三角形的證明一元一次不等式

1、精品資料歡迎下載第 1 講：特殊三角形的性質(zhì)與判定一、知識(shí)回顧：等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的兩個(gè)底角相等。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊等邊三角形的性質(zhì)與判定（1 ）等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60。（2）3 個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。如果一個(gè)等腰三角形中有一個(gè)角等于60，那么這個(gè)三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形兩銳角互余有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（簡(jiǎn)寫為“ HL”直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半勾股定理勾股定理逆定理四、典型例題分析：1、已知：如圖

2、/ EAC ABC 的外角，AD 平分/ EAC 且 AD/ BGE求證：AB= AC2、在上圖中，如果 AB= AC, AD/ BC,那么 AD 平分/ EAC 嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè) 結(jié)論嗎？3：AABC 中 AD 丄 BC 于 D , AB=3, BD=2, DC=1,貝 U AC 等于_精品資料歡迎下載4:AABC 中，BD 丄 AC 與 D,AB=6,AD=4,BC=5,DC=_ 。5,AABC 中，/ C=90, AB 垂直平分線交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5，貝 U AC 等于_達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、 如果等腰三角形的周長(zhǎng)為12, 一邊長(zhǎng)為 5,那么另兩邊長(zhǎng)分別為_2、

3、 如果等腰三角形有兩邊長(zhǎng)為2 和 5，那么周長(zhǎng)為_。3、 如果等腰三角形有一個(gè)角等于50,那么另兩個(gè)角為_。4、 如果等腰三角形有一個(gè)角等于120 ，那么另兩個(gè)角為_。5、 在厶 ABC 中，/ A= 40，當(dāng)/ B 等于多少度數(shù)時(shí)， ABC 是等腰三角形？6、如圖， ABC 中，AB= AC,角平分線 BD CE 相交于點(diǎn) O, 求證：OB= OC精品資料歡迎下載7、如圖，在 ABC 中，/ B=ZC= 36,/ ADE=ZAED= 2/ B,由這些條件你能得到哪些結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論。精品資料歡迎下載8、已知：如圖， ABC 是等邊三角形，DE/ BC,分別交 AB AC 于點(diǎn) D E。求

4、證： ADE 是等邊三角形。9.在 ABC 內(nèi)部取一點(diǎn) P 使得點(diǎn) P 到厶 ABC 的三邊距離相等，則點(diǎn) P 應(yīng)是 ABC 的哪三條線交點(diǎn).()(A)高(B)角平分線(C)中線(D)邊的垂直平分線10. 已知，如圖， ABC 中，AB=AC AD 是角平分線，BE=CF 則下列說法正確的有幾個(gè) ()(1) AD 平分/ EDF; (2 ) EBDAFCD ( 3) BD=CD (4) AD 丄 BC.(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)(D) 4 個(gè)11. 如圖，在 ABCn ABD 中，/ C=ZD=90,若利用“ AAS 證明 ABCAABD_ 或_; 若利用“ HL”證明 ABC

5、 ABD 則需12. 如圖，有一個(gè)直角 ABC / C=90, AC=1Q BC=5 一條線段 PQ=AB P.Q 兩點(diǎn)分別在AC 和過點(diǎn) A 且垂直于 AC 的射線 AX 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) AP _ 時(shí)，才能使 ABCAPQA.13. 如圖,在厶 ABC 中，/ C= 90 , AC= BC, AD 平分/ CAB 交 BC 于 D,DE 丄 AB 于 E,且 AB=6 cm，則 DEB 的周長(zhǎng)為 _cm.14. 如圖，在厶 ABC 中，已知 D 是 BC 中點(diǎn)，DEL AB, DF 丄 AC,垂足分別是 E、F, DE= DF 求 證：AB=AC15.已知：如圖， AC 平分/ BAD CE!A

6、B 于 E, CFLAD 于 F,且 BC= DC你能說明 BE 與 DF 相等嗎?則需要加條件要加條件或E精品資料歡迎下載第 2 講：垂直平分線與角平分線知識(shí)點(diǎn)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上三角形的三邊的垂直平分線是否相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在角的內(nèi)部，如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)就在這個(gè)角的平分線上 三角形的三個(gè)角的角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三條邊的距離相等例題精講例 1、已知：如圖，。丘是厶 ABC 的 AB 邊的垂直平分線，分別交 AB、 BC于 D、

7、E, AE 平分/ BAC 若/ B=30,求/ C 的度數(shù)。例 2、如圖，已知ABC 的角平分線，/ B=9 DF 丄 AC,垂足為 F, DE=DC求證 BE=CF例 3、AABC 中, AC=BC, / C=9C, AD 是厶 ABC 的角平分線， DEL AB 于 E。(1)已知：CD=4cm 求 AC 長(zhǎng)(2)求證：AB=AC+CD當(dāng)堂訓(xùn)練：1、 已知：線段 AB 及一點(diǎn) P, PA=PB，則點(diǎn) P 在_ 上。2、已知：如圖，/BAC=12, AB=AC,AC 的垂直平分線交 BC 于 D 則/ ADC=_ 。3、AABC 中，/ A=5C, AB=AC,AB 的垂直平分線交 AC

8、于 D 則/ DBC 的度數(shù)_ 。4、AABC 中，DE、FG 分別是邊 AB AC 垂直平分線，則/BAC=126，則/ EAG=_ 。CEC精品資料歡迎下載5、如圖， ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB，則 BCD 的周長(zhǎng)是 _ 。6、有特大城市 A 及兩個(gè)小城市 B C,這三個(gè)城市共建一個(gè)污水處理廠，使得該廠到B、C兩城市的距離相等，且使 A 市到廠的管線最短，試確定污水處理廠的位置。7、 在三角形內(nèi)部，有一點(diǎn) P 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P 一定是（）A、三角形三條角平分線的交點(diǎn)；B、三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)；C、三角形三條中線的交點(diǎn)；D、三角形三條

9、高的交點(diǎn)。8、 已知 ABC 的三邊的垂直平分線交點(diǎn)在 ABC 的邊上，則 ABC 的形狀為（）A、銳角三角形；B、直角三角形； C 鈍角三角形；D、不能確定9、 等腰 Rt ABC 中，AB=AC,BC=a 其斜邊上的中線與一腰的垂直平分線交于點(diǎn)0,則點(diǎn) 0到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離是 _。11、 在厶 ABC 中/ C=90,ZA 的平分線交 BC 于 D, BC=CM BD： DC =4: 3,則點(diǎn) D 到 AB的距離為_ 。12、 在 RTAABC 中，/ C=90, BD 平分/ ABC 交 AC 于 D, DE 是是斜邊 AB 的垂直平分線，且 DE=1CM 則 AC=_.13、 0M

10、 平分/ BOA P 是 0M 上的任意一點(diǎn)， PDL 0A PE 0B 垂足分別為 D E,下列結(jié)論 中錯(cuò)誤的是（）A: PD=PE B 0D=0E C/DP02EP0 D:PD=0D14、AABC 中,/ ABC / ACB 的平分線交于點(diǎn) 0,連結(jié) AQ 若/ 0BC=25，/ 0CB=30，貝 UZ0AC=_15、與相交的兩直線距離相等的點(diǎn)在（）A: 條直線上B :一條射線上 C :兩條互相垂直的直線上D :以上都不對(duì)16、 到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在 _。.17、AABC 中，ZC=90,ZA 的平分線交 BC 于 D,BC=21cm,BD:DC=4:3,AB 的距離為18、Rt

11、ABC 中, AB=AC,BD 平分ZABC DEI BC 于 E, AB=8cm 則 DE+DC= cm。精品資料歡迎下載19、AABC 中，ZABC 和ZBCA 的平分線交于 0,則ZBAO 和ZCAO 的大小關(guān)系精品資料歡迎下載20、 Rt ABC 中，/ C=9C, BD 平分/ ABC CD=n AB=m 則厶 ABD 的面積是。21、 已知：0P 是/ MON 內(nèi)的一條射線，AC 丄 OM,ADL ON,BE OM,BH ON 垂足分別為 C、D E、F, 且 AC=AD 求證：BE=BF1、為2、(2013?雅安)如圖,( )A. 50B.（2013?遂寧） 如圖,AB / CD

12、, AD 平分/ BAC，且/ C=80 ,則/ D 的度數(shù)60 C . 70 D .100 在 ABC 中，/ C=90 / B=30 以 A 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交 AB、AC 于點(diǎn) M 和 N，再分別以 M、N 為圓心， 大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié) AP 并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）AD 是/ BAC 的平分線；/ ADC=60 點(diǎn) D 在 AB 的中垂線上;SADAC:SAABC=1:3.A . 1B . 2C . 3D . 43、（2013?曲靖）如圖，直線/ COE，則/ AOE= .AB、CD 相交于點(diǎn) O,若/ BOD=40 O

13、A 平分4、（ 2013 成都市）如圖,B= 30，若 AB / CD , CB 平分ACD，貝 UACD=5、(2013?湘西州)如圖，RtAABC 中，/ C=90, AD 平分/ CAB , DE 丄AB 于 E，若 AC=6 , BC=8 , CD=3 .(1 )求 DE 的長(zhǎng)；(2)求厶 ADB 的面積.精品資料歡迎下載第三講：三角形的證明單元復(fù)習(xí)一、等腰、等邊三角形1 在等腰三角形中頂角為 40時(shí)底角等于 _ ，一個(gè)底角為 50,則頂角等于2、 已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30。，那么它的底角的度數(shù)是 _.3、 等腰三角形的頂角的度數(shù)是底角的4 倍，則它的頂角是 _.4、 等腰三

14、角形的兩邊長(zhǎng)分別為4 厘米和 6 厘米，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 _5、 等腰三角形的兩邊分別是7 cm 和 3 cm,則周長(zhǎng)為_ .6、 由在同一三角形中“等角對(duì)等邊”“等邊對(duì)等角”兩個(gè)定理我們可以聯(lián)想到大邊對(duì)_，大角對(duì)_.8、 等腰三角形中的一個(gè)角等于，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A 小，小 B、1.一， C 、尹，尹 D、小，小或 I.,209、 等腰三角形的一個(gè)外角等于IIJ,則這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為（）A、，B、，C、， D、，或，10、 如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角比頂角大1J，那么頂角為（）A、丁B、心C、二一 D、一11、 等腰三角形的一邊為 4,另一邊為 9,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)

15、為（）A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或 2212、 如果一個(gè)三角形的一個(gè)外角是130,且它恰好等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2 倍，那么這個(gè)三角形是A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形13、 如圖，在 ABC 中，AB=AC,ZC=2/ A, BD 是/ ABC 的平分線，則圖中共有等腰三 角形A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)14、 如圖，已知 ABC 中，CD 平分/ ACB 交 AB 于 D，又 DE / BC,交 AC 于 E,若 DE=4 cm, AE=5 cm,貝 U AC 等于A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm15、 如圖，在ABC

16、中，AB=AC，乙A =36, BD 和 CE 分別是乙ABC和/ACB的平分16、如圖，P, Q 是厶 ABC 的邊 BC 上的兩點(diǎn)，且 BP = PQ= QC = AP = AQ,則/ ABC 等于度.線，且相交于點(diǎn) P.在圖中，等腰三角形（不再添加線段和字母）的個(gè)數(shù)為（C. 7 個(gè)D . 6 個(gè)A精品資料歡迎下載17、給出下列命題，正確的有（）等腰三角形的角平分線、中線和高重合；等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形最小邊是底邊；等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；等腰三角形都是銳角三角形A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)18、如果三角形一邊的中線和這邊上的高重合，則這個(gè)三角形是（A.等邊三

17、角形B.等腰三角形C銳角三角形、直角三角形1、一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為4 和 5，要使三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（）（A）3（ B）、41（ C）3 或、31（ D）3 或412、如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為 7cm，則正方形 A、B、C、D 的面積的和是 _3、有一塊邊長(zhǎng)為 24 米的正方形綠地，如圖 3 所示，在綠地旁邊B處 有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走米，踏之何忍？ ”請(qǐng)你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“”填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是（）A、23 米 B、24 米C、25 米D、26 米4、 等

18、腰直角三角形一條直角邊的長(zhǎng)為1cm,那么它斜邊長(zhǎng)上的高是5、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A . 2, 3, 4 B . 10, 8, 4a = 7, b = 24,c = 25;a = 2, b = 2,c = 4.A. 2 個(gè)；B. 3 個(gè)；C. 4 個(gè)；D. 5 個(gè)8、一輪船以每小時(shí) 20 海里的速度沿正東方向航行。上午8 時(shí)，該船在 A 處測(cè)得某燈塔位于它的北偏東 30的 B 處（如圖）,上午 9 時(shí)行到 C 處，測(cè)得燈塔恰好在它的 正北方向，此時(shí)它與燈塔的距離是 _ 海里（結(jié)果保留根號(hào)）.19、邊長(zhǎng)為 2cm 的等邊三角形的面積為2cmD.4 個(gè)）D.鈍角三角形C .

19、7, 25, 24 D.7, 15,126、分別有下列幾組數(shù)據(jù)： 成 直 角 三 形 的 有 ：（A、4組6、 8、 10 12、13、5 17、8、15 4、11、9其中能構(gòu)E、7、適合下列條件的厶 ABC 中，111a = ,b= ,c=；345）3組直角三C、D、1組a =6,/ A=45； / A=32/ B=58;A、5cmB、6cm5cmD、8cm10、如圖，CD 是 Rt ABC 斜邊 AB 上的中線，若 CD=4,貝 U AB=_圖 3精品資料歡迎下載9、 ABC 中，/ A:ZB:/ C=1: 2: 3,最小邊 BC=4cm，最長(zhǎng)邊 AB 的長(zhǎng)是（）精品資料歡迎下載11、如圖

20、所示的一塊地，/ ADC=90 , AD=12m CD=9m AB=39m BC=36m 求這塊地的面積。12、如圖，一架 2.5 米長(zhǎng)的梯子 AB 斜靠在一豎直的墻 AC 上，這時(shí)梯足 B 到墻底端 C 的距離為 0.7 米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 米，那么梯足將向外移多少米？三、角平分線1、已知ABC 中，/ A =900，角平分線 BE、CF 交于點(diǎn) O,則/ BOC = _2、給出下列結(jié)論，正確的有（）到角兩邊距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上； 角的平分線與三角形平分線都是射 線；任何一個(gè)命題都有逆命題；假命題的逆命題一定是假命題3、 / AOB 的平分線上一點(diǎn) M , M 至

21、UOA 的距離為 1.5 cm，貝UM 至UOB 的距離為 _4、AABC 中，/ C=90 , AD 平分/ BAC，交 BC 于點(diǎn) D。若 DC=7，貝UD 到 AB 的距離是_ .A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)5、如圖,為 E,且 ABC 中，ZC=90 , AC=BC ,AB=6cm，則 DEB 的周長(zhǎng)為(B、6cm C、8 cmD、AD 平分/ CAB 交 BC 于點(diǎn) D ,)10cmDE 丄 AB，垂足 ABC 中，/ C=RtZ,AD 平分/ BAC 交 BC 于點(diǎn) D, BDcm.5 題則 D 到 AB 的距離為A精品資料歡迎下載7、如圖 1 ,ZAOB=60 , C

22、D 丄 OA 于 D, CE 丄 OB 于 E,且 CD=CE,則ZDOC=_精品資料歡迎下載如圖 2,在厶 ABC 中，/ C=90BC=cm.9、如圖 19,在中，.C =90, AC=BC , AD 平分.CAB交 BC 于點(diǎn) D , DE 丄 AB 于點(diǎn) E,若 AB=6cm.你能否求出.BDE的周長(zhǎng)？若能，請(qǐng)求出；若不能，請(qǐng)說明理由四、線段的垂直平分線1、在ABC中，AB=AC , AB 的垂直平分線與 AC 所在的直線相交所得的銳角為50，則底角 B 的大小為_ .2、在厶 ABC 中，AB=AC，/ A=50 , AB 的垂直平分線 DE 交 AC 于點(diǎn) D，垂足為 E,則/ DBC 的度數(shù)是_.3、如右圖，已知直線 MN 是線段 AB 的垂直平分線，垂足為 D，點(diǎn) P 是 MN 上一點(diǎn)，若 AB=10cm，貝 U BD=_ cm;若 PA=10 cm,貝 U PB=_cm ;此時(shí)，PD=_ cm.4、如上圖,的周長(zhǎng)是A.6 cm ABC 中，AB 的垂直平分線交B.7 cmAC 于 D ,如果 AC=5 cm ,C.8 cmB2、4 題圖BC=4cm ,那么 DBCD.9 cm5、如圖，在 Rt ABC 中，/ B=90。，/ A=