數(shù)學(xué)建模概述(李福樂(lè))

1、一、數(shù)學(xué)建模概述1.1 什么是數(shù)學(xué)建模通常我們把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一個(gè)模擬稱為模型，如交通圖、地質(zhì)圖、航空模型等。利用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、公式、圖、表、或符號(hào)等來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)的模型稱為數(shù)學(xué)模型。我們知道，對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的研究，一般不需要甚至不可能直接研究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的本身，而是研究模擬該現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的模型。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子：某司機(jī)欲把某貨物從甲地運(yùn)往已地，應(yīng)如何選擇運(yùn)輸路線使總路程最短？該司機(jī)不會(huì)開著車去試探，而是利用交通圖來(lái)確定自己的行車路線。從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子中我們可以看到數(shù)學(xué)建模的重要性。1.2 數(shù)學(xué)建模包含哪些步驟數(shù)學(xué)建模主要包含模型建立、求解以及對(duì)結(jié)果的分析與檢驗(yàn)等步驟。模型建立 模擬現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，不僅要有

2、一定的數(shù)學(xué)知識(shí)與技巧，還要有敏銳的洞察力與理解力，善于抓住問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，作出合理的假設(shè)與簡(jiǎn)化，找出影響問(wèn)題的各種因素及其相互關(guān)系。建立數(shù)學(xué)模型，不僅要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)與技巧，還要具備其他學(xué)科的一些知識(shí)，另外還要有一定的編程能力。一般來(lái)說(shuō)，模型建立的方法不止一種。如最短路線問(wèn)題，可以用圖論方法，也可以用線性規(guī)劃方法，有時(shí)還可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法。模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，給出有效的計(jì)算方法。例如旅行推銷員問(wèn)題：一個(gè)推銷員要到個(gè)城市去推銷，如何安排行程？如果用簡(jiǎn)單的組合算法，其計(jì)算步驟是的倍數(shù)，隨著的增大，計(jì)算量之大以至無(wú)法得到結(jié)果。如，即使以每秒以步的速度來(lái)計(jì)算，也需要年多，況且現(xiàn)在

3、的計(jì)算機(jī)還沒(méi)有達(dá)到上述速度。結(jié)果的分析與檢驗(yàn) 有些問(wèn)題需要對(duì)解的現(xiàn)實(shí)意義作出解釋，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，并對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。如種群的相互競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題需要對(duì)解的現(xiàn)實(shí)意義作出解釋，并對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。二、基本知識(shí) 微分方程在科技、工程、經(jīng)濟(jì)管理、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各個(gè)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。大量的實(shí)際問(wèn)題需要用微分方程來(lái)描述。首先，我們要對(duì)實(shí)際研究現(xiàn)象作具體分析，然后利用已有規(guī)律、或者模擬，或近似的得到各種因素變化率之間的關(guān)系，從而建立一個(gè)微分方程。一般地，利用以下三種方法建立一個(gè)微分方程模型。1. 根據(jù)規(guī)律建模在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中已有許多經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的規(guī)律和定律，如Newto

4、n運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)的放射性規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等，這些都涉及到某些函數(shù)的變化率，因而可根據(jù)相應(yīng)的規(guī)律以及 變化率輸入率輸出率的思想，列出微分方程。2. 微元法建模在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理等許多教科書上會(huì)見到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它實(shí)際上是應(yīng)用一些已知的規(guī)律或定理尋求某些微元之間的關(guān)系。3. 模擬近似法在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的實(shí)踐中，由于我們對(duì)上述領(lǐng)域的一些現(xiàn)象的規(guī)律性目前還不是很清楚，了解并不全面，應(yīng)用微分方程模型進(jìn)行研究時(shí)，可根據(jù)已知的一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際現(xiàn)象。對(duì)如此得到的微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)上求解或分析解的性質(zhì)，然后再去同實(shí)際作對(duì)比，觀察分析這個(gè)模型與

5、實(shí)際現(xiàn)象的差異性，看能否在一定程度上反映實(shí)際現(xiàn)象，然后對(duì)其解答作出解釋。然而大多數(shù)微分方程是很難得到解析解的，這時(shí)，我們可求其數(shù)值解。對(duì)于數(shù)值解，我們可用數(shù)學(xué)軟件包如 MATLAB、Mathematica等來(lái)求解。下面我們簡(jiǎn)要介紹微分方程方面的基本知識(shí)，然后討論與之有關(guān)的微分方程建模思想，并簡(jiǎn)要說(shuō)明如何運(yùn)用MATLAB軟件包來(lái)求解微分方程的過(guò)程。2.1 微分方程基本知識(shí)1. 微分方程的概念 未知的函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量都由一已知方程聯(lián)系在一起的方程稱為微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱為常微分方程。如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，稱為偏微分方程。聯(lián)系一些未知函數(shù)的一組微分方程稱為微分方程

6、組。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。若方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性常微分方程，一般表示為 若上式系數(shù)均與無(wú)關(guān)，稱之為常系數(shù)（或定常、自治、時(shí)不變）的。2. 初等積分法有些微分方程可直接通過(guò)積分求解。例如，一階常系數(shù)線性常微分方程 可化為兩邊積分可得通解為其中為任意常數(shù)。有些常微分方程可用一些技巧（如分離變量法、積分因子法、常數(shù)變易法、降階法等）化為可積分的方程而求得顯式解。3. 常系數(shù)線性微分方程線性齊次常微分方程的解滿足疊加性原理，從而線性非齊次常微分方程的求解可歸結(jié)為求一個(gè)特解和相應(yīng)的齊次微分方程的解。一階變系數(shù)線性常微分方程總可用這一思路求得顯

7、式解。高階線性常系數(shù)微分方程可用特征根法求得相應(yīng)齊次微分方程的基本解，再用常數(shù)變易法求特解。例1 求的通解。解：特征方程為roots(1 0.2 3.92)求得共軛復(fù)根，從而通解為 其中為任意常數(shù)。一階常微分方程組與高階常微分方程可以互化，已給一個(gè)階方程設(shè)，上式可化為一階方程組 反過(guò)來(lái)，在許多情況下，一階微分方程組也可以化為高階方程。所以一階常微分方程組與高階常微分方程的理論與方法在很多方面是相通的。一階常系數(shù)線性微分方程組也可用特征根法求解。4. 常微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 關(guān)于常微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，僅討論右端不顯含自變量的一階微分方程稱代數(shù)方程的實(shí)根為方程(1.1)的平衡點(diǎn)（或奇

8、點(diǎn)）。它也是方程(1.1)的解。 在實(shí)際問(wèn)題中，我們不僅要得到問(wèn)題的解，有時(shí)還要得到（均指）時(shí)問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)。如果從一定范圍內(nèi)的初始條件出發(fā)，方程(1.1)的解都滿足，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。下面給出不易由定義判別平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定的方法。在處將作泰勒（Taylor）展開，只取線性部分得方程(1.1)的近似線性方程易知也是方程(1.2)的平衡點(diǎn)，(1.2)的通解為.關(guān)于是否穩(wěn)定有一下結(jié)論： （1）若，則對(duì)于方程(1.2)和(1.1)都是穩(wěn)定的； （2）若，則對(duì)于方程(1.2)和(1.1)都是不穩(wěn)定的；關(guān)于常微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，也僅討論右端不顯含自變量的微分方程組代數(shù)方程組的實(shí)根稱為方程(1

9、.3)的平衡點(diǎn)，記作.它也是方程(1.3)的解。如果從一定范圍內(nèi)的初始條件出發(fā)，方程(1.3)的解都滿足則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。下面給出判別平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則。設(shè) 則當(dāng)且時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)或時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。2.2 MATLAB關(guān)于微分方程的解法1. 符號(hào)微分方程解析解求微分方程（組）的解析解用函數(shù)dsolve.求解微分方程時(shí)，需要將微分方程包含在dsolve的表達(dá)式中，在表達(dá)微分方程時(shí)，字母 D表示求微分，D2,D3等表示求高階微分，任何 D 后所跟字母為因變量，自變量可以指定或缺省。例如微分方程可表達(dá)為。具體格式為：S=dsolve(方程1，方程2，初始條件1，初始條件2，自變量

10、)。均用字符串方式表示，自變量缺省值為t。我們通過(guò)若干例子說(shuō)明解法。例1 求的通解。解：dsolve('Du=1+u-t'),結(jié)果為ans =t+exp(t)*C1，即 .例2 求下列微分方程的特解 解：y=dsolve('D2y+4*Dy+12*y=0','y(0)=0','Dy(0)=5','x')，結(jié)果為y =5/4*2(1/2)*exp(-2*x)*sin(2*2(1/2)*x)，即.例3 求的通解。解：s=dsolve('Dy=a*y+b'),結(jié)果為 s =-b/a+exp(a*t)*C1

11、.例4 求下列微分方程組的特解解：程序?yàn)閤,y,z=dsolve('Dx=2*x-3*y+3z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')，結(jié)果為x =3/4+C1*exp(-t)+C2*sin(2*2(1/2)*t)+C3*cos(2*2(1/2)*t) y= C1*exp(-t)-2/3*C2*cos(2*2(1/2)*t)*2(1/2)+2/3*C3*sin(2*2(1/2)*t)*2(1/2)+3/2+2/3*C2*sin(2*2(1/2)*t)+2/3*C3*cos(2*2(1/2)*

12、t)z =2/3*C2*sin(2*2(1/2)*t)+2/3*C3*cos(2*2(1/2)*t)-2/3*C2*cos(2*2(1/2)*t)*2(1/2)+2/3*C3*sin(2*2(1/2)*t)*2(1/2)+3/2， 整理一下即可。 2. 微分方程（組）的數(shù)值解MATLAB使用龍格-庫(kù)塔-芬爾格（Runge-Kutta-Fehlberg）方法來(lái)解ODE問(wèn)題。在有限點(diǎn)內(nèi)計(jì)算求解。而這些點(diǎn)的間距有解的本身來(lái)決定。當(dāng)解比較平滑時(shí)，區(qū)間內(nèi)使用的點(diǎn)數(shù)少一些，在解變化很快時(shí)，區(qū)間內(nèi)應(yīng)使用較多的點(diǎn)。為了得到更多的有關(guān)何時(shí)使用哪種解法和算法的信息，推薦使用helpdesk。所有求解方程通用的語(yǔ)法

13、或句法在命令集中頭兩行給出。時(shí)間間隔將以向量t=t0,tt給出。命令ode23可以求解(2,3)階的常微分方程組，函數(shù)ode45使用(4,5)階的龍格-庫(kù)塔-芬爾格方法。注意，在這種情況下x是x的微分不是x的轉(zhuǎn)置。在命令集中solver將被諸如ode45函數(shù)所取代。命令集 龍格-庫(kù)塔-芬爾格方法time,x=solver(str,t,x0) 計(jì)算ODE或由字符串str給定的ODE的值，部分解已在向量time中給出。在向量time中給出部分解，包含的是時(shí)間值。還有部分解在矩陣x中給出，x的列向量是每個(gè)方程在這些值下的解。對(duì)于標(biāo)量問(wèn)題，方程的解將在向量x中給出。這些解在時(shí)間區(qū)間t(1)到t(2)上

14、計(jì)算得到。其初始值是x0即x(t(1).此方程組有str指定的M文件中函數(shù)表示出。這個(gè)函數(shù)需要兩個(gè)參數(shù)：標(biāo)量t和向量x,應(yīng)該返回向量x(即x的導(dǎo)數(shù))。因?yàn)閷?duì)標(biāo)量ODE來(lái)說(shuō)，x和x都是標(biāo)量。在M文件中輸入odefile可得到更多信息。同時(shí)可以用命令numjac來(lái)計(jì)算Jacobi函數(shù)。t,x=solver(str,t,x0,val) 此方程的求解過(guò)程同上，結(jié)構(gòu)val包含用戶給solver的命令。參見odeset和表1，可得到更多信息。Ode45 此方法被推薦為首選方法。Ode23 這是一個(gè)比ode45低階的方法。Ode113 用于更高階或大的標(biāo)量計(jì)算。Ode23t 用于解決難度適中的問(wèn)題。Ode2

15、3s 用于解決難度較大的微分方程組。對(duì)于系統(tǒng)中存在常量矩陣的情況也有用。Ode15s 與ode23相同，但要求的精度更高。Ode23tb 用于解決難度較大的問(wèn)題，對(duì)于系統(tǒng)中存在常量矩陣的情況也有用。Set=odeset(set1,vak1,set2,val2,) 返回結(jié)構(gòu)set,其中包含用于ODE求解方程的設(shè)置參數(shù)，有關(guān)可用設(shè)置的信息參見表1。Odeget(set,set1) 返回結(jié)構(gòu)set中設(shè)置set1的值。有許多設(shè)置對(duì)odeset控制的ODE解是有用的，參見表1。例如，如果要在求解過(guò)程中畫出解的圖形，可以輸入：inst=odeset(outputfcn,odeplot);.也可使用命令od

16、edemo。表1 ODE求解方程的設(shè)置參數(shù)RelTol 給出求解方程允許的相對(duì)誤差A(yù)bsTol 給出求解方程允許的絕對(duì)誤差Refine 給出與輸入點(diǎn)數(shù)相乘的因子OutputFcn 這是一個(gè)帶有輸入函數(shù)名的字符串，該字符串將在求解函數(shù)執(zhí)行的每步被調(diào)用：odephas2(畫出2D的平面相位圖)。Odephas3(畫出3D的平面相位圖)，odeplot(畫出解的圖形)，odeprint(顯示中間結(jié)果)OutputSel 是一個(gè)整型向量。指出哪些元素應(yīng)該被傳遞給函數(shù)，特別是傳遞給OutputFcnStats 如果參數(shù)Stats為on,則將統(tǒng)計(jì)并顯示出計(jì)算過(guò)程中資源消耗情況Jacobian 如果編寫OD

17、E文件代碼以便F（t,y,jocobian）返回dF/dy,則將jacobian設(shè)置為onJconstant如果雅可比數(shù)df/dy是常量，則將此參數(shù)設(shè)置為onJpattern 如果編寫ODE文件的編碼以便函數(shù)F（,jpattern）返回帶有零的稀疏矩陣并輸出非零元素dF/fy,則需將Jpattern設(shè)置為onVectorized如果編寫ODE文件的編碼以便函數(shù)F(t,y1,y2)返回F(t,y1) F(t,y2),則將此參數(shù)設(shè)置成onEvents 如果ODE文件中帶有參數(shù)events，則將此參數(shù)設(shè)置成onMass 如果編寫ODE文件編碼以實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(t,mass)返回M和M(t),應(yīng)將此參數(shù)設(shè)

18、置成onMassConstant如果矩陣M(t)是常量，則將此參數(shù)設(shè)置成onMaxStep 此參數(shù)是限定算法能使用的區(qū)間長(zhǎng)度上限的標(biāo)量InitialStep 給出初始步長(zhǎng)的標(biāo)量。如果給定的區(qū)間太大，算法就使用一個(gè)較小的步長(zhǎng)MaxOrder 此參數(shù)只能被ode15s使用，它主要是指定ode15s的最高階數(shù),并且此參數(shù)應(yīng)是從1到5的整數(shù)BDF 此參數(shù)只能被ode15s使用，如果倒推微分公式而不是使用通常所使用的微分公式，則要將它設(shè)置為onNormControl如果算法根據(jù)norm(e)<=max(Reltol*norm(y),Abstol)來(lái)步積分過(guò)程中的錯(cuò)誤，則要將它設(shè)置成on下面舉幾個(gè)例

19、子例1（a）求解下面的ODE: 創(chuàng)建函數(shù)xprim1,將此函數(shù)保存在M文件xprim1.m中：function xprim=xprim1(t,x)xprim=-x.2;然后調(diào)用MATLAB的ODE算法求解方程,畫出解的圖形：t,x=ode45(xprim1,0,1,1);plot(t,x,-,t,x,o);xlabel(time t0=0,tt=1);ylabel(x values x(0)=1);得到圖1，MATLAB計(jì)算出的點(diǎn)用圓圈標(biāo)記。圖1 由函數(shù)xprim1定義的ODE解的圖形（b） 解下面的ODE過(guò)程是等價(jià)的：首先創(chuàng)建xprim2,將此函數(shù)保存在M文件xprim2.m中：functi

20、on xprim=xprim2(t,x)xprim=x.2;然后調(diào)用MATLAB的ODE算法求解方程,畫出解的圖形：t,x=ode45(xprim2,0,0.95,1);plot(t,x,o,t,x,-);xlabel(time t0=0,tt=0.95);ylabel(x values x(0)=1);得到圖2. 注意：在MATLAB中計(jì)算出的點(diǎn)在微分絕對(duì)值大的區(qū)域內(nèi)更密集些。圖2 由函數(shù)xprim2定義的ODE解的圖形（c） 求解可使用與（b）中相同的函數(shù)，只要改一下初始數(shù)據(jù)即可：t,x=ode45(xprim2,0,1,-1);plot(t,x);xlabel(time t0=0,tt=

21、1);ylabel(x values x(0)=-1); 給出圖3圖3 給定新的初始數(shù)據(jù)，由函數(shù)xprim2定義的ODE解的圖形（d） 求解下面方程組并不難：這個(gè)方程組用在人口動(dòng)力學(xué)中?？梢哉J(rèn)為是單一化的捕食者-被捕食者模式。例如，狐貍和兔子。表示被捕食者，表示捕食者。如果被捕食者有無(wú)限的食物，并且不會(huì)出現(xiàn)捕食者。于是有，這個(gè)式子是以指數(shù)形式增長(zhǎng)的。大量的被捕食者將會(huì)使捕食者的數(shù)量增長(zhǎng)；同樣，越來(lái)越少的捕食者會(huì)使被捕食者的數(shù)量增長(zhǎng)。而且，人口數(shù)量也會(huì)增長(zhǎng)。創(chuàng)建xprim3,將此函數(shù)保存在M文件xprim3.m中：function xprim=xprim3(t,x)xprim=x(1)-0.1*

22、x(1)*x(2)+0.01*t;-x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t;然后調(diào)用一個(gè)ODE算法和畫出解的圖形：t,x=ode45(xprim3,0,20,30;20);plot(t,x);xlabel(time t0=0,tt=20);ylabel(x values x1(0)=30,x2(0)=20);給出圖4圖4 由函數(shù)xprim3定義的ODE解的圖形圖5 由函數(shù)xprim3定義并根據(jù)函數(shù)x2計(jì)算出的x1值的曲線例2 對(duì)于某些a和b的值，下面的問(wèn)題比較難解：方程由下面的M文件stiff1.m定義:function stiff=stiff1(t,x)global a; %變

23、量不能放入?yún)?shù)表中g(shù)lobal b;stiff=0,0; %stiff必須是一個(gè)冒號(hào)變量stiff(1)=a-(b+1)*x1+x(1)2*x(2);stiff(2)=b*x(1)-x(1)2*x(2);下面的M文件給出一個(gè)比較困難的問(wèn)題：global a;a=100;global b;b=1;tic;t,X=ode23(stiff1，0 10,1;3);tocsize(t)運(yùn)行后得到的結(jié)果如下：elapsed_time=72.1647ans=34009使用專門解決復(fù)雜問(wèn)題的解法ode23s,將得到較好的結(jié)果：elapsed_time=1.0098ans=103例3 Lorenz模型的狀態(tài)方程

24、組可表示為若令，且初值為，為一個(gè)小常數(shù)，假設(shè)，求此方程的數(shù)值解。例4 求解描述振蕩器的經(jīng)典的Verderpol微分方程解：首先將高階微分方程變成一階微分方程組，然后再解該微分方程組，從而得到數(shù)值解。令，則微分方程轉(zhuǎn)化為微分方程組三、微分方程模型3.1.人口模型(1)指數(shù)增長(zhǎng)模型(馬爾薩斯人口模型)(2)阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.

25、5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果年17901800181018201830184018501860實(shí)際人口3.95.37.29.612.917.123.231.4計(jì)算人口x14.18845.51057.24989.538212.54916.5121.72128.577計(jì)算人口x26.0457.39969.057711.08713.57216.61320.33624.893年18701880189019001910192019301940實(shí)際人口38.650.

26、262.976.092.0106.5123.2131.7計(jì)算人口x137.59749.46465.07785.618計(jì)算人口x230.47137.29945.65755.88868.41283.742102.51125.48年195019601970198019902000實(shí)際人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4計(jì)算人口x1計(jì)算人口x2153.6188.01230.14281.72344.84422.12美國(guó)人口增長(zhǎng)率（/年）年17901800181018201830184018501860增長(zhǎng)率2.953.112.992.972.913.013.082.45年18

27、701880189019001910192019301940增長(zhǎng)率2.442.422.051.911.661.461.021.04年195019601970198019902000增長(zhǎng)率1.581.491.161.051.091.16指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果年17901800181018201830184018501860實(shí)際人口3.95.37.29.612.917.123.231.4計(jì)算人口x3.95.06.58.310.713.717.522.3年18701880189019001910192019301940實(shí)際人口38.650.262.976.092.0106.5123.21

28、31.7計(jì)算人口x28.335.845.056.269.785.5103.9124.5年195019601970198019902000實(shí)際人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4計(jì)算人口x147.2171.3196.2221.0245.3模型檢驗(yàn)X(2000)=x(1990)+x=x(1990)+rx(1990)1-x(1990)/xm=274.5誤差：(281.4-274.5)/281.4=0.0245人口預(yù)報(bào)3.2.捕魚問(wèn)題1. 提出問(wèn)題考察一個(gè)漁場(chǎng)，其中魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長(zhǎng)。在漁場(chǎng)中捕魚，捕的越多，所獲得的經(jīng)濟(jì)效益越大。但捕撈的魚過(guò)多，會(huì)造成魚量的急劇

29、下降勢(shì)必影響以后的捕魚數(shù)量。因此，我們希望在魚的總量保持穩(wěn)定的條件下，控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益最大。3.3.交通管理中亮黃燈的時(shí)間問(wèn)題1. 提出問(wèn)題在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前要亮一段時(shí)間黃燈，這是為了讓那些行駛在十字路口或十字路口太近以致無(wú)法停下來(lái)的車輛通過(guò)路口。那么，黃燈應(yīng)該亮多長(zhǎng)時(shí)間才能使這些車輛安全順利地通過(guò)路口？2. 分析問(wèn)題在十字路口行駛的車輛中，當(dāng)機(jī)動(dòng)車駛近交叉路口時(shí)，駕駛員看到黃燈信號(hào)后應(yīng)作出決定：是停車還是通過(guò)路口。如果他按法定速度（或低于法定速度）行駛，當(dāng)作出停車決定時(shí)，他必須有足夠的剎車距離。少于此距離時(shí)不能停車，大于此距離必須停車，等于此距離時(shí)可以停車也可以通

30、過(guò)。當(dāng)他決定通過(guò)路口時(shí)，他必須有足夠的時(shí)間使他完全通過(guò)路口，這包括：作出決定的時(shí)間、通過(guò)路口的時(shí)間以及要停車時(shí)剎車所需的最短距離的駕駛時(shí)間。由此可得黃燈狀態(tài)應(yīng)該持續(xù)的時(shí)間包括：駕駛員的決定時(shí)間（反應(yīng)時(shí)間）、通過(guò)十字路口的時(shí)間和停車距離的駕駛時(shí)間。3.4.傳染病模型1. 提出問(wèn)題隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來(lái)。20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的艾滋病毒開始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春來(lái)歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)極大的危害。長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳

31、染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的問(wèn)題。不同類型傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí)，我們不可能從醫(yī)學(xué)的角度分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播機(jī)理建立幾種模型。0123456780.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.32470.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027910152025303540450.28630.24180.07870.02

32、230.00610.00170.00050.000100.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.03983.5.確定醫(yī)用薄膜的滲透率的數(shù)學(xué)模型1. 提出問(wèn)題某種醫(yī)用薄膜有允許一種物質(zhì)的分子穿透它，從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能，在試制時(shí)需測(cè)定薄膜被這種分子穿透的能力。測(cè)定方法如下：用面積為 S 的薄膜將容器分成體積為的兩部分，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時(shí)，該物質(zhì)分子就會(huì)從高濃度溶液穿過(guò)薄膜向低濃度溶液擴(kuò)散。通過(guò)單位面積薄膜分子擴(kuò)散的速度與薄膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)K 表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能

33、力，稱為滲透率。定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值，以此確定K的數(shù)值。VaVb2. 問(wèn)題假設(shè)（1）薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的，即在任何時(shí)刻薄膜兩側(cè)的每一處溶液的濃度都是相同的。（2）當(dāng)薄膜兩側(cè)的溶液濃度不一致時(shí)，物質(zhì)的分子穿透薄膜總是從高濃度溶液向低濃度溶液擴(kuò)散。（3）通過(guò)單位面積薄膜分子擴(kuò)散的速度與薄膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比。（4）薄膜是雙向同性的，即物質(zhì)從薄膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。3.6.油氣產(chǎn)量和可開采儲(chǔ)量的預(yù)測(cè)問(wèn)題1. 提出問(wèn)題油氣田開發(fā)試驗(yàn)表明，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)油氣產(chǎn)量和可開采儲(chǔ)量，對(duì)石油工作者來(lái)說(shuō)，始終是一項(xiàng)既重要又困難的工作。1995年，有人通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)外一些油氣田開發(fā)資料的研究，得出結(jié)論，油氣田的產(chǎn)量與累積產(chǎn)量之比，與其開發(fā)時(shí)間存在著半對(duì)數(shù)關(guān)系： 根據(jù)某氣田19571976年共20個(gè)年度的產(chǎn)氣量數(shù)據(jù)，如下表所示，建立該氣田的產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型，并將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較。1957年1976年的產(chǎn)氣量數(shù)據(jù)表年份1957195819591960196119621963產(chǎn)量/108/m319.043.059.082.092.0113.0138.0年份1964196519661967196819691970產(chǎn)量/108/m3148.0151.0157.0158.0155.0137.0109.0年份19