABN都是等邊三角形，PA=PM,PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,-.BN=A

28、B=8,/BNA=60°,/PAM=60；/CAN=/CAB+/BAN=60+60=120:/CBN=90:在RtABC中，易得：B0=VaB2AC248424出，在RtBCN中，CNJbC2BN28644折.點睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質進行計算求解.8.如圖，點A是x軸非負半軸上的動點，點點M繞點A順時針方向旋轉90。得到點C,軸的垂線與直線CF相交于點E,連接AC,(I)當t=2時，求點M的坐標；(n)設ABCE的面積為S,當點

29、C在線段自變量t的取值范圍；B坐標為(0,4),M是線段AB的中點，將過點C作x軸的垂線，垂足為F,過點B作yBC,設點A的橫坐標為t.EF上時，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出3.一一【答案】(1)(1,2);(2)S=t+8(0Wt&8;(3)當t=0時，BC+ACW最小值2【解析】試題分析：(I)過M作MGLOF于G,分另1J求OG和MG的長即可；(II)如圖1,同理可求得AG和OG的長，證明AMGCAF,得：AG=CF=-t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長，代入面積公式可求得S與t的關系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示AC和BC的

30、長，計算其和，根據(jù)二次根式的意義得出當t=0時，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過M作MGLOF于G,，MG/OB,當t=2時，OA=2.M是AB的中點，G是AO的中點，.OG=-OA=1MG是4AOB的中位線,2.MGOB=1X4=2M(1,2);22(II)如圖1,同理得：OG=AG=1t./BAC=90°,2/BAO+ZCAF=90:/CAF+ZACF=90；=/BAO=ZACF,/MGA=ZAFC=90；MA=AC,AAMGACAF7,.1.AG=CF=-t,AF=MG=2,EC=4-t,BE=OF=t+2,22SaBCE=1EC?BE=1(41t)(t+2)=-1t2+

31、1+4；2224211y12123SaabC=-?AB?AC=-?J16t2?。16t=t2+4,S=Sabec+Saabc=-t+8.22242當A與O重合，C與F重合，如圖2,此時t=0,當C與E重合時，如圖3,AG=EF,即1t=4,t=8,，S與t之間的函數(shù)關系式為：S=3t+8(0&W&；22(III)如圖1,易得AB84CAF,，2巴=2=2a=2.AF=2,CF=1t,由勾股定理ACAFFC2得:ac=Jaf2CF2，/2(2t)2=41t2.BC+AC=(V5+1)BC=VbE2_EC'=3t2)2(4It)2=55(；t24),gt24，當t=0時，B

32、C+AC有最小值.點睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識點包括相似三角形、全等三角形、點的坐標、幾何變換(旋轉)、三角形的中位線等，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.9.在ABC中，AB=AC,/A=30°,將線段BC繞點B逆時針旋轉600得到線段BD,再將線段BD平移到EF,使點E在AB上，點F在AC上.(1)如圖1,直接寫出/ABD和/CFE的度數(shù)；(2)在圖1中證明：AE,CF(3)如圖2,連接CE,判斷4CEF的形狀并加以證明.【答案】(1)15。，45。；(2)證明見解析；(3)4CEF是等腰直角三角形，證明見解析.【解

33、析】試題分析：(1)根據(jù)等腰三角形的性質得到/ABC的度數(shù)，由旋轉的性質得到/DBC的度數(shù)，從而得到/ABD的度數(shù)；根據(jù)三角形外角性質即可求得/CFE的度數(shù).(2)連接CDDF,證明4BCD是等邊三角形，得到CD=BD,由平移的性質得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而AB/FD,證明4AE圖4FCD即可得AE=CF(3)過點E作EGJ±CF于G,根據(jù)含30度直角三角形的性質，垂直平分線的判定和性質即可證明4CEF是等腰直角三角形.(1).在4ABC中，AB=AC,ZA=300,./ABC=75將線段BC繞點B逆時針旋轉600得到線段BD,即/DBC=60</ABD=15./CF

34、E4A+ZABD=45.°(2)如圖，連接CD、DF.線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD,，BD=BCZCBD=603.BCD是等邊三角形.CD=BD.線段BD平移至UEF,EF/BD,EF=BD四邊形BDFE是平行四邊形，EF=CD1 .AB=AC,/A=300,ZABC=ZACB=75<./ABD=/ACD=15.,四邊形BDFE是平行四邊形，.AB/FD,/A=/CFD.2 .AEFAFCD(AAS.AE=CF(3)4CEF是等腰直角三角形，證明如下:如圖，過點E作EG，CF于G, /CFE=45,ZFEG=45.°EG=FG ./A=300,/AGE=9

35、0,EG=；CFFG=-CF .AE=CF2上.，G為CF的中點.EG為CF的垂直平分線.EF=EC/CEF=/FEG=90.°.CEF是等腰直角三角形.考點：1.旋轉和平移問題；2.等腰三角形的性質；3.三角形外角性質；4.等邊三角形的判定和性質；5.平行四邊形的判定和性質；6.全等三角形的判定和性質；7.含30度直角三角形的性質；8.垂直平分線的判定和性質；9.等腰直角三角形的判定.10. (1)觀察猜想如圖，在4ABC中，/BAC=90,AB=AC點D是BC的中點.以點D為頂點作正方形DEFG,使點A,C分別在DG和DE上，連接AE,BG,則線段BG和AE的數(shù)量關系是(2)拓展

36、探究將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后(旋轉角度大于0°,小于或等于360。)，如圖2,則(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.解決問題若BC=DE=2在(2)的旋轉過程中，當AE為最大值時，直接寫出AF的值.連接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，點D是BC的中點./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADEDG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.分7(3)由(2)知，BG=AE,故當BG最大時，AE也最大.正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°時，BG最大，如圖

37、.若BC=DE=2,貝UAD=1,EF=2.在RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=-【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，點D是BC的中點./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故當BG最大時，AE也最大.Z+X+X+K因為正方形DEFG在繞點D旋轉的過程中，G點運動的圖形是以點D為圓心，DG為半徑的圓，故當正方形DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上(

38、即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°)時，BG最大，如圖.若BC=DE=2,貝UAD=1,EF=2.在RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=.即在正方形DEFG旋轉過程中，當AE為最大值時，AF=Jfj.11.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,/A=30°,點。為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接OCOP,將線段OP繞點P順時針旋轉60。，得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關系.(2)如圖2,當點P在CB延長線上

39、時，(1)中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當點P在BC延長線上時，若/BPO=15°,BP=4,請求出BQ的長.【答案】(1)BQ=CP;(2)成立：PC=BQ;(3)4褥4.【解析】試題分析：(1)結論：BQ=CP.如圖1中，作PH/AB交CO于H,可得PCH是等邊三角形，只要證明POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延長線于H.證明方法類似(1);(3)如圖3中，作CE，OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FG連接CF.設CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=3a,在RtPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4

40、,可得方程(J6J2)a近a4,求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PH/AB交CO于H.在RtABC中，./ACB=90°,/A=30°,點O為AB中點，.CO=AO=BO,ZCBO=60°,CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60:./CHP=ZCPH=60;CPH是等邊三角形,PC=PH=CH,.1.OH=PB,/OPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCBZCOPZOPQ=ZOCP=60；./POH=ZQPB,PO=PQ,APOHAQPB,.PH=QB,.PUBQ.(2)成立：PC=BQ.理由：

41、作PH/AB交CO的延長線于H.在RtABC中，ZACB=90°,/A=30°,點O為AB中點，.CO=AO=BO,ZCBO=60°,CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60；./CHP=ZCPH=60； .CPH是等邊三角形，PC=PH=CH,.1.OH=PB,/ZPOH=60+ZCPO,/QPO=60+/CPQZPOH=ZQPB,/PO=PQ,POHAQPB,.PH=QB,.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF. /OPC=15；ZOCB=ZOCR/POQ./POC=4

42、5；.CE=EO,設CE=CO=a,貝UFC=FP=2a,EF=V3a,在RtPCE中，PC=7PE2CE2="(2a底)a2=(而揚a,.POCB=4,.(76揚a啦a4,解得a=472276, .PC=4/34,由(2)可知BQ=PC,.BQ=4«4.點睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉變換、等邊三角形的判定和性質全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.12.正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB的中點，連接EF.(1)如圖1,若點G是邊BC的中點，連接FG,則EF與FG關系為：

43、；(2)如圖2,若點P為BC延長線上一動點，連接FP,將線段FP以點F為旋轉中心，逆時針旋轉90。，得到線段FQ,連接EQ,請彳#想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.(3)若點P為CB延長線上一動點，按照(2)中的作法，在圖3中補全圖形，并直接寫出BF、EQBP三者之間的數(shù)量關系：【答案】(1)證明見解析(2)BF+EQ=BP(3)BF+BP=EQ試題分析：(1)EF與FG關系為垂直且相等(EF=FG且EF±FG).證明如下:點E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點，AEF和BGD是兩個全等的等腰直角三角形.，EF=FG/AFE=/BFG=45/EFG=90,°即EF±FG.(2)取BC的中點G,連接FG,則由SAS易證FQSFPG,從而EQ=GP因此EF72BPEQ.(3)同(2)可證FQEFPG(SAS,得EQ=GP因此，EFGF拒BG72GPBP亞EQBP.13 .如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1).(1)將線段AB繞點B逆時針旋轉，得到對應線段BE.當BE與CD第一次平行時，畫出點A運動的路徑，并直接寫出點A運動的路徑長；(2)線段AB與線段CD