汽車試驗學第一章

1、第一章 信號及其特性分析1.1 概述信 號確定性信號周期性信號非周期性信號準周期信號瞬變信號平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號各態(tài)歷經(jīng)信號非各態(tài)歷經(jīng)信號非確定性信號1.2 周期信號周期信號 是一種周期性重復出現(xiàn)的信號最簡單的周期信號是正弦信號 tx nTtxtx 0000002sinsintfxtxtxtx一、傅里葉級數(shù)和周期信號的分解1.傅里葉三角級數(shù)展開式 1000sincosnnntnbtnaatx 2201TTtxTa tdtntxTaTTn022cos2 220sin2TTntdtntxTb令 ， ，將其代入上式得：nnnAasinnnnAbcos 100sinnnntnAatx22nnnb

2、aAnnnabtgnnnabarctg或2. 傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式為了運算方便，常將傅里葉級數(shù)寫成復指數(shù)形式： 11000ntjnnntjnnececctx00ac nnnjbac21nnnjbac21周期信號頻譜的基本特點為：離散性：周期信號的頻譜是由離散的譜線組成的，每一條譜線表示一個正弦分量。 諧波性：每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上。 收斂性：各頻率分量的譜線高度與對應諧波的幅值成正比。常見的周期信號幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小。由于周期信號表現(xiàn)出收斂性，故在實際測量中沒有必要取那些次數(shù)過高的諧波分量。二、周期信號的均方值、均方根值、平均功率和相關(guān)函數(shù)均值、絕對

3、均值、均方值和均方根值都是描述信號強度的量。所謂均值是周期信號 在一周期內(nèi)對時間的平均值，均值就是信號的常量分量，即周期信號全波整流后的均值就是信號的絕對均值，即 tx TxdttxT01 TxdttxT01周期信號的均方值和均方根值由下式求得： 信號的均方根值是信號的有效值，它反映了信號功率的大小。有效值的平方均方值就是信號的平均功率，其表達式為： TxdttxT0221 TrmsdttxTx021 TxavdttxTP0221 周期信號的相關(guān)函數(shù)R12是描述兩個時間函數(shù) 和 之間的相似程度的，定義：為周期信號 和 的互相關(guān)函數(shù)。當 = = 時，上式變成： 稱之為 的自相關(guān)函數(shù)。當=0時，自

4、相關(guān)函數(shù)等于周期信號的平均功率，即 tx1 tx2 TdttxtxTR021121 tx1 tx2 tx1 tx2 tx TxdttxtxTR01 xR tx xR TavxxdttxTPR022101.3 非周期信號一、非周期信號和傅里葉積分周期信號的傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式為： 22001TTtjnnntjnndtetxTcectx ntjnTTtjnntjnnedtetxTectx000221譜線之間的頻率間隔當周期 時，頻率間隔 ，離散頻譜中相鄰的譜線無限接近，并連在一起，離散變量就變成了連續(xù)變量，求和運算就變成了求積分運算，于是得：T2Td dedtetxedtetxdtxtjtjtjt

5、j212稱 為 的傅里葉積分或變換，稱 為 的傅里葉逆變換，兩者互為傅里葉變換對，即 dtetxXtj21 deXtxtj X tx tx X XtxFTIFT將f代入上式中，則上式簡化后得： dtetxfXftj2 dfefXtxftj2 XfX2二、傅里葉變換的主要性質(zhì)1. 線性疊加性 若 和 分別有傅里葉變換為 、 ，則2. 對稱性 若 的傅里葉變換為 ，即則 fX ty tx fY fbYfaXtbytax tx fX fXtxfxtX3. 奇偶虛實性利用歐拉公式，將公式改寫為：式中 實部 虛部 fjXfXetxfXIRftdtj2 fttxfXR2cos fttxfXI2sin如果

6、是實函數(shù)，那么， 一般為具有實部和虛部的復函數(shù)。如果 是實偶函數(shù)，則 ， 是實偶函數(shù)。即如果 是實奇函數(shù)，則 ， 是虛奇函數(shù)。即 tx fX tx 0fXI fX fXfXR tx 0fXR fX fjXfXI如果 是虛函數(shù)，則上述結(jié)論的虛實位置相互交換。例如：則式中 實部 虛部 tx tjmtx fjXfXfXIR fttxfXR2sin fttxfXI2cos4. 時間尺度改變在信號幅值不變的條件下，若，則5. 時移特性若則即把時域信號沿時間軸平移一常值t0，則使其頻域引起相應的相移 tx fXtx kfXkktx1 fXtx 020ftjefXttx02 ft6. 頻移特性若則即在頻域中

7、將頻譜沿頻率軸平移一常值 ，則相當于在對應時域中將信號乘以因子 。7. 微分和積分特性若則 fXtx 020ffXetxtfj0ftfje02 fXfjdttxdnnn2 fXtx fXfjdttxt218. 卷積特性兩個函數(shù) 和 ，定義 為函數(shù) 與 的卷積，記作若則9. 能量積分(巴什瓦等式)若則在時域中計算的信號總能量等于在頻域中計算的信號總能量。 tx1 tx2 dtxtx21 tx1 tx2 txx21 fXtx11 fXtx22 fXfXtxtx2121 fXfXtxtx2111 fXtx dffXdttx221.4 隨機信號一、概述隨機過程平穩(wěn)隨機過程各態(tài)歷經(jīng)過程非各態(tài)歷經(jīng)過程一般

8、非平穩(wěn)隨機過程瞬變隨機過程非平穩(wěn)隨機過程對隨機過程作長時間的觀察和記錄，可以獲得一個時間歷程，稱其為樣本函數(shù)并記作xi(t)，在有限時間區(qū)間上的樣本函數(shù)稱為樣本記錄。在相同試驗條件下，對該過程重復觀察，可以得到互不相同的許多樣本函數(shù)x1(t),x2(t),x3(t),xi(t)，全部樣本函數(shù)的集合(總體)就是隨機過程，記作x(t)，即 x(t) = x1(t),x2(t),x3(t),xi(t)隨機過程的各種平均值是按集合平均來計算的。集合平均的計算是在集合中的某時刻，對所有樣本函數(shù)的觀測值取平均，即 NiiNxtxNt1111lim 隨機過程兩個不同時刻，如t1和t1+時刻之值的相關(guān)性，可以

9、用t1和t1+時刻瞬時值乘積的集合平均來計算，即自相關(guān)函數(shù)為： 在一般情況下，計算得來的x(t1)和Rx(t1, t1+)將隨t1的改變而變化。這樣的隨機過程稱之為非平穩(wěn)隨機過程。若x(t1)和Rx(t1, t1+)不隨t1的改變而變化，這種隨機過程稱為平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)隨機過程的集合平均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅與時間位移有關(guān)，即 111111,limtxtxNttRiNiiNx xxxtt 21 xxxRttRttR 2211, 許多平穩(wěn)隨機過程可以用集合中某個樣本函數(shù)沿時間軸進行平均(即時間平均)來描述該隨機過程的統(tǒng)計特征。如第l個樣本函數(shù)的時間平均值和自相關(guān)函數(shù)為： 在平穩(wěn)隨機過程中，若任

10、一單個樣本函數(shù)的統(tǒng)計特征參數(shù)與該過程的集合統(tǒng)計特征參數(shù)是一致的，這樣的平穩(wěn)隨機過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程。反之，為非各態(tài)歷經(jīng)過程。 TlTxdttxT01lim dttxtxTRTllTx01lim二、隨機信號的主要特征參數(shù) 描述隨機信號的統(tǒng)計特征參數(shù)可以從幅值域、時間域和頻率域三方面進行。幅值域包含有：平均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)等。時間域包含有：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)等。頻率域包含有：自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)等。1. 平均值x、方差x2、均方值x2平均值x是樣本記錄x(t)所有瞬時值的簡單平均，即平均值反映了信號的穩(wěn)定分量。方差x2描述隨機信號的動態(tài)分量，它是樣本記錄x

11、(t)偏離平均值x的平方的均值。它反映了過程偏離平均值的波動情況。方差的正平方根為標準差，即 TTxdttxT01lim TxTxdttxT0221lim2xx隨機信號的強度可用均方值x2來描述，即均方值的正平方根稱為均方根值，即上述三者之間相互關(guān)系為： 在工程實踐中，常以有限長度的樣本記錄代替無限長的樣本函數(shù)，這樣所計算的平均值x、方差x2和均方值x2都是估計值，以加注“”來表示。即 、 、 TTxdttxT0221lim2xrmsx222xxx2x2x2x2. 概率密度函數(shù)隨機信號的概率密度函數(shù)是表示信號瞬時幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。信號x(t)落在(x,x+x)區(qū)間內(nèi)的時間為：信號落在(

12、x,x+x)區(qū)間內(nèi)的概率P為：對于很小的x，可定義概率密度函數(shù)(x)為： niinxttttT121 TTxxtxxPxTlim xxxtxxPxxlim0)(3. 相關(guān)函數(shù)兩個隨機變量x、y之間相關(guān)程度用相關(guān)系數(shù)xy表示，即(1) 自相關(guān)函數(shù)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)Rx()是信號x(t)與其自身延時后的x(t+ )的乘積的平均值，即自相關(guān)函數(shù)Rx()描述了某一時刻t的瞬時值x(t)與另一時刻的瞬時值x(t+ )的依賴關(guān)系。yxyxxyyxE dttxtxTRTTx01lim描述自相關(guān)程度用自相關(guān)系數(shù)x()來表示，即自相關(guān)函數(shù)Rx()是以延時為自變量的實偶函數(shù)，即當=0時，當時， x()0， Rx

13、() x2 22201limxxxxTxxTxRdttxtxT xxRR 2220010limxxxTTxdttxtxTR(2) 互相關(guān)函數(shù)對于各態(tài)歷經(jīng)過程，兩個隨機信號x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為：互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，即但用互相關(guān)系數(shù)表示互相關(guān)程度，即 dttytxTRTTxy01lim xyxyRR yxxyRR yxyxxyxyR4. 功率譜密度函數(shù)(1) 自功率譜密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換為：定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡稱自譜或自功率譜。自譜的傅里葉逆變換就是自相關(guān)函數(shù)Rx()。Sx(f)是在(-,+ )頻率范圍內(nèi)的自功率譜密度函數(shù)，又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。在實際應用中，頻率范圍在(0,+ )內(nèi)，用單邊功率譜Gx(