2021年和2020年強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1、2021 年和 2020 年高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（北大，清華，復(fù)旦，交大，中科大等）目錄1.2021 年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.52.2021 年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.93.2021 年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.154.2021 年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.175.2021 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.186.2021 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（廣東）.207.2021 年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.238.2020 年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.249.2020 年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.3010.2020 年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.4011.2020 年上海交通

2、大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.4712.2020 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班數(shù)學(xué)試題.5213.2020 年武漢大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.54強(qiáng)基計(jì)劃簡(jiǎn)介一、強(qiáng)基計(jì)劃2020 年 1 月，教育部（教學(xué)）1 號(hào)文件指出，自 2020 年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃），取代原有的高校自主招生，突出基礎(chǔ)學(xué)科的引領(lǐng)作用，重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、歷史及哲學(xué)等相關(guān)專業(yè)招生. 強(qiáng)基計(jì)劃的主要目標(biāo)是選拔并培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的人才.二、36 所強(qiáng)基計(jì)劃試點(diǎn)高校名單北京大學(xué)、中國(guó)人民大學(xué)、清華大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、北京理工大學(xué)、中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)、北京師范大學(xué)、

3、中央民族大學(xué)、南開大學(xué)、天津大學(xué)、大連理工大學(xué)、吉林大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、上海交通大學(xué)、華東師范大學(xué)、南京大學(xué)、東南大學(xué)、浙江大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、廈門大學(xué)、山東大學(xué)、中國(guó)海洋大學(xué)、武漢大學(xué)、華中科技大學(xué)、中南大學(xué)、中山大學(xué)、華南理工大學(xué)、四川大學(xué)、重慶大學(xué)、電子科技大學(xué)、西安交通大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、蘭州大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué).三、強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)專業(yè)強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物及歷史、哲學(xué)、古文字學(xué)等相關(guān)專業(yè)招生.四、錄取方式高校強(qiáng)基計(jì)劃以考生綜合成績(jī)擇優(yōu)錄取，大部分高校校測(cè)成績(jī)占綜合成績(jī)的15%，高考成績(jī)占綜合成績(jī)的 85%.高校強(qiáng)基計(jì)劃主要考筆試、面試，考試時(shí)間集中

4、安排 1-2 天內(nèi)進(jìn)行，考生在高考后得知自己是否入圍，并決定是否參加高校校測(cè).另外，五大學(xué)科競(jìng)賽銀牌及以上的考生可以通過強(qiáng)基計(jì)劃破格入圍生報(bào)考，部分高校會(huì)給予破格入圍考生校測(cè)滿分.五、培養(yǎng)模式強(qiáng)基計(jì)劃不僅聚焦拔尖人才的選拔，更注重人才的培養(yǎng).按照“一校一策”的原則，高校對(duì)通過強(qiáng)基計(jì)劃錄取的學(xué)生單獨(dú)制定培養(yǎng)方案，單獨(dú)編班，配備一流的師資和學(xué)習(xí)條件，實(shí)行導(dǎo)師制、小班化等培養(yǎng)模式，探索本-碩-博銜接培養(yǎng)模式.六、時(shí)間安排3 月底前，高校公布招生簡(jiǎn)章；4 月，考生網(wǎng)上報(bào)名；6 月，考生參加統(tǒng)一高考；6 月 25 日前，各?。▍^(qū)、市）提供高考成績(jī)；6 月 26 日前，高校確定參加考核的考生名單；7 月

5、4 日前，高校組織考核；7 月 5 日前，高校根據(jù)考生的高考成績(jī)、高校綜合考核結(jié)果及綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等折合成綜合成績(jī)，擇優(yōu)錄取.2021 年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題本試卷共 20 題，部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.1.已知O 為ABC 的外心， AB 、 AC 與OBC 的外接圓交于 D 、 E 若 DE = OA ，則 = _OBC2方程 y3 + f 4 = d5 的正整數(shù)解(y, f ,d )的組數(shù)為_3若實(shí)數(shù)a ，b ，c ，d 滿足ab + bc + cd + da =1，則a2 + 2b2 + 3c2 + 4d2 的最小值為_4（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）已知Y2021 i

6、 2 ，則Y 的個(gè)位數(shù)字是_= 7 i=05若平面上有 100 條二次曲線，則這些曲線可以把平面分成若干個(gè)連通區(qū)域，則連通區(qū)域數(shù)量最大值為_6已知實(shí)數(shù) x ) 數(shù)列 x 滿足：若0 0,1k1x - ，則n 12x = x - ，若2n n 11n 1- ，則x2x = x - - n = L 現(xiàn)知2 1( 1, 2, )n n 1x = x ，則可能的0 2021x 的個(gè)數(shù)為_0微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究678n7設(shè) 122L21若109 -1| ，則n 的最小值為_y = yn n8已知 a 、b 、 c 是三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)且滿足 a = ab + c 、b = bc + a 、c = c

7、a +b則a + b + c =_9如圖， AD 為ABC 中A 的平分線過 A 作 AD 的垂線 AH ，過C 作CE P AD 交 AH 于點(diǎn) E 若BE 與 AD 交于點(diǎn) F ，且 AB = 6 ，AC = 8，BC = 7 則CF = _10如果一個(gè)十位數(shù) F 的各位數(shù)字之和為 81，則稱 F 是一個(gè)“小猿數(shù)”則小猿數(shù)的個(gè)數(shù)為_微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究11設(shè)a 是與nn 的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，b 是與 2n 的差的絕對(duì)值n2最小的整數(shù)記 1 a n的前n 項(xiàng)和為 , 1 S nb n的前n 項(xiàng)和為T 則n2T - S 的100 100值為_12設(shè)正整數(shù)n2021 ，且n5 - 5n3

8、 + 4n + 7 是完全平方數(shù)則可能的n 的個(gè)數(shù)為_13方程 x2 - 2xy + 3y2 - 4x + 5 = 0 的整數(shù)解的組數(shù)為_14現(xiàn)有 7 把鑰匙和 7 把鎖用這些鑰匙隨機(jī)開鎖，則D ，D ，D 這1 2 3三把鑰匙不能打開對(duì)應(yīng)的鎖的概率是_15設(shè)正整數(shù)m ，n 均不大于 2021，且 2 1m m + a ，則m 的最小值為_m 2519 若x x L x 為非 負(fù)整 數(shù)，則 方程 1, 2 , , 7x x L x 為非 負(fù)整 數(shù)，則 方程x + x +L+ x = x x Lx 的解 有1 2 7 1 2 7_組20已知a,b,cR+ ，且(a b c) 1 1 1 3+ -

9、 + - = a b c 1 1 1 ，求( 4 4 4 )+ + + + a b c a b c 4 4 4的最小值微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2021 年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.1甲乙丙丁四人共同參加 4 項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽第一名到第四名的分?jǐn)?shù)依次為 4、3 、2 、1 分比賽結(jié)束甲獲得 14 分第一名，乙獲得13 分第二名，則（ ）A第三名不超過 9 分B第三名可能獲得其中一場(chǎng)比賽的第一名C最后一名不超過 6 分D第四名可能一項(xiàng)比賽拿到 3 分2定義 *x y=x + y1+ xy，則(L(2*3)*4)L)*21= （ ）3已知 cos i si

10、n w = + ，則（ ）5 5A ( )( )( )( )x + x + x + x + = x -w x -w x -w x -w4 3 2 1 3 7 9B ( )( )( )( )x - x + x - x + = x -w x -w x -w x -w4 3 2 1 3 7 9C ( )( )( )( )x - x - x + x + = x -w x -w x -w x -w4 3 2 1 3 7 9D 4 3 2 1 ( )( 3 )( 7 )( 9 )x + x + x - x - = x -w x -w x -w x -w微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究4恰有一個(gè)實(shí)數(shù) x 使得 x3

11、 -ax-1=0 成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為（ ） 3 2 3A( )- B, 2 -,3 2 C 3 2 2 D , 3 2- 2 x x x5已知x為高斯函數(shù)，+ + = 2 3 5解的組數(shù)為（ ）xA30 B40 C50 D606已知m ，n 最大公約數(shù)為10! ，最小公倍數(shù)為50!，數(shù)對(duì)(m,n) 的組數(shù)為（ ）A29 B215 C221 D2187設(shè)a 為常數(shù)， (0) 1f = ，f (x + y)= f (x) f (a - y)+ f (y) f (a - x)，則（ ）2A f (a) = 1 B ( ) 1 f x = 恒成立2 2C f (x + y) = 2 f (x

12、) f (y) D滿足條件的 f (x)不止一個(gè)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究8已知四面體 D - ABC 中， AC = BC = AD = BD = 1，則 D - ABC 體積的最大值為（ ）A 4 227B 3 28C 2 327D 3189在ABC 中，D 為 BC 的中點(diǎn)，CAD = 15 ，則ABC 的最大值為（ ）A120 B105 C90 D6010已知非負(fù)實(shí)數(shù)a ，b ，c 滿足a + b + c =1，則a2 (b - c)+ b2 (c - a)+ c2 (a -b)的最大值為（ ）11已知A A A 十等分圓周，則在其中取四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形為梯形 1, 2, , 10A A

13、A 十等分圓周，則在其中取四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形為梯形個(gè)數(shù)為（ ）A60 B45 C40 D5012已知 ( ) sin cos sin 2 cos f x = x x + x + x ，5 x0, 2，設(shè) f (x)的最大值為 M ，最小值為m ，則（ ）AM = 23 Bm = 2 CM = 38 D 1m =8 5 25 5微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究13已知集合U = 0,1, 2, 2021， S U ，且 S 中任意兩項(xiàng)相加不是 5 的倍數(shù)，求S 的元素個(gè)數(shù)最大值14將函數(shù) y = + x - x - (x )的圖象逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)q (0qa ) ，24 6 2 0, 6得到曲線C 若對(duì)于每

14、一個(gè)旋轉(zhuǎn)角q ，曲線C 都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則a 的最大值為（ ）Aarctan 32Barctan 23C 4D 315（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）在平面直角坐標(biāo)系中，O 是坐標(biāo)原 點(diǎn) ， 兩 定 點(diǎn) A ， B 滿 足 OA = OB = OAOB = 2 ， 則 點(diǎn) 集P|OP = lOA+ mOB, l + m 1,l,m 所表示的區(qū)域的面積是（ ）A2 2 B4 2 C2 3 D4 316已知 y2 = 4x ，過 A(-2,3)做拋物線兩條切線，交 y 軸于 B ，C 兩點(diǎn)，則ABC 外接圓方程為（ ）22 3 13A( )x 1 y+ + - = 2 42 2 13B( ) (

15、)x +1 + y -1 =42 2 1 3 9Cx + + y - = 2 2 22 3 17D ( )2x + + y -1 = 2 4微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究17橢圓x24+ = ， A(-2, 0)，過P(1, 0)作直線l 交橢圓于M 、 N ， AM 、y 1 2y 1AN 交 x =1于 B 、C ，下面正確的有（ ）A PB + PC 定值 B PB PC 為定值C PB + PC 可能為 2 D PB PC 可能為 218如圖，四邊形 AEBC 為圓O外接四邊形，BCDE ，BC 為直徑：若 BE =12 ，DE = DC = ，則 AE BD = _1419.x ，1x ，

16、2x ，3x 為互不相等的正實(shí)數(shù)，4x ，i1x ，i2x ，i3x 為其一個(gè)排i4列， X = x x x x ， max min , , min , min max , , max ,Y = x x x x ，則 i i i i i i i i1 2 3 4 1 2 3 4X Y 的概率是_微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究20.（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）有n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m ，k則質(zhì)心位置x= m xk kmk；對(duì)于一桿，長(zhǎng)3m ，放于 x-1, 2間，且線密度滿足b = 2 + x ，則質(zhì)心位于（ ）A 215B 25C 35D 4521.有限項(xiàng)等差數(shù)列公差為 4，第二項(xiàng)起各項(xiàng)的和

17、加首項(xiàng)的平方小于100，則該數(shù)列最多可有_項(xiàng)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2021 復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題1（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）命題 p ：“ABC 的內(nèi)心與外心重合”是命題q ：“ABC 是正三角形”的什么條件？2已知 f (x)周期為 1，則命題 p ：“ f (x)+ f (x + 3)= 2”是命題q ：“ f (x)恒為 1”的什么條件？3 AD 是ABC 的角平分線， AB = 3 ， AC =8， BC = 7 ，求 AD 的長(zhǎng)8 1 14求x + + y +2 4 xy y2 的常數(shù)項(xiàng)5已知0n18 ，19m + n = 20212022 ，則n = _6已知 F ，1F

18、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)， B 為橢圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)2F B 到2點(diǎn) A ，滿足BF = BA 1AF 的中點(diǎn)為 H ，則下列兩1個(gè)結(jié)論是否正確：結(jié)論 1：AF BH ；結(jié)論 2： BH 為橢圓的切線1微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究7若 ( )g xx x x x + + - + - 2 2= ， f (x)= x ，解不等式0 g(f (x)1，滿足lg(a + b)= lg a + lgb ，求lg(a -1)+ lg(b -1) 的值42 個(gè)拋物線最多分平面為 7 份，3 個(gè)最多分 16 份，求 4 個(gè)拋物線最多分平面為幾份?5（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）求方程2 - x = 2 - x 的實(shí)根個(gè)數(shù)

19、2微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2021 年中科大強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題1已知正實(shí)數(shù)a ，二次函數(shù) f (x)= ax - x + ，若任意長(zhǎng)度為 1 的區(qū)間上，2 1存在兩點(diǎn)函數(shù)值之差的絕對(duì)值不小于 1，則a 的最小值為_2已知正實(shí)數(shù) xy 滿足 8 1 1+ = ，則 x2 + y2 的最小值為_ x y3（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）已知正實(shí)數(shù)a ，b ，c 滿足a + b + c =1，則a2 + b2 + c2 + 2abc 的取值范圍為_4拋物線 y = x2 上有 A ， B 兩點(diǎn)， AB = 2 ，則 AB 中點(diǎn)的軌跡方程為_5拋擲一個(gè)均勻的骰子( 1 6)n各面 次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)

20、字為 X ，-則 E (X ) = _微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究6有邊長(zhǎng)為 1 的正ABC ，D 在邊 AB 上，E 在邊 AC 上，DE P BC ，沿DE折起ABC ，求四棱錐 ADEBC 體積的最大值n7已知C = (4 + 2 3) 的整數(shù)部分，證明： ( )2n 1 1+ + C n n8已知 0, ab 2，求4 4 4 42sin a + 3cos b 2 cos a + 3sin b+2 2 2 24sin a + 5cos b 4 cos a + 5sin b的范圍9. f (x)， g (x)，h(x)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且兩兩互素， n + n = n ，證明：n =1或 2

21、f (x) g (x) h(x)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2021 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（廣東）一、填空題2020k1求 _sin =2021k=12設(shè)拋物線 y = x2 與 x = ay2 + 1相切，則a = _3寫出一個(gè)函數(shù) f (x) = _，使得f x - f y = f f y + xf y + f x - 對(duì)于任意的 x, y 恒成立 ( ( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) 14（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）設(shè)空間區(qū)域( ) x y x x2 + y2 + z2 z 中, , | 1, 0存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都是d，則d的是大值為_微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究5設(shè)k個(gè)人

22、進(jìn)行互相傳球游戲，每個(gè)拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，k3若初始時(shí)球彺甲手中，則第n 次傳球之后，球又回到甲手中的概率為_二、解答題1 3x6求函數(shù) f (x)= + x - 2 x - 3 x + 的取值范圍5 6 cos 3cos 4 cos sin4 27設(shè)a ，b，c 是正整數(shù)， p 是素?cái)?shù)， p5 且 p 整除p-1 p-1 p-1a b c2 2 2+ + ，證明： p 整除abc 微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究8設(shè)數(shù)列a 滿足na = ，且對(duì)任意正整數(shù)m ，n 均有1 3a + = a + a + m + mn 22m n 2 m n 2 4求a 的通項(xiàng)公式n9.設(shè) f (

23、x)是n 次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其中n1，g (x)= f (x)- f (x) 證明 ：若 f (x)的n 個(gè)根都是實(shí)數(shù)，則 g (x)的n 個(gè)根也都是實(shí)數(shù)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2021 年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題及其解析1求M = 3 1 + 3 2 + + 3 2021 L L 2已知0 a + b ，b + c，c + a 1，求M = a - b + b - c + c - a 的最值微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2020 年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題共 20 道選擇題，在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得 5 分，選錯(cuò)或不選得 0 分1.（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）已知 x,

24、y, z,w 均為正實(shí)數(shù)，且滿足x 和 x + y 2(z + w)，則y wwxz+ 的最小值等于（ ）yA.3 B.47 C.1 D.前三個(gè)答案都不對(duì)82在(20192020) 的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其中任意兩個(gè)2021的乘積都不是平方數(shù)，則最多可選因數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A16 B31 C32 D前三個(gè)答案都不對(duì)3已知整數(shù)列a （n1）滿足a = ，n1 1a = ，且對(duì)任意n2 有2 4a2 a 1a 1 2 -1- = ，則nn n+ n-a 的個(gè)位數(shù)字是（ ）2020A8 B4 C2 D前三個(gè)答案都不對(duì)4.設(shè)a，b，c，d 是方程 x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5

25、= 0 的4個(gè)復(fù)根，則a -1 b -1 c -1 d -1 + + +a + 2 b + 2 c + 2 d + 2的值為（ ）A- 4 B- 2 C 23 3 3D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究5設(shè)等邊ABC 的邊長(zhǎng)為1，過點(diǎn)C 作以 AB 為直徑的圓的切線，交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D ， AD BD ，則BCD的面積為（ ）A 6 2 -3 3 B 4 2 -3 3 C 3 2 - 2 3 D前三個(gè)答案都不對(duì)16 16 16 1 6設(shè) x ， y ， z 均不為k + 2，其中 k 為整數(shù)，已知sin(y + z - x)，sin(x + z - y)，sin(x + y - z

26、)成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（ ）Asin x ，sin y ，sin z Bcos x，cos y ，cos zCtan x ，tan y ，tan z D前三個(gè)答案都不對(duì)7（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）方程19x + 93y = 4xy 的整數(shù)解個(gè)數(shù)為（ ）A4 B8 C16 D前三個(gè)答案都不對(duì)8從圓 x2 + y2 = 4上的點(diǎn)向橢圓C ：x22+ y2 =1引切線，兩個(gè)切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓 C 內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為（ ）A 2B 3C 4D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究9使得5x +12 xya (x + y )對(duì)所有正實(shí)數(shù) x ， y 都成立的實(shí)數(shù)

27、a的最小值為（ ）A8 B9 C10 D前三個(gè)答案都不對(duì)10（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）設(shè) P 為單位立方體ABCD - A B C D1 1 1 1的面對(duì)角線AB 上的一點(diǎn)，則1PA + PC 的最小值為（ ）1 1A 2 + 2 B 2 + 2 2 C2 2- D前三個(gè)答案都不對(duì)211設(shè)數(shù)列 滿足a 1 1 2 9a = ，a = ，且對(duì)任意n1有n n1a a a2 4 1 3 20+ = + - - ，n n n其前n項(xiàng)和為S ，則nS 的最大值等于（ ）nA28 B35 C47 D前三個(gè)答案都不對(duì)12設(shè)直線 y = 3x + m 與橢圓x y2 2+ = 交于 A ， B 兩點(diǎn)，O坐

28、標(biāo)原點(diǎn)，125 16則OAB 面積的最大值為（ ）A8 B10 C12 D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究13正整數(shù)n3稱為理想的，若存在正整數(shù)1kn -1使得Ck 1 n ，Ck- ，Ck +1 n n構(gòu)成等差數(shù)列，其中Ckn=n!k! n k !( - )為組合數(shù)，則不超過2020的理想數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）A40 B41 C42 D前三個(gè)答案都不對(duì)14在ABC 中，A =150，D ，1D ，2D 依次為邊 BC 上的點(diǎn)，2020且BD = D D = D D =L =1 1 2 2 3D D = D C 設(shè)2019 2020 2020 = ，BAD a1 1 = ， ，D AD a1

29、2 2 = ，D AD a2019 2020 2020 = ， 則D AC a2020 2021sina sina Lsina1 3 2021sina sina Lsina2 4 2020的值為（ ）A 11010B 12020C 12021D前三個(gè)答案都不對(duì)15函數(shù) f (q ) = + q + q + - q + q + q 的最大3 2 3 cos cos 5 2 3 cos cos 4 sin2 2值為（ ）A 2 + 3 B2 2 + 3 C 2 + 2 3 D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究16（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）方程 x + 5 - 4 x +1 + x + 2

30、- 2 x +1 = 1的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D前三個(gè)答案都不對(duì)17凸五邊形 ABCDE 的對(duì)角線CE 分別與對(duì)角線 BD 和 AD 交于點(diǎn) F 和G ，已 知 BF : FD = 5: 4，AG :GD =1:1，CF : FG :GE = 2: 2:3， 和SCFDSABE分別為CFD和ABE 的面積，則 : 等于（ ）S SCFD ABEA8：15 B2：3 C11：23 D前三個(gè)答案都不對(duì)18設(shè) p ， q 均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項(xiàng)式f (x) = x5 + px + q 的個(gè)數(shù)為（ ）A99 B133 C150 D前三個(gè)答案都不對(duì)19滿足對(duì)任意n1有

31、+ = - 且嚴(yán)格遞增的數(shù)列 的個(gè)數(shù)為a 1 2 3a ann nn n1（ ）A0 B1 C無窮個(gè) D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究20設(shè)函數(shù) ( , , )f x y z x y z= + +x + y y + z z + x，其中 x， y ， z 均為正實(shí)數(shù)，則有（ ）A f 既有最大值也有最小值 B f 有最大值但無最小值C f 有最小值但無最大值 D前三個(gè)答案都不對(duì)微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2020 年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題共 35 道選擇題，為不定項(xiàng)選擇題1若 x2 + y21，則 x2 + xy - y2 的取值范圍是（ ） A 3 , 3- 2 2 B-1, 1 C

32、 5 5- , 2 2 D-2, 22設(shè)a ，b ，c 為正實(shí)數(shù)，若一元二次方程ax + bx + c = 有實(shí)根，則（ ）2 0Amaxa,b,c 1 (a + b + c) Bmax , , 4 ( ) a b c a + b + c2 9Cmina,b,c1 (a + b + c) Dm n , , 1 ( ) i a b c a + b + c4 33. 在非等邊ABC 中， BC = AC ，若O 和 P 分別為ABC 的外心和內(nèi)心，D 在線段 BC 上，且滿足OD BP ，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A B ， D ，O， P 四點(diǎn)共圓 BO DACCODAB D PDAC4已知集合

33、A,B,C 1, 2, 3,L, 2020，且 A B C ，則有序集合組(A,B,C)的個(gè)數(shù)是（ ）A22020 B32020 C42020 D52020微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究5已知數(shù)列a 滿足 a = ， + = + ( N)，則n i i0 0 a a i1 120= 的值可能A akk=1是（ ）A0 B2 C10 D126（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）已知點(diǎn) P 在橢圓x y2 2+ = 上，A(1, 0)，14 3B(1, 1)，則 PA + PB 的最大值是（ ）A4 B4+ 3 C4+ 5 D67已知 P 為雙曲線x24- = 上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）， A(-2, 0)，B(2, 0

34、)，令y2 1 = ，PBA = b ，下列表達(dá)式為定值的是（ ）PAB a a bAtana tan b Btan tan 2 2C tan( ) D cot( ) S a + b S a + bPAB PAB8甲、乙、丙三位同學(xué)討論同一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，甲說：“我做錯(cuò)了”乙說：“甲做對(duì)了”丙說：“我做錯(cuò)了”老師看過他們的答案并聽了他們的上述對(duì)話后說：“你們僅有一人做對(duì)且僅有一人說謊了”，則根據(jù)以上信息可以推斷（ ）A甲做對(duì)了 B乙做對(duì)了 C丙做對(duì)了 D無法確定誰做對(duì)了微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究9在RtABC 中， = ， AB = 3 ， BC =1，ABC2PA PB PCuuur uuur

35、uuur ， + + = 0PA PB PC則下列說法正確的是（ ）A = 2 B 2APB BPC = C PC = 2PB D PA = 2PC3 310求值： 2 n （ ）lim arctan = k k =1n+ 2A 2B 34C 54D 3211從 0 到 9 這十個(gè)數(shù)中任取五個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)abcde（a可以等于 0），則396 abcde的概率為（ ）A 1396B 1324C 1315D 1210112隨機(jī)變量 X (=1, 2, 3,L)，Y (= 0,1, 2)，滿足 P(X = k) = ，且2kY x(mod 3)，則 E(Y )= （ ）A 47B 87C127

36、D167微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究13已知向量a，b，c滿足 a 1， b 1， a + 2b+c = a -2b ，則下列說法正確的是（ ）A c 的最大值為4 2 B c 最大值為2 5C c 的最小值為 0 D c 的最小值為 214若存在 x ， yN* ，使得 x2 + ky 與 y2 + kx均為完全平方數(shù)，則正整數(shù)k 可能取值為（ ）A2 B4 C5 D615sin arctan1 arccos 3 arcsin 1 + + = 10 5 （ ）A0 B 12C 22D116已知正四棱錐中，相鄰兩側(cè)面構(gòu)成的二面角為a ，側(cè)棱與底面夾角為b ，則（ ）Acosa + tan2 b =

37、1 Bseca + tan2 b = -1Ccosa + 2 tan2 b =1 Dseca + 2 tan2 b = -1微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究2ex17已知函數(shù) ( ) ( )f x = +sin x x -2, 2e +ex -x，則 f (x)的最大值與最小值的和是（ ）A2 Be C3 D4（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）18已 知函 數(shù) f (x) 的圖像如圖所示， f (x) 的圖像與直線 x = a ，x = t(a t c)，x軸圍成圖形的面積為S(t)，則下列說法正確的是（ ）AS (t)1+ 5cos1成立的最小正整數(shù)n 等于（ ）A3 B4 C5 D6微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)

38、研究24已知實(shí)數(shù) x ， y ， z 滿足1 1x - y - y = 13 29 31 1，則（ ）y - z - z = 13 29 31 1z - x - x = 13 29 3A(x, y,z)有 1 組 B(x, y,z)有 4 組C x ， y ， z 均為有理數(shù) D x ， y ， z 均為無理數(shù)25設(shè)實(shí)數(shù)x x L x 滿足0 1(1, 2, , 21)，則 1, 2 , , 21x x L x 滿足0 1(1, 2, , 21)，則x Li21 21 的最大值為x - xi= k =1 1 i k（ ）A110 B120 C220 D24026（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）在平

39、面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，且所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的內(nèi)部有 8 個(gè)格點(diǎn)，邊界上有 10 個(gè)格點(diǎn)，則這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為（ ）A10 B11 C12 D13微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究27設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 3z - 7i = 3，則z2 - 2z + 2z -1+ i的（ ）A最大值為 83B最大值為 73C最小值為 43D最小值為 2328設(shè)a ，b 為銳角，且cos( ) sina b+ = ，則tana 的最大值為（ ）asin bA 24B 33C1 D 229已知函數(shù) f (x)= e + a(x -1)+ b 在區(qū)間1, 3上存

40、在零點(diǎn)，則xa +b 的最2 2小值為（ ）A e2Be Ce22De230設(shè) A ，B 分別是 x 軸，y 軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以 AB 為直徑的圓C 與直線2x + y - 4 = 0相切，則圓C 面積的最小值為（ ）A 5B 25C 45D微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究31（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）已知實(shí)數(shù)a ，b 滿足a + b + ab = ，3 3 3 1設(shè)a + b 的所有可能值構(gòu)成的集合為M ，則（ ）AM 為單元素集 BM 為有限集，但不是單元素集CM 為無限集，且有下界 DM 為無限集，且無下界a 的前 n 項(xiàng)和 ( 1) 1 3 32已知數(shù)列 S = - a + + n - ，且實(shí)

41、數(shù) t 滿足nn n n n2- - ，則t 的取值范圍是（ ） (t a )(t a 1 ) 0n n+A 3 ,11 - 4 4B 3 ,11 - 4 5C 3 ,11 -C 3 ,11 5 4D 3 ,11 -D 3 ,11 5 533（微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究）紅樓夢(mèng)，三國(guó)演義，水滸傳和西游記四部書分列在四層架子的書柜的不同層上小趙，小錢，小孫，小李分別借閱了四部書中的一部現(xiàn)已知：小錢借閱了第一層的書籍，小趙借閱了第二層的書籍，小孫借閱的是紅樓夢(mèng)，三國(guó)演義在第四層則（ ）A水滸傳一定陳列在第二層 B西游記一定陳列在第一層C小孫借閱的一定是第三層的書籍 D小李借閱的一定是第四層的書籍微信公眾號(hào)：樂思數(shù)學(xué)研究34設(shè)多項(xiàng)式 f (x)的各項(xiàng)系數(shù)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且f = f = f = f = ，則 f (x)的常數(shù)項(xiàng)的最小值為（ ） (1) (1) (1) (1) 1A 12B 13C 14D 151 1 1 35已知 ( ) ，則（ ）f z = z + + z + 10 5 10 5z 2 z A f (z)= 0存在實(shí)數(shù)解 B f (z)