汽車試驗(yàn)學(xué)第一章

1、第一章 信號(hào)及其特性分析1.1 概述信 號(hào)確定性信號(hào)周期性信號(hào)非周期性信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)瞬變信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)非各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)非確定性信號(hào)1.2 周期信號(hào)周期信號(hào) 是一種周期性重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)最簡(jiǎn)單的周期信號(hào)是正弦信號(hào) tx nTtxtx 0000002sinsintfxtxtxtx一、傅里葉級(jí)數(shù)和周期信號(hào)的分解1.傅里葉三角級(jí)數(shù)展開(kāi)式 1000sincosnnntnbtnaatx 2201TTtxTa tdtntxTaTTn022cos2 220sin2TTntdtntxTb令 ， ，將其代入上式得：nnnAasinnnnAbcos 100sinnnntnAatx22nnnb

2、aAnnnabtgnnnabarctg或2. 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式為了運(yùn)算方便，常將傅里葉級(jí)數(shù)寫成復(fù)指數(shù)形式： 11000ntjnnntjnnececctx00ac nnnjbac21nnnjbac21周期信號(hào)頻譜的基本特點(diǎn)為：離散性：周期信號(hào)的頻譜是由離散的譜線組成的，每一條譜線表示一個(gè)正弦分量。 諧波性：每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上。 收斂性：各頻率分量的譜線高度與對(duì)應(yīng)諧波的幅值成正比。常見(jiàn)的周期信號(hào)幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減小。由于周期信號(hào)表現(xiàn)出收斂性，故在實(shí)際測(cè)量中沒(méi)有必要取那些次數(shù)過(guò)高的諧波分量。二、周期信號(hào)的均方值、均方根值、平均功率和相關(guān)函數(shù)均值、絕對(duì)

3、均值、均方值和均方根值都是描述信號(hào)強(qiáng)度的量。所謂均值是周期信號(hào) 在一周期內(nèi)對(duì)時(shí)間的平均值，均值就是信號(hào)的常量分量，即周期信號(hào)全波整流后的均值就是信號(hào)的絕對(duì)均值，即 tx TxdttxT01 TxdttxT01周期信號(hào)的均方值和均方根值由下式求得： 信號(hào)的均方根值是信號(hào)的有效值，它反映了信號(hào)功率的大小。有效值的平方均方值就是信號(hào)的平均功率，其表達(dá)式為： TxdttxT0221 TrmsdttxTx021 TxavdttxTP0221 周期信號(hào)的相關(guān)函數(shù)R12是描述兩個(gè)時(shí)間函數(shù) 和 之間的相似程度的，定義：為周期信號(hào) 和 的互相關(guān)函數(shù)。當(dāng) = = 時(shí)，上式變成： 稱之為 的自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，自

4、相關(guān)函數(shù)等于周期信號(hào)的平均功率，即 tx1 tx2 TdttxtxTR021121 tx1 tx2 tx1 tx2 tx TxdttxtxTR01 xR tx xR TavxxdttxTPR022101.3 非周期信號(hào)一、非周期信號(hào)和傅里葉積分周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為： 22001TTtjnnntjnndtetxTcectx ntjnTTtjnntjnnedtetxTectx000221譜線之間的頻率間隔當(dāng)周期 時(shí)，頻率間隔 ，離散頻譜中相鄰的譜線無(wú)限接近，并連在一起，離散變量就變成了連續(xù)變量，求和運(yùn)算就變成了求積分運(yùn)算，于是得：T2Td dedtetxedtetxdtxtjtjtjt

5、j212稱 為 的傅里葉積分或變換，稱 為 的傅里葉逆變換，兩者互為傅里葉變換對(duì)，即 dtetxXtj21 deXtxtj X tx tx X XtxFTIFT將f代入上式中，則上式簡(jiǎn)化后得： dtetxfXftj2 dfefXtxftj2 XfX2二、傅里葉變換的主要性質(zhì)1. 線性疊加性 若 和 分別有傅里葉變換為 、 ，則2. 對(duì)稱性 若 的傅里葉變換為 ，即則 fX ty tx fY fbYfaXtbytax tx fX fXtxfxtX3. 奇偶虛實(shí)性利用歐拉公式，將公式改寫為：式中 實(shí)部 虛部 fjXfXetxfXIRftdtj2 fttxfXR2cos fttxfXI2sin如果

6、是實(shí)函數(shù)，那么， 一般為具有實(shí)部和虛部的復(fù)函數(shù)。如果 是實(shí)偶函數(shù)，則 ， 是實(shí)偶函數(shù)。即如果 是實(shí)奇函數(shù)，則 ， 是虛奇函數(shù)。即 tx fX tx 0fXI fX fXfXR tx 0fXR fX fjXfXI如果 是虛函數(shù)，則上述結(jié)論的虛實(shí)位置相互交換。例如：則式中 實(shí)部 虛部 tx tjmtx fjXfXfXIR fttxfXR2sin fttxfXI2cos4. 時(shí)間尺度改變?cè)谛盘?hào)幅值不變的條件下，若，則5. 時(shí)移特性若則即把時(shí)域信號(hào)沿時(shí)間軸平移一常值t0，則使其頻域引起相應(yīng)的相移 tx fXtx kfXkktx1 fXtx 020ftjefXttx02 ft6. 頻移特性若則即在頻域中

7、將頻譜沿頻率軸平移一常值 ，則相當(dāng)于在對(duì)應(yīng)時(shí)域中將信號(hào)乘以因子 。7. 微分和積分特性若則 fXtx 020ffXetxtfj0ftfje02 fXfjdttxdnnn2 fXtx fXfjdttxt218. 卷積特性兩個(gè)函數(shù) 和 ，定義 為函數(shù) 與 的卷積，記作若則9. 能量積分(巴什瓦等式)若則在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量。 tx1 tx2 dtxtx21 tx1 tx2 txx21 fXtx11 fXtx22 fXfXtxtx2121 fXfXtxtx2111 fXtx dffXdttx221.4 隨機(jī)信號(hào)一、概述隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程一般

8、非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程瞬變隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)隨機(jī)過(guò)程作長(zhǎng)時(shí)間的觀察和記錄，可以獲得一個(gè)時(shí)間歷程，稱其為樣本函數(shù)并記作xi(t)，在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)稱為樣本記錄。在相同試驗(yàn)條件下，對(duì)該過(guò)程重復(fù)觀察，可以得到互不相同的許多樣本函數(shù)x1(t),x2(t),x3(t),xi(t)，全部樣本函數(shù)的集合(總體)就是隨機(jī)過(guò)程，記作x(t)，即 x(t) = x1(t),x2(t),x3(t),xi(t)隨機(jī)過(guò)程的各種平均值是按集合平均來(lái)計(jì)算的。集合平均的計(jì)算是在集合中的某時(shí)刻，對(duì)所有樣本函數(shù)的觀測(cè)值取平均，即 NiiNxtxNt1111lim 隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)不同時(shí)刻，如t1和t1+時(shí)刻之值的相關(guān)性，可以

9、用t1和t1+時(shí)刻瞬時(shí)值乘積的集合平均來(lái)計(jì)算，即自相關(guān)函數(shù)為： 在一般情況下，計(jì)算得來(lái)的x(t1)和Rx(t1, t1+)將隨t1的改變而變化。這樣的隨機(jī)過(guò)程稱之為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。若x(t1)和Rx(t1, t1+)不隨t1的改變而變化，這種隨機(jī)過(guò)程稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的集合平均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間位移有關(guān)，即 111111,limtxtxNttRiNiiNx xxxtt 21 xxxRttRttR 2211, 許多平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可以用集合中某個(gè)樣本函數(shù)沿時(shí)間軸進(jìn)行平均(即時(shí)間平均)來(lái)描述該隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。如第l個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均值和自相關(guān)函數(shù)為： 在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中，若任

10、一單個(gè)樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)與該過(guò)程的集合統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)是一致的，這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程稱為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。反之，為非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。 TlTxdttxT01lim dttxtxTRTllTx01lim二、隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù) 描述隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)可以從幅值域、時(shí)間域和頻率域三方面進(jìn)行。幅值域包含有：平均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)等。時(shí)間域包含有：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)等。頻率域包含有：自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)等。1. 平均值x、方差x2、均方值x2平均值x是樣本記錄x(t)所有瞬時(shí)值的簡(jiǎn)單平均，即平均值反映了信號(hào)的穩(wěn)定分量。方差x2描述隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量，它是樣本記錄x

11、(t)偏離平均值x的平方的均值。它反映了過(guò)程偏離平均值的波動(dòng)情況。方差的正平方根為標(biāo)準(zhǔn)差，即 TTxdttxT01lim TxTxdttxT0221lim2xx隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度可用均方值x2來(lái)描述，即均方值的正平方根稱為均方根值，即上述三者之間相互關(guān)系為： 在工程實(shí)踐中，常以有限長(zhǎng)度的樣本記錄代替無(wú)限長(zhǎng)的樣本函數(shù)，這樣所計(jì)算的平均值x、方差x2和均方值x2都是估計(jì)值，以加注“”來(lái)表示。即 、 、 TTxdttxT0221lim2xrmsx222xxx2x2x2x2. 概率密度函數(shù)隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)是表示信號(hào)瞬時(shí)幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。信號(hào)x(t)落在(x,x+x)區(qū)間內(nèi)的時(shí)間為：信號(hào)落在(

12、x,x+x)區(qū)間內(nèi)的概率P為：對(duì)于很小的x，可定義概率密度函數(shù)(x)為： niinxttttT121 TTxxtxxPxTlim xxxtxxPxxlim0)(3. 相關(guān)函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量x、y之間相關(guān)程度用相關(guān)系數(shù)xy表示，即(1) 自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)Rx()是信號(hào)x(t)與其自身延時(shí)后的x(t+ )的乘積的平均值，即自相關(guān)函數(shù)Rx()描述了某一時(shí)刻t的瞬時(shí)值x(t)與另一時(shí)刻的瞬時(shí)值x(t+ )的依賴關(guān)系。yxyxxyyxE dttxtxTRTTx01lim描述自相關(guān)程度用自相關(guān)系數(shù)x()來(lái)表示，即自相關(guān)函數(shù)Rx()是以延時(shí)為自變量的實(shí)偶函數(shù)，即當(dāng)=0時(shí)，當(dāng)時(shí)， x()0， Rx

13、() x2 22201limxxxxTxxTxRdttxtxT xxRR 2220010limxxxTTxdttxtxTR(2) 互相關(guān)函數(shù)對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為：互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，即但用互相關(guān)系數(shù)表示互相關(guān)程度，即 dttytxTRTTxy01lim xyxyRR yxxyRR yxyxxyxyR4. 功率譜密度函數(shù)(1) 自功率譜密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換為：定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱自譜或自功率譜。自譜的傅里葉逆變換就是自相關(guān)函數(shù)Rx()。Sx(f)是在(-,+ )頻率范圍內(nèi)的自功率譜密度函數(shù)，又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，頻率范圍在(0,+ )內(nèi)，用單邊功率譜Gx(