基于幾類(lèi)空間中微分概念的研究

1、基于幾類(lèi)空間中微分概念的研究摘要: 本篇文章將映射的微分的一些相關(guān)概念分別在有限維空間和無(wú)限維空間，函數(shù)空間和泛函空間中進(jìn)行了比較，并將偏微分，全微分，梯度等概念在無(wú)限維空間和泛函的距離空間中進(jìn)行了一定的推廣，在泛函空間中，按照形式，給出了方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、梯度的定義；在有限維空間與無(wú)限維空間中，給出了兩種空間下方向?qū)?shù)與全微分之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞：方向?qū)?shù)、全微分、Gateaux導(dǎo)數(shù)、Frechet微分、變分、線性泛函引 言我們知道，同一種概念，在不同的兩類(lèi)空間中，往往是兩種截然不同的形式。而對(duì)于空間的分類(lèi)而言，通過(guò)從其結(jié)構(gòu)的不同屬性入手，可以將空間分為多種類(lèi)別，例如，歐幾里得空間、雙

2、曲空間、黎曼空間、各種函數(shù)空間、拓?fù)淇臻g等等。這里我們就先從較為簡(jiǎn)單的屬性空間的維度入手，即從兩類(lèi)空間有限維和無(wú)限維空間入手，比較在這樣兩類(lèi)空間中同一種概念的相關(guān)性質(zhì)，并將有限維函數(shù)空間的與微分相關(guān)的某些概念推廣到無(wú)限維空間中。而映射的連續(xù)性與映射的微分，作為分析學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，我們不妨先從映射的微分入手，來(lái)比較它們?cè)谟邢蘧S空間跟無(wú)限維空間的形式和結(jié)構(gòu)。有限維空間的微分在數(shù)學(xué)分析中，我們知道了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，為了討論多元函數(shù)的可微性與相關(guān)應(yīng)用，我們引入了全微分的概念；進(jìn)一步通過(guò)多元函數(shù)中偏導(dǎo)數(shù)的概念知道了函數(shù)在坐標(biāo)軸方向上的變化率，然而為了知道其他特定方向上的變化率，在數(shù)分里介紹方向

3、導(dǎo)數(shù)的概念，在這里我們先簡(jiǎn)單的介紹一下它們的定義。1.1全微分設(shè)函數(shù)g=f(x,y,z) P0(x0,y0,z0) _11P0) _D_11P0) 1x,y,z=(x0+x,y0+y,z0+z) D1 P0處的全增量g(其中A,B,C是僅與點(diǎn)P0有關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù)f在P0可微，并將關(guān)于x,y的線性函數(shù)Ax+By+Cz為函數(shù)f在P0處的全微分，記作dz|P0=dfx0,y0=Ax+By+Cz 而偏導(dǎo)數(shù)作為多元函數(shù)在其中一個(gè)自變量的增量，定義如下：設(shè)函數(shù)g=f(x,y,z)，若，且fx,y0,z0在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限存在時(shí)，稱這個(gè)極限為函數(shù)f在點(diǎn)(x0,y0,z0)關(guān)于x0的偏導(dǎo)數(shù)

4、，記作fxx0,y0,z0。從圖像上來(lái)看，由偏導(dǎo)數(shù)的概念，我們知道了在坐標(biāo)軸方向上函數(shù)的變化率，然而為了知道各個(gè)方向上的變化率，又進(jìn)一步給出方向?qū)?shù)的定義。方向?qū)?shù)設(shè)設(shè)三元函數(shù)f在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的某領(lǐng)域UP0上有定義，l為從點(diǎn)P0出發(fā)的射線，P(x,y,z)為l上且含有UP0內(nèi)的任意一點(diǎn)，以表示P與P0兩點(diǎn)間的距離，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)，記作fl|P0或fl(P0)。通過(guò)定義顯然可知，函數(shù)全微分與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系如下：一個(gè)函數(shù)作為各個(gè)偏增量線性組合的全微分也可以記作偏導(dǎo)數(shù)的線性組合。因此要探究全微分與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系，等價(jià)于探究偏導(dǎo)數(shù)跟方向?qū)?shù)

5、之間的關(guān)系，故引入以下定理以及梯度的概念，從而方便探究函數(shù)全微分與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。定理1.1 若函數(shù)f P0(x0,y0,z0) D22 P0沿任一方向l _ (_ )_flP0=fxP0cos+fyP0cos+fzP0cos 其中cos,cos,cos為方向l的方向余弦。同時(shí)，稱向量(fxP0,fyP0,fzP0)為函數(shù)f的梯度，記作gradf=(fxP0,fyP0,fzP0)。若記函數(shù)在(x0,y0,z0)處的增量為h，記l方向的單位向量l0=(cos,cos,cos)，則函數(shù)可微時(shí)，函數(shù)的全微分和方向?qū)?shù)可以表示為下述內(nèi)積的形式: fl(P0)= )。因此，當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)處可微時(shí)，函數(shù)

6、在該點(diǎn)處的全微分和方向?qū)?shù)都可以表示成梯度與另一向量的內(nèi)積的形式，并通過(guò)這種形式聯(lián)系在了一起。下面將上述的概念推廣至無(wú)窮維空間中，而在非線性泛函分析中，介紹了兩種最常見(jiàn)的微分，分別是Gateaux意義下的弱微分以及Frechet意義下的強(qiáng)微分，它們分別是數(shù)學(xué)分析中方向?qū)?shù)和全微分在無(wú)窮維空間上的推廣，故先介紹這兩種概念。在這里先介紹一下這兩種概念進(jìn)行對(duì)比，將有限維空間中的方向?qū)?shù)推廣到無(wú)限維空間中，那就是所謂的Gateaux 導(dǎo)數(shù)，其定義如下：稱映射f:UY在x0U處沿hX方向是Gateaux可微的，簡(jiǎn)稱沿h方向是G可微的或弱可微的，如果極限存在。此時(shí)，稱Dfx0;h為f在x0處沿h方向的G-

7、微分或弱微分。若f在x0處沿任何方向都是Gateaux可微的，則稱f在x0處Gateaux可微，簡(jiǎn)稱G-可微或弱可微。但一般來(lái)說(shuō)Gateaux導(dǎo)數(shù)Dfx0;h關(guān)于h是齊次的，但一般情況不是線性的。以Gateaux導(dǎo)數(shù)的定義為基礎(chǔ)，我們?cè)囍茝V出無(wú)窮維空間中偏導(dǎo)數(shù)的概念:定理2.1設(shè)是單位坐標(biāo)向量，設(shè)，此時(shí)Gateaux導(dǎo)數(shù)Df(x)(ei)為f在x對(duì)xi的偏導(dǎo)數(shù)。證明：則，于是則根據(jù)數(shù)學(xué)分析中偏導(dǎo)數(shù)的定義，即.即證。接下來(lái)，我們給出Frechet微分的定義:定義2.2設(shè)如果Dfx0;h關(guān)于h是線性有界的，則它可以表示為Dfx0;h=Df(x0)h 其中X、Y為實(shí)線性賦范空間，U為X的子集，L(

8、X,Y)表示從X到Y(jié)中的有界線性算子全體構(gòu)成的線性賦范空間。Frechet微分稱映射f:UY在x0U處是Frechet可微的，簡(jiǎn)稱F可微的，或可微的，如果存在有界線性算子ALX,Y，使得當(dāng)hX，時(shí)，有fx0+h-fx0=Ah+w(x0,h) 其中，即 這時(shí)稱A為f在x0處的Frechet導(dǎo)算子，簡(jiǎn)稱為F導(dǎo)算子或F導(dǎo)數(shù)。根據(jù)Frechet微分和Gateaux導(dǎo)數(shù)的概念，下面我們嘗試著推出它們間存在著何種聯(lián)系。定理2.3 假設(shè) 在為Frechet可微，則f在x處必為Gateaux可導(dǎo)，且Dfx=f'(x)。證明：設(shè)f'(x)存在，則有 即有 從而 (2.1)即證。當(dāng)時(shí)，證明過(guò)程類(lèi)似

9、定理2.3。那么在此基礎(chǔ)上討論Frechet微分f'(x)的矩陣表示形式。設(shè)Rn,Rm都取自然基，在為Frechet可微。于是線性算子可以用一個(gè)m×n矩陣表示。記據(jù)(2.1)式有 (2.2)由于，代入(2.2)式，則有即 。故。特別，若在為Frechet可微，則。故給出了當(dāng)在為Frechet可微時(shí)，梯度gradf(x)的概念。那么反過(guò)來(lái)，我們考慮當(dāng)函數(shù)f在x0處的Gateaux導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，F(xiàn)rechet微分不一定存在，此時(shí)需要加上一定的條件才能保證成立，故給出如下定理。定理2.4若在x0處存在Gateaux導(dǎo)算子，并且極限關(guān)于一致的成立，那么，f在x0處Frechet可微。證

10、明： 任給>0，按假設(shè)存在與無(wú)關(guān)的>0，使得當(dāng)t<時(shí)，。記h1=th，于是，只要時(shí)，就有按定義，F(xiàn)rechet導(dǎo)數(shù)存在且等于Gateaux算子Dfx0。同時(shí)容易得到以下結(jié)論，定理 2.5 設(shè)Gateaux導(dǎo)映射在x0點(diǎn)連續(xù)，則f在x0點(diǎn)處Frechet可微。證明：任給>0，由Df在x0處的連續(xù)性可知，存在>0，使得當(dāng)時(shí)， 因此，當(dāng)t<時(shí)，對(duì)任何，有由定理2.4可得，f在x0處Frechet可微。故可得出結(jié)論，當(dāng)f的Gateaux導(dǎo)數(shù)在區(qū)域U內(nèi)處處連續(xù)時(shí)，則在U內(nèi)的每一點(diǎn)處，Gateaux可導(dǎo)與Frechet可微等價(jià)。 那么下面我們從另外一個(gè)角度，比較映射的微

11、分在函數(shù)與泛函中分別是什么樣的形式與結(jié)構(gòu)，并且嘗試著將函數(shù)中微分的某些概念推廣到泛函中。函數(shù)的微分在前面已經(jīng)介紹過(guò)了，因此可以仿照函數(shù)微分的概念，將其拓展到泛函中，下面給出變分的概念。定義3.1設(shè)Jy是定義在距離空間X上的泛函，并設(shè)y0X,稱為函數(shù)y在y0處的變分。這里y是關(guān)于x的函數(shù)，反應(yīng)的是整個(gè)函數(shù)的變化。記為泛函Jy在y0處的增量。如果泛函增量可以表示為以下形式：式中Ly0,y為y的線性泛函，y0,y是關(guān)于y,y0的高階無(wú)窮小，則稱泛函Jy在y0處可微，稱Ly0,y為泛函Jy在y0時(shí)的變分，記為J，即J=Ly0,y。在函數(shù)中的當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極值；而將上述概念推廣至泛函中，

12、有類(lèi)似的概念，而變分往往作為一個(gè)這樣的工具，用來(lái)求解線性賦范空間中極值函數(shù)。定理3.1設(shè)Jy為線性賦范空間X上的泛函，若Jy在取得極值且在y*處泛函的變分存在，則有。證明：設(shè)(x)X,且是任意常數(shù)。因Jy在y*取得極值，且在y*處變分存在，若記=Jy*+，則有，于是因此有'0=J，而'0=0，故Jy*=0。即證。從上述證明不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于泛函的變分的相關(guān)性質(zhì)的證明我們可以先將其轉(zhuǎn)化到函數(shù)，再通過(guò)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)概念推出相關(guān)變分所需要的性質(zhì)。因此對(duì)泛函變分的相關(guān)性質(zhì)和問(wèn)題，我們往往可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題。故不難將函數(shù)中偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)三個(gè)概念推廣至泛函中，則有以下三個(gè)定理。定理

13、3.2設(shè)為線性賦范空間X上的泛函，記為泛函Jy在yj處的增量。如果泛函偏增量可以表示為如下形式，式中為y的線性泛函，是關(guān)于的高階無(wú)窮小，此時(shí)則稱為泛函在yj處的偏微分，記為Jj，即。根據(jù)偏微分在變分中的概念，可以類(lèi)似的給出變分中的全微分，梯度的定義。定義3.4設(shè)為線性賦范空間X上的泛函，定義在線性賦范空間X上的梯度為，全微分。再根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，我們可以類(lèi)似的給出變分中方向?qū)?shù)的定義。定義3.5設(shè)為線性賦范空間X上的泛函，定義在線性賦范空間上泛函在方向h上的偏增量可以表示為以下形式：，此時(shí)，定義h方向的方向?qū)?shù)為下述形式：注:上述中的0為零算子。由于所學(xué)知識(shí)有限，故算子的導(dǎo)數(shù)無(wú)法具體給出，在

14、這里只能給出相關(guān)的形式，又由于泛函的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行考慮，故在此假設(shè)泛函中的方向?qū)?shù)與全微分之間的關(guān)系與函數(shù)的方向?qū)?shù)與全微分之間的關(guān)系類(lèi)似。變分法往往是來(lái)求函數(shù)極值的，故上述定義雖可類(lèi)似推出但用處不大，在變分中求極值函數(shù)我們往往可以利用Euler方程來(lái)幫助求解，在這里就不詳細(xì)介紹。結(jié) 論本篇文章將映射的微分的一些相關(guān)概念分別在有限維空間和無(wú)限維空間，函數(shù)空間和泛函空間中進(jìn)行了比較。同時(shí)，將偏微分，梯度的概念在無(wú)限維空間和泛函的距離空間中進(jìn)行了一定的推廣，并在有限維空間與無(wú)限維空間中，給出了兩種空間下方向?qū)?shù)與全微分之間的關(guān)系。而在泛函空間中，僅按照類(lèi)似形式，給出了方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)

15、、全微分、梯度的定義，沒(méi)有具體給出兩者之間的關(guān)系。 故得出結(jié)論，在有限維空間和函數(shù)空間中，方向?qū)?shù)和全微分都可以表示為梯度和另一個(gè)向量?jī)?nèi)積的形式；在無(wú)限維空間中，當(dāng)f的Gateaux導(dǎo)數(shù)在區(qū)域U內(nèi)處處連續(xù)時(shí)，則在U內(nèi)的每一點(diǎn)處，Gateaux可導(dǎo)與Frechet可微等價(jià)；在泛函的距離空間中，僅推廣了方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、梯度的定義，并進(jìn)行了合理的猜想，方向?qū)?shù)和全微分在距離空間中的關(guān)系與它們?cè)诤瘮?shù)空間中的關(guān)系類(lèi)似。 公司印章管理制度一、目的 公司印章是公司對(duì)內(nèi)對(duì)外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱的法律體現(xiàn)， 因此，必須對(duì)印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項(xiàng)業(yè)務(wù)的正常運(yùn)作，由公司指定

16、專人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類(lèi)1、 公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門(mén)批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。2、 專用章，為方便工作專門(mén)刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專用章、財(cái)務(wù)專用章、業(yè)務(wù)專用章、倉(cāng)庫(kù)簽收章等。 3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定1、 印章指定專人負(fù)責(zé)保管和使用，保管印章的地方(桌、柜等)要牢固加鎖，印章使用后要及時(shí)收存。2、 財(cái)務(wù)專用章由財(cái)務(wù)部負(fù)責(zé)保管，向銀行備案的印章，應(yīng)由財(cái)務(wù)部會(huì)計(jì)、總經(jīng)辦分別保管。 3、印章要注意保養(yǎng)，防止碰撞，還要及時(shí)清洗，以保持印跡清晰。4、一般情況下不得將印章攜出公司外使用，如確實(shí)因工作所需，則應(yīng)由印章管理員攜帶印章到場(chǎng)蓋章或監(jiān)印。 5、印章管理人員離職或調(diào)任時(shí)，須履行印章交接手續(xù)。四、公章刻制印章需本公司法人代表批準(zhǔn)，并由印章管理專責(zé)人負(fù)責(zé)辦理刻制并啟用并交由專人進(jìn)行保管。 五、印章的使用1、 使用任何的印章，需由相應(yīng)負(fù)責(zé)人審核簽字。為方便工 作，總經(jīng)理可授權(quán)印章管理專責(zé)人審核一般性事務(wù)用印。2、 用印前印章管理人員須認(rèn)真審核，明確了解用印的內(nèi)容和目的，確 認(rèn)符合用印的手續(xù)后，在用印登記簿上逐項(xiàng)登記，方可蓋章。 3、對(duì)需要留存的材料，蓋印后應(yīng)留存一份立卷歸檔。 4、不得在空白憑證、便箋上蓋